函数的单调性教案(优秀)

课题：函数的单调性

授课教师：王青

【教学目标】

1. 知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用函数

图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。

2. 过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法, 培

养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明•

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【使用教具】多媒体教学

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.

问题：

(1) 当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(3)明E些时段温度升高？哪些时段温度降低？

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣.

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容•

1 •借助图象，直观感知

问题1:分别作出函数y = X • 1，y - -X T，f (x) = χ2的图象，并且思考

(1)函数y=x+1的图象从左至右是上升还是下降，在区间_________ 上f(x)

的值随X的增大而________

(2)函数y = -X +1的图象从左至右是上升还是下降，在区间 ____ 上

f (x)的值随X的增大而________

(3)函数f(x) = X2在区间_______ 上，f (X)的值随X的增大而增大

(4)函数f(x)=x2在区间_________ 上，f (X)的值随X的增大而减小

〖设计意图F从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识•

2 •抽象思维，形成概念

问题：你能用数学符号语言描述第(3) (4)题吗？

2 2

任取X1,X2 •[0,=),且X1 ：：：X2 ,因为X1 - X2 (X1

X2)(X1 - X2) ：：：0 ,即

2 2

X1 ：：：X2 ,所以f X1 f X2

任意的X1，X2 乏(-o0,0 )，X1 < X2 ,则f (% )> f(X2 )

任意的X1，X2 E ( -o0,0 )，X1 < X2 ,则f(X1 )< f(x2 )

师生共同探究，得出增函数和减函数的定义：

增函数定义：

如果函数y=f(x)在数集I上满足：随着自变量X的增大，因变量y也增大，那么称y=f(x)在数集I上单调增，也称y=f(x)在数集I上是增函数

数学语言描述：

如果函数y=f(x)在数集I上满足：对于任意的X1，X2 ∈I,当X1

同学们根据增函数的定义给出减函数的定义

〖设计意图F把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度，完成对概念

的第二次认识•事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

判断题：

①若函数f(x)满足f⑵:：f(3),则函数f(x)在区间［2,,上为增函数.

通过判断题，强调三点：

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上

单调性•

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)•

③函数的单调性就是函数的增减性

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

有了函数的单调性这一概念就有如下概念：

①如果函数y = f X在某区间上是增函数，就称该区间为函数y = f X的单调增区间。

②如果函数y = f X在某区间上是减函数，就称该区间为函数y = f X的单调减区间。

练一练

下图为函数f(x)的图像，找出它的单调区间以及在每个区间上 f (X)是增函数还是减函数。

三、掌握证法，适当延展

例1、证明函数f X =7X 2在R上是增函数.

1.分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流•

证明：任取，X1, X^ R)且X1 ::：X2设元

f (xj - f(X2)= (7X1 2) - (7X2 2)求差

=7(X1 - X2)变形

断号

X「X2，

x1-x2 0

∙∙∙ f (x1) - f (x2) :： 0,即f(x1) ：：：f (X2),定论

•••函数f (x) =x -在C.2,v)上是增函数.

X

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

1

J

练习：证明函数f X 在［0,=)上是增函数.

X

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.

1. 小结

(1) 函数单调性的定义

(2) 证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

2. 作业

书面作业：《学习指导用书》P53-P54