正余弦定理与三角形形状判断附标准答案

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2021版新高考数学：正弦定理、余弦定理含答案

∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝23.](对应学生用书第82页)考点1利用正、余弦定理解三角形问题在△ABD 中，42＝x 2＋(72)2－2x ×72cos (π－α)，② ①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(20xx·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 考点2 与三角形面积有关的问题(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．][母题探究]。

正弦、余弦定理在判断三角形形状中的运用

法二（化角为边）
Δ ABC是等腰或直角三角形
例题分析例3、Δ ABC中，sinA=2cosBsinC，判断Δ ABC的形状；
法一（全化为角）因为sinA=sin(B+C)
sin(B+C)=2cosBsinC
sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC
sinBcosC-cosBsinC=0
例1、Δ ABC中，acosB=bcosA，判断Δ ABC的形状；
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C =2R =K

a=k sinA; b=k sinB; c=k sinC;

sinA=k’a; sinB=k’b; sinC=k’c;
sin(B-C)=0
B-C=0
Δ ABC是等腰三角形
例题分析例3、Δ ABC中，sinA=2cosBsinC，判断Δ ABC的形状；
法二（全化为边）
k’ a=2 b2= c2 Δ ABC是Байду номын сангаас腰三角形 ( k’ c )
练习巩固
（ 1）
（2）sin2A+sin2B=sin2C
课堂小结
本节课我们主要学习了正弦定理和余弦定理的重要应用, 即判断三角形的形状,此类题型通常有两种方法: ①利用定理 “化边
为角 ”,计算各角度或推导角度关系式
从而判定三角形的形状.
②利用定理 “化角
为边 ”,计算出各边之长或推导出边长
满足的特殊关系式,从而判定三角形的形状.
例题分析
例1、Δ ABC中，acosB=bcosA，判断Δ ABC的形状；
余弦定理：
b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cos B 2ac 2 2 2 a b c cos C 2ab

正、余弦定理与三角形形状判断附答案

正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。

二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。

三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。

常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。

2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。

3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。

5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。

根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。

利用正余弦定理三角形形状的判断

又Ａ，Ｂ，Ｃ∈(０，π)，所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而三角形ＡＢＣ为正三角形．
法二？
变1.在ABC中，a, b, c为边长，A，B，C为a,
b, c所对的角，若 a b c , sin B sin C sin A
试判断ABC的形状.
例3、在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
4
2
1 (b c)2 1 bc(1 sin A) 0
4
2
1 (b c)2 0, 1 bc(1 sin A) 0
4
2
b c 1 sin
A
0
A
2
且b
c
作业点评：在ABC中，若b2 ac, 则B的取值范围？
A B C为等腰直角三角形.
旧知回顾：正余弦定理，及其推论
三角形形状的判断
在ABC中，有a cos A b cos B, 试判断此三角形的形状。
利用正余弦定理推论进行边角互化！划归思想！！！
类例：1.在ABC中，已知a2 tan B b2 tan A, 试判断ABC的形状.
变1''.已知方程x2 (b cos A)x a cos B 0的两根之积等于两根之和，且a, b为ABC的边， A，B为a, b的对角，试判断ABC的形状.
方法小结：三角形形状的判断主要是利用正弦余弦定理边角互化，化成纯粹的角或纯粹的边，实现“纯粹化”
这一“纯粹化”的方法，不光可用在形状的判断上，也可在解三角形中也可应用。
思考提升：
例4.已知ABC的面积S 1 (b2 c2 )，试确定ABC的形状.
4
解：S 1 (b2 c2 ) 1 bc sin A
解：由正弦定理及余弦定理，得

正弦余弦定理判断三角形形状专题

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状．例２：在△ABC 中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan ba B A =，试判断△ABC 的形状．例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；（2）已知sinA=CB CB cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状．（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状．例6：已知△ABC 中，54cos =A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状．例7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（） ∴△ABC 为钝角三角形。

例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（）例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

1、在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::2:1)a b c =，试判断三角形的形状。

所以三角形为锐角三角形。

3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形 5、在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

高中数学：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【条件探究1】将典例中的条件变为：若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B.等腰三角形 C ．等边三角形 D.钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．【条件探究2】将典例中的条件改为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状为等腰三角形__．解析：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .所以△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．【条件探究3】将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解：由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)．∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是直角三角形__．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求角A 的大小；②若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.②∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°.∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．。

正余弦定理求解三角形(修订)含答案

解三角形1、正弦定理在三角形ABC 中，角A,B,C 对应的边c b a ,,2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，都是R （外接圆的半径）3、余弦定理C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 变形 abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=4.三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于︒1805.三角形的面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===在三角形ABC 中，角A,B,C 对应的边c b a ,,结合余弦定理，易推出：三角形是钝角三角形三角形是直角三角形三角形是锐角三角形222222222c b a c b a c b a +>+=+<例1：在三角形ABC 中，已知︒===6038,A c b ，,则a 的值为____. 例2：在三角形ABC 中，已知︒︒===75,60,8C B a ,则b 的值为___. 例3：在三角形ABC 中，已知︒︒===30,45,10C A c ,则a 的值为___. 例4：在三角形ABC 中，已知38,==c a ，则.____sin sin =AC 例5：在三角形ABC 中，B a b sin 2=，则A=_______.例6：在三角形ABC 中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为____. 例7：在三角形ABC 中，已知6107,,===c b a ，判断三角形ABC 的形状例8：在三角形ABC 中，已知61012,,===c b a ，求三角形ABC 的面积例9：在三角形ABC 中，已知1413cos 87,,===C b a ,求最大角的余弦值例10：一个三角形是钝角三角形，则它的三边是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，6答案：例1：66 例2：64 例3：210 例4：83 例5：︒︒13545或例6：︒120 例7：028567210672cos 222222<-=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，B 是三角形的内角，B 是钝角，ABC ∆是钝角三角形。

正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

ab c2R 。

（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。

如何判断三角形的形状

利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ．【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断．可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中，，，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中，，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知，而，，所以，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+，因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为：，所以，整理得，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。

(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式：或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

正余弦定理三角形形状判断知识分享

正余弦定理三角形形状判断正余弦定理与三角形形状的判断、掌握基本原理常用的定理或公式主要有以下几个:(1)在厶ABC 中，A + B + C = nsin A B sin C，cos A B cosC，A B Csin (A+B/2)=cos (C/2)，tan A B cot C.2 2(2)正余弦定理及其变式：女口a = 2R si nA，b2 + c2—a2 =2b c cosA，这里，R为三角形外接圆的半径.(限于篇幅，定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出).(3)射影定理：a = b cosC + c cosB.(用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之)、弄清题目类型1.目标明确型例1 在厶ABC 中，a2+b2=c2+ab，且sinAsinB=3，求证：△ ABC为等边 4 三角形•分析：由a2+b2=c2+ab，知，用余弦定理可求出C角，证明：由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC.a2+b2二c2+ab，二ab—2abcosC=0.1 --cosC=—，…C=60 23 1 ■/sinAsinB=— , cos (A+B ) =cos (180°-C ) =cos120°= —4 2cos (A+B ) =cosAcosB — sinAsinB , ••• cosAcosB= 1.4• cos (A — B ) =cosAcosB+sinAsinB=1.•••—nV A — B < n,二 A — B=0.• A=B=60°• △ ABC 是等边三角形•评注：这类题目往往由于目标明确，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路•尤其本题中首先得出了一个特殊角，加 3之sinAsinB=3，则更容易联想到三角形内角和定理了.42•模糊探索型例2判定满足下列条件的△ ABC 的形状: (1兀祖¥ =三［(訴匕为角儿角B 的对边打2 a + bc(2)smS * sin A = uoJ —旦 tanA. + tanB +-7'3 = V^tanA • tanB. 解：（1）由已知及正弦定理得A +B A -B 2cos -------- sin ―-—2 2'.A + B _2 sitL ------- cos ---------2 2A-BsitiA - sinEdnA 十 &nBA+E所以tan 矗即ZA = ZB 或厶+ ZB 三;，因此△ ABC 是以/ C 为顶角的等腰三角形或以/ C 为直角的直角三角形.(2)由 ^-[cos(A - B) -CQS (A 十B)]=右(1 +cosC5 , l^cosfA -B) = L 所以氏XtanA + takB = j3(tanA * tacB -1)=>ZA = ZB = p因此△ ABC 为正三角形.评注：这类题目，只要求判断三角形形状，并没有清晰的线索，往往需要我们根据已知条件去分析和探索，但一般说来，主要应用本文开头提到的相关知识就能够解决•值得一提的是，本题就解题思想而言与例 1颇有异曲同工之处.三、搞清一般规律tan A a 2例3在厶ABC 中，若空虫笃，试判断厶ABC 的形状.tan B b2解法一：由正弦定理，得 sinAcosB 呼即: cosB sinAsin2A sin2B sin BcosA sin A cosA sinBtanA + tanB1 - tauAtariB=J ，所以tanC =羽化简：b 2(a 2 + c 2 b 2) = a 2(b 2 + c 2 a 2)••• (a 2 b 2)(a 2 + b 2 c 2)=0 ••• a = b 或 a 2 + b 2 = c 2• △ ABC 为等腰或直角三角形.评注：与三角形形状相关的综合题往往所给条件中富含三角形的边角关系，本题的两种解法，实际上提供了两种技巧：解法一是把“边角关系”转化成了三角形三内角之间的关系，解法二则是把“边角关系”转化成了三角形三边之间的关系，充分体现了转化思想，四、莫忘相关技巧sin AcosB a 2 2 cos As in B b 2sin AcosB sin A 即.BcosA sin 2 A cosA sinBsin 2A 即：cosB sinAB••• 2A = 2B 或 2A = 180 2B即 A= B 或 A + B = 90•••△ ABC 为等腰或直角三角形.解法二：由题设，有sin AcosB cos As in Bb 22 2 .2a a c b22R 2ac a.2 2 2 2b c a b b2bc 2R••• 2sinB sinC = 1 + cos [ 180°—(B + C )]将 cos (B + C )= cosBcosC — sinBsinC 代入上式得cosBcosC + si nBs inC = 1,cos (B — C )= 1又 0v B ， C < n 「•— nV B — C < nB 一C = 0・°. B = C故此三角形是等腰三角形•评注：学习正、余弦定理，不要忘记前面学过的相关知识，如本题中，利用“降幕扩角公式”把半角化成“单角”的过程起到了关键作用. 五、不要轻易下结论a b例4在厶ABC 中，若有—A ―B cos — cos — 2 2 解：设 a=ksinA,,b=ksinB,c=ksinC k si nA k sin BA Bcos cos2 2.A . B . C sin sin sin2 2 2©一229M■ DI T>BB22 22c c ， cos2试判断△ ABC 的形状? k sin C c cos 2 22 2，从而，△ ABC 是正三角形.评注：见比设k ,是常用技巧•其实，正弦定理中的 2R 非常类似于这里例5心 ABC 中，已知sinBsinC=cos 2A试判断此三角形的类型解:sinBs心co時sinB si nC =cosA2例6 在二壬匚中，已知■ ■ ..-I : - I -I •—: 1 - . - -r 试判断△ ABC 的形状.证明：二，：.-I，- | ' 一丨■' .■- ■- I - ' - - :. I.一二二I : _i . !- 二一二,即.I ■...一二一「直角三角形且又丄一J :- ■■■\ ■■' IIC = 45\.二B=F_§_A=90•一综上，△ ABC为等腰直角三角形.评注：许多结论中有时不见得只有一层答案，所以在得出初步结论来之后，一定要进一步思考一番，看已知条件是否全部用到了，看结论是否想全了 .如本题中常常有许多同学在得出直角三角形且上=1厂”之后便不再往下写，从而造成失误.除此而外，还要注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。

正、余弦定理与三角形形状判断附答案

1判断△ABC 的性状。

2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。

3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。

4、已知在△ABC 中，C B A s i n c o s s i n 2=∙，试判断△ABC 的性状。

C B A c o s s i n 2s i n ∙=，且C B A 222si n si n si n +=，试判断△ABC 的性状。

6、已知在△ABC中，3b a)-c c)(b b (a =+++，且c o 2s i n B si n A ∙=，试判断△ABC 的性状。

7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。

8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。

2cC b B a A c o sc o s s i n ==，试判断△ABC 的性状。

10、已知在△ABC中，)s i n ()()s i n ()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。

11、在△ABC中，B aC B A c b a s in3)s i n )(s i n (∙=-+++，且B a A b c o s c o s ∙=∙，试判断△ABC的性状。

12、已知在△ABC 中，A bB a t a n t a n 22=，试判断△ABC 的性状。

2c o s2c o s 2c o s C cB b A a==，试判断△ABC 的性状。

14、已知在△ABC 中，cc b A 22cos2+=，试判断△ABC 的性状。

15、已知在△ABC中，C b c B c b A a s i n )2(s i n )2(s i n 2+++=，且1sin sin =+C B ，试判断△ABC 的性状。

解三角形_（正弦、余弦定理）答案

解三角形_（正弦、余弦定理）答案正余弦定理解三角形1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <?<，…2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=+-=??. （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；类型一：解三角形在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等于，AC 的取值范围_____________ 解析: 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=?= 由锐角ABC ?得0290045θθ<<?<<，又01803903060θθ<-<?<<，故3045cos 22θθ<<?<< ，2cos AC θ∴=∈1．在△ABC 中，3,1==b a ，∠A=30°，求c 的值解析：举一反三：变式1：在△ABC 中，已知2,1==b c ，B=45°，求C 和a 变式2：已知△ABC 中，3=a ，1=b , A=2B ，求角B 及边c .变式3：在△ABC 中， 45,2==A a ，32sin =B ，求c 的值. 类型二：已知三角形面积解三角形1．在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>== c b ,。

正余弦定理三角形形状判断

正余弦定理与三角形形状的判断一、掌握基本原理常用的定理或公式主要有以下几个：（1）在△ABC 中，A + B + C = π，222CB A -=+π， ()C B A sin sin =+，()C B A cos cos -=+，sin （A+B/2）=cos （C/2），2cot 2tanC B A =+ ．（2）正余弦定理及其变式：如a = 2R sin A ，b 2 + c 2－a 2 =2b c cos A ，这里， R 为三角形外接圆的半径．（限于篇幅，定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出）．（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ．（用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之）二、弄清题目类型1.目标明确型例1 在△ABC 中，a 2+b 2=c 2+ab ，且sin A sin B =43，求证：△ABC 为等边三角形. 分析：由a 2+b 2=c 2+ab ，知，用余弦定理可求出C 角，证明：由余弦定理，得c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ∵a 2+b 2=c 2+ab ， ∴ab －2ab cos C =0.∴cos C =21，∴C =60° ∵sin A sin B =43，cos （A +B ）=cos （180°－C ）=cos120°=－21，cos （A +B ）=cos A cos B －sin A sin B ， ∴cos A cos B =41. ∴cos （A －B ）=cos A cos B +sin A sin B =1. ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B =0. ∴A =B =60°∴△ABC 是等边三角形.评注：这类题目往往由于目标明确，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路．尤其本题中首先得出了一个特殊角，加之sin A sin B =43，则更容易联想到三角形内角和定理了．2.模糊探索型例2 判定满足下列条件的△ABC的形状：解：(1)由已知及正弦定理得因此△ABC是以∠C为顶角的等腰三角形或以∠C为直角的直角三角形．因此△ABC为正三角形．评注：这类题目，只要求判断三角形形状，并没有清晰的线索，往往需要我们根据已知条件去分析和探索，但一般说来，主要应用本文开头提到的相关知识就能够解决．值得一提的是，本题就解题思想而言与例1颇有异曲同工之处．三、搞清一般规律例3 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，试判断△ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得 BA BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：即B A BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即： B A B A AA 2sin 2sin sin sin cosA cosB in in 22=∴=即：∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B即 A= B 或 A + B = 90︒∴△ABC 为等腰或直角三角形．解法二：由题设，有 22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2)∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形．评注：与三角形形状相关的综合题往往所给条件中富含三角形的边角关系，本题的两种解法，实际上提供了两种技巧：解法一是把“边角关系”转化成了三角形三内角之间的关系，解法二则是把“边角关系”转化成了三角形三边之间的关系，充分体现了转化思想，四、莫忘相关技巧例4 在△ABC 中，若有2cos2cos2cosc cB b A a==，试判断△ABC 的形状？解：设a=k ⋅sinA,,b=ksinB,c=ksinC2cossin 2cos sin 2cos sin c Ck B B k A A k ⨯=⨯=⨯∴2sin2sin 2sin C B A ==∴ 而22220π<<B C A ，22220π<<B C A ，22220π<<B C A 222CB A ==∴，从而，△ABC 是正三角形．评注：见比设k ，是常用技巧．其实，正弦定理中的2R 非常类似于这里的k ．例5 在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A，试判断此三角形的类型解：∵ sin B ·sin C ＝cos 22A , ∴ sinB ·sinC ＝2cos 1A+∴ 2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1, ∴ cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π ∴ B －C ＝0∴ B ＝C 故此三角形是等腰三角形评注：学习正、余弦定理，不要忘记前面学过的相关知识，如本题中，利用“降幂扩角公式”把半角化成“单角”的过程起到了关键作用．五、不要轻易下结论例 6 在中，已知试判断△ABC 的形状．证明：，即直角三角形且又综上，△ABC为等腰直角三角形．评注：许多结论中有时不见得只有一层答案，所以在得出初步结论来之后，一定要进一步思考一番，看已知条件是否全部用到了，看结论是否想全了．如本题中常常有许多同学在得出“直角三角形且”之后便不再往下写，从而造成失误．除此而外，还要注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状

解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9、（2010辽宁文数17）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C+=，试判断ABC ∆的形状.10、在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==，解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是千米。

利用正(余)弦定理判断三角形形状

利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：A R a sin 2=，C ab c b a cos 2222=-+等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bca cb A R a A 2cos ,2sin 222-+==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cos Asin B=sin C ，试判断△ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得b c B C =sin sin ，∵2cos Asin B=sin C ，bc B C A 2sin 2sin cos ==∴，由余弦定理的推论得bca cb A 2cos 222-+= ∴bc bc a c b 22222=-+，化简得2222c a c b =-+，∴a=b ；又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，化简得22234b c b =-，∴b=c ，∴a=b=c ，即△ABC 是等边三角形.方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C ，∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0，∵A,B ∈(0,π)，∴A-B ∈(-π,π)， ∴A=B ，又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222，由余弦定理的推论得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又C ∈(0,π)，3π=∴C ，又A=B ，∴△ABC 是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的关系；③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形.针对性练习：1.在△ABC 中，若a 2tan B=b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin 2A ·sin B cos B=sin 2B ·sin A cos A ，即sin Acos A=sin Bcos B ，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或2A=π-2B.即A=B 或A+B=2π. 所以，三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形.法二：在得到sin 2A=sin 2B 后，也可以化为sin 2A-sin 2B=0， ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.∵0<A+B<π，且-π<A-B<π，∴A+B=2π或A-B=0，即A+B=2π或A=B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C.∵B ＝60°，∴A+C ＝120°,即A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°=sin(120°-C)+sin C 展开，整理得： ∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 为正三角形.方法二：由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，∵B=60°, 2c a b +=， 60cos 2)2(222ac c a c a -+=+，整理，得0)(2=-c a ，∴a=c. 从而a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形.。

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一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。

二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。

三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC 中，A c b cos •=，试判断△ABC 的性状。

2222222cos 22cos c b a a c b A bc b Ac b =+∴-+=⋅=∴⋅=Θ∴ΔABC 为直角三角形2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。

222)2cos(cos sin cos ππππ＞＜＜＞＞C B A B A B A BA ∴+∴-∴-∴Θ∴ΔABC 为钝角三角形3、已知在△ABC 中，C a b sin •=，且)2sin(B a c -•=π，试判断△ABC 的形状。

2222222cos 22cos )2sin(a c b b c a B ac c Ba B a c =+∴-+=⋅=∴⋅=-⋅=πΘ∴ΔABC 为直角三角形，且a cC =sinc b Ca b =∴⋅=sin Θ∴ΔABC 为等腰直角三角形4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=•，试判断△ABC 的性状。

ba b c a c B ac cB a =∴-+==⋅∴=⋅∴=⋅2222cos 2cos 2Csin cosB 2sinA Θ∴ΔABC 为等腰三角形5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin •=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。

222222sin sin sin c b a CB A +=∴+=Θcb cb a C ab a Cb =∴-+=⋅=∴⋅=∴⋅=2222cos 2cos 2a cosC2sinB sinA Θ∴ΔABC 为等腰直角三角形 6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA •=，试判断△ABC 的性状。

c b cb a C ab a Cb =∴-+=⋅=∴⋅=∴⋅=2222cos 2cos 2a cosC2sinB sinA Θba =∴=+∴=+++23b a)-a)(2b (2b 3bca)-c c)(b b (a Θ∴ΔABC 为等边三角形7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。

acb c a B B 221cos 60222-+==∴︒=∠Θ c a c a acc a b c a ac =∴=-∴-+=-+=∴0)(222222∴ΔABC 为等边三角形8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。

ca c a acc a c a ac c a c a ac acb c a B B =∴=-∴---+=∴+-+=∴-+==∴︒=∠0)(24444)(221cos 6022222222222Θ ∴ΔABC 为等边三角形9、已知在△ABC 中，cC b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。

4cos sin cos sin cos cos sin π==∴==∴==C B C C B B cC b B a A ，Θ∴ΔABC 为等腰直角三角形10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -•+=+•-，试判断△ABC 的性状。

)cos 2cos 2()(2)()cos sin cos (sin )(sin )()sin()()sin()(2222222222222A bc B ac b a c b a A B B A b a C b a B A b a B A b a ⋅-⋅⋅+=⋅-∴⋅-⋅⋅+=⋅-∴-•+=+•-Θ[])()()()()()(2)(222222222222222222b a b a c b a a c b b c a b a c b a -⋅+=⋅-∴-+--+⋅+=⋅-∴022=-∴b a 或222c b a =+∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形 11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (•=-+++，且B a A b cos cos •=•，试判断△ABC 的性状。

b a B A B A A B B A Ba Ab =⇒=∴=-∴=⋅-⋅∴•=•0)sin(0cos sin cos sin cos cos Θca a c a a c a c a Ba C B A cb a =∴=-∴=-+∴•=-+++2222343)2)(2(sin 3)sin sin )(sin (Θ∴ΔABC 为等边三角形12、已知在△ABC 中，A b B a tan tan 22=，试判断△ABC 的性状。

BA BB A A B AA B b a Aab B b a Ab B a 2sin 2sin cos sin 2cos sin 2sin sin cos cos cos cos tan tan 2222=∴=∴==∴=∴=Θb a B A =⇒=∴或222ππ=+⇒=+B A B A∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形13、已知在△ABC 中，2cos 2cos 2cos C cBb A a ==，试判断△ABC 的性状。

BA BA B BB A A ABBA A BbAa =∴=∴⋅=⋅∴=∴=2sin 2sin 2cos 2cos2sin 22cos 2cos 2sin 22cos sin 2cos sin 2cos 2cos Θ同理：A=B=C∴ΔABC 为等边三角形14、已知在△ABC 中，c cb A22cos 2+=，试判断△ABC 的性状。

cc b A ccb A 221cos 22cos 2+=+∴+=Θ2222222cos c b a bca cbc b A =+∴-+==∴ ∴ΔABC 为直角三角形15、已知在△ABC 中，C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=，且1sin sin =+C B ，试判断△ABC 的性状。

32212cos 222sin )2(sin )2(sin 2222222222π=∴-=-+=∴-+=-∴+++=∴+++=A bc a c b A a c b bc bcc bc b a Cb c B c b A a Θ6231)3sin(1sin 21cos 231sin 21cos 23sin 1)3sin(sin 1sin sin πππππ==∴=+∴=+∴=+∴=-+∴=-+∴=+C B B B B B B B B B B C B Θ∴ΔABC 为等腰三角形16、已知在△ABC 中，B A BA C cos cos sin sin sin ++=，试判断△ABC 的形状。

2cos 2cos 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2cos 22cos 2sin 2)sin(cos cos sin sin sin BA B A BA B A B A BA BA B A BA B A B A BA BA C -⋅+-⋅+=+⋅+∴-⋅+-⋅+=+∴++=Θ20)cos(01)2(cos 22π=+∴=+∴=-+∴B A B A BA ∴ΔABC 为直角三角形17、已知在△ABC 中，b a ba B A +-=-2tan ，试判断△ABC 的形状。

2420)42sin(04sin 2cos 4cos 2sin 02cos 222sin 222cos 2sin 2cos 2sin 22sin 2cos 22cos 2sin sin sin sin sin 2tan πππππ=+∴=-+∴=-+∴=⋅+-⋅+∴=+-+∴=+-+∴-⋅+-⋅+=--∴+-=-B A BA BA BA B A BA BA BA BA BA B A B A B A B A B A B A BA B A Θ∴ΔABC 为直角三角形。