奥数-2002年度初二第二试希望杯全国数学邀请赛-

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八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5．设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初二第2试

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初二第2试2011年4月10日上午9：00至11：00一、选择题(每小题4分，共40分.)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1. Given A ：B =32：3，A =2，C =1029. The size relationship between B and C is (A) B >C (B) B =C (C) B <C (D) uncertain 2. 已知a 2-a =7，则代数式21+-a a ．12422+--a a a ÷112-a 的值是 (A) 3 (B)27(C) 4 (D) 5 3. 一个凸四边形的四个内角可以(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角 . 4. 如果直线y =2x +m 与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m 的值是 (A) ±3 (B) 3 (C) ±4 (D) 45. 若n +1=20102+20112，则12+n = (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 40216. 有四个命题:若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等有一条边相等的两个等腰直角三角形全等● 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 ❍ 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等其中，正确的命题有(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个7. 如图1，Rt △ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则AE 2+BD 2与AB 2的比值为(A) 43 (B) 1 (C) 45 (D) 238. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD =12, AB =5，P is any point on AD and PE ⊥BD at point E , PF ⊥AC at point F .A BCD 图1figure 2ABCDEFPThen PE +PF has a total length of (A)1348 (B) 1360 (C) 5 (D) 1370 9. 如图3，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，C (2,1)，D (1,1).反比例函数y =xk的图像与边BC 交于点E ，与边CD 交于点F .已知BE ：CE =3：1，则DF ：FC 等于(A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：110. 如图4，a ，b ，c ，d ，e 分别代表1，2，3，4，5中的一个数. 若b +a +c 及d +a +e 除以3都余1，则不同的填数方法有 (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 .二、填空题 (每小题4分，共40分)11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩一样好.现有以下关系式：a -b =5； a +b =18； ● a ：b =2：1； ❍ a ：18=2：3；其中正确的是 (只填序号).12. 已知方程组⎩⎨⎧=-=+542y x y x 的解为⎩⎨⎧==ny m x ，又知点A (m ,n )在反比例函数y =x k的图像上，则k 的值是 .13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a ：b (a <b )，若这个三角形是钝角三角形，则ab的取值范围是 . 14. 定义f (x )=x-11(x ≠1)，那么))))2011((((2011 ff f f f 個= .15. 函数y =ax 与函数y =32x +b 的图像如图5所示，则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=-b x y y ax 3230的解是 .16. 若a ，b 是自然数，且a >b ，2011=a (a -1)+b .那么a = ；b = .图3a decb 图417. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.两次掷这个骰子，朝上一面的数依次记为m ，n .则关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+321y x ny mx ，有解的概率为 .18. 如图6边长为2+3的正方形ABCD 内有一点P ，且∠P AB =30︒，P A =2，在正方形ABCD 的边上有一点Q ，且△P AQ 为等腰三角形，则符合条件的点Q 有个.19. 已知a ，b ，c 为实数，并且对于任意实数x ，恒有 | x +a |+| 2x +b |=| 3x +c |，则a ：b ：c = .20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000 千米后报废.现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶千米.三、解答题每题都要写出推算过程.21. (本题满分10分)平面直角坐标系中，正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为(-1，-1)，(1，-1)，(1，1)，(-1，1).设正方形ABCD 在y =| x -a |+a 的图像以上部份的面积为S ，试求S 关于a 的函数关系式，并写出S 的最大值.22. (本题满分15分)图6若直线l ：y =x +3交x 轴于点A ，交y 轴于点B .坐标原点O 关于直线l 的对称点O ’在反比例函数y =xk的图像上.(1) 求反比例函数y =xk的解析式； (2) 将直线l 绕点A 逆时针旋转角θ (0︒<θ <45︒)，得到直线l ’，l ’交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的并行线，与上述反比例函数y =xk的图像交于点Q ，当四边形APQO ’的面积为9-233时，求θ 的值.23. (本题满分15分)给定m (m ≥3)个数字组成的一列数a 1，a 2，…，a m ，其中每一个数a i (i =1，2，…，m )只能是1或0.在这一列数中，如果存在连续的k 个数和另一组连续的k 个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k 阶可重复的”.例如由7个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为a 1，a 2，a 3，a 4与a 4，a 5，a 6，a 7按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”.(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数； 0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1. (2) 如果一列数a 1，a 2，…，a m 一定是“3阶可重复的”，求m 的最小值.(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或 1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理由.第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案一选择题（每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C D B C B D D二填空题（每小题4分）题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案②③④-6 >2 -1/2010 x=1y=245;31 11/12 4 1:2:3 3750【部分试题提示】4、5、8、9、10、b+a+c及d+a+e除以3都余1, (a+b+c+d+e)=1+2+3+4+5=15 则(a+b+c+d+e)+a除以3余2,即a除以3余2,a可以是2或5，不同的填数方法有C(2,1)*c(4,1)*c(2,1)=2*4*2=16种，abcde依次为：21435、21453、24135、24153；23514、23541、25314、25341 51423、51432、54123、54132；52314、52341、53214、5324111、解：∵命中率相同，∴10 15 =a 18a=12．b=18-12=6．a-b=12-6=6，故①错误．a+b=12+6=18，故②正确．a：b=12：6=2：1，故③正确．a：18=12：18=2：3，故④正确．故答案为：②③④．1213、因为等腰三角形的两个内角的度数之比为a:b 所以当∠A和∠B为底角时，a:b=1当∠A为顶角时，因为这个三角形是钝角三角形所以∠A>90°，∠B<45°所以a:b>2同理可知当∠B为顶角时，0<a:b<1/2所以综上所述：0<a:b<1/2或a:b=1或a:b>2。

奥数四大杯赛介绍

1、华杯赛权威性：★★★★★难易度：★★★★☆参赛对象：小学五、六年级学生、初中一年级学生初赛时间：每年3月中、下旬复赛时间：每年4月中、下旬全国总决赛：一般每年七月份在广东省举行，由于总决赛时间太晚，故对小升初作用不大。

竞赛特色：设置主观题，第十一届以前初赛通过电视直播的形式进行考核，从十一届开始开始采取试卷答题。

报名截止时间：每年12月底华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版社）、中国优选法、统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起主办的。

华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。

第一届华杯赛甚至在人民大会堂颁奖，其权威性可见一斑！但比较尴尬的是由于华杯难度大，进入复赛和总决赛的人数较少，就小升初角度来说，华杯参考范围也就相对小了很多。

因此现在很多家长觉得华杯赛对小升初作用不大，其实这绝对是一个误解。

华杯赛获奖对小升初作用非常大，只是获奖难度较大、人数较少而已。

所以事实上只要您的孩子奥数够强，华杯赛将是他证明奥数能力的最优途径。

有一个最好的证明就是：人大附中每年都要抄录华杯赛复赛一等奖名单，然后私下联系签约！华杯赛作为目前全国最权威的小学数学比赛，备受北京市各重点中学的认可。

2008年华杯赛北京赛区一、二、三等奖的获奖同学受到了人大附中、北京四中、实验中学、清华附中、101中学等名校的青睐，甚至单凭优异的华杯赛获奖成绩就可以顺利进入这些名校。

2、走进美妙的数学花园（3-6年级）权威性：★★★★☆举办方：中国少年科学院；中国青少年发展服务中心；全国“青少年走进科学世界”科普活；动指导委员会办公室；走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛组委会。

难易度：★★★★★参赛对象：从小学三年级到初中三年级学生笔试时间：每年3月中、上旬获奖率：一等奖5%，二等奖10%，三等奖15%。

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二(八年级)第2试试题及答案

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试2013年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）（A ）正方形（B ）矩形 C ）菱形（D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b c x a b c =+-的值有（）（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（）（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）（A ）是2019年，（B ）是2031年，（C ）是2043年，（D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（）（A ）16小时（B ）7158小时（C ）151516小时（D ）17小时 )10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）（A ）48人（B ）45人（C ）44人（D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+|+2()a b c -+的结果是＿＿＿ 12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。

第3届希望数学邀请赛初二第2试试题答案 word版下载

希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。

分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m ＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．因此x与y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．。

希望杯试题分析

从上表可以看出，题型主要以计算，行程工程问题，基本应用题，几何等基本问题为主，
并没有太多复杂的问题，可见，希望杯是非常重视基础内容的。
一、希望杯必考专题之一－－－－－－－－计算问题
１、计算题的概述：计算题是考察学生的计算能力的技巧，如考察使用乘法分配律的应用、分数的拆分、分组巧算、高斯求和公式等。２、真题回放：（1）２００８×２００６＋２００７×２００５－２００７×２００６－２００８×２００５＝＿＿＿＿＿＿。（２００７四年级邀请赛第１试）分析：此题考察学生的分组巧算和乘法结合律的应用。解：原式=２００８×２００６－２００７×２００６＋２００７×２００５－２００８×２００５＝（２００８－２００７）×２００６＋（２００７－２００８）×２００５＝（２００８－２００７）×２００６－（２００８－２００７）×２００５＝（２００８－２００７）×（２００６－２００５）＝１×１＝１（2） ( 2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011) ÷ 2008 = ＿＿＿＿（２００８年四年级邀请赛第ｌ试）分析：此题考察了学生的公式应用，可用等差数列求和公式或者中项定理都可以求出
• •
循环节的数位有６位，首位是０，末尾是９方法二：令 M= 0. 2 4 ，Ｎ＝ 2. 814 ，则可以看出Ｍ是两位循环节，Ｎ是三位循环节，所以可以因［２，３］＝６可取１２位循环部分找规律，Ｍ＝０．２４２４２４２４２４２４２４２４……，Ｎ＝２．１８４１８４１８４１８４…… 则Ａ＝３．０５７２３９０５７２３９……所以每个循环节的数位有６位，首位是０，末尾是９

“希望杯”全国数学邀请赛简介

“希望杯”全国数学邀请赛简介这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。

22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。

这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。

该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。

到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。

“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。

据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。

第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。

第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。

对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。

⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。

近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。

希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。

★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。

喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。

初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题25 配方法

【例 6】已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.

第二十四届希望杯初二第2试试题及答案解析

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题2013年4月14日上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。

答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：http ://www .hopecup .org “希望杯”微博：http ://e .weibo .com /xiwangbei 《数理天地》官方网站：http ://www .mpw 《数理天地》微博：http ://e .weibo .com /shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。

一、选择题(每小题4分，共40分)1．在无理数5、6、7、8中，介于8+12与26+12之间的数有( ) (A )1个． (B )2个． (C )3个．(D )4个． 2．已知x +1x =6(0＜x ＜1)，则x -1x的值是( ) (A )-5． (B )-2． (C )5． (D )2．3．有3个正整数a ，b ，c ，并且a ＞b ＞c ，从中任取2个，有3种不同的取法，将每一种取法取出的2个数分别作和及作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a 2+b 2+c 2的值是( )(A )12532 ． (B )12533． (C )12534 ． (D )12535．4．已知有理数a ，b ，x ，y 满足ax +by =3，ay -bx =5，那么(a 2+b 2)(x 2+y 2)的值是( )(A )225． (B )75． (C )54． (D )34．5．Among all the following points ，which one is on the graph of function y =x 2-2x -3?( )(A )(1，-3) (B )(0，3) (C )(-1，0) (D )(-2，1)6．下列命题中，正确的是( )(A )如果三角形三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形．(B )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，那么斜边的长是a 2+b 2．(C )如果三角形三条边长的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形．(D )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，斜边长是c ，那么斜边上的高的长是ab c． 7．甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v 1，v 2，v 3，v 4 ，且v 1＞v 2＞v 3＞v 4＞0，他们沿直跑道进行追逐赛，规则如下：①4人在同一起跑线上，同时同向出发；②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁谁就是冠军．则( )(A )冠军是甲． (B )冠军是乙． (C )冠军是丙． (D )甲、乙、丙同时遇到丁．8．已知直线y =kx +b (k ≠0)与x 轴的交点在x 的正半轴上，则( )(A )k ＞0，b ＞0． (B )k ＜0，b ＜0． (C )kb ＞0． (D )kb ＜0．9．如图1，函数y 1=k 1x +b 和y 2=k 2x 的图象交于点(-1，-2)，则关于x 的不等式k 1x +b ＞k 2x 的解集是( )(A )x ＞-1． (B )x ＜-1． (C )x ＜-2． (D )x ＞-2．10．设q =mn ，p =q +n +q -m ，其中m ，n 是两个连续的自然数(m ＜n )．则p ( )(A )总是奇数． (B )总是偶数．(C )有时是奇数，有时是偶数． (D )有时是有理数，有时是无理数．二、填空题(每小题4分，共40分) 11．已知a =5+2，b =5-2，则a 2+b 2+7的平方根的值是．12．60名学生参加英语测试，若优秀的学生占45%，则在统计图中，表示优秀的扇形的圆心角是图1度；若表示良好的扇形的圆心角是120°，则良好的学生有人．13．若x 1，x 2都满足｜2x -1｜+｜2x +3｜=4，且x 1＜x 2，则x 1-x 2的取值范围是．14．若直线y =2x +b 与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b = ．15．已知a ，b 都是有理数，若不等式(2a -b )x +3a -b ＜0的解集是x ＞14，则不等式(a +3b )x +a -2b ＞0的解集是．16．如图2，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，若△BPD 的面积是3-1，则正方形ABCD 的边长是． 17．直线y =x -1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 是等腰三角形，则满足条件的点C 有个．18．已知x 2-x -1=0，则x 3+x +1x 4= ． 19．如图3，矩形纸片ABCO 平放在xOy 坐标系中，将纸片沿对角线CA向左翻折，点B 落在点D 处，CD 交x 轴于点E ．若CE =5，直线AC 的解析式为y =-12x +m ，则点D 的坐标的坐标是． 20．已知正整数x ，y 满足59＜y x ＜35，则x -y 的最小值是．三、解答题每题都要写出推算过程．21．(本题满分10分)已知m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n )，求m 3-2mn +n 3的值．22．(本题满分15分)As in Figure 4 ，both ∠D =∠E =90° in trapezoid ABCD ．△ABC is an equilateraltriangle with C on DE ．If AD =7 and BE =11，find the area of △ABC ．(英汉词典：trapezoid 梯形；equilateral 等边三角形；area 面积)23．(本题满分15分)有n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，它们满足下列条件：①如果对于其中的任意一个整数a m 都有-a m 不在这n 个整数中，则称这n 个整数满足性质P ； ②若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i +a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“和整数对”；③若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i -a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“差整数对”．回答下列问题：⑴3个整数-1，2，3是否满足性质P ？如果满足性质P ，请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”；⑵若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“差整数对”有k 个，试证明k ≤12n (n -1)； ⑶若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“和整数对”有l 个，“差整数对”有k 个，试证明l =k图2图3Fig ．4第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1．选：D ；【解析】8+12＜9+12=2与26+12＞25+12=3 2．选：B ；【解析】∵0＜x ＜1，则x -1x ＜0，(x -1x )2= x +1x -2=4，x -1x =-2 3．选：C ；【解析】分析大小可得a +b 最大，即a +b =151，a +c 第二大，即a +c =109，而a -b 和b -c 都可能最小，由于a -b 与a +b 具有相同的奇偶性，所以a -b =45，可解得，a =98，b =53，c =114．选：D ；【解析】(ax +by )2=9，(ay -bx )2=25，两式相加得：a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2=34，而(a 2+b 2)(x 2+y 2)= a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2．5．选：C ； 6．选：D ；7．选：C ；【解析】同时反向跑的时候，从前向后依次是丙、乙、甲，而它们三人应该同时相遇于出发地．所以在遇上丁时，丙还在前面．8．选：D ；【解析】-b k＞0，kb ＜0；9．选：B ； 10．选：A ；【解析】p =q +n +q -m =mn +n +mn -m = n (m +1)+m (n -1) = n 2+m 2=m +n ，连续整数的和一定是奇数．二、填空题(第小题4分，共40分)11．±5； 12．162，20；13．-2≤x 1-x 2＜0；【解析】｜x -12｜+｜x +32｜=2，｜x -12｜+｜x +32｜可以表示数轴上表示x 的点与12和-32的两点距离的和．而12和-32的距离是2，所以-32≤x ≤12，所以，x ≥-32-12=-2，又因为x 1＜x 2，x 1-x 2＜0，所以-2≤x 1-x 2＜014．±4；【解析】与两轴的交点为(0，b )，(，0)，12×|b |×|-12b |=4，14b 2=4，b =±4 15．x ＞2347；【解析】由题意得，2a -b ＜0，b -3a 2a -b =14，b =145a ，2a -145a ＜0，a ＞0， (a +3b )x +a -2b ＞0，475ax -235a ＞0，x ＞234716．2；【解析】设正方形的边长为a ，S △BDP = S △BCP + S △CDP -S △BCD =34a 2+14a 2-12a 2=3-1，a 2=4，a =2 17．7；18．1；【解析】x 2= x +1，x 3+x +1x 4 = x (x +1)+x +1(x +1)2 = (x +1)2(x +1)2= 1 19．(245，-125)；【解析】OC =m ，OA =2m ，AE =CE =5，由m 2+(2m -5)2=52，得m =4，AD =OC =4，DE =EO =3，可得D (245，-125) 20．3；【解析】59x ＜y ＜35x ，当x =1时，59＜y ＜35，y 无整数解；当x =2时，119＜y ＜115，y 无整数解；当x =3时，123＜y ＜145，y 无整数解；当x =4时，229＜y ＜225，y 无整数解；当x =5时，279＜y ＜3，y 无整数解；当x =6时，313＜y ＜335，y 无整数解；当x =7时，379＜y ＜415， y =4，x -y =3 三、解答题每题都要写出推算过程．21．(本题满分10分)解：⎩⎨⎧m 2=n +2……①n 2=m +2……② ①-②=(m -n )(m +n )=n -m ，∵m ≠n ，∴m +n =-1 m 3-2mn +n 3=m (n +2)-2mn +n (m +2)=2m +2n =-222．(本题满分15分)解：作AF ⊥BE 于F ，DC =x ，CE =y ．∵AB =AC =BC ，根据勾股定理：x 2+72=y 2+112=(x +y )2+42 ⎩⎨⎧2xy +y 2=33……①2xy +x 2=105……② ①×35-②×11得：35x 2+48xy -11y 2=0，(5y -x )(7y +11x )=0，∵x ＞0，y ＞0∴x =5y 代入：得y 2=3，y =3，x =53，AB 2=(63)2+42=124，S △ABC =34AB 2=31 3 23．(本题满分15分)解：⑴ -1，2，3的相反数分别是1，-2，-3，它们都不在这3个整数中，所以满足性质P ．其中“和整数对”为(-1，3)和(3，-1)；“差整数对”为(2，-1)和(2，3)⑵ 设a m 是这n 个整数中的任意一个，(a m ，a p )是一个有序数对，其中p ≠m ，这样的数对共有n -1个．所以，这n 个数一共有n (n -1)个有序数对．若(a m ，a p )是一个差整数对，则(a p ，a m )一定不是差整数对，否则不满足性质P ．所以，差整数对至多有12 n (n -1)，即k ≤12n (n -1) ⑶ 若任意a m 、a n 、a p 是这n 个整数中的三个，且满足a m +a n =a p ，则(a m ，a n )、(a n ，a m )是两个和整数对记为一组，而(a p ，a m )、(a p ，a n )是对应的两个差整数对也记为一组，那么每一组和整数对都对应着一组差整数对，若和整数对有x 组，l =2x ，则差整数对也一定有x 组，k =2x ，所以l =k 图5。

历届“希望杯”(初二)第二试试题

第十二届“希望杯”（初二）第二试试题一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1．化简代数式322322++-的结果是（） A. 3 B. 12+C. 22+D. 222．已知多项式ax bx cx d 32+++除以x -1时，所得的余数是1，除以x -2时所得的余数是3，那么多项式ax bx cx d 32+++除以()()x x --12时，所得的余式是（）A ．21x - B. 21x + C. x +1 D. x -1 3．已知a <1且||a b a ba -+=，那么（）A. ab <0B. ab >0C. ab ≤0D. a b +<0 4．若||||a c <，b a c b a =+<22，||||，S a b cS b c a12=-=-||||，，S a c b3=-||，则S S S 123、、的大小关系是（）A. S S S 123<<B. S S S 123>>C. S S S 132<<D. S S S 132>>5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，c a b a b 44422=+-，则∆ABC 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 平面内有n 条直线（n ≥2），这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点，则a b +的值是（） A. n n ()-1 B. n n 21-+ C.n n 22- D.n n 222-+8．In fig. 1, let ∆ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and∠=BFC 120, then the magnitude relation between Ad and CE is （）A. AD CE >B. AD CE <C. AD CE =D. indefinite（英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定的）9. 已知两个不同的质数p ，q 满足下列关系：p p m q q m 222001020010-+=-+=，，m 是适当的整数，那么p q 22+的数值是（）A. 4004006B. 3996005C. 3996003D. 400400410．小张上周工作a 小时，每小时的工资为b 元，本周他的工作时间比上周减少10％，而每小时的工资数额增加10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（）A. 增加1%B. 减少1%C. 增加1.5%D. 减少1.5% 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11. 化简：2532306243+--+的结果是_________。

第希望杯初二第2试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ，则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。

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虽然很多学校表示奥数将不再作为小升初升学的参考依据，但是奥数杯赛证书却可以让你的孩子在众多的小升初学生中脱颖而出。

那么哪些奥数杯赛证书的含金量最高？学校更看重哪个杯赛的证书呢？数学加小编今天就来给大家盘点一番，希望可以对家长们起到参考作用。

NO.1 华杯赛含金量指数：★★★★★华杯赛的全称是“华罗庚金杯”少年数学邀请赛。

是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。

华杯赛是目前国内小学阶段规模最大、最正式同时也是难度最高的比赛。

而且今年华杯赛把初赛提前到了12月份，复赛提前到了3月，证书较往年也会大概提前一个月出来，在小升初择校的时候也会起到更大的作用。

因为每年参数的人数很多，所以大部分学校在录取学生时，都会参考。

NO.2 希望杯含金量指数：★★★★其实希望杯数学邀请赛在数学界的地位也是蛮高的，数学加小编也一度在纠结到底是把华杯赛放前面还是把希望杯放前面。

但是由于华杯赛提前的缘故，就只能把希望杯放在第二位了。

虽然希望杯的证书含金量很高（这里特指一等奖），但是证书出来的时间基本上已经到四月底了。

可能已经错过了一些名校的小升初提前招生，所以证书的效用也已经不是特别大了。

当然，如果你们家孩子早在五年级就已经考取了希望杯的一等奖，也是可以哒~NO.3 睿达杯含金量指数：★★★★睿达杯和希望杯是同一个组委会，所以在赛制和组织内容等方面和希望杯都是一样的。

也有很多人因为这个原因也会去报睿达杯试试水。

其实睿达杯小学分语文、数学和英语三个学科，全部加起来报名的人数也是非常多的，所以证书的含金量自然就不用多说啦~NO.4 迎春杯含金量指数：★★★“迎春杯”是北京市的一项传统中小学赛事，开始于1984年，近年来除了北京，其他各地也都有举办。

这个比赛的以题目难度大又灵活而著称。

运用不等式解决最多(至少)问题(高俊元)

运用不等式解决最多（至少）问题考点总体描述：在客观世界中，不等关系是绝对的，相等只是相对的．如说某两人年龄一样大，一般是指同一年出生，很难保证在同一月同一天同一时刻出生．因此不等关系更一般地反映了生产和生活实际中数量之间的关系和规律．在解答销售和利润、比赛得分、形积问题时，不等式模型很有作用，也是每年中考热点问题.①维度06.考点在实际生活中的应用例1：（2011年山东临沂）有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg ，每捆材料中20kg ，电梯最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料．思路分析：第1步：根据题意找出不等关系；第2步：列不等式；第3步：解不等式，求出符合条件的解.解答过程：设该电梯最多还能搭载x 捆材料，依题意，得，20x+210≤1050，x ≤42，故该电梯最多还能搭载42捆材料.本例题总结：解答这类不等问题的关键是找等量关系，要特别关注题目中的一些关键词，如最大，不超过，不多于等等.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2：（1995年希望杯第六届初中一年级第二试试题）某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道选择题，答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得（）A ．80分B ．76分C ．75分D ．64分思路分析：第1步：分析题意的基础上找不等关系，即；第2步：列不等式；第3步：解不等式. 解答过程：设在模拟考试中至少要得x 分，则在模拟考试中至少做对4x 道题，做错或不会做的题至多是（25-4x ）道，在正式考试中要出现模拟考试中80分的试题，即80÷4=20道题，如果最坏的可能，即其余20分题（5道新题）某人全不会做，而且模拟考试中（25-4x ）道失分的题又全出现在正式考试试题之中，并且该生在模拟考试后也没能复习纠错，仍按错误答案在正规考试中失分，这时该生只能从20-（25-4x ）道题中取得及格分，即[20-（25-4x ）]×4≥60，解得x≥80．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分，故选A ．本例题总结：本题以考试得分为题材编制的应用题，解题关键是找准不等关系.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例3：（2010年山东东营）如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.（1）设课本的长为a cm ，宽为b cm ，厚为c cm ，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm ，用含a ，b ，c 的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；思路分析：第1步：理解题意的基础上由图可知满足要求的矩形包书纸的长等于课本的宽乘于2加上折叠进去的宽度3×2加上课本的厚度；满足要求的矩形包书纸的宽等于课本的长加上折叠进去的宽度3×2；第2步：按照包字典时包书纸的长与字典的长方向一致或包书纸与字典的宽方向一致两种情况讨论.解答过程：（1）矩形包书纸的长为：（2b +c +6）cm ，矩形包书纸的宽为（a +6）cm.(2)设折叠进去的宽度为x cm ，分两种情况：①当字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意，得⎩⎨⎧≤++⨯≤+.4326216,26219x x 解得x ≤2.5. 所以不能包好这本字典.②当字典的长与矩形纸的长方向一致时，同理可得x ≤-6. 所以不能包好这本字典. 综上，所给矩形纸不能包好这本字典.本例题总结：本题利用学生开学时都喜欢将新书包好为素材，要求学生发现图形中的数量规律并利用不等式组的知识解决.同时渗透分类讨论思想.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：随讲随练：1.（2011湖北襄阳）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记5-分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对道题. 解析：设小明至少答对x 道题，则答错（或不答）（20－x ）道题.根据题意可得100)20(510≥--x x ，解得3113≥x ，所以x 的最小整数值为14. 答案：142.（2002年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛）数学小组中男孩子人数大于小组总人数的40%且小于50%，则这个数学小组的成员至少有_______人.解析：设小组总人数为x ，男生为y.∴4050100100x y x <<，即2152x y x <<∴2512y xy x⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴522x yx y⎧>⎪⎨⎪>⎩对y取1、2、3整数，经验证，当y=3时，1562x<<，整数x为7，所以数学小组成员至少为7人，填7.答案：7②维度08.不等式实际应用常见错例一、设列不符错解：设小明至少答对x道题，根据题意，得4x-1×（25-x）≥85解这个不等式，得x≥22所以小明至少答对了22道题．剖析：如果设他至少答对x道题，则应列方程，因为“至少”表示的一个确切的值，而不是一个范围，本题应设“小明答对了x道题”．正解：设小明答对了x道题，根据题意，得4x-1×（25-x）≥85解这个不等式，得x≥22所以小明至少答对了22道题．二、确定区间时忽略实际意义例2：一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数与玩具数.错解：设有x个小朋友，则玩具的个数是（3x+4），根据题意，得3x+4-4（x-1）＜3解得、x＞5剖析：错解忽略了问题的实际意义，最后一个小朋友得到的玩具数最少是0个，正解：设有x个小朋友，则玩具的个数是（3x+4），根据题意，得0≤3x +4-4（x-1）＜3解得、5＜x≤8所以，小朋友的人数是x=6、7、8相应的玩具数是、3x+4=22、25、29三、缺少生活常识错解：设参加合影的同学有x人，根据题意，得0.6+0.4(x-1)≤0.5x解得，x≥2所以参加合影的同学至少有2人，剖析：有些同学平时不注意生活常识的积累，以为拍照时不需要冲洗就已经得到了一张照片，故误认为还需印(x-1)张，而实际需印x 张.正解：设参加合影的同学有x 人，根据题意，得0.6+0.4x ≤0.5x解得，x ≥6所以参加合影的同学至少有6人，四、不理解题中关健词语错解：设从甲地到乙地的路程是x 千米，根据题意，得13.4-1.2＜5+1.2(x-3)≤13.4解得、9＜x ≤10剖析：错解没有理解题中给出的条件，当3千米以内时付5元，达到3千米时应付6.2元，而不是5元，.正解：设从甲地到乙地的路程是x 千米，根据题意，得13.4≤5+1.2+1.2(x-3) ＜14.6解得、9≤x ＜10所以，从甲地到乙地的路程大于或等于9千米，小于10千米．随讲随练：解析:根据题意列不等式求解.答案：设在先数出50个球之后，恰x 次8个球，依题意得49+7x≥90%（50+8x ） ∴x≤20，50+8x≤5+8×20＝210，这堆球最多有210个.2.学生若干人住若干间住4人还余19人，如果每间住6人将有一间宿舍不满不空，求宿舍间数和学生人数。

奥数行程问题-火车过桥与错车超车问题

行程问题-火车过桥与错车超车问题【例题1】★一列列车长150米,每秒钟行19米。

问全车通过420米的大桥，需要多少时间？【分析与解】如图，列车过桥所行距离为：车长＋桥长。

（420＋150）÷19=30（秒）答：列车通过这座大桥需要30秒钟。

【例题2】★一列车通过530米的隧道要40秒钟，以同样的速度通过380米的大桥要用30秒钟。

求这列车的速度及车长。

【分析与解】列车过隧道比过桥多行（530－380）米，多用（40－30）秒。

列车的速度是：（530－380）÷（40－30）=15（米/秒）列车的长度是：15×40－530=70（米）答：列车每秒行15米，列车长70米。

【例题3】★★火车通过长为102米的铁桥用了24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

求火车原来的速度和它的长度。

【考点分析】如果火车仍用原速，那么通过隧道要用36秒。

【分析与解】列车原来的速度是（222－102）÷（18×2－24）=10（米/秒）火车长为10×24-102=138（米）答：列车原来每秒行10米，车长为138米。

【例题4】★★一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒钟。

已知每辆车长5米，两车间隔10米，问这个车队共有多少辆车？火车过桥是一种特殊的行程问题。

需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长。

列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。

火车过桥问题：（1）解题思路：先车速归一，再用公式“桥长之差÷时间之差=归一后的车速”，即=V t S ⨯差差，（2）画示意图，分析求解。

列车所行路程为车头到车头或车尾到车尾的距离，而不是车头到车尾的距离。

（3）与追及问题的区另：追及问题所用公式=V t S ⨯差差，要求时间归一。

关于S=Vt 公式的拓展初步探讨：(1)S=vt =(2) S =v t = (3) S =v t = (4) S =vt = S vt ⨯⨯=⇒⨯⨯和和差差差差行程问题：路程速度时间相遇问题：路程和速度和时间（时间归一，能求路程和）追及问题：路程差速度差时间（时间归一，能求路程差）火车过桥：路程差车速度时间差（速⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩度归一，求出车速）火车过桥好题精讲火车过桥问题【分析与解】4×115－200=260（米）……队伍长（260－5）÷（10＋5）＋1=18（辆）答：这个车队共用18辆车。