正态分布+参考值
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正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
正态分布与医学参考值范围
确定医学参考值范围的意义
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
医学统计学正态分布及参考值范围的制定
正态分布的应用
1. 估计变量值的频数分布 2. 制定参考值范围
例 某地用随机抽样方法检查了140名成年男子 的红细胞数(1012/L)，检测结果如下表：
4.76 5.00 5.24 4.33 5.26 4.73 4.97 4.83 5.61 4.47 4.71 4.56 5.95 5.34 4.44 5.44 4.46 4.70 4.94 4.79 4.57 4.81 5.05 4.91 4.31 4.93 4.78 4.26 5.18 5.04 4.52 4.38 4.92 4.40 4.63 4.87 4.27 5.27 5.51 4.99 4.77 4.63 5.24 5.60 4.88 5.50 4.98 4.46
（三）参考值范围的估计方法
1、正态分布法 若取95%界限， 双侧： X 1.96S 单侧：若高不正常，则 < X+1.645S 若低不正常，则 > X -1.645S 2、百分位数法 若取95%界限， 双侧： P2.5 ~ P97.5 单侧：若高不正常，则 < P95 若低不正常，则 > P5
-1
+1
+1.96
+2.58
x
-2.58
-1.96
-1
0
+1
+1.96
+2.58
u
4、正态曲线下的面积分布规律
μ±1σ
μ±1.96σ μ±2.58σ
占正态曲线下面积的 68.27%
占正态曲线下面积的 95.00% 占正态曲线下面积的 99.00%
若n>100，则μ可用 X 代替，σ用 s 代替。
1 ( 1 / 2 )[ X ] f X e , x 2
正态分布及参考值范围估
双侧 P/2×100~P(1- /2) ×100 单侧 < P(1-)×100 或 > P×100 • 双侧95%参考值范围: P2.5~P97.5 • 单侧95%参考值范围：<P95 或 >P5
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
17
/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
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/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33
医学统计学-正态分布和医学参考值范围1
第四节 正态分布及其应用
一、正态分布(2)
(1)
(2)
(3)
正态曲线下面积分布规律(2)
68.27% 95.00%
-2.58
-1.96
-1.
0 99.00%
1
1.96
2.58
68.27% 95.00%
-2.58 -1.96 -1
0 99.00%
1 1.96 2.58
A正态分布 和 标准正态分布 曲线下面积分布规律
95% 99%
x 1.64S (或x u s)
x 2.33S (99%)
根据标准正态曲线下的面积计算 . 由 值可得出 Ua 值 （ 在假设检验中,叫检验水准）常用正态分布法参考值 范围 是： 单侧 双侧 0.20 0.84 1.28 0.10 1.28 1.64 0.05 1.64 1.96 0.02 2.05 2.33 0.01 2.33 2.58
8）选定合适的百分界限，
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在 的范围，这个“绝大多数”习惯上指 80% 、 90% 、 95% 99% 最常用的是95%
9 ）对资料的分布进行正态正态性检验 10）根据资料的分布类型制定适当的方 法 进行参考估计范围。
3.参考值范围的估计方法
99.00%
实际工作中经常要用的面积分布规律有以下三点： 范围内占正态曲线下面积 68.27%，也就是说 有68.27%的变量值分布此范围内。 x 1.96s — x 1.96s 范围内占正态曲线下面积的95%，也 就说95%的变量值分布次范围. 内同理 x 2.58s 范围内占正态曲线99%，也就说只有 1.00%的变量值分布此范围外。
一、正态分布(2)
(1)
(2)
(3)
正态曲线下面积分布规律(2)
68.27% 95.00%
-2.58
-1.96
-1.
0 99.00%
1
1.96
2.58
68.27% 95.00%
-2.58 -1.96 -1
0 99.00%
1 1.96 2.58
A正态分布 和 标准正态分布 曲线下面积分布规律
95% 99%
x 1.64S (或x u s)
x 2.33S (99%)
根据标准正态曲线下的面积计算 . 由 值可得出 Ua 值 （ 在假设检验中,叫检验水准）常用正态分布法参考值 范围 是： 单侧 双侧 0.20 0.84 1.28 0.10 1.28 1.64 0.05 1.64 1.96 0.02 2.05 2.33 0.01 2.33 2.58
8）选定合适的百分界限，
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在 的范围，这个“绝大多数”习惯上指 80% 、 90% 、 95% 99% 最常用的是95%
9 ）对资料的分布进行正态正态性检验 10）根据资料的分布类型制定适当的方 法 进行参考估计范围。
3.参考值范围的估计方法
99.00%
实际工作中经常要用的面积分布规律有以下三点： 范围内占正态曲线下面积 68.27%，也就是说 有68.27%的变量值分布此范围内。 x 1.96s — x 1.96s 范围内占正态曲线下面积的95%，也 就说95%的变量值分布次范围. 内同理 x 2.58s 范围内占正态曲线99%，也就说只有 1.00%的变量值分布此范围外。
正态分布和医学参考值范围1
4、制定正常值范围时，应根据指标的实际用途和特征来决定 取单或双侧正常值范围。 5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应 首选百分位数法。 6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百 分位数法稳定,受两端数据影响较小。
医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落 在 x 1.96s 范围内。 a．68.27% b．90% c．95% d．99% e．45% 2、正态曲线下，从均数μ到μ+1.645σ的面积为 ________。 a．45% b．90% c．95% d．47.5% e．99% 3、标准正态分布是指_________正态分布。 a．μ=0 σ=1 b．μ=1 σ=0 c．μ=0 σ任意 d．μ任意 σ=1 e．以上都不对 X 1.960S X 1.645S 4、资料呈偏态分布，90%双侧正常值范围为_________。 a． x 1.96s b． x 1.64s c．P2.5～P97.5 d．P5～P95 e．0～P90
4）统一测量方法与条件，控制测量误差
测量方法与条件统一，是控制系统误差，测量误差，保证参 考值的可靠性与代表性的重要措施，如检验人员操作方法，熟 练程度相近，实验室条件一致，测试仪器型号相同这些要求应 该满足。
5）确定观察例数（样本含量）
在一般的情况下观察例数越多（抽取样本含量是够大）结果 越接近总体，如白细胞分类计数时，数的白细胞越多，分类计 数就越正确，变异程度较大指标，多一些观察例数是恰当的， 一般样本含量最好将在100例以上。
6、在正态分布资料中，95%的双侧正常值范围常用________ 表示。 a． X 1.960S b．P25～P97.5 X 2.58S d．P5～∞ c． e．P5～P95 7.用百分位数法确定正常值范围，适用于_________资料。 a．分布不对称或不知分布 b．正态分布 c．大样本资料 d．小样本资料 e．以上都对 8、标准正态分布曲线下中间 90%的面积所对应的横轴尺度 u 的范围是________。 a．－1.645到+1.645 b．－∞到+1.645 c．－∞到+2.282 d．－1.282到+1.282 X 1.96S e．－1.96到+1.96
正态分布及参考值范围
u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础
医学统计学-正态分布和医学参考值范围
② 百分位数法，
如资料呈偏态分布或分布不明，用百分位数法：
双侧 95% P2。5 —— P97。5 单侧 95% P95 （单侧上界 ） 计算用百分位数的公式：
P5 （单侧下界）
例9-12 利用例9-7的资料计算6岁以下男童发铅值95%的参考值范 围。发铅值是一个偏态分布的 资料，可用百分数法制定其参考 值范围 ，发铅过高才属异常，所以应计算其
.
8）选定合适的百分界限，
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在
的范围，这个“绝大多数”习惯上指80%、90%、95%
99%
最常用的是95%
9）对资料的分布进行正态正态性检验
10）根据资料的分布类型制定适当的方 法
进行参考估计范围。
.
3.参考值范围的估计方法
估计参考值范围方法很多。主要是正态分布法。百分位数法和对 数正态分布法，以95%为例来说明。
10 .0 4 11 .1 05
u1
1.05 5.86
10.08 11.105
u2
查附表(1)
0.37 5.86
u 1 1 .0 50 .146 u2 9 0.3 70.3557
D u 2 u 1 0 . 3 3 0 . 1 5 4 0 . 2 7 6 0 9
.
正态分布的应用:
取单或双侧正常值范围。
5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应
首选百分位数法。
6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百
分位数法稳定,受两端数据影响较小。
.
医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落
正态分布及参考值范围
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数 μ和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ 。正态分布曲线只与这两个参数有关。
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
68.27% 95% 99% -2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量如 下表，试估计该地正常女子血清总蛋白<68.0g/L、 <78.0g/L、和 ≥78.0g/L所占正常女子总人数的百 分比。
表 某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量 67.3 75.4 73.1 70.9 75.1 72.6 78.2 68.8 73.8 71.5 66.5 75.1 70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 64.1 75.1 76.3 77.8 65.2 75.0 72.7 78.8 71.1 71.8 72.9 76.1 71.2 75.2 72.9 79.5 73.9 75.2 73.1 79.5 81.8 74.5 81.6 74.5
百分位数法 应用条件 : 偏态分布资料
参考值范围 （%）
90
双侧 P5~P95
只有下限
单侧
只有上限
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数 μ和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ 。正态分布曲线只与这两个参数有关。
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
68.27% 95% 99% -2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量如 下表，试估计该地正常女子血清总蛋白<68.0g/L、 <78.0g/L、和 ≥78.0g/L所占正常女子总人数的百 分比。
表 某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量 67.3 75.4 73.1 70.9 75.1 72.6 78.2 68.8 73.8 71.5 66.5 75.1 70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 64.1 75.1 76.3 77.8 65.2 75.0 72.7 78.8 71.1 71.8 72.9 76.1 71.2 75.2 72.9 79.5 73.9 75.2 73.1 79.5 81.8 74.5 81.6 74.5
百分位数法 应用条件 : 偏态分布资料
参考值范围 （%）
90
双侧 P5~P95
只有下限
单侧
只有上限
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
《医学统计学》医统-第三章正态分布与医学参考值范围
估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
正态分布及参考值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
正态分布及参考值范围.
内容
1
正态分布的特点
标准正态分布 正态分布的应用
2
3
35 30 25
某地140名正常 成年男子红细 胞数（1012/L ） 频数分布图 观察人数不断 增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
350 300 250 200 150 100 50 0 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3
人数
20 15 10 5 0
u~N（0，1）
（ ） （ ） ②改变形状： （ 1.96） 使标准差由σ变为 1——“x–μ/ σ” 68.27%
95% 100% 99%
0
u
-2.58 -1.96 -1
1
1.96 2.58
标准正态分布表
标准正态分布曲线下的面积可以通过查标准正 态分布表得到
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.5 4
μ=4.75
μ=5.95
4.5
5
5.5
6
6.5
7
正态分布位置变换示意图
形态参数——标准差σ
决定正态分布曲线的形状。 固定位置参数μ ，σ值变小 ，曲线变“瘦高”（陡峭）， σ值变大，曲线变“矮胖”（ 平坦），曲线位置不变 。
0.8 0.6 0.4 0.2 0
应用
估计医学参考值范围 质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 其他许多统计方法的基础
医学参考值估计
含义
绝大多数（一般95%或99%）正常人的各 种生理、生化、组织或排泄物中各种成 分的含量
考虑问题
确定目标总体 选择“正常人” 选择一批病人作为制订参考值之参考 统一测量方法和条件 确定观察对象例数 确定单双侧位界 确定参考值组数 选定百分位界
1
正态分布的特点
标准正态分布 正态分布的应用
2
3
35 30 25
某地140名正常 成年男子红细 胞数（1012/L ） 频数分布图 观察人数不断 增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
350 300 250 200 150 100 50 0 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3
人数
20 15 10 5 0
u~N（0，1）
（ ） （ ） ②改变形状： （ 1.96） 使标准差由σ变为 1——“x–μ/ σ” 68.27%
95% 100% 99%
0
u
-2.58 -1.96 -1
1
1.96 2.58
标准正态分布表
标准正态分布曲线下的面积可以通过查标准正 态分布表得到
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.5 4
μ=4.75
μ=5.95
4.5
5
5.5
6
6.5
7
正态分布位置变换示意图
形态参数——标准差σ
决定正态分布曲线的形状。 固定位置参数μ ，σ值变小 ，曲线变“瘦高”（陡峭）， σ值变大，曲线变“矮胖”（ 平坦），曲线位置不变 。
0.8 0.6 0.4 0.2 0
应用
估计医学参考值范围 质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 其他许多统计方法的基础
医学参考值估计
含义
绝大多数（一般95%或99%）正常人的各 种生理、生化、组织或排泄物中各种成 分的含量
考虑问题
确定目标总体 选择“正常人” 选择一批病人作为制订参考值之参考 统一测量方法和条件 确定观察对象例数 确定单双侧位界 确定参考值组数 选定百分位界
3章 正态分布与医学参考值范围
u
19
标准正态分布（累积）分布函 数为：
(u )
u
-
1 e 2
u2 2
du
20
对于任何参数μ和σ的正态分布，都可以通过一个简单 的变量变换化成标准正态分布，即：
u
X
标准化
21
X1
u
X
u1
为了方便，统计学家编制了标准正态分布曲线下面
积分布表，通过查表可以得到u值左侧的面积。
（C.F.Gauss，1777-1855）
2
值广为人知。
高斯的肖像已经被印在从1989年至 2001年流通的10德国马克的纸币上。
3
一、正态曲线
图2-1
图3-1
图3-2
某地正常成年男子红细胞数的分布情况
4
正态曲线：是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并
完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
10
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
28
第二节 医学参考值范围
一、医学参考值范围的概念
医学参考值范围(reference value range)：指
正常人体的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物 的含量等各种数据的波动范围。
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1
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式， 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面 正态分布的首次露面. 被认为是正态分布的首次露面 正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广， 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布. 斯分布.
德莫佛
2
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
39
例题
例 某地抽查了样本含量较大的部分成年男 女的红细胞数，数据见表，试制定临床参 考值范围。
40
例题
某地正常成年男、女红细胞数（ 表 某地正常成年男、女红细胞数（×1012/L） ） 性别 男 女
X
S 0.25 0.22
41
5 4.5
因正常成年男、女红细胞数有差别，故需分别 制定男、女红细胞数参考值范围 红细胞数呈正态分布，红细胞数过高过低都不 正常。 因此制定双侧95%参考值范围。
3
正态分布重要性
其一，医学研究中的某些观察指标服从或近 似服从正态分布； 其二，很多统计方法是建立在正态分布的基 础之上的； 其三，很多其他分布的极限为正态分布。
4
身高的分布
(a)
(b)
(c)
(d)
5
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X ) =
1
σ 2π
e
−
( X − µ )2 2σ 2
X ± us
X ±1.00s X ±1.96s X ±2.58s
身高范围(cm) 136.67～148.67 130.91～154.43 127.19～158.15
实际分布 人数 86 114 118 百分数(％) 71.67 95.00 98.33
理论分布(%) 68.27 95.00 99.00
16
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均 数为0，标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
ϕ(X ) =
1 2π
e
− u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
17
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(µ,σ2)，作变换：
20
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一； 正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均 数和标准差； 正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标 准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态 离差为单位)。
21
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
22
估计频数分布
正态变量x转化为标准正态变量u，（公式 ☆ 正态变量x转化为标准正态变 u，（公式
u = X − µ
σ
）再用u值查表，得所求区间面积 再用u值查表，
占总面积的比例。 占总面积的比例
23
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
单侧下限---过低异常 单侧下限 过低异常
异常 正常 单侧下限
单侧上限---过高异常 双侧---过高 过高、 单侧上限 过高异常 双侧 过高、过低均异常
正常 异常 正常 异常 双侧上限
34
异常
单侧上限
双侧下限
确定参考值范围的意义：
用于判断正常与异常。
“正常人”的定义：
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的 同质的人群。
32
参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围
33
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
u=
X −µ
σ
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
18
正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
19
标准正态分布曲线下面积Φ(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
47
48
正常人与病人的数据分布重叠示意图(单侧)
正常人 假阴性率 病人 假阳性率
35
正常人与病人的数据分布重叠示意图(单侧)
正常人 假阴性率 病人 假阳性率
36
正常人与病人的数据分布重叠示意图(双侧)
假阴性率 正常人
假阳性率
病人
病人
37
参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 双侧 单侧下限 单侧上限
X ± uα / 2 s
(e表示常数 表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞) 表示常数
则称X服从正态分布,记作X～N(µ,σ2),其中， µ为总体均数， σ 为总体标准差。
6
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
7
方差相等、均数µ不等的正态分布图示
µ3
µ1
µ2
8
均数相等、方差不等的正态分布图示
σ2 σ1 σ3 µ
44
45
频数表资料百分位数计算公式: 频数表资料百分位数计算公式
i为组距 为组距
i Px = L + (n × x% − ∑ f l ) fx
fx为Px所在组频数
Σfl 为 小于L 小于 各组段 的累计 频数
46
P95
2 = 11 + × (239 × 95% − 212 ) = 12.88(µmol / kg ) 16
S(-∞,-X)
S(X,∞)＝S(-∞,-X)
µ
11
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
µ
x2 x1
12
正态曲线下的面积规律
95% 2.5% 2.5%
µ-1.96σ
µ
µ+1.96σ
13
正态曲线下的面积规律
90% 5% 5%
25
估计频数分布
首先计算标准离差：
132.00 − 142.67 = −1.78 u= 6.00
查标准正态分布表: Φ (-1.78)=0.0375(3.75 : 0.0375(3.75 ％) 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者， 估计约占3.75％。
26
估计频数分布
表 2.7 120 名 12 岁男童身高的分布比较
µ-1.64σ
µ
µ+1.64σ
14
正态曲线下的面积规律
99% 0.5% 0.5%
µ-2.58σ
µ
µ+2.58σ
15
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相 等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面 积相等； µ-1.64σ～ µ+1.64σ内面积为90%； µ-1.96σ～ µ+1.96σ内面积为95%； µ-2.58σ～ µ+2.58σ内面积为99%。
M+3SD M+2SD
M
M-2SD M-3SD
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 取样时间
31
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。
正态分布及其应用
Normal distribution and its applications
：张旭辉 顾逸霏
Department of Epidemiology & Biostatistics, School of Public Health Nanjing Medical University
27
质量控制
质量控制的意义
监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的 变化，分析变化的趋原因，并及时采取措 施。
28
质量控制图(quality control chart)
M+3SD M+2SD M M-2SD M-3SD UCL (上控制限) UWL(上警戒限) CL (中心线) LWL(下警戒限) LCL (下控制限)
9
正态分布的特征
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式， 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面 正态分布的首次露面. 被认为是正态分布的首次露面 正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广， 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布. 斯分布.
德莫佛
2
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
39
例题
例 某地抽查了样本含量较大的部分成年男 女的红细胞数，数据见表，试制定临床参 考值范围。
40
例题
某地正常成年男、女红细胞数（ 表 某地正常成年男、女红细胞数（×1012/L） ） 性别 男 女
X
S 0.25 0.22
41
5 4.5
因正常成年男、女红细胞数有差别，故需分别 制定男、女红细胞数参考值范围 红细胞数呈正态分布，红细胞数过高过低都不 正常。 因此制定双侧95%参考值范围。
3
正态分布重要性
其一，医学研究中的某些观察指标服从或近 似服从正态分布； 其二，很多统计方法是建立在正态分布的基 础之上的； 其三，很多其他分布的极限为正态分布。
4
身高的分布
(a)
(b)
(c)
(d)
5
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X ) =
1
σ 2π
e
−
( X − µ )2 2σ 2
X ± us
X ±1.00s X ±1.96s X ±2.58s
身高范围(cm) 136.67～148.67 130.91～154.43 127.19～158.15
实际分布 人数 86 114 118 百分数(％) 71.67 95.00 98.33
理论分布(%) 68.27 95.00 99.00
16
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均 数为0，标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
ϕ(X ) =
1 2π
e
− u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
17
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(µ,σ2)，作变换：
20
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一； 正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均 数和标准差； 正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标 准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态 离差为单位)。
21
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
22
估计频数分布
正态变量x转化为标准正态变量u，（公式 ☆ 正态变量x转化为标准正态变 u，（公式
u = X − µ
σ
）再用u值查表，得所求区间面积 再用u值查表，
占总面积的比例。 占总面积的比例
23
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
单侧下限---过低异常 单侧下限 过低异常
异常 正常 单侧下限
单侧上限---过高异常 双侧---过高 过高、 单侧上限 过高异常 双侧 过高、过低均异常
正常 异常 正常 异常 双侧上限
34
异常
单侧上限
双侧下限
确定参考值范围的意义：
用于判断正常与异常。
“正常人”的定义：
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的 同质的人群。
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参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围
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单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
u=
X −µ
σ
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
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正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
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标准正态分布曲线下面积Φ(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
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48
正常人与病人的数据分布重叠示意图(单侧)
正常人 假阴性率 病人 假阳性率
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正常人与病人的数据分布重叠示意图(单侧)
正常人 假阴性率 病人 假阳性率
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正常人与病人的数据分布重叠示意图(双侧)
假阴性率 正常人
假阳性率
病人
病人
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参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 双侧 单侧下限 单侧上限
X ± uα / 2 s
(e表示常数 表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞) 表示常数
则称X服从正态分布,记作X～N(µ,σ2),其中， µ为总体均数， σ 为总体标准差。
6
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
7
方差相等、均数µ不等的正态分布图示
µ3
µ1
µ2
8
均数相等、方差不等的正态分布图示
σ2 σ1 σ3 µ
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45
频数表资料百分位数计算公式: 频数表资料百分位数计算公式
i为组距 为组距
i Px = L + (n × x% − ∑ f l ) fx
fx为Px所在组频数
Σfl 为 小于L 小于 各组段 的累计 频数
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P95
2 = 11 + × (239 × 95% − 212 ) = 12.88(µmol / kg ) 16
S(-∞,-X)
S(X,∞)＝S(-∞,-X)
µ
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正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
µ
x2 x1
12
正态曲线下的面积规律
95% 2.5% 2.5%
µ-1.96σ
µ
µ+1.96σ
13
正态曲线下的面积规律
90% 5% 5%
25
估计频数分布
首先计算标准离差：
132.00 − 142.67 = −1.78 u= 6.00
查标准正态分布表: Φ (-1.78)=0.0375(3.75 : 0.0375(3.75 ％) 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者， 估计约占3.75％。
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估计频数分布
表 2.7 120 名 12 岁男童身高的分布比较
µ-1.64σ
µ
µ+1.64σ
14
正态曲线下的面积规律
99% 0.5% 0.5%
µ-2.58σ
µ
µ+2.58σ
15
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相 等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面 积相等； µ-1.64σ～ µ+1.64σ内面积为90%； µ-1.96σ～ µ+1.96σ内面积为95%； µ-2.58σ～ µ+2.58σ内面积为99%。
M+3SD M+2SD
M
M-2SD M-3SD
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 取样时间
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参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。
正态分布及其应用
Normal distribution and its applications
：张旭辉 顾逸霏
Department of Epidemiology & Biostatistics, School of Public Health Nanjing Medical University
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质量控制
质量控制的意义
监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的 变化，分析变化的趋原因，并及时采取措 施。
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质量控制图(quality control chart)
M+3SD M+2SD M M-2SD M-3SD UCL (上控制限) UWL(上警戒限) CL (中心线) LWL(下警戒限) LCL (下控制限)
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正态分布的特征