《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

1、填空题（每小题3分，共15分）

1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发

B A ,5.0)()(=+B P A P B A ,生的概率为__________.

答案：0.3解：

3

.0)(=+A B A P 即

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P A P B A P -=-+-=+=所以

1

.0)(=AB P

.

9.0)(1)((=-==AB P AB P B A P U 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.

X )2(4)1(==≤X P X P ==)3(X P 答案：

16

1-e 解答：

λ

λ

λ

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 知 λ

λλ

λλ---=+e e e 22)2(4)1(==≤X P X P

即 0122

=--λλ

解得

，故

1=λ

1

6

1

)3(-==e X P 3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概

X )2,0(2

X Y =)4,0(率密度为_________.=

)(y f Y

答案：

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===⎩

其它 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

Y (),Y F y X ()

F x (

)X f x

2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=

≤≤=- 因为，所以，即~(0,2)

X U (0X F =()Y X F y F =

故

04,

()()

0,.

Y Y X

y

f y F y f

<<

'

===

⎩其它

另解在上函数严格单调，反函数为

(0,2)2

y x

=()

h y=

所以

04,

()

0,.

Y X

y

f y f

<<

==

⎩其它

4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则Y

X,λ2

)1

(-

=

>e

X

P

_________，=_________.

=

λ}1

)

,

{min(≤

Y

X

P

答案：，

2

λ=-4

{min(,)1}1e

P X Y≤=-

解答：

，故

2

(1)1(1)

P X P X e e

λ

--

>=-≤==2

λ=

{min(,)1}1{min(,)1}

P X Y P X Y

≤=->

1(1)(1)

P X P Y

=->>

.4

1e-

=-

5．设总体的概率密度为

X

.

⎪⎩

⎪

⎨

⎧<

<

+

=

其它

,0

,1

,

)1

(

)

(

x

x

x

f

θ

θ

1-

>

θ

是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

n

X

X

X,

,

,

2

1

L Xθ

答案：

$

1

1

1

1

ln

n

i

i

x

n

θ

=

=-

∑

解答：

似然函数为

11

1

(,,;)(1)(1)(,,)

n

n

n i n

i

L x x x x x

θθ

θθθ

=

=+=+

∏

L L

1

ln ln(1)ln

n

i

i

L n x

θθ

=

=++∑

1

ln

ln0

1

n

i

i

d L n

x

dθθ=

=+

+

∑@解似然方程得的极大似然估计为

θ