算法分析习题解答1[1]

2-34、Gray码是一个长度为2n的序列。

序列中无相同元素。

每个元素都是长度为n位的串。

相邻元素恰好只有一位不同。

用分治策略设计一个算法对任意的n构造相应的Gray码。

答：设序列中元素由0、1组成。

当 n=1 时 Gray码的序列有2个元素（21=2），分别为：0，| 1
当 n=2 时 Gray码的序列有4个元素（22=4），分别为：00，10，| 11，01
当 n=3 时 Gray码的序列有8个元素（23=8），分别为：
000，100，110，010，| 011，111，101，001
当 n=4 时 Gray码的序列有16个元素（24=16），分别为：
0000，1000、1100、0100，0110，1110，1010，0010，| 0011，1011，1111，0111，0101，1101，1001，0001
从上面的列举可得如下规律：n=k时，Gray码的序列有2k个元素，分别为：n=k-1时的Gray码元素正向后加0，得前2k-1个元素，反向后加1的后2k-1个元素。

如 n=2时 Gray码序列的4个元素分别为：00，10， 11，01
当 n=3 时 Gray码序列的前4个元素（23=8），分别为：000，100，110，010
是n=2时Gray码四个元素正向后加0，即：000，100， 110，010
Gray码序列的后4个元素（23=8），分别为：011，111，101，001 是n=2时Gray码四个元素反向后加1，
n=2时Gray码四个元素：00，10， 11，01
即：011，111，101，001
可以看出，Gray码可以用分治策略，递归实现，2n的Gray码可以用2n-1的Gray码构成。

算法描述：
void Gray( type a[],int n)
{ char a[];
if (n==1) { a[0]=’0’;a[1]=’1’;}
if (n>1)
{ Gray(a[],n-1);
int k=2n-1-1; //Gray码的个数，因为数组下标从0开始
int i=k;
for (int x=k;x>=0;x--)
{char y=a[x];
a[x]=y+’0’;
a[i+1]=y+’1’; i++;
}
}
}
3-7 给定由n个英文单词组成的一段文章，……
答：设由n 个单词组成的一段文章可以表示为 A[1:n]，它的“漂亮打印”方案记为B[1:n]，构成该最优解的最小空格数（最优值）记为m[1][n]
（1）分析最优解的结构：
A[1:n]的最优解B[1:n]，必然在第k个单词处断开，那么A[1:k]是“漂亮打印”，并且A[k+1:n]也是“漂亮打印”。

故m[1][n]最小时有m[1][n]=m[1][k]+m[k+1][n] ，m[1][k]是A[1:k]的最小值，m[k+1][n]是A[k+1:n]的最小值。

因此，原问题的最优解包含其子问题
的最优解，具有最优子结构性质。

（2）建立递归关系：
第一行，row=1，最漂亮的打印字符数∑
=
-+
1
1
1 1
j
k
j ik
最小空格数 m[1][j1]=M-(∑
=
-+
1
1
1 1
j
k
j
ik)
第二行，row=2，最漂亮的打印字符数∑
+
=
-
-
+
2
1 1
1
1
2
j
j k
j
j
ik
最小空格数m[j1+1][j2]=M-(∑
+
=
-
-
+
2
1 1
1
1
2
j
j k
j
j
ik)
那么，m[1][j2]=2M-∑
=
+ -
2
1
2 2
j
k
j ik
设：sum=i1+k2+……+in+n 为文章中字符的总长度，其中i1,i2,……in分别为n个单词的长度，n为单词之间的空格数。

M是一行可以输出的字符数
该文章可能输出的行数约为：sum/M+1 (由于最后一行除外，故可能需处理的行数为sum/M行。

第sum/M行时，row=sum/M
最小空格数m[1][jx]=sum/M*M-∑
=
+ -
jx
k
M
sum
jx
ik
1
/ (1<=x<=n)
1.当i=j时，A[i:i]=A[i]，m[i][j]=0，表示一个单词，没有空格。

2.当i<j时，利用最优子结构性质计算m[i][j]
若A[i:j]的最优解在A k和A k+1处断开，i<=k<j，则
m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]}，此时，k只有j-i中可能，k是使m[i][j]
达到最小的那个位置。

从而m[i][j]可以递归地定义为：
m[i][j]= //上面两个式子
m[i][j]给出了最优值，即A[i:j]的最小空格数
若将对应于m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解
（3）计算最优值
算法：
void f(int n, int **m, int **s, int sum, int M)
{ for(int i=1;i<=n;i++) m[i][j]=0;
for(int row=1;row<=sum/M;row++)
{ i=1;
for (int r=2;r<=n;r++)
{ j=i+r-1;
m[i][j]=row*M-j+row-(i1+i2+……ik)
if (m[i][j]<0) break;
s[i][j]=j;
for (int k=i+1;k<j);k++)
{ t=m[i][k]+m[k+1][j];
if (t<m[i][j]) {m[i][j]=t;s[i][j]=k;}
}
}
};x=j-1;
}
（4）构造最优解
算法描述：void T(int *B, int **s, int x)
{ y=1;
do
b[y]=s[1][x];
x=b[y];
y=y+1;
while (x<>1)
do
printf(“%d,”,b[y]);
y--;
while (y>0)
}。