【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第十章 圆锥曲线与方程 10-4 word版含答案

1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2

＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA |＝12

|AB |，则点

A 到抛物线C 的焦点的距离为( )

A.5

3 B.75 C.97 D ．2

答案 A

解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、

E .∵|PA |＝1

2

|AB |，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2

1＝4x 1，y 2

2＝4x 2，得x 1＝2

3

，则点A 到抛物线C 的焦点的距离

为1＋23＝53

.

2．设F 为抛物线C ：y 2

＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.33

4 B.93

8

C.

63

32

D.94

答案 D

解析 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立

⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝33x －34， ①

y 2＝3x ， ②

将①代入②并整理得13x 2－72x ＋3

16＝0，

∴x 1＋x 2＝21

2

，

∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3

2

＝12.

又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝

3413

＋1＝38

. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝9

4

.

3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )

点击观看解答视频

A.1

2 B.2

3 C.3

4 D.43

答案 D

解析 由题意可知准线方程x ＝－p

2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2

＝8x .由已知易

得过点A 与抛物线y 2

＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3

＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

y －3＝k

x ＋2，

y 2

＝8x ，

消去x 得ky 2

－8y ＋24＋16k ＝0.(*)

由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝1

2或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，

把y ＝8代入y 2

＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43

.

4．已知F 为抛物线y 2

＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →

＝

2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )

A ．2

B ．3 C.

172

8

D.10

答案 B

解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .

由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝my ＋t ，y 2

＝x ，消去x ，得y 2

－my －t ＝0.

设A (y 2

1，y 1)，B (y 2

2，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 2

1＋y 2

2＝m ，y 1y 2＝－t . 而OA →·OB →

＝y 21y 2

2＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．

而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝1

2

|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，

S △AFO ＝12|OF |×y 1＝12×14y 1＝18

y 1，

故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2.由98y 1－y 2＝9

8y 1＋(－y 2)≥2

9

8

y 1×－y 2＝

2

9

8

×2＝3， 得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.

5．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2

－y 2

＝1右支上的一个动点．若点P 到直线

x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．

答案

22

解析 直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2

－y 2

＝1的一条渐近线x －y ＝0平行，这两条平行线之间的距离为

22

，又P 为双曲线x 2－y 2

＝1右支上的一个动点，点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则c ≤

22，即实数c 的最大值为22

. 6．设F 为抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．

答案 ±1

解析 设直线AB 方程为x ＝my －1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y 2

－4my ＋4＝0，由根与系数关系得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.故Q (2m 2

－1,2m )．由|FQ |＝2知

2m

2

＋2m 2－1－1

2

＝2，解得m 2＝1或m 2

＝0(舍去)，故直线l 的斜率等

于±1(此时直线AB 与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．

7．已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2

＋y 2

－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .