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LINGO在图论中的应用
图是一种直观形象地描述已知信息的方 式，它使事物之间的关系简洁明了，是分 析问题的有用工具，很多实际问题可以用 图来描述。
一、图的基本概念
图论是以图为研究对象的数学分支，在图论 中，图由一些点和点之间的连线所组成．
称图中的点为顶点（节点），称连接顶点的 没有方向的线段为边，称有方向的线段为弧．所 有线段都没有方向的图称为无向图，所有线段都 有方向的图称为有向图，既有边也有弧的图称为 混合图．
点与边相连接称为关联，与边e关联的顶点称 为该边的端点，与同一条边关联的两个顶点称为 相邻顶点，与同一个顶点关联的边称为相邻边．
具有相同顶点的边称为平行边，两个端点重合 的边称为环．在无向图中，没有环和平行边的图 称为简单图，任意一对顶点都有一条边相连的简 单图称为完全图．任意两个顶点之间有且只有一 条弧相连的有向图称为竞赛图．
N是终点，1是起点， j是与i相联,上一步考察过， 且与终点相通、f(j)为已知的点。
编写LINGO程序如下： model: sets: cities/A,B,C,D,E,F,G/: FL; !定义7个城市; roads(cities,cities)/
A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; !定义哪些城市之间有路相联，W为里程，P用 来存放最短路的路径; endsets
WAB+ f(B)=2+4=6 WAC+ f(C)=4+3=7 故A到G的最短路是上述两者的最小值6，可以 写成f(A)=min{WAj+f(j)}=6，j是上一步考察过的两 个点B,C，现在已经到了起点，结束运算，从A到 G的最短路为6。 上述算法可以简写成
f(i)m j {W iinjf(j),}iN1, ,2,1 f(N )0
j1
所有从其它顶点到达该顶点的弧中必然也有一条
弧在最短路上，因而必有：
n
X ji 1
f(B)=min{WBj+f(j)}=4，j是上一步考察过的三个点D,E,F； 同理f(C)=min{WCj+f(j)}，而
WCD+ f(D)=2+1=3
WCE+ f(E)=3+3=6
Baidu Nhomakorabea
故F(C)=3；
WCF+ f(F)=1+4=5
第一阶段，出发点只有一个A，从A出发分别经 过B,C,至终点G的里程分别为：
可以用动态规划的方法来求最短路问题，下面 举例说明其算法原理。
2.算法原理
举例：
3
D
1
2
B
3
A
1
E
G
2
3
4
C3
4
1
F
图中A,B,...,G表示7个城市，连线表示城市之间 有道路相通，连线旁的数字表示道路的长度Wij， 现要从城市A到G找出一条最短路线。
该问题有三个阶段，第一阶段从A到B或C，第 二阶段到D,E或F，第三阶段到终点G，我们从终 点向前倒过来找。
无圈的连通图称为树，如果一棵树T包含了图G 的所有顶点，称T为G的生成树．
如果图G的每条边e都对应一个实数C(e)，称C(e) 为该边e的权，称图G为赋权图．通常称赋权的有 向图为网络．
二、最短路问题
1.动态规划法
(1)问题的描述
给定N个点Pi(i=1,2,...,n)组成集合{Pi}，集合中任 一点Pi到另一点Pj的距离用Wij表示，如果Pi到Pj没 有 弧 联 结 ( 无 通 路 ) ， 则 规 定 Wij=+∞ ， 又 规 定 ， Wii=0 (i=1,2,...,n)，指定一个终点PN，要求从Pi点出 发到PN的最短路线。
在图中，两个顶点u和v之间由顶点和边构成的 交错序列（使u和v相通）称为链（通道），没有 重复边的通道称为迹，起点与终点重合的通道称 为闭通道，不重合的称为开通道，没有重复顶点 （必然边也不重复）的开通道称为路，起点与终 点重合的路称为圈（回路）．如果顶点u和v之间 存在通道，称u和v是连通的，任意两个顶点都连 通的图称为连通图．
程序中的语句roads(cities,cities)/ A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; 定义 的集合称为稀疏集合，本例中cities有7个成员，但 是并非每个城市到其它6个城市都有路相通，只有 部分城市之间有路，故定义衍生集合roads时用列 举法列出有路相通的每对城市 。
一步是i --> j，否则就不是。由此，我们就可方便的确 定出最短路径;
@for(roads(i,j): P(i,j)=@if(FL(i) #eq# W(i,j)+FL(j),1,0));
end
部分计算结果： FL(A) 6 FL(B) 4 FL(C) 3 FL(D) 1 FL(E) 3 FL(F) 4 FL(G) 0 最短路线为 A B D G 以上计算程序是通用程序，对其它图，只需在 此程序基础上对数据作一些修改即可。
2．0－1规划法
用0－1规划法也能求解最短路问题，其思路如 下．
设起点为1，终点为n．引入0－1型决策变量Xij， 如果弧(i , j)在最短路上，则Xij=1，否则Xij=0．
对于除了起点1和终点n以外的任意一个顶点i，
如果，
说明从i出发的所有弧中必然有一条弧
n
在最短路X 上ij 1，也就是说最短路经过该顶点，此时
data: W=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
enddata N=@SIZE(CITIES); FL(N)=0; !终点的F值为0; @for(cities(i) | i #lt# N: FL(i)=@min(roads(i,j):W(i,j)+FL(j)));
!递推计算各城市F值; !显然，如果P(i,j)=1,则点i到点n的最短路径的第
第 三 阶 段 ， 从 D,E,F 到 G 的 最 短 路 分 别 为 1,3,4 ， 记 为 f(D)=1,f(E)=3,f(F)=4；
第二阶段，与D,E,F有连线的出发点为B和C，从B出发 分别经过D,E,F，至终点G的里程分别为：
WBD+ f(D)=3+1=4
WBE+ f(E)=3+3=6
WBF+ f(F)=1+4=5 故B到G的最短路是上述三者的最小值(4)，可以写成
LINGO在图论中的应用
图是一种直观形象地描述已知信息的方 式，它使事物之间的关系简洁明了，是分 析问题的有用工具，很多实际问题可以用 图来描述。
一、图的基本概念
图论是以图为研究对象的数学分支，在图论 中，图由一些点和点之间的连线所组成．
称图中的点为顶点（节点），称连接顶点的 没有方向的线段为边，称有方向的线段为弧．所 有线段都没有方向的图称为无向图，所有线段都 有方向的图称为有向图，既有边也有弧的图称为 混合图．
点与边相连接称为关联，与边e关联的顶点称 为该边的端点，与同一条边关联的两个顶点称为 相邻顶点，与同一个顶点关联的边称为相邻边．
具有相同顶点的边称为平行边，两个端点重合 的边称为环．在无向图中，没有环和平行边的图 称为简单图，任意一对顶点都有一条边相连的简 单图称为完全图．任意两个顶点之间有且只有一 条弧相连的有向图称为竞赛图．
N是终点，1是起点， j是与i相联,上一步考察过， 且与终点相通、f(j)为已知的点。
编写LINGO程序如下： model: sets: cities/A,B,C,D,E,F,G/: FL; !定义7个城市; roads(cities,cities)/
A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; !定义哪些城市之间有路相联，W为里程，P用 来存放最短路的路径; endsets
WAB+ f(B)=2+4=6 WAC+ f(C)=4+3=7 故A到G的最短路是上述两者的最小值6，可以 写成f(A)=min{WAj+f(j)}=6，j是上一步考察过的两 个点B,C，现在已经到了起点，结束运算，从A到 G的最短路为6。 上述算法可以简写成
f(i)m j {W iinjf(j),}iN1, ,2,1 f(N )0
j1
所有从其它顶点到达该顶点的弧中必然也有一条
弧在最短路上，因而必有：
n
X ji 1
f(B)=min{WBj+f(j)}=4，j是上一步考察过的三个点D,E,F； 同理f(C)=min{WCj+f(j)}，而
WCD+ f(D)=2+1=3
WCE+ f(E)=3+3=6
Baidu Nhomakorabea
故F(C)=3；
WCF+ f(F)=1+4=5
第一阶段，出发点只有一个A，从A出发分别经 过B,C,至终点G的里程分别为：
可以用动态规划的方法来求最短路问题，下面 举例说明其算法原理。
2.算法原理
举例：
3
D
1
2
B
3
A
1
E
G
2
3
4
C3
4
1
F
图中A,B,...,G表示7个城市，连线表示城市之间 有道路相通，连线旁的数字表示道路的长度Wij， 现要从城市A到G找出一条最短路线。
该问题有三个阶段，第一阶段从A到B或C，第 二阶段到D,E或F，第三阶段到终点G，我们从终 点向前倒过来找。
无圈的连通图称为树，如果一棵树T包含了图G 的所有顶点，称T为G的生成树．
如果图G的每条边e都对应一个实数C(e)，称C(e) 为该边e的权，称图G为赋权图．通常称赋权的有 向图为网络．
二、最短路问题
1.动态规划法
(1)问题的描述
给定N个点Pi(i=1,2,...,n)组成集合{Pi}，集合中任 一点Pi到另一点Pj的距离用Wij表示，如果Pi到Pj没 有 弧 联 结 ( 无 通 路 ) ， 则 规 定 Wij=+∞ ， 又 规 定 ， Wii=0 (i=1,2,...,n)，指定一个终点PN，要求从Pi点出 发到PN的最短路线。
在图中，两个顶点u和v之间由顶点和边构成的 交错序列（使u和v相通）称为链（通道），没有 重复边的通道称为迹，起点与终点重合的通道称 为闭通道，不重合的称为开通道，没有重复顶点 （必然边也不重复）的开通道称为路，起点与终 点重合的路称为圈（回路）．如果顶点u和v之间 存在通道，称u和v是连通的，任意两个顶点都连 通的图称为连通图．
程序中的语句roads(cities,cities)/ A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, P; 定义 的集合称为稀疏集合，本例中cities有7个成员，但 是并非每个城市到其它6个城市都有路相通，只有 部分城市之间有路，故定义衍生集合roads时用列 举法列出有路相通的每对城市 。
一步是i --> j，否则就不是。由此，我们就可方便的确 定出最短路径;
@for(roads(i,j): P(i,j)=@if(FL(i) #eq# W(i,j)+FL(j),1,0));
end
部分计算结果： FL(A) 6 FL(B) 4 FL(C) 3 FL(D) 1 FL(E) 3 FL(F) 4 FL(G) 0 最短路线为 A B D G 以上计算程序是通用程序，对其它图，只需在 此程序基础上对数据作一些修改即可。
2．0－1规划法
用0－1规划法也能求解最短路问题，其思路如 下．
设起点为1，终点为n．引入0－1型决策变量Xij， 如果弧(i , j)在最短路上，则Xij=1，否则Xij=0．
对于除了起点1和终点n以外的任意一个顶点i，
如果，
说明从i出发的所有弧中必然有一条弧
n
在最短路X 上ij 1，也就是说最短路经过该顶点，此时
data: W=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
enddata N=@SIZE(CITIES); FL(N)=0; !终点的F值为0; @for(cities(i) | i #lt# N: FL(i)=@min(roads(i,j):W(i,j)+FL(j)));
!递推计算各城市F值; !显然，如果P(i,j)=1,则点i到点n的最短路径的第
第 三 阶 段 ， 从 D,E,F 到 G 的 最 短 路 分 别 为 1,3,4 ， 记 为 f(D)=1,f(E)=3,f(F)=4；
第二阶段，与D,E,F有连线的出发点为B和C，从B出发 分别经过D,E,F，至终点G的里程分别为：
WBD+ f(D)=3+1=4
WBE+ f(E)=3+3=6
WBF+ f(F)=1+4=5 故B到G的最短路是上述三者的最小值(4)，可以写成