(完整版)函数的周期性与对称性总结
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。
注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
函数点对称线对称及周期总结
函数点对称线对称及周期总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
函数的对称性和周期性
函数的对称性和周期性一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线2a bx +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a bx +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点（2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知 函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b ax -=对称点（1b a x --，y 1）。
函数的周期性和对称性口诀
函数的周期性和对称性口诀
函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。
若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。
（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。
周期性，T=2|a-b|。
若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。
（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。
对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。
对称性的概念：
1、函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
2、中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
性质：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f （x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。
3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B （b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
函数的基本性质(对称性、周期性)
函数的基本性质(对称性、周期性)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.2、对称性：（1）轴对称()()f a x f a x +=-⇔函数)(x f y =关于a x =对称注意：)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称.得证.若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2a b x +=对称. （2）点对称 ()()2f a x f a x b ++-=⇔函数)(x f y =关于点),(b a 对称 b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称.得证.若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称.3、周期性（1）如果()f x 满足()()()f x a f x b a b +=+≠，则()f x 是周期T a b =-的周期函数.（2）如果()f x 满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()f x 是周期2T a =的周期函数.（3）如果()f x 满足1()(0,()0)()f x a a f x f x +=≠≠且，或1()()f x a f x +=-，则()f x 是周期2T a =的周期函数.（4）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（5）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（6）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.4、例题讲解例1、已知定义为R 的函数()x f满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负 例2、在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是减函数例3、已知()113x f x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（ ）. A.17- B. 17C. 35-D.3 例4、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（ ）A.0B.12C.1D.52例5、()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =(2009)f =________例6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)若f(0)＝2004，求f(2004).例7、已知对于任意a ，b ∈R ，有f(a ＋b )＋f(a －b )＝2f(a )f(b )，且f(x )≠0 ⑴求证：f(x )是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f(m)＝0，求满足f(x ＋T)＝f(x )的一个T 值(T≠0).例8、已知f (x )是R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则f (1)+f (2)+f (3)=_______.例9、设奇函数y=f(x)的定义域为R ，f(1)=2，且对任意R x x ∈21,，都有),f(x )f(x )x f(x 2121+=+当x ＞0时，f(x)是增函数，则函数)(f y 2x －=在区间[-3，-2]上的最大值是____.例10、设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，2()f x x =，求)(x f 在k I 上的解析式.例11、设定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时()f x 为增函数，若(2)0f -≥.求证:当[4,6]x ∈时，|()|f x 为减函数. 例12、设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2(=πf ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+ 求证：①)()2(x f x f =+π ②)()(x f x f -= ③ 1)(2)2(2-=x f x f变式、设函数)(x f 定义于R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，有)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+求证：)()(x f x f -=.。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数周期性与对称性
方法点拨
结论 1: f ( x a) f ( x b)型: f (x) 的周期为| b a | .
例 1:定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x 6) f (x) .当 3 x 1 时, f (x) (x 2)2 ,
当 1 x 3时, f (x) x ,则 f (1) f (2) f (2018) ( ) .
推论 2:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图像关于直线 x a 对称.
推论 3:函数 y f (x) 与 y f (2a x) 图像关于直线 x a 对称.
2.函数
y
f
(a x) 与 y
f
(b
x)
图像关于点
b
2
a
,
0
对称.
推论 1:函数 y f (a x) 与 y f (a x) 图像关于点(0, 0) 对称.
a( ).
A. 1 B. 1
C. 2
D. 4
考点探究
函数对称性和周期性
1. 两线对称型:函数 f (x) 关于直线 x a, x b 对称,则 f (x) 的周期为| 2b 2a | .
【证明】
2. 一线一点对称型:函数 f (x) 关于直线 x a 及点(b, 0) 对称,则 f (x) 的周期为 | 4b 4a | .
考点探究
结论 3: f (x a) 1 型: f (x) 的周期为2a . f (x)
例 3:知定义在R 上的函数 f (x) 满足 f (x 4) f (x) 1 ,若 f (0) 2016 ,则 f (2016) ________.
考点探究
结论 4: f (x a) 1 型: f (x) 的固期为2a . f (x)
(完整版)函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析：1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．23．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy c o s =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。
6、曲线()x f y =关于直线a x =与bx =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y=是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=f(x)1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x)1-,则()x f y =是以 为周期的函数. 4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
(完整版)函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全,推荐文档
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)(x f y =都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周)()(x f T x f =+)(x f y =期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+也可以写成 或 )()(x a f x a f -=+)2()(x a f x f -=)2()(x a f x f +=- 简证：设点在上，通过可知，),(11y x )(x f y =)2()(x a f x f -=，即点上，而点与点)2()(111x a f x f y -==)(),2(11x f y y x a =-也在),(11y x 关于x=a 对称。
得证。
),2(11y x a - 若写成：，函数关于直线对)()(x b f x a f -=+)(x f y =22)()(ba xb x a x +=-++=称（2）函数关于点对称)(x f y =),(b a ⇔bx a f x a f 2)()(=-++ 或 b x f x a f2)()2(=-++上述关系也可以写成bx f x a f 2)()2(=+- 简证：设点在上，即，通过可知，),(11y x )(x f y =)(11x f y =b x f x a f 2)()2(=+-，所以，所以点b x f x a f 2)()2(11=+-1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-也在上，而点与关于对称。
函数的对称性与周期性（归纳总结）
函数的对称性与周期性（归纳总结）
函数的对称性与周期性
3.1函数的单调性
知识回顾
1．一般地，设函数的定义域为
，区间
：
⑴ 增函数：如果对于上的任意两个自变
量的值，当
时，都有，那么就称函数在区间
上是增函数；
⑵ 减函数：如果对于上的任意两个自变
量的值，当
时，都有，那么就称函数在区间
上是减函数；
2．单调性：如果函数在某个区间
上是增函数或减函数，那么就说
函数在这个区间上具有单调性，区间叫做
的单调区间．
3．判断函数单调性的基本方法：
⑴ 定义法：任取，
，判断
的正负；
⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；
⑶ 复合函数的单调性——同增异减．
3.2函数的奇偶性（一）
知识点睛
3.3函数的对称性
知识点睛
一般的轴对称：
⑴ 函数的图象关于直线
对称
；
⑵ 若函数满足
，则
的图象关于直线
成轴对称．
【练习1】（1）若函数满足：
，则
的图象的对称轴为________；
（2）若函数满足：
，则
的图象的对称轴为________；（3）若函数满足：，则
的图象的对称轴为________．【解析】⑴；⑵
；⑶
．
一般的中心对称：
⑴函数的图象关于点
对称
．
⑵若函数满足。
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一:有关周期性的讨论
在已知条件()()f a x f b x +=-或
()()f x a f x b +=-中，
(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2
b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立
周期性规律 对称性规律
(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒
(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2
b a x +=
⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2
(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -
=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1
)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()
f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-
+ a T 4=⇒ (9) )
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒
(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2
(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2
(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期
a b T -=4
(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a
(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a
(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2
T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性
例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？
它的图像是不是轴对称图形？
例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？
它的图像是不是轴对称图形？
定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像
关于直线x a =对称。
证明：设点()
P x y 00，是y = f （x ）的图像上任一点，点P 关于直线x =a 的对称点为Q ，易知，点Q 的坐标为()200a x y -，。
因为点()P x y 00，在y = f （x ）的图像上，所以f x y ()00= 于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-
所以点()Q a x y 200-，也在y = f （x ）的图像上。
由P 点的任意性知，y = f （x ）的图像关于直线x =a 对称。
定理2：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （a +x ）= f （b －x ），那么y = f （x ）的图像关于直线x a b =+2
的对称。
定理3：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x +a ）= f （x －a ），那么y = f （x ）是以2a 为
周期的周期函数。
证明：令x a x -='，则x x a x a x a =++=+''，2
代入已知条件()()f x a f x a +=-
得：()()f x a f x ''++2
根据周期函数的定义知，y = f （x ）是以2a 为周期的周期函数。
定理4：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足()()f x a f x b +=-，那么y = f （x ）是以a b
+为周期的周期函数。