音乐与数学

音乐是数学的奇迹作者：于悦

前一阵校内上流行一个matlab演奏《卡农》的帖子，写法蛮帅的，用的还是纯律而非平均律。回想起我初中时候在少科站无聊也用Turbo Pascal编过《亚洲雄风》来着，当时就觉得一串数字转化成音乐是件很神奇的事情。来聊聊音乐和数学哈~

音乐之所以和谐美妙，很大程度上得益于两个数学上的约等式同时成立：

1) 2 ^ (7/12) = 1.4983 ≈ 3/2，误差0.1%

2) 2 ^ (4/12) = 1.2599 ≈ 5/4，误差0.8%

听起来很邪乎吧？待我慢慢道来……

【陪音】

唱歌的时候如果唱不上去了我们经常会“唱低八度”，这时候虽然声音低了许多，但与原唱并不冲突，与伴奏也仍然和谐。那为什么“八度”那么特殊呢？或者说，为什么差八度的音听着那么像呢？原来差八度的两个音其频率正好差两倍——比如中音do（钢琴正中的C，记作C4或c’）是261.6赫兹，而高音do（记作C5或c’’）是它的两倍523.3赫兹。

那为什么频率差两倍就听起来像呢？这里需要引入陪音（upper partials）的概念，也称为泛音（overtone）。除了一些音色很纯的音（比如机器发出的正弦波）外，多数乐器演奏中除了激活原本频率的声波（基音）之外还会激活这些频率的整数倍，也就是陪音。当你按下钢琴的C4，这时空气中激荡着的不只有261.6赫兹的声波，还有523.3赫兹、784.9赫兹、1046.5赫兹等等（称为泛音列），而泛音列中各个音的不同强度和相位正反映了乐器的音色。注意523.3赫兹是C5，1046.5赫兹是C6，但784.9赫兹并不是一个C音，我们后文会讲到784.9赫兹比较接近G5。也就是说，同一音名的两个音之间肯定有陪音的关系，但反之不成立——陪音不必须是同一音名。回到八度的问题：C5本身就是C4最近的一个陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以弹C5时激活的音频弹C4时也会激活（当然强度不同），两个音听起来自然像啦~

【平均律】

搞清楚了啥是八度，那一个八度里的音又是怎么分的呢？大家知道七声调式中一个八度是7个基本音级、12个半音，2个半音等于一个全音。大调是“全全半全全全半”，小调是“全半全全半全全”。在巴赫开始提倡、现代普遍采用的十二平均律中，这12个半音是均匀分布的——从物理上讲，也就是半音阶中的音的频率形成一个等比数列。比如说C4是261.6赫兹，C5是523.3赫兹，而两者之间的11个音每个的频率是上一个的2 ^ (1/12) = 1.0595倍——C♯4是261.6 * 1.0595 = 277.2赫兹，D4是277.2 * 1.0595 = 293.7赫兹，依此类推。一个半音又可以分成100个音分（cent），差一个音分相当于频率差2 ^ (1/1200) = 1.00058倍，一个八度也就是1200个音分。普通人对音高的辨别阈大概是20音分（0.2个半音），而音乐家可以达到5音分（0.05个半音），不同音高下的辨别阈还有所不同。

为什么要用平均律，让所有音均匀分布呢？一个重要的原因是方便转调。比如周杰伦的《安静》，开始一直是B♭调，在唱到第二遍副歌“你要我说多难堪”的时候突然升了一个全音变成

了C调——也就是之前的B♭变成C，C变成D，D变成E等等，但尽管音高变了旋律听起来还是一样的，唱也还是一个感觉，区别最多也就是转一下调情绪激动一点。这种转调后的不变性是平均律特有的，在其他一些律制（比如五度相生律、纯律和中庸全音律）中不成立。同时这也意味着除平均律外，其他律制中每个调号的色彩都略有不同。这就是为什么亨德尔会偏好F大调和G小调（当时还没有平均律），而lady gaga就不那么在乎。

【音程的协和】

前菜上完了，下面是主菜：音程的协和。协和（consonant）这个概念，操作定义大致就是听起来和谐、悦耳。在实证研究中一般是给参与者同时播放两个正弦音（这种音不带陪音，只有基音），调整其间的频率间隔，然后让参与者在7点量表上评价这个音程有多悦耳、多优美、多和谐之类。Plomp和Levelt的这篇论文里结合了前人和他们自己的实验结果，得到这样一条曲线来描述两个正弦音的间隔与这个音程不协和程度的关系：

图一：音程不协和度与音程中根音和冠音间隔半音数的关系（图出自《American Scientist》上的这篇文章，是P & L原文Fig.10的重新制作）

怎么样，这条曲线看起来很光滑圆润小正太吧？可如果是这样，难道两个音的间隔越大越协和？那为什么又要分协和音程和不协和音程呢？且慢，记得我们讲这只是两个基音之间的不协和程度，而考虑上两个音各自陪音之间的协和程度之后，这图就变成了下面的样子：

图二：考虑陪音后的音程不协和度（出自《American Scientist》，P & L原文Fig.11的重新制作）

光滑圆润的小正太转眼变成了小刺猬，而且这刺还不是乱长，偏偏长在0、3、4、5、7、9、12这几条线附近，是不是很神奇？我反正觉得挺神奇的。原文中没有给详细的推导过程，于是我就自己尝试推导了一下（蓝字部分）。

首先图一这个小正太，怎么看怎么像一个Gamma分布。我试了几次后发现它和Gamma (2,1)最为接近：

图三：用Excel自制的Gamma (2,1)，和图一长得很像吧

这个曲线大概反映出我们听觉的特点：当两个纯音间隔很小（比如小于0.2个半音）时人耳难以分辨，因此感觉是完全协和的。当刚开始能够分辨出两个音的时候感觉特别刺耳，于是就出现了1-2个半音处不协和的高峰，而之后随着间隔变大刺耳的感觉逐渐减弱，不和谐度也下降了。Gamma (2,1) 模型的具体数值如下表：

表一：根据Gamma (2,1) 算出的不协和度数值（y轴无量纲）

接下来看陪音之间的协和。打个不太恰当的比方，谈恋爱不仅要两个人谈得来，还要讲究门当户对不是？所以说还要拿双方的弟弟妹妹们来配配看是否和谐，最后把所有不和谐的因素加起来看。表二中列出了根音6倍之内陪音和冠音8倍之内陪音的间隔半音数。从图三中看到两个音相差6个半音以上不协和程度就很低了，所以忽略掉陪音频率差别在3:2以上的情况（实际计算的时候我是忽略了2:1以上的情况）。

表二：根音陪音和冠音陪音的间隔半音数

把表二中的数值代入Gamma模型，就得到表三的不和谐度：