学习常微分方程组基本理论

证明
若 Φ(t ) [1 (t ), 2 (t ),,1 (t )] dx A(t ) x 的解矩阵, 则有 是 dt i(t ) A(t ) i (t ), i 12,, n.
[1 (t ), 2 (t ),, n (t )] A(t )[1 (t ), 2 (t ),, n (t )].
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Th4.6 齐次线性方程组的解组
x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t )在 [a, b]线性相关 W (t ) 0, t [a, b]
必要性.若 W (t ) 0,取 t0 [a, b] ,有W (t0 ) 0
则 x1 (t0 ), x2 (t0 ),, xn (t0 ) 线性相关，
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0.
所以齐解组 x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t ) 线性相关.
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dx A(t ) x dt Th4.7 设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )( t [a, b]) 是齐次线性方程组 的任意n个解,则它们的朗斯基行列式
可知 x1 (t0 ), x2 (t0 ),, xn (t0 ) 线性无关,
即它们构成 n维线性空间的基,故对向量 x 0 一定 存在唯一确定的一组常数 c1 , c2 , cn 满足
x0 c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 )
考虑
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
称 W (t )
x21 (t ) xn1 (t )
x22 (t ) x2 n (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
,
为这些函数向量组的朗斯基行列式.
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dx A(t ) x dt Th4.6 齐次线性方程组的解组 x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t )
则它们的线性组合 ci xi (t ) 也是齐解。
m i 1
dxi 证明: A(t ) xi (t ) (i 1,2,, m). dt m m m d m dxi ( ci xi ) ci ci A(t ) xi (t ) A(t ) ci xi (t ) dt i 1 dt i 1 i 1 i 1

n
n

(t ) (1 (t ), 2 (t ),......, n (t )) T
D (1 ,..., n ) D ( c1 ,..., cn )
故
x11 (t ) ... ... ... x n1 (t ) ...
x1n (t ) ... x nn (t )
n i 1
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dx A(t ) x dt
推论4.1 齐次线性方程组的任一解组 x1 (t ), x2 (t ) xn (t ) 的W (t ) 在[a, b] 上或恒不为零,或恒为零. 推论4.2 齐次线性方程组的解组 x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t ) 在 [a, b] 上线性无关 有 上某点 t0 处， W (t0 ) 0 . 在 [ a, b]
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Th4.9（通解结构定理）设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t ) 是方程组
dx A(t ) x 的n个线性无关解,则 dt n dx ci xi (t )是方程组 A(t ) x 的通解， （1） (t ) dt i 1

其中
c1 , c2 , cn 是任意常数.
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叠加原理! 解的唯一性! x(t ) (t )
Th4.9（通解结构定理）设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t ) 是方程组
dx A(t ) x 的n个线性无关解,则 dt n dx （1） A(t ) x 通解 (t ) ci xi (t ) dt i 1 dx A(t ) x 的任一解 (t ) 均可表示为 （2）方程组 dt xi (t )(i 1,, n ) 的线性组合.
故 x1 (t ), x2 (t ) 在I上是线性相关的.
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et e 2t 0 3t 3t 例4.3.2 证明 x1 (t ) 0 , x2 (t ) e , x3 (t ) e e t 0 1 在 (, ) 上线性无关.
t 2t
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朗斯基判别准则: 设有n个函数向量
x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x21 (t ) , x (t ) x22 (t ) , x (t ) x2 n (t ) x1 (t ) n 2 xn1 (t ) xn 2 ( t ) xnn (t ) x11 (t ) x12 (t ) x1n (t )
基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.
dx A(t ) x 一定存在一个基解矩阵 Φ(t ) Th4.10 方程组 dt
并若 (t ) 为其任一解,则 (t ) Φ(t )c . 其中c是确定的n维常数向量.
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dx Th4.11 方程组 A(t ) x 的一个解矩阵 Φ(t ) 为 dt 基解矩阵 在 [a, b] 上某点 t0 有 det Φ(t0 ) W (t0 ) 0

dx A(t ) x 的线性无关解的最大个数为n. 推论4.3 方程组 dt
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dx 基本解组: 称方程组 A(t ) x 的n个线性无关解 dt x1 (t ), x2 (t ) xn (t ) 为一个基本解组. dx A(t ) x的解, 解矩阵: 如果 n n 矩阵的每一列都是 dt 称这个矩阵为方程组的解矩阵.
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dx Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在 A(t ) x dt n 个线性无关解.
证明: 由解的存在惟一性定理,
一定存在满足初始条件 1 0 0 0 , x (t ) 1 ,, x (t ) 0 . x1 (t0 ) n 0 2 0 0 0 1 的解 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ), t [a, b]. W (t0 ) 1 0 因此 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 t [a, b]上线性无关.
即存在不全为零 的数
c1 , c2 , cn ,使得
c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0
考虑 x (t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 由解的叠加原理 知 x (t ) 是齐线性方程组的解,且 x (t0 ) 0 由解的存在唯一性定理知 x (t ) 0 ,
4.3 线性微分方程组的基本理论
非齐次线性微分方程组 dx A(t ) x F (t ) dt 先考虑对应的齐次线性微分方程组 dx A(t ) x 解的结构问题. dt
1
dx A(t ) x 一、线性齐次方程组解的结构 dt Th4.5 设 x1 (t ), x2 (t ),......., xm (t )是齐次线性方程组的解,
即 Φ(t ) A(t )Φ(tபைடு நூலகம்). 又因为 Φ(t ) 是基解矩阵, 所以
det Φ( t0 ) 0, t0 [a, b].
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dx 推论4.4 若 Φ(t ) 是 A(t ) x 在 [a, b] 上的基解矩阵, dt C 是非奇异 n n 常数矩阵,则 Φ(t )C 也是 方程组在区间 [a, b] 上的基解矩阵. dx 证明: 方程组 A(t ) x 的基解矩阵 Φ(t ) dt 满足矩阵方程 Φ(t ) A(t )Φ(t ), 现令 Ψ (t ) Φ(t )C , 两边关于t 求导得 Ψ (t ) Φ(t )C A(t )Φ(t )C A(t )Ψ (t ). dx 即 Ψ (t ) 是 A(t ) x的解矩阵, 又由于C 的非奇异性, dt 故有 det Ψ (t ) det Φ(t ) det C 0, dx 因此, Ψ (t )也是方程组 A(t ) x的基解矩阵. 18 dt
W (t ) W (t0 ) exp(
t n
t0
aii ( s)ds), t0 [a, b]
i 1
------刘维尔公式
其中 aii (s)为齐次线性方程组对应的系数矩阵 A(t)的对角线元素. 证明 :由行列式的求导法则 及 x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t ) 是解得证.
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W (t ) 0
c1 ,cn彼此独立,所以 (t ) ci xi (t ) 是通解.
dx A(t ) x 的任一解 (t ) 均可表示为 （2）方程组 dt xi (t )(i 1,, n ) 的线性组合. dx 证明 设 (t ) 是 A(t ) x 任一解,并满足 (t0 ) x0 dt 因为 x1 (t ), x2 (t ) xn (t ) 是n个线性无关解,
证明:要使 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t ) 0 成立, 只需
et 0 e 2t c1 0 e e 0 3t 3t 0 e3t e3t c2 0 c1 0 c2 e c3 e c 0 e t 0 e t 1 1 0 3 et 0 e 2t c1 c2 c3 0 3t 3t 4t 0 e e 2 e 0 t x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) 线性无关. e 1 0
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cos 2 t 例4.3.1 证明 x1 (t ) 1 t
sin 2 t 1 , x2 ( t ) 1 t
在任何区间I上都是线性相关的. 证明: 取 c1 1 , c2 1 则
cos 2 t sin 2 t 1 0 c1 1 c2 1 0 t I t t 0
在 [a, b]线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
证明:充分性. 设 x1 (t ), x2 (t ),......, xn (t )在 [a, b] 上线性相关, 则 t0 [a, b], x1 (t0 ), x2 (t0 ) xn (t0 ) 均线性相关. 所以 W (t0 ) 0 由 t0 的任意性有 W (t ) 0, t [a, b]
dx A(t ) x 的任一解 (t ) 均可表示为 （2）方程组 dt
xi (t )(i 1,, n ) 的线性组合.
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dx ci xi (t ) 是方程组 A(t ) x的通解. （1） (t ) dt i 1
证明：（1）由解的叠加原理知
dx (t ) ci xi (t ) 是方程组 A(t ) x 的解, dt i 1
ci xi 是齐次线性方程组的解.
i 1
2
m
线性相关及线性无关 设 x1 (t ), x2 (t ),......, xm (t ) 为
I
上的函数向量,
若有一组不全为零的数 c1 , c2 ,......,cm ,
t I
有 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cm xm (t ) 0 成立， 则称此组函数向量在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.