算法分析实验
算法实验报告结果分析
一、实验背景随着计算机科学技术的不断发展,算法作为计算机科学的核心内容之一,其重要性日益凸显。
为了验证和评估不同算法的性能,我们进行了一系列算法实验,通过对比分析实验结果,以期为后续算法研究和优化提供参考。
二、实验方法本次实验选取了三种常见的算法:快速排序、归并排序和插入排序,分别对随机生成的数据集进行排序操作。
实验数据集的大小分为10000、20000、30000、40000和50000五个级别,以验证算法在不同数据量下的性能表现。
实验过程中,我们使用Python编程语言实现三种算法,并记录每种算法的运行时间。
同时,为了确保实验结果的准确性,我们对每种算法进行了多次运行,并取平均值作为最终结果。
三、实验结果1. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法,其平均时间复杂度为O(nlogn)。
从实验结果来看,快速排序在所有数据量级别下均表现出较好的性能。
在数据量较小的10000和20000级别,快速排序的运行时间分别为0.05秒和0.1秒;而在数据量较大的40000和50000级别,运行时间分别为0.8秒和1.2秒。
总体来看,快速排序在各个数据量级别下的运行时间均保持在较低水平。
2. 归并排序归并排序是一种稳定的排序算法,其时间复杂度也为O(nlogn)。
实验结果显示,归并排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.15秒和0.25秒,而在数据量较大的40000和50000级别,运行时间分别为1.5秒和2.5秒。
与快速排序相比,归并排序在数据量较小的情况下性能稍逊一筹,但在数据量较大时,其运行时间仍然保持在较低水平。
3. 插入排序插入排序是一种简单易实现的排序算法,但其时间复杂度为O(n^2)。
实验结果显示,插入排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.3秒和0.6秒,而在数据量较大的40000和50000级别,运行时间分别为8秒和15秒。
可以看出,随着数据量的增加,插入排序的性能明显下降。
数据结构与算法分析实验报告
数据结构与算法分析实验报告一、实验目的本次实验旨在通过实际操作和分析,深入理解数据结构和算法的基本概念、原理和应用,提高解决实际问题的能力,培养逻辑思维和编程技巧。
二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python,使用的开发工具为 PyCharm。
操作系统为 Windows 10。
三、实验内容(一)线性表的实现与操作1、顺序表的实现使用数组实现顺序表,包括插入、删除、查找等基本操作。
通过实验,理解了顺序表在内存中的存储方式以及其操作的时间复杂度。
2、链表的实现实现了单向链表和双向链表,对链表的节点插入、删除和遍历进行了实践。
体会到链表在动态内存管理和灵活操作方面的优势。
(二)栈和队列的应用1、栈的实现与应用用数组和链表分别实现栈,并通过表达式求值的例子,展示了栈在计算中的作用。
2、队列的实现与应用实现了顺序队列和循环队列,通过模拟银行排队的场景,理解了队列的先进先出特性。
(三)树和二叉树1、二叉树的遍历实现了先序、中序和后序遍历算法,并对不同遍历方式的结果进行了分析和比较。
2、二叉搜索树的操作构建了二叉搜索树,实现了插入、删除和查找操作,了解了其在数据快速查找和排序中的应用。
(四)图的表示与遍历1、邻接矩阵和邻接表表示图分别用邻接矩阵和邻接表来表示图,并比较了它们在存储空间和操作效率上的差异。
2、图的深度优先遍历和广度优先遍历实现了两种遍历算法,并通过对实际图结构的遍历,理解了它们的应用场景和特点。
(五)排序算法的性能比较1、常见排序算法的实现实现了冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序等常见的排序算法。
2、算法性能分析通过对不同规模的数据进行排序实验,比较了各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度。
四、实验过程及结果(一)线性表1、顺序表在顺序表的插入操作中,如果在表头插入元素,需要将后面的元素依次向后移动一位,时间复杂度为 O(n)。
删除操作同理,在表头删除元素时,时间复杂度也为 O(n)。
算法性能实验报告
一、实验目的本次实验旨在通过对比分析几种常用排序算法的性能,深入了解各种算法在不同数据规模和不同数据分布情况下的时间复杂度和空间复杂度,为实际应用中算法的选择提供参考。
二、实验环境- 操作系统:Windows 10- 编程语言:C++- 编译器:Visual Studio 2019- 测试数据:随机生成的正整数序列三、实验内容本次实验主要对比分析了以下几种排序算法:1. 冒泡排序(Bubble Sort)2. 选择排序(Selection Sort)3. 插入排序(Insertion Sort)4. 快速排序(Quick Sort)5. 归并排序(Merge Sort)6. 希尔排序(Shell Sort)四、实验方法1. 对每种排序算法,编写相应的C++代码实现。
2. 生成不同规模(1000、5000、10000、50000、100000)的随机正整数序列作为测试数据。
3. 对每种排序算法,分别测试其时间复杂度和空间复杂度。
4. 对比分析不同算法在不同数据规模和不同数据分布情况下的性能。
五、实验结果与分析1. 时间复杂度(1)冒泡排序、选择排序和插入排序的平均时间复杂度均为O(n^2),在数据规模较大时性能较差。
(2)快速排序和归并排序的平均时间复杂度均为O(nlogn),在数据规模较大时性能较好。
(3)希尔排序的平均时间复杂度为O(n^(3/2)),在数据规模较大时性能优于冒泡排序、选择排序和插入排序,但不如快速排序和归并排序。
2. 空间复杂度(1)冒泡排序、选择排序和插入排序的空间复杂度均为O(1),属于原地排序算法。
(2)快速排序和归并排序的空间复杂度均为O(n),需要额外的空间来存储临时数组。
(3)希尔排序的空间复杂度也为O(1),属于原地排序算法。
3. 不同数据分布情况下的性能(1)对于基本有序的数据,快速排序和归并排序的性能会受到影响,此时希尔排序的性能较好。
(2)对于含有大量重复元素的数据,快速排序的性能会受到影响,此时插入排序的性能较好。
算法实验报告
算法实验报告算法实验报告引言:算法是计算机科学的核心内容之一,它是解决问题的方法和步骤的描述。
算法的设计和分析是计算机科学与工程中的重要研究方向之一。
本实验旨在通过对算法的实际应用和实验验证,深入理解算法的性能和效果。
实验一:排序算法的比较在本实验中,我们将比较三种常见的排序算法:冒泡排序、插入排序和快速排序。
我们将通过对不同规模的随机数组进行排序,并记录每种算法所需的时间和比较次数,以评估它们的性能。
实验结果显示,快速排序是最快的排序算法,其时间复杂度为O(nlogn),比较次数也相对较少。
插入排序的时间复杂度为O(n^2),比较次数较多,但对于小规模的数组排序效果较好。
而冒泡排序的时间复杂度也为O(n^2),但比较次数更多,效率相对较低。
实验二:图的最短路径算法在图的最短路径问题中,我们将比较Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的效率和准确性。
我们将使用一个带权有向图,并计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
实验结果表明,Dijkstra算法适用于单源最短路径问题,其时间复杂度为O(V^2),其中V为顶点数。
而Floyd-Warshall算法适用于多源最短路径问题,其时间复杂度为O(V^3)。
两种算法在准确性上没有明显差异,但在处理大规模图时,Floyd-Warshall算法的效率较低。
实验三:动态规划算法动态规划是一种通过将问题分解成子问题并记录子问题的解来解决复杂问题的方法。
在本实验中,我们将比较两种动态规划算法:0-1背包问题和最长公共子序列问题。
实验结果显示,0-1背包问题的动态规划算法可以有效地找到最优解,其时间复杂度为O(nW),其中n为物品个数,W为背包容量。
最长公共子序列问题的动态规划算法可以找到两个序列的最长公共子序列,其时间复杂度为O(mn),其中m和n分别为两个序列的长度。
结论:通过本次实验,我们对不同算法的性能和效果有了更深入的了解。
排序算法中,快速排序是最快且效率最高的;在图的最短路径问题中,Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法分别适用于不同的场景;动态规划算法可以解决复杂的问题,并找到最优解。
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号:**************姓名:*************班级:*************日期:2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型,并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析,以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务:以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案,本次实验成绩按百分制计,完成各小题的得分如下,每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
(30分)2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
(30分)3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
(40分)提交结果:算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数:";cin>>n;cout<<"请输入数据:";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列:"<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号:**************姓名:*************班级:*************日期:2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析,以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务:从以下题目中任选一题完成,要求应用递归与分治策略设计解决方案。
信息算法分析实验报告
一、实验目的1. 理解信息算法的基本概念和原理。
2. 掌握信息算法的常见类型及其应用场景。
3. 学习如何分析算法的复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度。
4. 通过实际操作,提高运用信息算法解决实际问题的能力。
二、实验内容本次实验主要围绕以下内容展开:1. 排序算法:选择排序、冒泡排序、插入排序、快速排序、归并排序、堆排序等。
2. 查找算法:顺序查找、二分查找、散列表查找等。
3. 动态规划:0-1背包问题、最长公共子序列问题等。
4. 贪心算法:活动选择问题、背包问题等。
三、实验过程1. 选择排序:通过交换元素的位置,将数组排序。
时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(1)。
```cvoid selectionSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int min_idx = i;for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (arr[j] < arr[min_idx]) {min_idx = j;}}swap(&arr[min_idx], &arr[i]);}}```2. 快速排序:选取一个基准元素,将数组分为两部分,使得左边的元素都比基准小,右边的元素都比基准大。
时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(logn)。
```cint partition(int arr[], int low, int high) {int pivot = arr[high];int i = (low - 1);for (int j = low; j <= high - 1; j++) {if (arr[j] < pivot) {i++;swap(&arr[i], &arr[j]);}}swap(&arr[i + 1], &arr[high]);return (i + 1);}void quickSort(int arr[], int low, int high) {if (low < high) {int pi = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pi - 1);quickSort(arr, pi + 1, high);}}```3. 动态规划解决0-1背包问题:给定一个背包容量和若干物品,每个物品有一个价值和重量,求解背包中物品的最大价值。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的:通过本次实验,掌握回溯法的基本原理和应用,能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容:1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”,又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解,直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始,搜索可行解步骤,一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步,重新进行搜索,直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题,如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型:一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解;另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况,大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路(1)问题分析:首先需要对问题进行分析,确定可行解空间和搜索策略;(2)状态表示:将问题的每一种状况表示成一个状态;(3)搜索策略:确定解空间的搜索顺序;(4)搜索过程:通过逐步试探,不断扩大搜索范围,更新当前状态;(5)终止条件:在搜索过程中,如果找到了满足要求的解,或者所有的可行解空间都已搜索完毕,就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后,使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程:回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝,避免搜索无用的解;因此,对于八皇后问题,需要建立一个二维数组来存放棋盘状态,以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索,按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后,如果可以,则在相应的位置标记皇后,并递归到下一行;如果不能,则回溯到上一行,重新搜索。
当搜索到第八行时,获取一组解并返回。
代码实现:```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果:当 n=4 时,求得的所有可行解如下:```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题,掌握了回溯法的基本原理和应用,并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
算法课设实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景与目的随着计算机技术的飞速发展,算法在计算机科学中扮演着至关重要的角色。
为了加深对算法设计与分析的理解,提高实际应用能力,本实验课程设计旨在通过实际操作,让学生掌握算法设计与分析的基本方法,学会运用所学知识解决实际问题。
二、实验内容与步骤本次实验共分为三个部分,分别为排序算法、贪心算法和动态规划算法的设计与实现。
1. 排序算法(1)实验目的:熟悉常见的排序算法,理解其原理,比较其优缺点,并实现至少三种排序算法。
(2)实验内容:- 实现冒泡排序、快速排序和归并排序三种算法。
- 对每种算法进行时间复杂度和空间复杂度的分析。
- 编写测试程序,对算法进行性能测试,比较不同算法的优劣。
(3)实验步骤:- 分析冒泡排序、快速排序和归并排序的原理。
- 编写三种排序算法的代码。
- 分析代码的时间复杂度和空间复杂度。
- 编写测试程序,生成随机测试数据,测试三种算法的性能。
- 比较三种算法的运行时间和内存占用。
2. 贪心算法(1)实验目的:理解贪心算法的基本思想,掌握贪心算法的解题步骤,并实现一个贪心算法问题。
(2)实验内容:- 实现一个贪心算法问题,如活动选择问题。
- 分析贪心算法的正确性,并证明其最优性。
(3)实验步骤:- 分析活动选择问题的贪心策略。
- 编写贪心算法的代码。
- 分析贪心算法的正确性,并证明其最优性。
- 编写测试程序,验证贪心算法的正确性。
3. 动态规划算法(1)实验目的:理解动态规划算法的基本思想,掌握动态规划算法的解题步骤,并实现一个动态规划算法问题。
(2)实验内容:- 实现一个动态规划算法问题,如背包问题。
- 分析动态规划算法的正确性,并证明其最优性。
(3)实验步骤:- 分析背包问题的动态规划策略。
- 编写动态规划算法的代码。
- 分析动态规划算法的正确性,并证明其最优性。
- 编写测试程序,验证动态规划算法的正确性。
三、实验结果与分析1. 排序算法实验结果:- 冒泡排序:时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(1)。
算法分析与设计实验报告合并排序快速排序
算法分析与设计实验报告:合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分,它涉及到解决问题的方法和步骤。
合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。
本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验,通过对比它们的性能和效率,以期得出最优算法。
二、合并排序合并排序是一种分治算法,它将原始数组不断分解为更小的数组,直到最后细分为单个元素。
然后,再将这些单个元素两两合并,形成一个有序数组。
合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。
1. 算法步骤(1)将原始数组分解为更小的子数组,直到每个子数组只有一个元素;(2)两两合并相邻的子数组,同时进行排序,生成新的有序数组;(3)重复步骤(2),直到生成最终的有序数组。
2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn),其中n为待排序数组的长度。
无论最好情况还是最坏情况,合并排序的复杂度都相同。
合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组,所以空间复杂度为O(n)。
三、快速排序快速排序也是一种分治算法,它将原始数组根据一个主元(pivot)分成两个子数组,一个子数组的元素都小于主元,另一个子数组的元素都大于主元。
然后,递归地对这两个子数组进行排序,最后得到有序数组。
快速排序的核心操作是划分。
1. 算法步骤(1)选择一个主元(pivot),可以是随机选择或者固定选择第一个元素;(2)将原始数组根据主元划分为两个子数组,一个子数组的元素都小于主元,另一个子数组的元素都大于主元;(3)递归地对这两个子数组进行快速排序;(4)重复步骤(2)和(3),直到每个子数组只有一个元素,即得到最终的有序数组。
2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn),其中n为待排序数组的长度。
最坏情况下,当每次选择的主元都是最小或最大元素时,时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是原地排序,不需要额外的存储空间,所以空间复杂度为O(1)。
四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率,我们设计以下实验:1. 实验目的:比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。
FFT算法分析实验实验报告
FFT算法分析实验实验报告一、实验目的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)是数字信号处理中一种非常重要的算法。
本次实验的目的在于深入理解 FFT 算法的基本原理、性能特点,并通过实际编程实现和实验数据分析,掌握 FFT 算法在频谱分析中的应用。
二、实验原理FFT 算法是离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)的快速计算方法。
DFT 的定义为:对于长度为 N 的序列 x(n),其 DFT 为X(k) =∑n=0 到 N-1 x(n) e^(j 2π k n / N) ,其中 j 为虚数单位。
FFT 算法基于分治法的思想,将 N 点 DFT 分解为多个较小规模的DFT,从而大大减少了计算量。
常见的 FFT 算法有基 2 算法、基 4 算法等。
三、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python,主要依赖 numpy 库来实现 FFT 计算和相关的数据处理。
四、实验步骤1、生成测试信号首先,生成一个包含不同频率成分的正弦波叠加信号,例如100Hz、200Hz 和 300Hz 的正弦波。
设定采样频率为 1000Hz,采样时间为 1 秒,以获取足够的采样点进行分析。
2、进行 FFT 计算使用 numpy 库中的 fft 函数对生成的测试信号进行 FFT 变换。
3、频谱分析计算 FFT 结果的幅度谱和相位谱。
通过幅度谱确定信号中各个频率成分的强度。
4、误差分析与理论上的频率成分进行对比,计算误差。
五、实验结果与分析1、幅度谱分析观察到在 100Hz、200Hz 和 300Hz 附近出现明显的峰值,对应于生成信号中的频率成分。
峰值的大小反映了相应频率成分的强度。
2、相位谱分析相位谱显示了各个频率成分的相位信息。
3、误差分析计算得到的频率与理论值相比,存在一定的误差,但在可接受范围内。
误差主要来源于采样过程中的量化误差以及 FFT 算法本身的近似处理。
算法与分析实验报告
算法与分析实验报告一、引言算法是现代计算机科学中的核心概念,通过合理设计的算法可以解决复杂的问题,并提高计算机程序的执行效率。
本次实验旨在通过实际操作和数据统计,对比分析不同算法的执行效率,探究不同算法对于解决特定问题的适用性和优劣之处。
二、实验内容本次实验涉及两个经典的算法问题:排序和搜索。
具体实验内容如下:1. 排序算法- 冒泡排序- 插入排序- 快速排序2. 搜索算法- 顺序搜索- 二分搜索为了对比不同算法的执行效率,我们需要设计合适的测试用例并记录程序执行时间进行比较。
实验中,我们将使用随机生成的整数数组作为排序和搜索的测试数据,并统计执行时间。
三、实验步骤1. 算法实现与优化- 实现冒泡排序、插入排序和快速排序算法,并对算法进行优化,提高执行效率。
- 实现顺序搜索和二分搜索算法。
2. 数据生成- 设计随机整数数组生成函数,生成不同大小的测试数据。
3. 实验设计- 设计实验方案,包括测试数据的规模、重复次数等。
4. 实验执行与数据收集- 使用不同算法对随机整数数组进行排序和搜索操作,记录执行时间。
- 多次重复同样的操作,取平均值以减小误差。
5. 数据分析与结果展示- 将实验收集到的数据进行分析,并展示在数据表格或图表中。
四、实验结果根据实验数据的收集与分析,我们得到以下结果:1. 排序算法的比较- 冒泡排序:平均执行时间较长,不适用于大规模数据排序。
- 插入排序:执行效率一般,在中等规模数据排序中表现良好。
- 快速排序:执行效率最高,适用于大规模数据排序。
2. 搜索算法的比较- 顺序搜索:执行时间与数据规模成线性关系,适用于小规模数据搜索。
- 二分搜索:执行时间与数据规模呈对数关系,适用于大规模有序数据搜索。
实验结果表明,不同算法适用于不同规模和类型的问题。
正确选择和使用算法可以显著提高程序的执行效率和性能。
五、实验总结通过本次实验,我们深入了解了不同算法的原理和特点,并通过实际操作和数据分析对算法进行了比较和评估。
聚类分析算法实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景聚类分析是数据挖掘中的一种重要技术,它将数据集划分成若干个类或簇,使得同一簇内的数据点具有较高的相似度,而不同簇之间的数据点则具有较低相似度。
本实验旨在通过实际操作,了解并掌握聚类分析的基本原理,并对比分析不同聚类算法的性能。
二、实验环境1. 操作系统:Windows 102. 软件环境:Python3.8、NumPy 1.19、Matplotlib 3.3.4、Scikit-learn0.24.03. 数据集:Iris数据集三、实验内容本实验主要对比分析以下聚类算法:1. K-means算法2. 聚类层次算法(Agglomerative Clustering)3. DBSCAN算法四、实验步骤1. K-means算法(1)导入Iris数据集,提取特征数据。
(2)使用Scikit-learn库中的KMeans类进行聚类,设置聚类数为3。
(3)计算聚类中心,并计算每个样本到聚类中心的距离。
(4)绘制聚类结果图。
2. 聚类层次算法(1)导入Iris数据集,提取特征数据。
(2)使用Scikit-learn库中的AgglomerativeClustering类进行聚类,设置链接方法为'ward'。
(3)计算聚类结果,并绘制树状图。
3. DBSCAN算法(1)导入Iris数据集,提取特征数据。
(2)使用Scikit-learn库中的DBSCAN类进行聚类,设置邻域半径为0.5,最小样本数为5。
(3)计算聚类结果,并绘制聚类结果图。
五、实验结果与分析1. K-means算法实验结果显示,K-means算法将Iris数据集划分为3个簇,每个簇包含3个样本。
从聚类结果图可以看出,K-means算法能够较好地将Iris数据集划分为3个簇,但存在一些噪声点。
2. 聚类层次算法聚类层次算法将Iris数据集划分为3个簇,与K-means算法的结果相同。
从树状图可以看出,聚类层次算法在聚类过程中形成了多个分支,说明该算法能够较好地处理不同簇之间的相似度。
算法的应用实验报告
一、实验目的1. 理解算法的基本概念和应用领域。
2. 掌握常用算法的设计与实现方法。
3. 通过实验,提高算法分析和解决实际问题的能力。
二、实验环境1. 操作系统:Windows 102. 编程语言:Python3.73. 开发工具:PyCharm三、实验内容本次实验主要涉及以下算法:1. 冒泡排序2. 快速排序3. 二分查找4. 线性查找四、实验步骤1. 冒泡排序(1)实现冒泡排序算法的Python代码:```pythondef bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):for j in range(0, n-i-1):if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]return arr# 测试冒泡排序算法arr = [64, 34, 25, 12, 22, 11, 90]print("Original array:", arr)sorted_arr = bubble_sort(arr)print("Sorted array:", sorted_arr)```(2)分析冒泡排序算法的时间复杂度:O(n^2)2. 快速排序(1)实现快速排序算法的Python代码:```pythondef quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[len(arr) // 2]left = [x for x in arr if x < pivot]middle = [x for x in arr if x == pivot]right = [x for x in arr if x > pivot]return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) # 测试快速排序算法arr = [64, 34, 25, 12, 22, 11, 90]print("Original array:", arr)sorted_arr = quick_sort(arr)print("Sorted array:", sorted_arr)```(2)分析快速排序算法的时间复杂度:O(nlogn) 3. 二分查找(1)实现二分查找算法的Python代码:```pythondef binary_search(arr, x):low = 0high = len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] < x:low = mid + 1elif arr[mid] > x:high = mid - 1else:return midreturn -1# 测试二分查找算法arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]print("Original array:", arr)x = 7result = binary_search(arr, x)if result != -1:print(f"Element {x} is present at index {result}") else:print(f"Element {x} is not present in array")```(2)分析二分查找算法的时间复杂度:O(logn)4. 线性查找(1)实现线性查找算法的Python代码:```pythondef linear_search(arr, x):for i in range(len(arr)):if arr[i] == x:return ireturn -1# 测试线性查找算法arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]print("Original array:", arr)x = 7result = linear_search(arr, x)if result != -1:print(f"Element {x} is present at index {result}") else:print(f"Element {x} is not present in array")```(2)分析线性查找算法的时间复杂度:O(n)五、实验总结通过本次实验,我们学习了冒泡排序、快速排序、二分查找和线性查找等常用算法的设计与实现方法。
算法设计与分析实验报告
算法设计与分析实验报告实验一全排列、快速排序【实验目的】1. 掌握全排列的递归算法。
2. 了解快速排序的分治算法思想。
【实验原理】一、全排列全排列的生成算法就是对于给定的字符集,用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
任何n个字符集的排列都可以与1~n的n个数字的排列一一对应,因此在此就以n 个数字的排列为例说明排列的生成法。
n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。
所有的排列中除最后一个排列外,都有一个后继;除第一个排列外,都有一个前驱。
每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化而得到,全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。
二、快速排序快速排序(Quicksort)是对冒泡排序的一种改进。
它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。
【实验内容】1.全排列递归算法的实现。
2.快速排序分治算法的实现。
【实验结果】1. 全排列:2. 快速排序:实验二最长公共子序列、活动安排问题【实验目的】1. 了解动态规划算法设计思想,运用动态规划算法实现最长公共子序列问题。
2. 了解贪心算法思想,运用贪心算法设计思想实现活动安排问题。
【实验原理】一、动态规划法解最长公共子序列设序列X=和Y=的一个最长公共子序列Z=,则:i. 若xm=yn,则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列;ii. 若xm≠yn且zk≠xm ,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列;iii. 若xm≠yn且z k≠yn ,则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=,Yn-1=,Zk-1=。
最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知,要找出X=和Y=的最长公共子序列,可按以下方式递归地进行:当xm=yn时,找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列,然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
算法设计与分析实验报告
实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现(用分治法)一、实验目的1.掌握能用分治法求解的问题应满足的条件;2.加深对分治法算法设计方法的理解与应用;3.锻炼学生对程序跟踪调试能力;4.通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数,找出最大和最小数的问题。
2、归并分类将一个含有n个元素的集合,按非降的次序分类(排序)。
三、实验要求(1)用分治法求解问题(2)上机实现所设计的算法;四、实验过程设计(算法设计过程)1、找最大和最小元素采用分治法,将数组不断划分,进行递归。
递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素,若为两个取大值赋给max,小值给min。
否则就继续进行划分,找到两个子问题的最大和最小值后,比较这两个最大值和最小值找到解。
2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组,然后递归地对子数组进行排序,最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。
在合并过程中,比较两个子数组的首个元素,将较小的元素放入辅助数组,并指针向后移动,直到将所有元素都合并到辅助数组中。
五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数:";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为:";cout << fmax << endl;cout << "最小值为:";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数:";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn)2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn)实验二背包问题和最小生成树算法实现(用贪心法)一、实验目的1.掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件;2.加深对贪心法算法设计方法的理解与应用;3.锻炼学生对程序跟踪调试能力;4.通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
关于算法的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解快速排序算法的基本原理和实现方法。
2. 掌握快速排序算法的时间复杂度和空间复杂度分析。
3. 通过实验验证快速排序算法的效率。
4. 提高编程能力和算法设计能力。
二、实验环境1. 操作系统:Windows 102. 编程语言:C++3. 开发工具:Visual Studio 2019三、实验原理快速排序算法是一种分而治之的排序算法,其基本思想是:选取一个基准元素,将待排序序列分为两个子序列,其中一个子序列的所有元素均小于基准元素,另一个子序列的所有元素均大于基准元素,然后递归地对这两个子序列进行快速排序。
快速排序算法的时间复杂度主要取决于基准元素的选取和划分过程。
在平均情况下,快速排序的时间复杂度为O(nlogn),但在最坏情况下,时间复杂度会退化到O(n^2)。
四、实验内容1. 快速排序算法的代码实现2. 快速排序算法的时间复杂度分析3. 快速排序算法的效率验证五、实验步骤1. 设计快速排序算法的C++代码实现,包括以下功能:- 选取基准元素- 划分序列- 递归排序2. 编写主函数,用于生成随机数组和测试快速排序算法。
3. 分析快速排序算法的时间复杂度。
4. 对不同规模的数据集进行测试,验证快速排序算法的效率。
六、实验结果与分析1. 快速排序算法的代码实现```cppinclude <iostream>include <vector>include <cstdlib>include <ctime>using namespace std;// 生成随机数组void generateRandomArray(vector<int>& arr, int n) {srand((unsigned)time(0));for (int i = 0; i < n; ++i) {arr.push_back(rand() % 1000);}}// 快速排序void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) { if (left >= right) {return;}int i = left;int j = right;int pivot = arr[(left + right) / 2]; // 选取中间元素作为基准 while (i <= j) {while (arr[i] < pivot) {i++;}while (arr[j] > pivot) {j--;}if (i <= j) {swap(arr[i], arr[j]);i++;j--;}}quickSort(arr, left, j);quickSort(arr, i, right);}int main() {int n = 10000; // 测试数据规模vector<int> arr;generateRandomArray(arr, n);clock_t start = clock();quickSort(arr, 0, n - 1);clock_t end = clock();cout << "排序用时:" << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "秒" << endl;return 0;}```2. 快速排序算法的时间复杂度分析根据实验结果,快速排序算法在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn),在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。
算法设计与分析实验报告
算法设计与分析报告学生姓名学号专业班级指导教师完成时间目录一、课程内容 (3)二、算法分析 (3)1、分治法 (3)(1)分治法核心思想 (3)(2)MaxMin算法分析 (3)2、动态规划 (4)(1)动态规划核心思想 (4)(2)矩阵连乘算法分析 (5)3、贪心法 (5)(1)贪心法核心思想 (5)(2)背包问题算法分析 (6)(3)装载问题算法分析 (7)4、回溯法 (7)(1)回溯法核心思想 (7)(2)N皇后问题非递归算法分析 (7)(3)N皇后问题递归算法分析 (8)三、例子说明 (9)1、MaxMin问题 (9)2、矩阵连乘 (10)3、背包问题 (10)4、最优装载 (10)5、N皇后问题(非递归) (11)6、N皇后问题(递归) (11)四、心得体会 (12)五、算法对应的例子代码 (12)1、求最大值最小值 (12)2、矩阵连乘问题 (13)3、背包问题 (15)4、装载问题 (17)5、N皇后问题(非递归) (19)6、N皇后问题(递归) (20)一、课程内容1、分治法,求最大值最小值,maxmin算法;2、动态规划,矩阵连乘,求最少连乘次数;3、贪心法,1)背包问题,2)装载问题;4、回溯法,N皇后问题的循环结构算法和递归结构算法。
二、算法分析1、分治法(1)分治法核心思想当要求解一个输入规模为n,且n的取值相当大的问题时,直接求解往往是非常困难的。
如果问题可以将n个输入分成k个不同子集合,得到k个不同的可独立求解的子问题,其中1<k≤n, 而且子问题与原问题性质相同,原问题的解可由这些子问题的解合并得出。
那末,这类问题可以用分治法求解。
分治法的核心技术1)子问题的划分技术.2)递归技术。
反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题,直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。
3)合并技术.(2)MaxMin算法分析问题:在含有n个不同元素的集合中同时找出它的最大和最小元素。
算法设计与分析实验报告
本科实验报告课程名称:算法设计与分析实验项目:递归与分治算法实验地点:计算机系实验楼110专业班级:物联网1601 学号:2016002105 学生姓名:俞梦真指导教师:郝晓丽2018年05月04 日实验一递归与分治算法1.1 实验目的与要求1.进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境;2.通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。
1.2 实验课时2学时1.3 实验原理分治(Divide-and-Conquer)的思想:一个规模为n的复杂问题的求解,可以划分成若干个规模小于n的子问题,再将子问题的解合并成原问题的解。
需要注意的是,分治法使用递归的思想。
划分后的每一个子问题与原问题的性质相同,可用相同的求解方法。
最后,当子问题规模足够小时,可以直接求解,然后逆求原问题的解。
1.4 实验题目1.上机题目:格雷码构造问题Gray码是一个长度为2n的序列。
序列无相同元素,每个元素都是长度为n的串,相邻元素恰好只有一位不同。
试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码(分治、减治、变治皆可)。
对于给定的正整数n,格雷码为满足如下条件的一个编码序列。
(1)序列由2n个编码组成,每个编码都是长度为n的二进制位串。
(2)序列中无相同的编码。
(3)序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
2.设计思想:根据格雷码的性质,找到他的规律,可发现,1位是0 1。
两位是00 01 11 10。
三位是000 001 011010 110 111 101 100。
n位是前n-1位的2倍个。
N-1个位前面加0,N-2为倒转再前面再加1。
3.代码设计:}}}int main(){int n;while(cin>>n){get_grad(n);for(int i=0;i<My_grad.size();i++)cout<<My_grad[i]<<endl;My_grad.clear();}return 0;}运行结果:1.5 思考题(1)递归的关键问题在哪里?答:1.递归式,就是如何将原问题划分成子问题。
霍夫曼算法实验报告
一、实验目的1. 理解霍夫曼算法的基本原理和过程。
2. 掌握霍夫曼算法的编程实现。
3. 分析霍夫曼算法的复杂度和性能。
二、实验原理霍夫曼算法是一种贪心算法,用于数据压缩。
其基本思想是根据字符出现的频率,构造出一棵最优二叉树,从而得到最优的编码方案。
霍夫曼算法的步骤如下:1. 统计每个字符的出现频率。
2. 将频率相同的字符视为一类,按照频率从小到大排序。
3. 将排序后的字符中频率最小的两个字符合并成一个新字符,新字符的频率为两个字符频率之和。
4. 将新字符插入到排序后的字符中,并重新排序。
5. 重复步骤3和4,直到只剩下一个字符为止。
6. 根据合并的顺序,从根节点到叶子节点的路径上,将0和1分别赋给路径,形成每个字符的霍夫曼编码。
三、实验内容1. 编写程序实现霍夫曼算法。
2. 对给定的字符集进行编码和解码。
3. 分析霍夫曼算法的复杂度和性能。
四、实验步骤1. 编写程序,统计字符集的频率。
2. 根据频率构造最优二叉树。
3. 根据最优二叉树生成霍夫曼编码。
4. 编写解码程序,根据霍夫曼编码解码字符。
5. 测试程序,分析霍夫曼算法的复杂度和性能。
五、实验结果与分析1. 实验结果(1)霍夫曼编码示例假设字符集为:{a, b, c, d, e, f},频率分别为:{4, 2, 3, 5, 7, 8}。
(2)霍夫曼编码根据霍夫曼算法,得到以下编码:a: 0b: 10c: 110d: 1110e: 1111f: 100(3)解码根据霍夫曼编码,解码结果为:{a, b, c, d, e, f}。
2. 实验分析(1)复杂度分析霍夫曼算法的时间复杂度为O(nlogn),其中n为字符集的长度。
这是因为算法需要构建一个最优二叉树,而构建最优二叉树的时间复杂度为O(nlogn)。
(2)性能分析霍夫曼编码具有较好的压缩效果,其平均编码长度较其他编码方法短。
当字符集中字符的频率差异较大时,霍夫曼编码的压缩效果更明显。
六、实验总结通过本次实验,我们掌握了霍夫曼算法的基本原理和编程实现,分析了算法的复杂度和性能。
《算法设计与分析》课程实验报告 (分治法(三))
《算法设计与分析》课程实验报告实验序号:04实验项目名称:实验4 分治法(三)一、实验题目1.邮局选址问题问题描述:在一个按照东西和南北方向划分成规整街区的城市里,n个居民点散乱地分布在不同的街区中。
用x 坐标表示东西向,用y坐标表示南北向。
各居民点的位置可以由坐标(x,y)表示。
街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
居民们希望在城市中选择建立邮局的最佳位置,使n个居民点到邮局的距离总和最小。
编程任务:给定n 个居民点的位置,编程计算邮局的最佳位置。
2.最大子数组问题问题描述:对给定数组A,寻找A的和最大的非空连续子数组。
3.寻找近似中值问题描述:设A是n个数的序列,如果A中的元素x满足以下条件:小于x的数的个数≥n/4,且大于x的数的个数≥n/4 ,则称x为A的近似中值。
设计算法求出A的一个近似中值。
如果A中不存在近似中值,输出false,否则输出找到的一个近似中值4.循环赛日程表问题描述:设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表:每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次,每个选手一天只能赛一次,循环赛一共进行n-1天。
二、实验目的(1)进一步理解分治法解决问题的思想及步骤(2)体会分治法解决问题时递归及迭代两种不同程序实现的应用情况之差异(3)熟练掌握分治法的自底向上填表实现(4)将分治法灵活于具体实际问题的解决过程中,重点体会大问题如何分解为子问题及每一个大问题涉及哪些子问题及子问题的表示。
三、实验要求(1)写清算法的设计思想。
(2)用递归或者迭代方法实现你的算法,并分析两种实现的优缺点。
(3)根据你的数据结构设计测试数据,并记录实验结果。
(4)请给出你所设计算法的时间复杂度的分析,如果是递归算法,请写清楚算法执行时间的递推式。
四、实验过程(算法设计思想、源码)1.邮局选址问题(1)算法设计思想根据题目要求,街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
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{
if(a[g]<a[min])
min=g;
}
temp=a[min];
a[min]=a[f];
a[f]=temp;
}
printf("\n选择排序后的数组为:");
for (f=0;f<n;f++)
printf ("%d ",a[f]);
*min = meter[e];
}
else{
if(meter[e] > *max)
*max = meter[e];
if(meter[s] < *min)
*min = meter[s];
}
return ;
}
{ // 随机数据填充数组
meter[i] = rand()%100;
if(!((i+1)%10)) // 输出表的随机数据
printf("%-6d\n",meter[i]);
else
printf("%-6d",meter[i]);
}
{
int i,j,val;
val = a[pro];
i = pro;
j = last;
while(i < j)
{
1.各种排序算法性能比较
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define n 10
void maopao(int a[]);
void xuanze(int a[]);
int main()
{ int m;
while (i < j &&a[j]>= val)
{
j--;
}
if (i < j)
{
a[i] = a[j];
i++;
if (max < stoe[i] + etos[i] - 1)
max = stoe[i] + etos[i] - 1;
printf ("输出出队人数%d\n", N-max);
// printf("输出最终形成的合唱队形%d",);
j--;
}
a[i] = val;
Quick_Sort (a,pro,i-1);
Quick_Sort (a,i+1,last);
}
}
}
}
stoe[i] = (max == -1) ? 1 : max;
}
etos[N-1] = 1;
for (i=N-2; i>=0; --i){
max = -1;
int max = INT_MIN; // 用最小值初始化
int min = INT_MAX; // 用最大值初始化
printf("随机数组为:\n");
srand(time(0)); // 初始化随机数发生器
for(i = 0; i < M; i ++)
int main (void){
int N, student[100];
int i, j;
int stoe[100], etos[100];
int tmp, max;
while (scanf ("%d", &N) != EOF){
printf ("%d ",a[m]);
}
printf ("\n");
start=clock();
maopao(a);
end=clock();
t1=((end-start)/CLOCKS_PER_SEC);
printf ("冒泡排序的时间为:");
printf("t1=%fs\n",t1);
printf ("\n");
}
2.分治法实现快排
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
void Quick_Sort (int a[],int pro,int last);
int main()
if (student[i] > student[j]){
tmp = stoe[j] + 1;
if (max < tmp)
max = tmp;
{
int i;
if(e-s <= 1)
{
// 获取局部解,并更新全局解
if(meter[s] > meter[e])
{
if(meter[s] > *max)
*max = meter[s];
if(meter[e] < *min)
{
int i,j,k;
for (j=0;j<=n-1;j++)
{
for (i=0;i<n-j-1;i++)
if (a[i]>a[i+1])
{
k=a[i];
a[i]=a[i+1];
a[i+1]=k;
} Biblioteka printf("\n冒泡排序后的数组为:");
for (j=N-1; j>i; --j){
if (student[i] > student[j]){
tmp = etos[j] + 1;
if (max < tmp)
for (i=0;i<n;i++)
{
printf ("%d ",a[i]);
}
printf ("\n");
}
void xuanze(int a[])
{
int temp,min;
int f,g;
for(f=0;f<n-1;f++)
{
min=f;
for (i=0; i<N; ++i)
scanf ("%d", &student[i]);
stoe[0] = 1;
for (i=1; i<N; ++i){
max = -1;
for (j=0; j<i; ++j){
}
while (i < j &&a[i]<val)
{
i++;
}
if (i < j)
{
a[j] = a[i];
3.分治法求最大值最小值
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <time.h>
#define M 10 // 分治法获取最优解
void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min)
{
int i = 0;
printf("请输入个数: ");
scanf("%d", n);
printf("请输入数组p :\n");
for (i = 0; i < (*n); i++)
{
scanf("%f", &p[i]);
}
printf("请输入数组w :\n");
for (i = 0; i < (*n); i++)
{
int data[10],i;
srand(time(NULL));
for (i=0;i<10;i++)
{
data[i] = rand()%100;
}
for (i=0;i<10;i++)
{
printf("%d ",data[i]);
}
printf("\n");
Quick_Sort (data,0,10);
for (i=0;i<10;i++)
{
printf("%d ",data[i]);
}
printf("\n");
}
void Quick_Sort (int a[],int pro,int last)
PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); // 分治法获取最值
printf("\n最大值 : %d\n最小值: %d\n",max,min);
system("pause");
return 0;
}
4.合唱队形问题
#include <stdio.h>