香港中文大学课程与教学学系黄毅英

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国内外学科教学知识研究的回顾与反思

教师学科教学知识的发展是通过哪些途径建
构的，或者说哪些因素影响教师学科教学知识的发展，这个问题受到了学者的关注．教学知识的发展是一个连续的过程，从中小学求学时期到接受师范
教育，正式任教，每一个阶段都有发展的可能．国外研究发现，教师的学科教学知识并非是在接受师资教育后才发展起来的，对早年受教经验和生活经验的反思可以使教师获得一些学科教学知
等；教学法知识则包括各种教学方法知识，以及能对学生的认知冲突进行诊断的教学策略等Ｉ１Ｊ．Ｃｒｅｔｒ指出数学教师的学科教学知识包括！ａｐｎｅ学生学习本单元知识时所需要的概念性知识和程序性
知识，学生的错误概念，能诊断教学技巧的知识、连接新旧经验的教学策略以及消除学生错误的策略¨ ．正如Ｃｏｅｏｎｙ提出的观点，数学教师的学科教学知识应包括数学知识、数学教学的知识和学生认知的知识【．由此可见，数学教师应具备的学科ｌ川
６４
伊犁师范学院学报（然科学版）自
２１年０１
见的是对教学技能和策略的研究．
学习，缺乏实践，师范生不易将其转化为个人的教学理论，致使他们无法将这些理论知识直接应用丁具体的教学情境中．另一方面，高校教师对中学教
家教师倾向于用 “ 问题解决 ”的观点看待数学学科与学生的数学学习，而非专家教师则更倾向于 “ 掌

数学教育概论第二章(共28张PPT)

那么究竟应该怎样看待中国的数学教育呢？
〔二〕东西数学教育的比较
西方
平衡点考试严厉
学生建构
教师中心
强调理解
熟能生巧
根底松散〔美国 -- 西欧 -- 俄国 -- 日本 -- 港台 -- 大陆〕扎实根底
非形式化
形式演绎
适当演练
反复演练
个性开展
进度一致
轻松学习
负担过重
〔三〕对国际数学教育大会〔ICME〕的介绍
数学教师的教育观念又包括三个方面：教师的数学观，教师的教学观和教师的学习观。
一、20世纪数学观的变化
数学观的开展与变化
①数学是一门经验科学
②所有的数学都是可以由公理定理推陈出新导得出，是严密的逻辑方法演绎出的知识体系
③数学是研究空间形式和数量关系的科学 ④数学是一组相容的、独立的、完备的公理系，按一定方式推
数学是美的；优势:重视学生创新精神和实践能力培养的教学行为正在逐步形成。
一、20世纪数学观的变化它通过逻辑将知识组织成一个彼此联系的结构。
数学离不开应用；〔四〕改革中的中国数学教育
3 小明去食堂吃午饭,他觉察今天食堂提供四种菜,主食可选择米饭、面条或饼。某些实验班的教师缺乏教学参考资料，只有本学期的一本教科书，对实验教材前后相关的教学内容缺乏整体的了解；
探究和数学应用.
三、国际视野下的中国数学教育
〔一〕中国数学学习者悖论
〔二〕东西数学教育的比较〔三〕对国际数学教育大会
〔ICME〕的介绍
〔四〕改革中的中国数学教育
〔一〕中国数学学习者悖论
一方面，中国〔包括大陆、台湾、香港等地区〕学生的数学学习成绩十分优良。
另一方面，西方的学者又认为中国的数学学习是“学生被动地接受〞，“常规问题的反复演练〞，教学观念陈旧。

从香港数学教育看程序、概念及其他

主体是学生，如果我们千方百计地使用科技，但没有牵扯到学生，我们就走错了路．四、关于 “ 双基” “ 双基” 变成“ 四基” ，固然是好事，但我们要进一步弄清楚四基之间的关系，如果没有弄清楚的话，只是没有联系的四个点，不是我们想看到的．下面会详谈．五、关于 “ 去数学化 ” 关于“ 去数学化” ，我有一点个人的反思： “ 去数学化” 不是一个好事，但是 “ 去‘ 去数学化” ’ （更确切来说是“ 去教育学化” １也不是好事．很多人因为要重新提高数学的地位，把教育学放在一旁，这不是一个好的角度．而且，加多一点数学不等于数学化．如果大家对弗赖登塔尔
节课，课题是《等腰梯形判定》．第一阶段：原始教案
一
、
温故知新（提问形式）
１．什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形
把双刃剑完全消除考试不一定是好事，如何找出平衡和把考测变成学习诊断和学习的动力便考验各方面的智慧．可是Ｌ廿界上问责风气鼎盛，外行人领内行人的情况严重，学校系统要应付各种指标和排行榜等比较，走出科举文化
是我们可进一步思考这些好的“ 中国数学教学
法” ，是否放之天下皆准？能放到其他国家或地区吗？还是它是扎根中国文化，有别于其他文化ｆ故不易迁移１口尼？
十、程序与概念的关系关于四基的关系，最近，我做了一个香港小学几套常用教材立体图形的分析，发现整个

MPCK 视角下本真性课堂的认识及实践与反思

MPCK视角下本真性课堂的认识及实践与反思钟新朝本真性数学课堂是我们追求的高效课堂模式，在面对数学课堂四基的要求下，如何在MPCK的视角下进行教学与研究，笔者觉得这两方面综合来分析，会帮助我们更好的达到章建跃博士提出的理解数学，理解学生，理解教学，理解技术。

1 对MPCK与本真性课堂的认识1.1 对MPCK的认识MPCK（Mathematical pedagogical content knowledga）称之为“数学教学内容知识”，它是建立在美国学者舒尔曼提出的PCK之上的理论，是近些年研究的热点问题之一；其本质是数学学科内容结合教育学原理来进行有意义的建构顺序和疏通教学中的困惑，去帮助学生理解数学，应用数学，从而提高能力和掌握方法。

李渺等人认为，对于中小学数学教师而言，MPCK是由数学学科知识（MK），一般教学法知识（PK）,有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）融合而成。

1.2 对本真性课堂的认识合肥市数学教研室许晓天、王道宇、张永超老师负责的安徽省教育科学规划课题《本真性数学课堂教学模式的实践研究》提出课堂教学中，教师深备、精导，学生先学、巧练的程序性的教学模式，促使教学效果的呈现。

1.3 MPCK问题与本真性课堂的同一性由MPCK与本真性课堂的认识，我们可以看出，其本质是统一的，旨在追求高效的课堂教学，让学生在知识的理解上找到疑难的突破口，在知识的应用上找到“生长点”，从而提升数学知识，提高数学能力与数学素养。

2 MPCK视角下本真性课堂的分层认识2.1 MPCK结构下的本真性课堂认识MPCK可由MK，PK，CK和TK融合而成，笔者在这四层理解下对本真性课堂有如下认识：一是MK角度.数学课堂有区别于其他课堂，主要是数学知识与方法的理解与掌握，本真性数学课堂是教学中首先要能识记数学概念，理解其内涵和外延；二是PK角度.本真性课堂要在学生的心理实际下，遵循教育的原理，在学生了解和掌握数学知识与思想的实际中循序渐进的推进课堂，在螺旋式上升的过程中不断的进行知识的强化记忆与应用。

从世界各地数学课程趋势看华人地区课程的前景

从世界各地数学课程趋势看华人地区课程的前景香港中文大学课程与教学学系‧黄毅英引言进入新世纪之际，各国不约而同进行教育改革，以数学教育而言，新课程亦可谓应运而生。

其中包括·美国：继1989年国家数学教师议会发展《数学课程及评鉴标准》之后，2000年经广泛咨询后，最终年再发表《学校数学的原理与标准》。

其中出现了‘加州数学战争’的插曲。

由1992年的加州数学新课程引起，最后‘回到基本’，敲定为1999年、一般人认为较‘保守’的课程标准。

·英国：1989年推出《国家课程》，经过不断的修订后于2000年由‘教育就业署和资历及课程局’颁布‘千禧版’的《国家课程》。

2004年又颁布了关于高中数学教育的《让数学算数》（Making Mathematics Count*）.·澳纽：澳洲于1990年发表《澳洲学校数学国家宣言》，嗣后各省陆续发展其数学课程。

例如维多利亚省于2000颁布其新的数学课程框架。

纽西兰亦于1992年颁布了《纽西兰课程中之数学》。

·欧陆：其它欧洲国家亦进行了数学课程改革，例如德国在1991年统一后，各省重组其学校课程, 法国、荷兰等均有新的数学课程。

·中国于1992年推行义务教育及一纲多本政策。

1997年推行多纲多本。

2001及2004年分别颁布基础教育数学课程及高中课程。

其中改革亦带来不同的意见。

·台湾于1996年推行‘建构数学课程’，2001年推行‘九年一贯数学课程’，中间争论不断（甚至要求‘暂停建构’），到2003年再次修订，其中亦有回到早期课程的味道。

·香港1996年推行的目标为本课程惹来不少争论，至1997年教育署进行了数学课程全面检讨，2000年前后颁布了新中小学数学课程。

与此同时，有关方面推行教育改革，带来更多的争议。

·澳门回归后1999年颁布历来第一份数学课程，现正作进一步的修订。

·日本：日本差不多每隔十年修订数学课程一次，最近一次为了加进‘综合学习’，于2000年修订的数学课程内容削减了30％，带来反对声音，甚至有人以‘日本数学战争’来形容，最后于2002年推行。

「香港战后学教育大事表」整后记

「香港戰後數學教育大事年表」整理後記黃毅英香港中文大學課程與教學學系與列志佳先生編集「香港戰後數學教育大事年表」[1] 後，深感香港數學教育的進展與世界性之「大氣候」及香港本身的「小氣候」息息相關。

事實上當時亦將年表分作香港的數學教育、香港教育、國際數學教育與香港及國際動態四欄，供讀者比對之用。

筆者以為，縱使今天，若要剖析香港數學教育之現狀，亦不得不從這些大、小氣候談起。

這個觀察，當時只在序文中略提，本文即欲作進一步之闡述，以便有興趣者可作更細緻的探討。

當然教育社會學家會有更深入的分析，以下只道出一些筆者所觀察到的蛛絲馬跡而已。

百廢待興「『新數學』運動的過程及對當代數學教育之啟示」[2] 一文中已提到，第二次世界大戰之後，百廢待興；上一代飽歷滄桑，艱苦的從頹垣敗瓦中嘗試恢復舊有秩序，而新生代在毫無故有束縛中又企圖建立屬於自己的新秩序。

兩者產生著微妙的撞擊。

其中表現在胡士託、反越戰、嬉皮士、學運的一連串運動上。

在地球上另一邊（雖然兩者本質上截然不同）在中國大地上亦產生了翻天覆地的變化。

文革展開，由紅衛兵宣告火紅年代的正式降臨。

起碼在初期，頗有破舊立新之氣象，帶著換上新天新地之憧憬。

中國大地之變化直接地、間接地引發了香港社會騷動。

除了喚醒了一批由於國家動亂或自然災害「暫」避香江的過客重新認識自己中國人身份的意識外，亦驚醒了殖民政府不得不正視這個政治環境之改變。

由是衍生一連串伴隨著種種安居樂業政策的本土意識。

暴動過後連續三屆（每兩年一屆：1969、1971、1973）之香港節之後，大家叫自己作「香港人」也許還是第一次。

其他如十年房屋計劃、協助經濟起飛等政策陸續出籠。

政府也從1966年天星小輪暴動中汲取了教訓，開始正視青少年和街童問題。

在1966年暴動報告書中清楚表明要大力推動課餘活動和青年活動。

馬會贊助暑期活動與及其他組織如小童群益會、遊樂場協會等舉辦為宣洩青少年剩餘精力之活動如雨後春筍，亦可謂香港學校課外活動全盛期之前奏 [3]。

从一个数学故事看教师的MPCK

关键词：ＭＰＣＫ教学知识等比数列
２匹。
北师大版小学数学教材第十一册第五十五页有个数学故事，说的是一位老人临终前要把自己的遗产十一匹马分给三个儿子，分配方案是老大、老二、老三分别继承其中的二分之一、四分之一、六分之三个儿子为分遗产的事伤透了脑筋，因为总不能把马割成几块来分。这时，聪明的阿凡提出招了： “ 把我的这匹马加上，你们就知道怎么分了？ ”结果是六三二，剩一匹马还给阿凡提就行了。
一
这时还是有学生会问， “ 老师，但这不完全符合老人的遗言呀？
，
因为 ÷＋ ÷＋ ÷＝１，应该有剩余才对，可现在却全分完了？ ”
注意到小学生的年龄特点、生活经验和知识结构，解法一、解法二、解法三学生都是能够接受的，但是作为数学教师的你还必须知道解法四。才能够很好地回答上面的学生的疑问。解法四：老大、老二、老三第一次分别分得
・
１１
问题一：这样的故事需要教师有怎样的ＭＰＣＫ？问题二：这样分是不是符合老人的意愿？问题三：本题的编写意图是什么？具有怎样的教育价值？ＭＰＣＫ（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｐｅｄａｇｏｇｉｃａｌｃｏｎｔｅｎｔｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）即数学内容的教学知识是二十一世纪以来数学教育研究的热点问题。张奠宙教授曾预料，在未来十年内，ＭＰＣＫ还会以更大的规模和更深的程度发展下去，以致成为数学教育研究的一支主旋律。按照香港中文大学黄毅英教授的观点，ＭＰＣＫ是三个基本结合，ＭＫ，ＰＫ，ＣＫ的公共部分，其中ＭＫ（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）是数学学科知识的简称，ＰＫ（ｐｅｄａｇｏｇｉｃａｌｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）是一般教学法知识的简称，ＣＫ（ｃｏｎｔｅｎｔｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）是有关数学学习知识的简称。过去的十年，课程改革中主要聚焦于教学方法的改革，中国历来有 “ 数学教材教法” 的研究传统。以 “ 动手实践、自主探索、合作交流 ” 的教学理念为主轴，进行改革实践。对于数学课程内容的解释、本质的揭示、内涵的理解，却缺乏应有的重视。对数学的教育价值缺乏挖掘和提升。我们先来看看小学老师通常会如何教学该题。该题是阿凡提故事中的一个，有些学生小时候看过或听过这些故事，当时父母或幼儿园老师讲给小朋友们听的时候，都肯定会说希望小朋友会像阿凡提那样聪明，这些都可以看做学生的生活经验。课程标准强调，教师应充分利用学生已有的生活经验进行教学。该题安排在六上，教师该如何教学这题？该题有何价值？该题一般有四种解

中英高中微积分课程比较

第1章
导论中英高中微源自分课程比较我国的高中数学普遍难于英国，但在向量部分、统计学、微积分部分和矩阵部分英国的课程难于我国。其他主要发达国家的高中数学课程中微积分部分均占有一席之地，而我国的微积分部分却经历了多次调整，重视程度也非常有限，这激发了笔者对中英数学中的微积分部分进行比较和研究，笔者试图从一名中学教育工作者的视角，结合我国高中教材的实际情况，取长补短，争取为我们数学微积分教学的进一步发展作出贡献。 1.2 研究的目的英国是个有着悠久历史和文化底蕴的国家，英国的数学教育改革被学者认为历来十分活跃，在国际上占有重要地位。4无论是二十世纪六十年代新数运动中广为传播的 SMP 数学教材还是八十年代著名的《考克罗夫特报告》，在国际上都有很大影响。在英国，微积分早在上世纪中叶就已经走入高中课堂，是高中数学学习中举足轻重的部分。在英国的课本中，微积分的内容和思想贯穿于课本的始终。相应的，在 A-Level 考试中，微积分部分也占着很大的比重。在我国，尽管在建国初期，我们就认识到开设微积分课程的重要性，但微积分却在教学内容中几进几出，内容的选择方面也饱受争议。这种波动值得我们深思。微积分内容是否进入中学数学课程，对中学引进微积分作怎样的定位，一直是国内数学教育界争论的理论与实践问题。在实际教学中，高中生对微积分学习的重点放在导数学习上，对其他部分的学习内容较窄，程度较浅。目前，我国微积分部分研究的重点大多放在大学阶段，关注高中阶段学习微积分的内容主要集中在导数部分。中英两国对微积分部分截然不同的地位和处理方法激起了笔者对中英微积分部分的比较，试图通过本论文解决下列问题：（1）在中学引进微积分的意义和作用是什么？（2）两国微积分的内容选择上有什么区别？新课程中微积分的内容与以往中学数学中的微积分内容有什么区别？（3）两国微积分的处理方式上有什么不同？这样的不同给我们那些启发？（4）两国微积分部分的考试侧重点有什么不同？（5）两国高中学习微积分与大学学习的衔接情况如何？

MPCK视角下的《计数原理》教学案例分析

MPCK视角下的《计数原理》教学案例分析作者：王琴芳来源：《课程教育研究》2017年第12期【摘要】本文在MPCK视角下回味《计数原理》的教学，剖析如何将两个计数原理的学术形态转化为教育形态，以促进学生对计数原理的理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养，实现有效教学，同时激励自我用“心”学习教学智慧，不断提升自我的MPCK。

【关键词】MPCK 计数原理有效教学【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）12-0154-01一、MPCK的内涵与构成MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）是近几年数学教育研究的热点问题。

20世纪80年代中期，美国学者舒尔曼针对当时美国教师教育研究中所存在的学科知识与教育学知识分离的现象提出了“缺失的范式”，给出了学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，简称PCK）的概念。

对数学学科而言，PCK在数学教育中的具体体现就是“数学学科教学知识”，即MPCK。

[1]香港中文大学黄毅英教授认为[2]，数学教师开展常规教学所具备的知识有3类：数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）。

而这3类知识的综合与融合就是数学教学内容知识（MPCK），其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养。

针对课堂 MPCK，李渺，宁连华认为[3]，课堂MPCK 主要体现在两次“转化”之中：第一次“转化”体现于教学准备中，表现为教师在把握教学目标、教学内容、教学对象（学生的已有知识经验、思维特点、学习误解、学习疑难点、学习能力、学习动机、学习兴趣、学习风格等）的基础上，如何选择“组织、呈现和调整”的方式；第二次“转化”主要体现于教学实施中，表现为教师对“组织、呈现和调整”方式的灵活运用。

首届华人数学教育会议概述

首届华人数学教育会议概述严家丽【摘要】2014年5月21-24日,首届华人数学教育会议在北京师范大学召开.大会报告主要围绕“数学教育”、“数学课程与改革”、“数学学习”等主题.大会组织了8个主题会场:“华人数学教育的研究成果与反思”、“2021,义务教育数学课程走向”、“1-6年级数学课程实践与反思”、“7-9年级数学课程实践与反思”、“10-12年级数学课程实践与反思”、“脑、认知科学与数学学习”、“数学学习与教学评价”、“民族地区数学教育”,以及1个“青年数学教育工作者”论坛.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2014(023)003【总页数】3页(P98-100)【关键词】国际视野;华人传统文化;数学教育;交流;论坛【作者】严家丽【作者单位】东北师范大学教育学部,吉林长春130024【正文语种】中文【中图分类】G40-012近十多年，儒家文化圈、华人世界在TIMSS、PISA等大型国际教育评价项目的“突出表现”，正在成为一种“显学”越来越引起各国政要、学术界、社会公众的普遍关注．与此同时，21世纪初开始的中国大陆数学课程改革，在理论和实践层面，都产生了一系列有待深入研究的课题和需要认真解决的问题．2014年5月21—24日，首届华人数学教育会议在北京师范大学召开，旨在分享发展中的华人数学教育成果，凝聚华人数学教育力量，商讨华人数学教育发展事宜，激起世界性的关于数学教育的深度对话．大会的主题为——基于“国际视野”和“华人传统文化”双重背景下的华人数学教育：成就与挑战．大会吸引了来自美国、英国、澳大利亚、日本，以及港澳台地区和内地的六百多名华人数学教育专家、学者以及教师．会议期间，一共安排了 9场大会报告、8个专题、68个主题报告．此外，大会还将参会学者的127篇高水平论文汇编成了《首届华人数学教育会议论文集》，并特邀《人民日报》、《光明日报》、《中国教育报》、《人民教育》、《中国教师报》、《数学教育学报》、《数学通报》、《新世纪小学数学》等多家媒体参与报道．大会开幕式上，北京师范大学校长董奇教授致辞，对来自各地的数学教育研究者表示热烈欢迎，并肯定了从“国际视野”和“华人传统文化”两个视角研究数学教育的重要意义和价值，尤其强调了基于脑科学和认知科学研究学生数学学习的重要性和数学素养的重要性．教育部基础教育一司王定华司长强调，促进基础教育公平、提高基础教育质量仍然是当前的重要任务，数学教育的改革既要立足本土国情，更要借鉴其他国家和地区的做法，尤其要立足实践．西南大学宋乃庆教授作为参会代表也进行了发言，展望了数学教育的未来发展方向．1 “9场报告”——聆听专家声音开阔“数学教育”研究视野2013年度“弗赖登塔尔”奖获得者，香港大学梁贯成教授在报告“从‘数学’与‘教育’到‘数学教育’：数学教育的理论建设及华人学者的角色”中指出，“数学教育”既是一个专业学科，也是一个学术领域．“数学教育”作为一个学术领域，出现较晚，始于19世纪末20世纪初学习心理学的发展．20世纪末至今，数学教育的理论慢慢从实证主义演变到以建构主义为理论基础，并开始以社会文化的理论作为数学教育问题的分析框架．梁教授同时对华人学者在未来数学教育的理论建设可扮演和应扮演的角色进行了探讨．东北师范大学史宁中教授的报告“教育、数学、数学教育”，从对教育本质、数学本质的思考为起点，探讨了数学教育的功能和数学课程的设计．从教育本质出发，数学教育是“生存的教育”，需以学生的发展为核心，满足学生生存和发展的需要，数学教育是“智慧的教育”，需展现数学思维和实践的过程，帮助学生积累相关经验，展现数学的基本思想，培养学生数学地思考和做事的能力；从数学的本质出发，数学教学要从理解走向思考、走向质疑，即数学教学过程中要有背景，注重直观，让学生在经历归纳的过程中学习如何“看”出结果．这样才能不失数学的活力、直觉和创造力．美国特拉华大学蔡金法教授在报告“改进学生之学习：20年来的探索与钻研”中回顾了自己20年所从事的相关研究，主要有4点体会：具备计算及解决常规问题的能力并不意味着具备解决非常规、创造性问题的能力；具备经验不能自动地形成概括性及概念性理解；问题导向的数学教学对学生的数学态度及其学业成就具有积极影响；教师处于提升学生学习的核心地位，但必须给予足够的支持．台湾师范大学林福来教授的报告“数学教育走一回”，通过对一名典型英国中学生和一名典型台湾中学生的数学学习策略，以及大学时期、工作时期的数学教育状况进行跟踪研究，发现数学教育之间存在的社会与文化差异，开阔了数学教育研究者的视野．香港中文大学黄毅英教授的报告“香港数学教育研究：成就与问题、挑战与反思”，阐述了香港数学教育过去 30年间在学习、情感因素、信念、教学、信息技术、课程分析、评估、教师教育等领域取得的研究成果，同时也剖析了香港数学教育研究面临的挑战，包括学术气候的转移，并对中国数学教育做出了反思．英国南安普敦大学范良火教授的报告，基于国际视野，分析了目前数学课程发展和改革中存在的一些问题，并预测了数学课程改革的未来发展趋势．北京师范大学刘坚教授等的报告“大陆地区义务教育数学学业状况及影响因素”对大陆地区义务教育数学学业状况及影响因素进行了调查和分析，发现大陆地区义务教育数学学业水平达标程度较好，但存在较显著的地区差异．在学生层面，中小学都一致的表现出学校的人文因素（师生关系和学习者自信心）对学生数学成绩影响较大；在学校层面，中小学阶段“学校归属感”对学生成绩影响较大．台北教育大学钟静教授的报告“台湾国民教育阶段数学课程改革之成功与挑战”聚焦台湾历次数学课程的发展和特色，探讨了落实课程改革的一些行政措施，并根据台湾课程与教学实施的现状，分析了台湾数学教育面临的机遇与挑战．北京师范大学周新林教授的报告“脑认知与数学学习”探讨了运用脑科学方法在数学认知与数学学习中取得的主要进展，包括数学学习和数学能力发展的认知基础、数学脑的基本构成、数学脑的可塑性等，对数学教育教学工作具有重要启示意义．2 “8大专题”——交流与分享展现华人“数学教育”智慧美国特拉华大学蔡金法教授、澳大利亚莫纳什大学佘伟忠教授等主持了“华人数学教育的研究成果与反思”专题．该专题回顾和审视了华人数学教育学术研究发展历程，主要基于数学教育的实践研究层面进行探讨，研究成果对教材的编写和设计有一定借鉴意义．英国南安普敦大学范良火教授、北京师范大学刘坚教授等主持了“2021，义务教育数学课程走向”专题．该专题主要探讨了义务教育数学课程的走向，例如“数学课程标准应如何变化”，“为什么要发生这样的变化”，“数学教育研究者如何应对”等问题．东北师范大学马云鹏教授、北京教育学院张丹教授等主持了“1—6年级数学课程实践与反思”专题．该专题围绕数学课程在发展公民核心素养的责任与贡献、小学生学习数学的特点和规律、小学数学课程内容的选择与呈现、小学计算教学的适切性，总结与提炼中国小学数学教育的经验，并反思存在的问题．南京师范大学马复教授、首都师范大学刘晓玫教授等主持了“7—9年级数学课程实践与反思”专题．该专题围绕数学课程在发展公民核心素养的独特价值、初中数学课程的选择与组织、几何课程与教学的走向、信息技术对数学教育的影响，总结与提炼中国初中数学教育的经验，并反思存在的问题．北京师范大学曹一鸣教授、西北师范大学吕世虎教授等主持了“10—12年级数学课程实践与反思”专题．该专题结合内地高中数学课程标准（实验稿）颁布以来的实施情况进行交流与讨论，例如，高中数学课程如何为学生有个性、多样化发展服务？高中数学课程标准应该如何修订？如何指导高中生开展探究性学习和专题研习？总结与提炼中国高中数学教育的经验，并反思存在的问题．首都师范大学张景斌教授、北京师范大学周新林教授等主持了“脑、认知科学与数学学习”专题．该专题探讨了数学认知的脑科学研究取得的重要成果，探讨了认知科学、脑科学研究对理解数学学习的本质以及对数学教育实践的启示．东北师范大学孔凡哲教授、北京师范大学綦春霞教授等主持了“数学学习与教学评价”专题．该专题围绕中小学过程性评价、初高中数学学业水平考试、高考命题、高校招生改革等话题，开展专业而富有建设性的讨论．例如，如何看待华人数学学习成就？如何诊断与指导有数学潜能的学生和有数学学习困难的学生？等等．中央民族大学孙晓天教授、内蒙古师范大学代钦教授等主持了“民族地区数学教育”专题．该专题回顾并交流了民族地区数学教育的发展历程，涉及的内容有数学课程、教学、思维、文化，涉及新疆维吾尔族、藏族、侗族、苗族等少数民族，研究方式既有文献分析也有实证研究，开始更多地关注教科书和学生的学习过程．3 “青年数学教育工作者论坛”——放飞“数学教育”明天的希望这次大会特设“青年数学教育工作者”分论坛，参与对象主要是国内外各高校、科研院所、中小学在职青年教师、数学教育专业在读博士，旨在打造中国数学教育的“未来梯队”，建立青年学术共同体，为青年数学教育工作者引领职业发展．香港大学教育学院的黄嘉乐教授分享了自己的成长经历：第一，数学教育研究者要关注实践，走进课堂，并及时发现、记录课堂教学中的问题；第二，数学教育研究的动力来自兴趣和追求真理的信念，而不是为了争取一个工作机会；第三，学好英语，多看一些国外原始文献资料，有利于对知识的深刻理解．黄教授的一席话使参会的数学教育青年工作者受益良多．综合此次大会来看，数学教育研究的人数之多、范围之广、视角之宽，使我们对中国数学教育的未来充满信心．同时，基于“国际视野”和“华人传统文化”的视角，我们既要看到华人数学教育的传统优势，也应恰当借鉴国外的最新研究成果，“以他人之长补己之短”，这样才能与世界接轨，做一流的数学教育．让我们共同期待下一届华人数学教育会议的召开！。

课改背景下的教师专业成长

• 生：还可以一只猴子一只猴子地分，分给一只猴子就减一个3，…… 师：（喜不自禁）这位小朋友真不错！…… 生（迟疑地）老师，我还有一种方法： 3+3+3+3=12。一只猴子分到3只，2只猴子分到6个，…… 师：你真聪明！也奖你一颗五角星！
• 刘：（皱着眉头）怎么搞得这么复杂啊？ • 陪同者：这不是复杂，这是算法多样化。现在的计算提倡算法多样化。 • 刘：可我怎么觉得很牵强，把简单问题复杂化了？
努力的方向：对于“常识”的必要超越
• 第一，我们究竟应当如何去处理“情境设置”与“数学化”的关系？什么又是数学教学中实现“去情境化”的有效手段？ • 第二，除去积极鼓励学生的主动探究以外，教师又应如何发挥应有的指导作用，特别是，什么更可看成数学教师在这一方面的基本功？
• 第三，什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求？从数学教学的角度看我们应当如何去实现这些要求，数学教学在这一方面是否又有其一定的特殊性？ • 第四，我们应当如何去认识“动手实践”与数学认识发展之间的关系？什么是“活动的内化”的真正涵义？
数学教育的基本问题
（1）数学教学方法；（2）数学教学思想；（3）数学教育思想。
二、关注基本问题（1）：聚焦教学方法
• 数学教学研究的一个永恒主题：教学方法的研究与改革 • 课改10年的回顾：（1）对于新的教学方法的大力提倡以及形式主义的盛行。（2）对于形式主义的必要纠正。
应有的思考 • 就数学教学方法的改革而言，我们在当前已经建立起了哪些共识？
• 刘（很困惑地）：老师到底想问什么？学生答了，她又不满意，也不理会。 • 陪同者：这一环节是算法的优化，多样化以后一般都会优化。前面两个学生说的不是最优的方法，所以没办法理会。

探讨椭圆的学与教(续)

束的帮助，究在一焦点上发出的光束经切点镜面反射探后，反射光束会否通过另一焦点，以验证椭圆形为真正
椭圆的可能性．
通过这些活动，只增添了学习的趣味，生其实不学
结束语
动用了不少椭圆形的性质，加深了对椭圆形的了解．与内地一位教授交谈，观察到内地数他学课程圆锥曲线部分有不少篇幅，港新的香高中课程已把相关部分删去．实早期香港其高中数学课程中对圆锥曲线也有不少讨论，图２极点与极线９
的倾斜，出时间引入离散数学）腾．不过，上面可以看从到，圆锥曲线除了沉浸在一大堆数学技巧外，其实还有不少文化及活动性的蕴涵．这在教授类似课题时学生
会学得更有趣味，习效果自然更好一点．学
参考文献
为 — 平面上的抛物线．ｚ
＿
抛物线运动轨迹的包络面为一顶点在正ｚ一轴上的抛物面
（ａｂｌｉ）ｐｒｏｄ．ａｏ
许世红，黄毅英（待刊）．研发数学教学内容知识，提高教师培
训效益．
证明
在 — 平面上，ｚ若我们可证明：
引理以大小为，以不同的发射角，≤ ≤仃，Ｏ在原点０所发射的质点，其抛物线运动轨迹的包络线为一顶点在正：一
课时与课题的平衡—例如有意见认为应减轻对微积分
其中ｔ时问，为ｇ＝ｆｇ及为与一轴的交角，Ｉ

在学生说题中提高教学效果

－量．一量・嘈．．量．．量．．量．－圣－量．－量－圣．－圣．－至－量．＿量・啼．－量．．Ｈ．．量．．圣－量．－圣．－量．．量－Ｈ．－量．－量－Ｈ．．量．－量．－Ｈ＋＿量．－量－＿Ｈ－圣．＿圣．＿量．＿如—｝．｛・量．＿圣
ＭＰＣＫ视角下的核心概念教学
——谈“直线的倾斜角和斜率”的教学设计
浙江省宁波市北仑明港高级中学（３１５８０６）
数，舍去，所以ａ＞÷
二
学生遇到题目都能说出各种题型的方法，经常这样训练，必然达到事半功倍的效果．但每种题型有几种方法时，一定要能够合理的选择．
例３
不等式≯＋删一３ａ＞０在髫Ｅ［一２，２］
是命题ｑ对应不等式解集的子集，本题可以从三个角度考虑：（１）求出命题ｑ对应不等式的解集，再用不等式知识处理，本题的题型可看成是解不等式组；（２）假设不等式２髫２—９髫＋口＜０的解集为（石。，膏：），因为（２，３）￡（茗１，茹２），可以得到不等式２菇２—９鼻＋ａ＜０在（２，３）上恒成立，本题的题型可以看成不等式在区间内恒成立问题；（３）第一种方法中不等式组是无理不等式，在江苏高考中是不作要求的，学生即使能解出来也容易出错，本题可以不求出命题ｇ对应不等式的解集，而看成方程２菇２—９茗＋口＝０的两根茗，，髫２分别满足菇ｌ≤２，ｘ：≥３，这样就转化为二
效益．
学研究；健全并完善学校集体备课制度，充分发挥集体智慧，围绕课程标准共同探讨教学方法，制订教学计划，并通过说课的形式交流教学设计；充分发挥课题研究在教学中的引领作用，积极参与或开展校内或校际间的数学新课程教学设计的课题研究．了解高中数学内容的主线，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，根据教学实际的需要确定课题，将课题研究的重点放在教学实践、资源建设等方面．经常反思自己的教学活动，进一步提高自身的修养和

基于变式教学在数学教学中的应用研究

变、括的能力。概
２世纪９年代初，００随着上海 “ 青浦经验 ” 在全国的推广，作为其重要内容之一的“ 变式训练” 获得了人们的普遍关注。顾泠也沅先生率先对变式教学进行了系统的实验研究与理论分析，并多
次撰文对 “ 式教学 ” 行了论述。他的研究主要涉及到两个方变进面：是对传统教学中的 “ 念变式 ” 行系统Байду номын сангаас的恢复与整理；一概进二是将 “ 概念性变式 ” 推广到 “ 程性变式 ” 其后，过。郑毓信提出将变式做 “ 概念变式与问题变式” 的区分。Ｍａｏ为首的境外学者，ｒｎｔ基于现象图式学理论，提出了“ 习的变异原理 ” 教学即变异学和“
例如，在讲授 “ 多边形内角和等于ｆ一）１０ ’ ，ｎ２・８时教师可利用图形的变式教学，引导学生把五边形等分割成若干三角形，内求角和。然后再通过添、减边数，图形变式，对老师边操作、观察边分析；步引导学生通过类比，出猜想：边形内角和等于逐提多（一）１０，检验这个猜想是否正确，后得出这条定理。通过ｎ２・８。再最这样的情境引导，使学生对学习过的概念、定理产生联想，进行分析探求，中发现数学的内在规律性，从揭示概念、定理和公式的本质特征。
３借助课例变式，．２促进知识正迁移变式教学的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相

MPCK视角下的核心概念教学——谈“直线的倾斜角和斜率”的教学设计

MPCK视角下的核心概念教学——谈“直线的倾斜角和斜率”
的教学设计
马海峰
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】数学教学内容知识（Mathematic Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）MPCK是关于某一特点的数学教学内容该如何进行表达、呈现和解释，从而使学生更容易接受和理解的知识．按照香港中文大学黄毅英教授的观点，MPCK是三个基本集：
【总页数】4页(P11-14)
【作者】马海峰
【作者单位】浙江省宁波市北仑明港高级中学,315806
【正文语种】中文
【相关文献】
1.数学概念教学中体现概念的形成过程——高一年级《直线的倾斜角与斜率》教学设计 [J], 沈子兴;
2.概念教学中把握概念的生成机会——以“直线的倾斜角和斜率”教学设计为例[J], 丁泽楠
3.直线倾斜角与斜率的概念教学设计 [J], 汪庆红;曹时武
4.TPACK视域下的数学概念教学设计——以“直线的倾斜角与斜率”为例 [J], 高雅;周莹
5.基于知识互联的概念教学——以“直线的倾斜角与斜率”教学设计为例 [J], 巩金秋
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数学教学内容知识——结构特征与研发举例

Mathematical Pedagogical Content Knowledge Structure and Research Case 作者：黄毅英[1] 许世红[2,3]
作者机构： [1]香港中文大学,香港 [2]华南师范大学公共管理学院,广东广州510631 [3]广州市教育局教学研究室,广东广州510030
出版物刊名：数学教育学报
页码： 5-9页
主题词：教学内容知识数学教育教师培训
摘要：教学内容知识的提出是近年来师范教育理论研究的一个热点问题,其主要目的是克服目前师范教育中的两种倾向：侧重于一般教学法的培训和侧重于纯粹学科内容的培训.数学教师开展常规教学应具备的知识有：数学学科知识,一般教学法知识和有关数学学习的知识.常见的教学内容知识培训切入点有：数学知识结构的解读、引入数学史、学与教过程中常见的疑点.在职优秀教师的数学教学内容知识结构的特征有：数学教学法知识灵活,数学内容知识丰富,教学内容知识多样.。

试着明白学生的不明白

试着明白学生的不明白“我不明白为什么学生不明白”2008年5月8日，黄毅英博士到首都师范大学作报告。

用这句拗口的话说出了我们老师们的职业困惑。

“我用心地讲了，为什么学生还是眉头紧锁？我讲的很明白了，为什么学生还是心路难启？”，是他们智力不好吗？看看他们在操场上的身影，个个生龙活虎，机灵着呢！看看他们动手做出的手工，件件栩栩如生，聪明着呐！我们最大的困惑不是来自教材的学科知识，也不是来自教材处理的多种方法。

而是我们不明白学生是怎么学习的，他们在学习的过程中真正的障碍是什么，在学习时是怎样的思维过程，他们的认知方式与我们成人有哪些不同，他们会怎样想，又为什么会这样想……我们不明白为什么学生不明白！我们不明白学生为什么还是不明白！！如今，我对这句话越品越有味道，在今天遇到了学生的一个“不明白”，有了些思考，数学课没有味道，这是许多学生的共同想法。

的确如此，语文能联系生活实际，历史课有故事可听，生物课许多知识学生都知道，化学课可以做实验等等，只有数学不一样。

与生活联系密切的加减乘除小学就学完了，又枯燥无味，应用不多，以致不少学生没有兴趣，不喜欢数学。

多年来，我不断的思考，怎样才能让学生由不明白变得明白呢？我想可以以下的几个方面入手：首先，从学生熟悉的生活发出创设情境，激发他们的学习积极性。

如学习二次函数时，教师可以举例如扔出去的粉笔头；同学们打篮球时所投的篮球等物体的行动路线，他们是什么样的呢？从而引发他们的学习积极性。

其次，数学课也可以先提出问题，造成悬念，激发学生的学习积极性。

学习解直角三角形时，教师可以举这样的例子，如施工队修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了提前完成施工任务，想在山的两侧同时施工，如何确定开挖地点再次，可以运用多媒体进行数学教学，使枯燥无味的数学知识变得生动形象。

最后，我们不要用成年人的眼光去看待学生，不要用成年人的心理去揣摩学生心理。