学习常微分方程组基本理论

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常微分方程基本知识

一个不亲自检查桥梁每一个部分的坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的；甚至在数学中，有些事情亦须冒险。

-----Horace Lamb------题记概述：数学家谋求用微积分解决越来越多的问题，他们很快发现不得不对付一类新的问题，他们做的比他们有意识去探求的还多。

比较简单的问题引导到可以用初等函数计算的积分，而某些比较困难的问题则引起不能如此表达的积分，如椭圆积分就是实例。

这两类问题属于微积分范围，然而没解决更为复杂的问题，就需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应时兴起了。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

下面就对常微分方程加以介绍常微分方程基本的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

一个常微分方程(ODE)是未知函数的微分方程(亦称因变量)是一个唯一独立变量的作用。

以简单形式，未知函数是一个真正或复杂明度函数，但更加一般，它也许传染媒介被重视或矩阵被重视：这对应于考虑常微分方程系统为一个唯一作用。

常微分方程根据因变量的最高的衍生物的命令进一步被分类关于出现于等式的独立变量。

最重要的论点为应用是优先处理和第二级次的微分方程。

在古典文学也被区分在微分方程之间明确地解决关于最高的衍生物和微分方程以含蓄形式。

常微分方程的内容定义1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。

常微分方程初步理论和应用

常微分方程初步理论和应用常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、经济学等。

本文将从理论和应用两个方面进行探讨。

一、常微分方程的基本概念和理论1.1 常微分方程的定义常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，形式通常为dy/dx=f(x)。

其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示函数y的导数与自变量x之间的关系。

1.2 常微分方程的分类常微分方程可分为一阶和高阶两类。

一阶常微分方程仅包含一阶导数，例如dy/dx=f(x)。

高阶常微分方程包含多阶导数，例如d²y/dx²=g(x)。

1.3 常微分方程的解常微分方程的解是指能够满足方程的函数，可以通过解析解和数值解两种方式求解。

解析解是指能够用一般公式表示的解，而数值解则是通过计算机等数值方法求得的近似解。

二、常微分方程的应用领域2.1 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体受力下运动的运动方程、描述电路中电流和电压变化的方程等。

通过求解这些微分方程，可以得到系统的运动规律和性质。

2.2 工程学中的应用工程学中常常需要对各种系统进行建模和分析，常微分方程能够提供这些系统的数学描述。

例如热传导方程、流体力学方程等，通过求解这些方程可以得到工程系统的特性和行为。

2.3 经济学中的应用经济学中的许多问题都可以建模为常微分方程，例如经济增长模型、市场供需模型等。

通过求解这些方程可以研究经济系统的演化和稳定性，对经济决策提供科学依据。

三、常微分方程的数值解求解方法3.1 欧拉法欧拉法是求解常微分方程数值解的一种常用方法。

通过离散化自变量和导数，将微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。

3.2 Runga-Kutta方法Runga-Kutta方法是一种多步数值求解常微分方程的方法，通过计算多个点的导数值，得到近似解。

该方法能够提高准确度和稳定性。

3.3 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程的一种方法，通过在自变量的有限区间内选取一系列离散点，将微分算子用差分算子代替，得到近似解。

常微分方程的基本理论与解法

常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。

它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。

本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。

一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。

通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。

常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。

2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。

3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。

4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。

二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。

1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。

2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。

3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。

它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。

三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。

1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。

2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。

3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。

通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。

常微分方程的基本理论

在生物中的应用
描述种群增长模型
描述生物种群竞争模型
描述传染病模型描述生物进化模型
04 常微分方程的分类
一阶常微分方程
定义：一阶常微分方程是形如y'=f(x,y)的方程，其中f是x和y的有理函数。举例：dy/dx=y'，dy/dx=0等。解法：常用的解法有分离变量法、积分因子法、常数变易法等。应用：一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
稳定性分析方法
定义：研究常微分方程解的稳定性分类：局部稳定性、全局稳定性方法：线性化方法、Lyapunov函数法、LaSalle不变原理等应用：控制系统、生态模型等领域
03 常微分方程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律解释自然现象预测未来趋势优化物理实验
在经济中的应用
描述经济系统的动态行为，如供求关系、价格变动等预测经济趋势和未来发展，为决策提供依据分析经济政策的效果和影响，为政策制定提供参考研究微观经济主体的行方程近似解法，通过构造一系列离散点来逼近方程的解。
原理：基于泰勒级数展开，将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
实现步骤：选择初始值，根据差分方程进行迭代，直到满足精度要求。
优缺点：欧拉法简单易行，但精度较低，迭代过程中可能产生较大的误差积累。
龙格-库塔法
定义：一种常用的数值解法，用于求解常微分方程的近似解
原理：基于泰勒级数展开，通过迭代的方式逐步逼近精确解
步骤：选择初始值，迭代计算，直到满足精度要求应用：适用于各种类型的常微分方程，尤其是一阶和二阶线性或非线性方程
改进的龙格-库塔法
定义：改进的龙格库塔法是一种用于求解常微分方程近似解的高效数值方法

常微分方程理论及其应用

常微分方程理论及其应用一、常微分方程的理论首先，我们需要明确什么是常微分方程。

常微分方程是描述一个未知函数与其一些导数之间关系的方程。

根据未知函数的个数和自变量的个数不同，常微分方程可以分为单常微分方程和组常微分方程两类。

对于单常微分方程，根据方程中导数的最高阶数，可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的形式一般为dy/dx=f(x,y)，求解一阶常微分方程的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

高阶常微分方程则需要通过变量代换的方法将高阶常微分方程转化为一阶方程组来求解。

对于组常微分方程，它由多个未知函数与它们的导数之间的关系方程组成。

组常微分方程的求解分为两种情况，一种是齐次线性组常微分方程，另一种是非齐次线性组常微分方程。

对于齐次线性组常微分方程，我们可以通过矩阵运算的方式来求解。

而对于非齐次线性组常微分方程，我们需要通过特解和通解结合的方法来求解。

在常微分方程的理论研究中，我们还常常遇到的一个重要概念是初值问题。

初值问题是指在给定其中一初始条件下，求解满足该初始条件的微分方程解。

初值问题的解的存在唯一性是常微分方程理论研究的一个重要问题，我们需要通过一些数学分析方法来证明。

二、常微分方程的应用常微分方程的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、生物学等各个领域。

以物理学为例，常微分方程广泛应用于天体力学、力学、电磁学等领域。

在天体力学中，通过对轨道方程建立和求解，可以预测行星运动。

在力学中，通过建立运动方程，可以求解物体的运动轨迹。

在电磁学中，通过建立麦克斯韦方程，可以研究电磁场的变化规律。

这些都是常微分方程在物理学中的应用。

在工程学中，常微分方程被广泛应用于电路分析、控制系统、信号处理等方面。

在电路分析中，通过建立电路方程和求解，可以得到电路中电流和电压的变化规律。

在控制系统中，通过建立系统的数学模型和求解微分方程，可以研究系统的稳定性和响应特性。

在信号处理中，通过建立信号的微分方程和求解，可以对信号进行滤波和提取。

常微分方程第三章基本定理

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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。

常微分方程第二章

第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1）如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3）事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4）它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出），假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ）利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5）则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域（1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解，因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内，选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件，若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=，（2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ，代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ，代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

对“常微分方程”线性微分方程组理论的教学探究

对“常微分方程”线性微分方程组理论的教学探究1. 引言1.1 研究背景常微分方程是数学中的一个重要分支，它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。

线性微分方程组作为常微分方程的一个重要分支，其理论和方法对于解决实际问题具有重要意义。

研究背景方面，线性微分方程组的理论和方法是解决实际问题的重要工具之一。

通过对线性微分方程组的探究，可以帮助我们更好地理解自然现象和工程问题背后的数学原理，提高问题的求解效率和准确性。

线性微分方程组也是数学和工程领域中的一个重要研究方向，不断有新的理论和方法被提出和应用。

在教学中，对线性微分方程组的理论和方法进行深入的探究和教学，可以帮助学生建立起扎实的数学基础，提高他们的问题解决能力和创新能力。

对线性微分方程组的教学探究具有重要意义，可以为学生的学习和发展提供有力支持。

1.2 研究意义线性微分方程组理论的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

线性微分方程组是数学分析中的重要分支之一，其理论研究对于深入理解微分方程的性质和解的存在唯一性具有重要意义。

线性微分方程组的矩阵表达和特征值问题在科学和工程领域中有着广泛的应用，例如在控制论、物理学、生物学等领域中都有着重要的应用价值。

线性微分方程组的稳定性研究可以帮助我们预测系统的稳定性以及解的长期行为。

在教学中，深入探讨线性微分方程组的理论和方法，不仅可以提高学生对微分方程的理解和掌握，还可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

对线性微分方程组理论的教学探究具有重要的教育意义。

通过对线性微分方程组的深入研究和教学实践，可以帮助学生建立扎实的数学基础，为他们今后的学习和科研打下坚实基础。

深入研究线性微分方程组理论的教学探究具有重要的意义和价值。

1.3 研究目的研究目的是为了深入探究常微分方程线性微分方程组理论，提升教学效果和学生学习质量。

通过对线性微分方程组的概念、基本理论、解法和性质的研究，帮助学生建立起对该领域的系统性认识与理解。

常微分方程的一般理论

第三章：常微分方程的一般理论3.2 一阶常微分方程初值问题的存在和唯一性定义3.2.1 在区间I =[a,b]上给定某个连续函数序列f 1(x )，f 2(x )，…，f n (x )，…，如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ=δ(ε)>0，当x 1，x 2ϵI 且 |x 1−x 2|<δ时，对任意的n =1，2，…有|f n (x 1)−f n (x 2)|<ε成立，则我们称连续函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的。

如果存在一个与x 以及n 都无关的常数K ，使得|f n (x )|≤K ，x ∈I ，n =1，2，…成立，则我们称函数序列{f n (x )}n=1∞是一致有界的。

定理3.2.1 （Ascoli-Arzela 定理）有限闭区间I 上的一致有界，等度连续的函数列{f n (x )}n=1∞，至少存在一个I 上一致收敛的子序列 {f n k (x )}n=1∞，并且其极限函数在I 上连续。

引理3.2.1 设A 是有限闭区间I 的稠密子集。

如果I 中的函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的且对x ∈A ，{fn (x )}n=1∞收敛，则函数序列{f n (x )}n=1∞在I 中是一致收敛的且其极限函数f (x )在I 中连续。

定理3.2.2（皮亚诺存在性定理）设f(x,y)在矩形区域R ={(x,y )：|x −x 0|≤a,|y −y 0|≤b}上连续，则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上至少存在一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理3.2.3（毕卡存在唯一性定理）设f(x,y)在矩形区域R={(x,y)：|x−x0|≤a,|y−y0|≤b}内连续，而且对y满足Lipschitz条件：存在一个常数L>0，使得对于所有的(x,y1)∈D和(x,y2)∈D，函数f(x,y)满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|y1−y2|则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上有并且只有一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理 3.2.4 设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件：f(x,y)在区域G内连续，而且满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤F|y1−y2|其中F(r)>0是定义在r>0上的连续函数。

常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（）记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

《常微分方程》知识点整理

《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。

常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。

1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。

它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。

常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。

2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。

一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。

3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。

它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。

求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。

4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。

这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。

5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。

6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。

例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。

7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。

这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。

总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。

数学中的常微分方程基本理论及应用研究

数学中的常微分方程基本理论及应用研究常微分方程是研究物理、生物、经济、工程等领域的基础数学工具之一。

本文将从常微分方程的概念入手，介绍其基本理论和应用研究。

一、概念常微分方程是指一个未知函数依自变量及其导数的函数关系式，其中未知函数是一个函数而不是一个数，已知函数为已知的函数或常数。

这个未知函数的导数只依赖于自变量而不依赖于未知函数本身。

常微分方程是研究物理、生物、经济、工程等领域现象的数学模型，可以描述物理现象的运动、细胞内的化学反应、人口与经济发展等现象。

二、基本理论1.解的存在唯一性解的存在唯一性是常微分方程理论的基本结论。

一般分为局部存在唯一性和全局存在唯一性两种情况。

其中，局部存在唯一性的证明一般是通过柯西-利普希茨定理进行的；全局存在唯一性需要借助一些额外的前提条件，比如“解是全局Lipschitz连续的”。

2.解的稳定性解的稳定性是指对于微小扰动，初始条件和解的轨迹随时间的演化关系。

一般分为渐近稳定和指数稳定两种情形。

其中，渐近稳定是指随着时间的演化，初始条件与其脱离越来越远；指数稳定是指随着时间的演化，初始条件与其脱离的速度指数递减。

3.常微分方程的分类常微分方程大致可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、高阶常微分方程、偏微分方程等几种。

其中，线性常微分方程有严格且简单的解析表达式，成为常微分方程理论中研究最为充分的分支之一。

三、应用研究1.物理学中的应用常微分方程在物理学中有着非常广泛的应用。

比如，机械振动、空气阻力、微积分物理、连续介质力学以及天体力学等等，都是通过常微分方程的模型来描述问题的。

2.生物学中的应用微生物、癌细胞的生长肿瘤、骨质疏松以及神经元网络连接等等都可以被用常微分方程的模型描述。

在实际的生物学研究中，常微分方程可以被用来描述遗传网络、肿瘤生长等复杂的生物现象。

3.工程控制中的应用控制论问题也可以通过常微分方程的模型来描述。

例如，化工过程、自动控制、通信网络等等，都可以使用常微分方程控制模型进行设计和优化。

常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论

性质3.1 性质3.1
L(cx) = cL(x)L c 为常数. L 为常数.
性质3.2 性质3.2 L(x1 + x2 ) = L(x1) + L(x2 )
6
dn x d n−1x dx + a1(t) n−1 +…… n−1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt
(3.2.2)
(3.2.2)
x 定理3.4 定理3.4 若函数组 x1(t)， 2 (t),L, xn (t) 是齐线性方程
在区间（）上的n个线性无关的解在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式则它们的
W[x1(t)，x2 (t),L, xn (t)]在该区间上任何点都不为零. 在该区间上任何点都不为零
cx
(n−1) 1 1
L L, L
(t) + c x
(n−1) 2 2
(t) +L+ c x
(n−1) n n
(t) ≡ 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于上述个恒等式所组成的方程组是关于 c1, c2 ,L, cn 系数行列式就是的齐次方程组, 它的系数行列式就是齐次方程组它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 行列式由线性代数的知识知要使方程组存在非零解, 则必有 W(t) = 0. 非零解
证明: 证明用反证法假设有 t0 ∈(a, b), 使得 W(t0 ) = 0.
18
考虑关于 c1, c2 ,L, cn 的齐次线性代c2 x2 (t0 ) +L+ cn xn (t0 ) = 0, c x′(t ) + c x′ (t ) +L+ c x′ (t ) = 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 L L L c x (n−1) (t ) + c x (n−1) (t ) +L+ c x (n−1) (t ) = 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1

常微分函数知识点总结

常微分函数知识点总结常微分函数是微分方程中的一种特殊类型，它是指一个未知函数的微分与它本身的函数关系。

在数学中，微分方程是描述自然现象变化规律的重要工具，因此常微分函数也是微分方程研究的重要对象之一。

在此，我们将对常微分函数的基本概念、性质和解法等进行总结。

常微分函数的基本概念首先，我们来了解一下常微分函数的基本概念。

常微分方程是指一个未知函数的导数与函数本身之间的关系式，这种导数与未知函数本身之间的关系便是常微分函数。

常微分函数的一般形式可以写为：y’ = f(x, y)其中，y为未知函数，x为自变量，f(x, y)为关于x和y的函数。

在常微分函数中，y’称为函数y的导数，它表示y随着x的变化而变化的速率。

而f(x, y)则是一个关于x和y的函数，它描述了y的导数与y本身之间的关系。

常微分函数的一个重要特点是未知函数y的导数与未知函数y本身的关系是隐式的，它不是通过解析式具体表达的。

常微分函数的解法在解常微分函数时，最常用的方法之一是分离变量法。

分离变量法是将未知函数y的导数与未知函数y本身的关系式进行变换和分离，最终得到一个可以通过积分求解的方程。

接下来，我们以一个简单的一阶常微分方程为例来说明分离变量法的解法：dy/dx = x/y我们可以将方程变形为：ydy = xdx然后对两边同时积分，得到：∫ ydy = ∫ xdx解得：1/2 * y^2 = 1/2 * x^2 + C其中，C为积分常数。

最终解得未知函数y与自变量x之间的关系式：y = ±√(x^2 + C)这便是通过分离变量法解出的常微分函数的解。

常微分函数的性质除了解法外，常微分函数还具有一些重要的性质。

其中，一个重要的性质是存在唯一性定理。

唯一性定理是指若常微分方程满足一定的 Lipschitz 条件，则它的解在一定的条件下是唯一的。

这个定理对于常微分方程的解的存在性和唯一性提供了重要的保证，极大地推动了常微分方程的理论研究和应用。

常微分方程基本理论

常微分方程基本理论常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，研究微分方程的性质和解的存在性、唯一性以及稳定性等基本理论。

本文将从常微分方程的基础概念入手，逐步介绍一些常见的常微分方程及其解法，并探讨一些常微分方程在科学和工程问题中的应用。

一、基本概念在进一步深入研究常微分方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。

常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示\(y\)的二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。

\(F\)是关于\(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\)的函数。

二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。

常见的一阶常微分方程形式如下：\[y'=f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的已知函数。

我们可以通过分离变量、变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。

三、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到一阶和二阶导数的方程。

常见的二阶常微分方程形式如下：\[y''=f(x,y,y')\]同样可以通过变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。

四、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如，生态学中可以通过常微分方程模型研究物种数量的变化规律；经济学中可以利用常微分方程模拟经济增长和波动等现象；物理学中可以运用常微分方程描述运动方程和波动方程等；工程学中常微分方程也用于探讨电路、振动等问题。

五、常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括解析解和数值解两种方法。

常微分课程学习计划

常微分课程学习计划学习常微分方程需要具备一定的数学基础，包括微积分、线性代数等，同时也需要具备较强的数学分析能力。

为了能够系统地学习常微分方程，我制定了以下学习计划：1.预习阶段（1周）在正式开始学习常微分方程之前，我会预习相关的数学知识，包括微积分、线性代数和数学分析等内容。

通过复习这些基础知识，为后续学习常微分方程打下坚实的基础。

2.第一阶段（2周）在这一阶段，我将学习常微分方程的基本概念和基本理论，包括常微分方程的定义、分类、解的存在唯一性定理等内容。

同时，我还将学习一阶常微分方程的解法，包括变量分离法、一阶线性微分方程、恰当方程等解法，并进行相关的习题练习。

3.第二阶段（3周）在这一阶段，我将学习高阶常微分方程、线性常微分方程和解的稳定性等内容。

同时，我还将学习常微分方程的变换方法、级数解法以及常微分方程的应用等内容，并进行相关的习题练习。

此时需要了解一些常微分方程的特殊解法以及如何应用特解法去解决一些实际问题。

4.第三阶段（2周）在这一阶段，我将学习常微分方程的数值解法、常微分方程的多元和复变函数解法等内容。

同时，我还将学习更高阶的常微分方程，探讨常微分方程的性质和应用等内容，并进行相关的习题练习和案例分析。

此时需要了解一些常微分方程的特征值分析，了解解微分方程的性质和一些常微分方程的典型解法。

5.复习与总结（1周）在正式学习完成之后，我将进行一周的复习和总结，巩固所学的知识点，并进行相关的习题练习和真题模拟。

同时，我还将总结学习经验，发现不足之处，为以后的学习打下坚实的基础。

总结：通过以上的学习计划，我将系统地学习常微分方程的相关知识和技能，包括常微分方程的基本概念和基本理论、常微分方程的解法、高阶常微分方程、常微分方程的应用、数值解法等内容，从而能够更好地理解和应用常微分方程解决实际问题。

希望通过不断的努力，最终能够掌握常微分方程的相关知识和技能，提高数学素养，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

数学中的常微分方程理论

数学中的常微分方程理论数学是一门抽象而又精确的学科，它研究的是各种各样的数学对象和它们之间的关系。

其中，常微分方程理论是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的数学方程。

在科学研究和工程应用中，常微分方程理论发挥着重要的作用。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。

它的基本形式可以写为：\[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。

这个方程可以理解为自变量x的变化导致了因变量y的变化，而f(x,y)则描述了这种变化的规律。

二、常微分方程的分类常微分方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。

线性方程的一般形式为：\[a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)\]其中，a_n(x), a_{n-1}(x), \cdots, a_1(x), a_0(x)是已知函数，g(x)是已知函数或常数。

非线性方程则是线性方程的一般化形式，其中的未知函数和导数之间的关系更为复杂。

三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种，常见的有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、常数变易法等。

分离变量法是指将方程中的未知函数和自变量分开，然后对两边同时积分。

这种方法适用于可以将方程写成\[\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\]的形式。

齐次方程法是指将方程中的未知函数和自变量通过一些变换，使得方程变为齐次的形式。

然后再通过变量代换等方法求解。

一阶线性方程法是指将方程通过一些变换，使得方程变为一阶线性方程的形式。

然后再通过积分等方法求解。

常数变易法是指通过将常数视为未知函数的导数，然后通过求导等方法求解。

四、常微分方程的应用常微分方程理论在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。