清华大学现代信号处理教学大纲
现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
- 230 -第8章 M 通道滤波器组8．1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。
图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l lMMMk M l V z XW z M X Wz H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M l lMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X- 231 -令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l Ml X z A z X zW -==∑ 这样，最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。
由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位，因此，ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。
由上一章的讨论可知，在0l ≠时，(2/)()j l M X e ωπ-是混迭分量，应想办法去除。
显然，若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑ (8.1.9)显然，()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。
这时，ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。
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33及 ∑+==NL n nx x d 122),(α（1.7.8）此即信号正交分解的最小平方近似性质。
我们在有限项傅立叶级数的近似中曾经遇到过[19]。
现推导（1.7.7）及（1.7.8）两式。
将（1.7.6）式展开，有∑∑∑∑+-==jj Li i i nnn n x n x x x d 2122))()()((2|)(|),(βϕβ （1.7.9）将上式对k β求偏导，并使之为零，则有02)()(2),(2=+-=∑∂∂k n k x x d n n x kβϕβ及k nk k n n x αββ==∑)()(将此结果代入（1.7.9）式，即得（1.7.8）式。
若空间X 由向量N ϕϕϕ,......,,21张成，即},......,,{21N span X ϕϕϕ=，并有},......,,{211L span X ϕϕϕ=及},......,,{212N L L span X ϕϕϕ++=，我们称1X 和2X 是X 的子空间。
如果：1．021=X X ，即1X 和2X 没有交集；2．21X X X =，即X 是1X 和2X 的并集；这时，我们称X 是1X 和2X 的直和，记作：21X X X ⊕=（1.7.10）这些概念我们将在小波变换中用到。
性质5：将原始信号x 经正交变换后得到一组离散系数N ααα,......,,21。
这一组系数具有减少x 中各分量的相关性及将x 的能量集中于少数系数上的功能。
相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数}{n ϕ的性质。
这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。
有关这一点，我们在本节还要继续讨论。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：定理 1.2：)(t ϕ是一个原型函数，其傅立叶变换为)(ΩΦ，若)}({k t -ϕ，Z k ∈是一组正交基，则34∑=+ΩΦkk 1|)2(|2π（1.7.11）若)(1k t -ϕ，)(2k t -ϕ是两组正交基，即0)(),(2211>=--<k t k t ϕϕ 21,k k ∀则0)2()2(*21=+Φ+Φ∑kk k πωπω（1.7.12）证明[13,21,8]：因为}),({Z k k t ∈-ϕ是一正交基，设x 是它构成空间中的一个元素，则x 可表示为)(k t -ϕ的线性组合，即∑-=kk k t a x )(ϕ（1.7.13）由性质3，有∑=kkax 22||||||，对（1.7.13）式两边作傅立叶变换，有∑∑⎰Ω-Ω-ΩΦ=-=Ωkjk k ktj k e a j dt ek t a j X )()()(ϕ（1.7.14）注意，该式是傅立叶变换（FT ）和离散时间傅立叶变换（DTFT ）的混合表达式。
清华大学《现代信号处理》课件
现代信号处理（离散随机信号处理）电子工程系本课程要讨论的主要问题：（1）对信号特性的了解随机信号（随机过程，时间序列––随机过程的一个实现）信号模型→参数估计→现代谱估计：参数化谱估计讨论信号模型及模型参数的估计问题，比较参数谱估计方法和周期图方法的优劣。
（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究平稳条件下：Wiener滤波器理论非平稳条件下：Kalman滤波理论上的目标，实际算法可达到的最佳结果（3）对环境的自适应，具备“学习能力”的滤波算法自适应均衡、波束形成、线性自适应滤波器（4）更多信息的利用，挖掘（针对非高斯问题）线性系统、功率谱：二阶矩，高斯过程的完全刻划非线性、多谱：高阶量，循环平稳（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：全局特性与局域特性，小波变换，时频分析信号处理算法设计面向的几个主要因素n信噪比n先验知识n雷达n通信系统n电子对抗n对先验知识的利用：统计基础上的假设、学习过程n算法复杂性与性能要求的匹配性一些进展中的课题盲自适应信号处理序列贝叶斯估计、粒子滤波阵列信号处理等等与信号处理紧密关联的学科人工神经网络统计学习理论模式识别等等教材n张旭东，陆明泉：离散随机信号处理，2005年10月，清华大学出版社主要参考书①S. Haykin, Adaptive Filter theory, Third Edition, Prentice-Hall, 1996，//Fouth Edition 2001 (电子工业出版社均有影印本)①S.M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory & Application,Prentice-Hall, 1988①S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.①S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, 1998，Second Edition 1999①扬福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.① D. G. Manolakis, et,al. Statistical and Adaptive Signal Processing, Mcgraw-Hall, 2000.①J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002①张贤达现代信号处理第2版清华大学出版社课程成绩n平时作业10％n2个Matlab作业40％（布置后2周内提交）n期末开卷考试50％1.1随机信号基础被噪声干扰的初相位是随机值的正弦波信号本质上均是随机的，但将信号作为随机信号处理，还是做为确定信号处理，与我们的应用目标和我们的先验知识有关，一般地，我们总是选择对应用有利的处理方式。
《现代信号处理》教学大纲
《现代信号处理》教学大纲适用专业：信息与通信工程、物联课程性质：学位课网工程、电子与通信学时数：32 学分数： 2课程号：M081001 开课学期：秋季第(1)学期大纲执笔人：何继爱大纲审核人：陈海燕一、课程的地位和教学目标现代信号处理作为信息类专业研究生的一门专业基础课，是在传统数字信号处理基础上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等工具，研究有限数据量的随机信号的分析与处理，且系统可能是时变、非线性的，它是近代才发展起来的前沿学科。
主要讨论基于信号模型分析和滤波的基本理论和基本方法；以现代谱估计和自适应滤波为核心内容，并介绍现代信号处理的新技术。
该课程为众多信号处理的应用领域打下基础，包括通信、声学、图像、雷达、声纳、生物医学等领域的信号处理。
本课程的知识目标是使学生牢固掌握现代信号处理一些最基本的理论、方法和应用，并能跟踪和学习新的理论、方法和技术；内容涉及随机信号统计分析、现代谱估计、自适应滤波器、时频分析与二次型时频分布、信号多速率变换、盲信分离和阵列信号处理方法等；建立现代信号处理的知识体系，对课程内容总体把握；具有一定的实验和模拟仿真的基本知识。
了解现代信号处理重要新技术的发展趋势，为从事信息与通信工程及相关电子系统的工程设计打下坚实的基础。
本课程的能力目标是通过课程的学习提高学生的分析计算方法、演绎推理方法和归纳法等基本数学处理方法；运用数学、物理及工程概念及方法发现问题、分析问题和解决问题的能力，以及理论与实际相结合的能力；能够触类旁通，提高学生的科学学习方法；掌握通信学科的信号分析与处理基本理论和技能，思路开阔，具有运用所学知识的能力、搜集和提炼信息的能力、团队合作能力、表达能力和创新能力等。
本课程的专业素质目标通过本课程的课堂学习、单元知识及章节总结、习题及专题研讨培养学生培养良好严谨的科学研究态度和正确的思维方法，使学生敢于提出问题、善于分析问题和解决问题的能力及具有团队合作精神。
chapter04 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书
1.幅度是中心在（0，0）的高斯信号； 2.在 θ , τ 两个方向上是振荡的，振荡频率 由 Ω 0 , t0 决定 ；注意，Ω 0 , t0 并不影响
AF的中心位置； 3. AF是复函数。
例2
α 2 x(t ) = ∑ exp − α (t − t i ) 2 + jΩ i t i =1 π
结论：Cohen 类的任一成员都可由Wigner分布 得到。
（5）用广义模糊函数表示
M x (θ，τ ) = Ax (θ，τ )g(θ，τ )
Cx (t，Ω) = ∫∫ M x (θ，τ )e
− j (θt +Ωτ )
dτdθ
（6）用广义时间相关表示
− jtθ ′ 定义： g ( t，τ ) = ∫ g (θ，τ ) e dθ
上一例已求出，中心在 (θ , τ ) = (0, 0) 处；
互项：
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu 2π 4 4α
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu ) 2π 4 4α
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ
WVD定义为瞬时自相关对 时间延迟 的傅里叶正变换
τ
rx ( t，τ ) = ∫ Ax (θ ，τ ) e − jθ t dθ
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ = ∫∫ Ax (θ ，τ ) e
现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
98第4章 Cohen 类时－频分布4.1 前言除了Wigner 分布和谱图以外，近几十年来人们还提出了很多其它具有双线性行式的时－频分布。
1966年，Cohen 给出了时－频分布的更一般表示形式［44］： ()()()()() ，：，⎰⎰⎰-Ω+-*-+=Ωθττθττπθτθd dud eg 2u x 2u x 21g t C u t j x （4.1.1）该式中共有五个变量，即t ，Ω，τ，θ和u ，它们的含义我们将在下一节解释。
式中()τθ，g 称为时－频分布的核函数，也可以理解为是加在原Wigner 分布上的窗函数。
给出不同的()τθ，g ，就可以得到不同类型的时－频分布。
通过后面的讨论可知，目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时－频分布都可以看作是Cohen 类的成员。
通过对Cohen 类分布的讨论有助于我们更全面地理解时－频分布，深入地了解它们的性质，并提出改进诸如交叉项这些不足之处的方法。
在Cohen 类时－频分布的讨论及抑制交叉项的方法中，在雷达信号处理中广泛应用的模糊函数（Ambiguity Function, AF ）起着重要的作用。
因此，本章首先给出模糊函数的定义及其与Wigner 分布的关系，然后讨论Cohen 类分布及其不同的成员。
在4.4节讨论为确保Cohen 类分布具有一系列好的性质而对()τθ，g 所提出的要求。
最后，在4.5节讨论核的设计问题。
文献[47]对非平稳信号的联合时－频分布给出了较为详细且是较为权威性的论述。
4.2 Wigner 分布与模糊函数令()t x 为一复信号，我们在第三章已定义()()()22τττ-+=*t x t x t r x ， （4.2.1）为()t x 的瞬时自相关函数，并定义()τ，t r x 相对τ的傅立叶变换 ()()⎰Ω-=Ωτττd t r t W j x x ，， （4.2.2）为()t x 的WVD 。
除去特别说明，该式及以下各式中的积分均是从∞+∞-～。
清华大学信号与系统教学大纲
第一章绪论
1.1.信号与系统描述
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.阶跃信号、冲激信号
1.3.线性时不变系统
第二章连续时间系统
2.1.冲激响应和阶跃响应
2.2.卷积
第三章傅里叶变换
3.1.傅立叶级数、频谱
3.2.傅立叶变换
3.3.傅立叶变换的性质
3.4.周期信号和抽样信号的傅立叶变换，抽样定理
第四章拉普拉斯变换
4.1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的性质，拉普拉斯逆变换
4.2.拉普拉斯变换的应用
4.3.系统函数，零点、极点
4.4.S-域分析，频响特性，反馈系统
第五章变换域分析方法的应用
5.1.傅立叶变换应用：理想滤波器，上升时间和带宽，调制，信号分析
8.4.DFT、FFT
第九章状态变量分析方法
9.1.信号流图
9.2.连续系统状态变量分析
9.3.离散系统状态变量分析，可观测性与可控制性
9.4.状态变量分析方法在控制系统中的应用
本科《信号与系统》课程教学大纲
一、课程基本情况
课程编号
开课单位
航天航空学院
课程名称
中文名称
信号与系统
英文名称
Signals and Systems
教学目的与重点
本课程教学目的是使学生掌握信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。重点是确定性信号经线性、时不变系统传输与处理的基本理论和方法。
课程负责人
陆建华
课程类型
□文化素质课□公共基础课■学科基础课
□专业基础课□专业课□其它
教学方式
■讲授为主□实验/实践为主□专题讨论为主
现代信号处理教程---胡广书(清华)
第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。
但是，在实际工作中，我们经常会s遇到抽样率转换的问题。
一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。
例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。
因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。
得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。
3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。
以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。
近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。
“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。
减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。
抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。
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- 352 -第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
《现代信号处理》课程教学大纲
(2) 熟悉线性时不变系统对随机信号的响应；(3) 了解估计子的性能评价标准，熟悉Cramer-Rao界；(4) 了解bayes估计和最大似然估计；(5)掌握线性均方估计和最小二乘估计。
2．重、难点提示(1) 重点是随机过程的时域、频域表示，线性均方估计和最小二乘估计；(2) 难点是随机过程相关函数与功率谱之间的关系，线性均方估计和最小二乘估计在滤波中的应用。
第2章功率谱估计（5学时）1．教学内容(1) 熟悉经典功率谱估计的方法及缺点；(2) 掌握现代功率谱估计的方法——参数模型法；(3) 掌握AR模型的Yule—Walker方程的导出；(4) 熟悉Levinson—Durbin算法；(5) 了解AR谱估计的性质和AR模型参数提取方法；(6) 掌握Capon谱估计方法。
2．重、难点提示(1) 重点是现代功率谱估计的方法——参数模型法、Levinson—Durbin算法、Capon谱估计；(2) 难点是AR模型的Yule—Walker方程推导、Capon谱估计算法推导。
第3章维纳滤波与卡尔曼滤波（6学时）1．教学内容(1) 了解维纳滤波的条件，掌握维纳霍夫方程；(2) 掌握FIR维纳滤波器的求解，了解因果IIR滤波器的求解；(3) 掌握均方误差的概念，均方误差性能曲面及其性质；(4) 掌握FIR维纳滤波器的设计；(5) 熟悉标量卡尔曼滤波器，了解矢量卡尔曼滤波器；(6) 了解维纳滤波器和卡尔曼滤波器的应用。
2．重、难点提示(1) 重点是维纳滤波的条件、维纳滤波器求解思路、FIR滤波器的求解；(2) 难点是维纳滤波标准方程的导入、FIR滤波器的求解思路。
第4章自适应滤波器（6学时）1．教学内容(1) 熟悉自适应滤波器的原理，掌握自适应线性组合器的实现；(2) 熟悉最陡下降法的基本思想；(3) 熟悉学习曲线和收敛速度的概念及与迭代次数的关系；(4) 掌握LMS算法，了解LMS算法的改进；(5) 掌握RLS算法，了解RLS算法的改进；(6) 了解自适应滤波器应用——谱线增强器和陷波器。
现代信号处理教程-胡广书清华
0 / 1第3章 短时傅立叶变换3．1连续信号的短时傅立叶变换由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此傅立叶变换不适用于时变信号。
信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。
早在1946年，Gabor 就提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform ，STFT ）的概念，用以测量声音信号的频率定位[64]。
给定一信号)()(2R L t x ∈，其STFT 定义为>-=<-==ΩΩΩ-Ω⎰⎰ττττττττττj j t x et g x d et g x d g x t STFT )(),()()()()(),(**,（3.1.1）式中τττΩΩ-=j t et g g )()(,（2.1.2） 及1||)(||=τg ，1||)(||,=Ωτt g并且窗函数)(τg 应取对称函数。
STFT 的含义可解释如下：在时域用窗函数)(τg 去截)(τx （注：将)(t x ，)(t g 的时间变量换成τ），对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在t 时刻得该段信号得傅立叶变换。
不断地移动t ，也即不断地移动窗函数)(τg 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。
这些傅立叶变换的集合，即是),(Ωt STFT x ，如图2.1.1所示。
显然，),(Ωt STFT x 是变量),(Ωt 的二维函数。
由于)(τg 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于τΩj e在频域是线谱，所以STFT 的基函数ττΩ-j et g )(在时域和频域都应是有限支撑的。
这样，（3.1.1）式内积的结果即可实现对)(t x 进行时－频定位的功能。
当然，我们自然要关心这一变换时域及频域的分辨率。
对（0 / 13.1.2）式两边作傅立叶变换，有 ⎰-ΩΩ-=ττυυττd e e t g G j j t )()(,⎰''='Ω--Ω--t d e t g et j tj )()()(υυ t j e G )()(Ω--Ω-=υυ （3.1.3）式中υ是和Ω等效的频率变量。
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现代信号处理教程-胡广书(清华)jtt2g t， g，ed qt2q（4.4.2）式中g t，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cx t，21jxu2xu2qt u2qt u2dued，则上式变成令u2，u2Cx t，1j x x qt qt ed d21j jx qt ed x qt ed（4.4.3）221Xq2于是结论得证。
式中Xq是x t乘上窗函数q t后的傅立叶变换。
该式说明，如果g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cx t，等效于谱图。
因此，谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cxt，R，t，，Q１：g，g，证明：由（4.1.1）式，t，Cx12j t u xu2xu2g，ed du d 令，，则上式变为t，Cx12j t uxu2xu2g，ed dud显然，如要求t，Cx t，，必有g，g，Cx3、时移：P2：若s t x t t0，则Cs t，Cx t t0，Q2： g，不决定于t证明：因为g 4、频移：，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；若sP3：t x t ej t，则Cs t，Cx t，0Q3：g，与无关性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即12Ct，d xtP4：x2Q4：g，0 1证明：将（4.1.1）式两边对积分，有Cx t，d12j t uxu2xu2g，edud d dx u2x u2g，e j t u dud d x u g，0e j t u dud2欲使上式的积分等于x t，必有欲使该式成立，必有j(t u)g(,0)ed2(t u)01，也就是说，为保证C t，具有WVD的边界性质，g，xg，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即P5： Q5：Cx t，dt Xg0， 12其证明请读者自己完成。
112前已述及，为了有限的抑制AF中远离，0，0的互项，希望g，应为，平面上的2－D低通函数。
ESPRIT方法清华大学《现代信号处理》讲义-张贤达
Estimating Signal Parameters via Rational Invariant Technique
1. 基本ESPRIT方法
x(n) As(n) w(n) y(n) x(n 1) AΦs(n) w(n 1)
1
A
e
j1
e j(m1)1
1
e j p
J1
Im1,0
和
J2
0,Im1 ，则
XX12
J1X J2X
X
X1 最后一行
第一行
X2
AS
W
Vandermonde 矩阵
A
A1 最后一行
第一行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2
旋转矩阵
A2 A1Φ
不考虑噪声时
XX12
A1S A2S
A1ΦS
R xx
APAH
2I
Us
,
U
n
Σs 0
0
2I
UsH
U
准则函数：
max
R
max
UT SbU UT SwU
max Q uTi Sbui i1 uTi Swui
ui是矩阵对(Sb ,Sw )的第i个最大广义特征值对应的广 义特征向量。令i 1, , c 1,则矩阵Uc1=[u1, , uc1] 的列构成c类信号的最优类鉴别子空间。
yi,k UTc1si,k描述样本特征向量si,k在最优类鉴别子空间 的投影。若不同类型的特征向量投影分别用 ，， 等符号 画出，则投影图直观地给出了不同特征的类鉴别性能。
满秩 广义特征值是广义特征多项式 | A B | 0 的根
Cxx ,Cxy APAH , APΦH AH Cxx Cxy APAH APΦH AH AP I ΦH AH
工程硕士课程《现代信号处理》教学大纲
数字滤波器
1、数字滤波器的基本概念
2、数字滤波器的设计方法
PPT
教材第一章
掌握基本知识
7
信号检测
1、检测准则
2、多次观察
3、多元检测
PPT
教材第二章
掌握基本知识和信号检测方法的计算
8
参数估计
1、估计的基本概念
2、贝叶斯估计
3、线性估计
PPT
教材第三章
掌握基本知识和参数估计方法的计算
9
维纳滤波和卡尔曼滤波
3、有理因子抽样率变换
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教材第九章
掌握基本知识和采样率变换的框图及频谱变化的表示
15
复习
16
考试
讲授提纲
周次
授课内容
讲授要点
讲授方式
阅读书目
教学目标
1
信号与系统概述、傅里叶级数
1、信号
2、系统
3、傅里叶级数
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教材第一章
掌握基本知识
2
傅里叶变换
1、傅里叶变换的定义
2、傅里叶变换的计算
3、傅里叶变换的性质
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教材第一章
掌握信号傅里叶变换的运算
3
确定性信号通过线性时不变系统
1、时域关系式
2、频域关系式
1、非因果维纳滤波
2、因果维纳滤波
3、卡尔曼滤波
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教材第四章
掌握基本知识和维纳滤波方法的计算
10
频谱估计
1、经典估计方法
2、参数模型法
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教材第五章
掌握基本知识和AR模型频谱估计方法的计算
11
自适应信号处理
1、基本概念
2、横向结构随机梯度法
现代信号处理教程-胡广书(清华)
第7章两通道滤波器组7.1 两通道滤波器组中各信号的关系第6.1节已提及，滤波器组分为分析滤波器组和综合滤波器组。
分析滤波器组将分成M个子带信号。
若M＝2，则分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器所组成，它们把分成了一个低通信号和一个高通信号。
我们可依据这两个子带信号所具有的能量的不同，也即“重要性”的不同而分别给以不同的对待及处理。
例如，分别赋以不同的字长来实现信号的编码及压缩，或是别的处理。
处理后的信号经传输后再由综合滤波器组重建出原信号。
由于分析滤波器组将原信号的带宽压缩为1/M，因此，对每一个子带信号均可作M倍的抽取，从而将抽样率减低M倍。
这样可减小编码和处理的计算量，同时，在硬件实现时也可以降低对系统性能的要求，从而降低成本。
在综合滤波器组前面，再作M倍的插值，以得到和原信号相同的抽样率。
一个两通道滤波器组如图7.1.1所示。
图7.1.1 两通道滤波器组如果，或，式中和为常数，我们称是对的“准确重建(Perfect Reconstruction，PR)”。
本节首先讨论图7.1.1中各信号间的关系，然后讨论实现准确重建的途径。
也即，如何确定,,和才能去除混叠失真，幅度失真及相位失真。
由图7.1.1及第五章关于抽取与插值的输入、输出关系，对图中的分析滤波器组，有：，( 7.1.1a )_（7.1.1b）即：（7.1.2）对综合滤波器组，有：而，所以（7.1.3）将（7.1.2）式代入(7.1.3)式，有：（7.1.4）该式给出了和及分析滤波器组，综合滤波器组之间的关系（i＝0，1）。
将（7.1.4）式展开，有：令(7.1.5a)(7.1.5b)则(7.1.6)由于是移位后的结果，因此它是混叠分量。
显然，若令，则可有效的去除混叠失真，这样：(7.1.7)反应了去除混叠失真后的两通道滤波器组的总的传输特性。
系统的幅度失真及相位失真均与有关，因此又称“失真传递函数（distortion transfer function）”。
随机信号 清华大学《现代信号处理》讲义 -张贤达
i = m +1
∑
M
q iH R x q i
约束条件：q iH q i = 1 拉格朗日乘子法： 代价函数 J (q i ) =
i = m +1
∑
M
q R xqi +
H i
i = m +1
∑
M
λi (1 q iH q i )
J (q i ) = R x q i λi q i = 0 * q i 特征值λi 和特征向量u i
课程特点及考核
课程特点 现代信号处理的主要理论、方法和应用 “与前沿接轨” 数学知识（矩阵分析、数理统计、最优化） 创新能力的培养 考核方式 习题（11%） 计算机仿真（实验3次，24%） 考试（65%）
第一章 随机信号
本章主要介绍随机信号的基本概念： 本章主要介绍随机信号的基本概念：相关 函数、功率谱密度、两个信号的正交、 函数、功率谱密度、两个信号的正交、统计不 相关和统计独立、 相关和统计独立、相干信号以及它们的几个典 型应用。 型应用。
R x q i = λi q i
Lagrange乘子λi 和基向量必须分别选取为自相关矩阵R x的
正交的两个典型应用( 正交的两个典型应用(续)
离散K-L变换 x = ∑ wi u i
i =1 m
若R x只有K 个大特征值，其余M K 个特征值可忽略，则 x = ∑ wi u i
i =1 K
正交的几何解释
1. 常数向量的正交(常数向量：元素为常量的向量)
夹角： cos θ = x, y x, x xH y = x y y, y
正交：
x, y = x H y = 0
两常数向量夹角为90°
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第一章随机信号
1.1 信号的分类
1.1.1 信号的统计特性
1.1.2 按概率分布分类
1.1.3 平稳信号
1.2 两个随机信号的二阶统计量
1.3 两个随机信号的统计关系
1.3.1 统计独立、统计不相关、正交
1.3.2 正交的几何解释与物理意义
1.3.3 正交的两个典型应用
1.3.4 相关的应用
1.4 信号变换
1.5 随机信号通过线性系统
第二章参数估计理论
2.1 估计子的性能
2.1.1 估计子的定义
2.1.2 无偏估计、有偏估计、渐近无偏估计
2.2 Fisher信息与Cramer-Rao下界
2.3 Bayes估计
2.3.1 损失函数、风险函数
2.3.2 Bayes估计
2.4 最大似然估计
2.5 线性均方估计
2.5.1 线性均方LMS
2.5.2 正交性原理
2.6 最小二乘估计
2.6.1 矩阵方程的求解
2.6.2 Gaussian-Markov定理
2.6.3 加权最小二乘
第三章现代谱估计
3.1 ARMA谱估计与系统辨识
3.1.1 平稳ARMA过程
3.1.2 ARMA过程的功率谱密度
3.1.3 ARMA功率谱估计的两种线性方法
3.1.4 ARMA功率谱密度的特例
3.1.5 修正Y ule-Walker方程
3.1.6 AR阶数确定的奇异值分解方法
3.1.7 AR阶数确定的信息量准则法
3.1.8 扩展MYW方程
3.1.9 AR参数估计的总体最小二乘法
3.2 最大熵谱估计
3.2.1 信息量、熵
3.2.2 最大熵1（MEM1）、最大熵2（MEM2）
3.2.3 Levinson递推
3.2.4 Burg算法
3.3 Pisarenko谐波分解
3.3.1 Pisarenko分解
3.3.2 谐波恢复的ARMA建模法
3.4 扩展Prony方法
3.5 MUSIC方法
3.5.1 阵列信号处理问题
3.5.2 最优波束形成器
3.5.3 子空间方法
3.5.4 MUSIC方法
3.5.5 改进的MUSIC方法
3.6 ESPRIT方法
3.6.1 基本ESPRIT方法
3.6.2 TLS-ESPRIT方法
3.6.3 ESPRIT方法的另一种形式
3.6.4 广义Rayleigh商
第四章自适应滤波器
4.1 匹配滤波器
4.2 Wiener滤波器
4.2.1 线性最优滤波器
4.2.2 正交性原理
4.2.3 维纳滤波器
4.3 Kalman滤波器
4.3.1 Kalman滤波问题（一步预报）
4.3.2 新息过程
4.3.3 Kalman滤波算法
4.4 LMS自适应算法
4.4.1 梯度下降算法
4.4.2 基本的LMS算法
4.4.3 自适应学习速率参数
4.4.4 LMS算法的改进
4.5 RLS算法
4.5.1 RLS算法
4.5.2 统计性能分析
4.5.3 LMS、RLS、Kalman滤波算法的性能比较
4.6 仿射投影算法
4.7 LMS格型滤波器
4.7.1 对称的格型结构
4.7.2 格型滤波器设计准则
4.7.3 格型自适应算法
4.8 自适应滤波器的算子理论
4.8.1 滤波器算子的基本要求
4.8.2 从信号处理角度理解投影算子
4.8.3 投影矩阵与正交投影矩阵
4.8.4 投影算子的应用：前、后向预测滤波器
4.8.5 投影矩阵和正交投影矩阵的递推计算
4.9 LS格型滤波器
4.10 自适应谱线增强器和陷波器
4.10.1 谱线增强器与陷波器的传递函数
4.10.2 陷波器设计
4.10.3 自适应谱线增强器的设计
4.11 广义旁瓣对消器
4.12 盲自适应多用户检测
4.12.1 盲多用户检测的典范表示
4.12.2 LMS多用户检测算法
4.12.3 RLS多用户检测算法
4.12.4 盲多用检测的Kalman滤波算法
第五章高阶统计分析
5.1 高阶矩与高阶累积量
5.1.1 单个随机变量的高阶矩与高阶累积量
5.1.2 多个随机变量的高阶矩与高阶累积量
5.1.3 随机信号的高阶矩与高阶累积量
5.1.4 矩与累积量的转换关系
5.1.5 累积量的估计公式
5.2 矩与累积量的性质
5.2.1 性质
5.2.2 高阶累积量的优点
5.3 高阶谱
5.4 双谱在目标识别中的应用
5.5 BBR公式
5.6 FIR系统辨识
5.6.1 RC算法
5.6.2 FIR系统辨识的累积量方法
5.6.3 阶数确定
5.7 因果ARMA模型辨识
5.7.1 AR参数的辨识
5.7.2 MA辨识
5.8 高斯有色噪声中的谐波恢复
5.8.1 复信号高阶累积量的定义
5.8.2 谐波过程的累积量
5.9 非高斯有色噪声中的谐波恢复5.10 自适应滤波
5.10.1 基于累积量的MMSE准则
5.10.2 RLS算法
5.10.3 应用。