平面向量方法总结(带例题)【大全】

平面向量方法总结(带例题)【大全】

平面向量 应试技巧总结

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：

（3,0））

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r

)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥

b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但

两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r

)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r

、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如

下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终

点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r

。

（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为

基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝

(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标

相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如

（1）若(1,1),a b ==r

r

(1,1),(1,2)c -=-r

，则c =r

______

（答：1322

a b -r r

）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r

B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r

C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r

D. 121

3(2,3),(,)24

e e =-=-u r u u r

（答：B ）；

（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r

可用向量

,a b r r

表示为_____

（答：2433

a b +r

r ）；

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→

−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

（答：0）

四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=r r

当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的

方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r

，注意：λ≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

r r

叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θr r 。规定：零向量与

任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

（答：－9）；

（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4

π

，则k 等于____

（答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-r r r r

g ，则a b +r r 等于____

；

（4）已知,a b r r

是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____

（答：30o ）