高一数学必修2第一章空间几何体课程教案
人教A版高中数学必修2《 一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积(通用)》优质课教案_8
让数学课有文化,抓住机会了解中国古代数学史,增强民族自豪感,培养学生查阅资料的习惯。
对学生进行思想情操上的教育和对数学文化的了解。
直观展示,提高学习效率。
活动8
知道锥体体积公式的由来,知道台体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系?
直观展示图片及其公式之间的联系,提高效率。
活动10
例题精讲
解决导入问题
公式的应用
媒体呈现题目。
活动11
小结及作业
视时间长短,请学生总结本节课的主要内容和思想方法或者师生共同总结,布置作业。
知识升华和思维提炼。
电子白板展示公式之间的联系。
教学
总结
与反思
我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。在教学上采用了“问题驱动,启发探究”的方法,通过教师的“问”、“启”、“导”,鼓励学生积极、主动地探究新知,获得了成功。这节课的重点是使学生经历柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程及其简单应用。在教学中,遵循教学的发展规律和学生的认识规律,紧紧抓住几何体的结构特征,通过适当的问题情景,从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系,引出要学习的内容,然后通过“思考”、“探究”等活动,通过让学生体会看图、画图、制图、识图的过程,亲自实践,逐步引导学生体会其中的“由特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物转化”的化归思想的应用,突破难点。并采用观察、类比、归纳等合情推理,鼓励学生多向思维,勇于探索。以多媒体演示为载体,以“引导思考”为核心,设计课件展示,并引导学生沿着积极的思维方向,通过问答结合,及时了解学生掌握情况,达到教学目的。学生的难点是不能建立较强的立体实物图。在教学设计中,注重学生的已有知识经验的作用,并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次;注重设计与生成的有机结合。在教学实践中,注重学生的参与,并且是思维层面的参与,并通过环环相扣的问题串实现。把问题交给学生,真正发现问题,利用生成教学,培养了学生独立性和分析问题的能力。
人教版高中数学必修2第一章空间几何体-《1.2.3平行投影与中心投影》教案
1.2.3平行投影与中心投影、空间几何体的直观图(2)教学目的:使学生进一步掌握斜二测画法的步骤,会画几何体的直观图,会根据几何 体的三视图画出直观图,了解平行投影与中心投影的不同表现形式。
教学重点:用斜二测画法画几何体的直观图。
教学难点:根据几何体的三视图画出直观图。
教学过程一、复习提问如何用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图?有哪些步骤?二、新课例3、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm 、3cm 、2cm 的长方体ABCD -A’B’C’D’ 的直观图。
画法:(1)画轴。
画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于点O ,使∠xoy =45°,∠xoz =90°。
(2)画底面。
以点O 为中点,在x 轴上取线段MN =4cm ,在y 轴上取线段PQ ,使PQ =1.5cm 。
分别过点M 、N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点A ,B ,C ,D ,四边形ABCD 就是长方体的底面。
(3)画侧棱。
过A ,B ,C ,D 各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段A A’,BB ’,CC ’,DD ’。
(4)成图。
顺次连接A’、B ’、C ’、D ’,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图。
例4、如图1.2-9,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。
A正视图侧视图 俯视图分析:由几何体的三视图可知,这个几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥。
画法见课本。
空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图,同时,也能由空间几何体的直观图得到它的三视图。
练习:P17平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行,如太阳光是平行光线,太阳光下的投影是平行投影。
人教版高中数学必修二第一章 空间几何体全章教案
人教版高中数学必修二第一章空间几何体全章教案高一数学必修二教案科目:数学课题:空间几何体的结构特征教学目标:1.让学生通过观察实物、图片,理解并归纳出柱、锥、台、球的结构特征。
2.培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力。
教学过程:一、自主研究观察自己书桌上和课本上的图片,思考以下问题:1.这些图片中的物体具有怎样的形状?2.日常生活中,我们把这些物体的形状叫做什么?如何描述它们的形状?3.组成这些几何体的每个面有什么特点?面与面之间有什么关系?思考1:在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
请列举一些空间几何体的实例。
二、质疑提问1.在平面几何中,我们认识了三角形、正方形、矩形、菱形、梯形、圆、扇形等平面图形。
那么对空间中各种各样的几何体,我们如何认识它们的结构特征?2.对空间中不同形状、大小的几何体,我们如何理解它们的联系和区别?思考2:观察下列图片,你知道这些图片在几何中分别叫什么名称吗?三、问题探究思考3:如果将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成哪几种类型?思考4:图(2)、(5)、(7)、(9)、(13)、(14)、(15)、(16)有何共同特点?这些几何体可以统一叫什么名称?思考5:图(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)有何共同特点?这些几何体可以统一叫什么名称?思考6:一般地,怎样定义多面体?围成多面体的各个多边形,相邻两个多边形的公共边,以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称?思考7:一般地,怎样定义旋转体?由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。
思考1:我们把下面的多面体取名为棱柱,你能说一说棱柱的结构有哪些特征吗?据此你能给棱柱下一个定义吗?思考2:下列多面体都是棱柱吗?如何在名称上区分这些棱柱?如何用符号表示?体的结构特征解决实际问题.1.通过观察实物、图片,使学生理解并能归纳出组合体的结构特征;2.让学生自己观察,通过直观感加强理解;3.培养学生善于通过观察实物形状到归纳其性质的能力.教学内容1.什么是简单组合体?它由哪些基本几何体组成?2.如何通过基本几何体的结构特征来识别简单组合体?3.如何计算简单组合体的表面积和体积?备注思考1:如何计算一个简单组合体的表面积和体积?思考2:如何通过简单组合体的结构特征来识别它?思考3:现实生活中有哪些物体是简单组合体?三、问题探究四、课堂检测1.下列几何体中是简单组合体的是()五、小结评价本节课我们主要是通过观察实例,探究发现了由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征,研究了如何通过基本几何体的结构特征来识别简单组合体,以及如何计算简单组合体的表面积和体积,要能灵活运用这些知识解决实际问题.教材版本:必修二教学内容:实际模型的结构特征教学目标:1.了解实际模型的结构特征。
人教A版高中数学必修2《1章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.1.2 简单组合体的结构特征》优质课教案_1
教学设计1.1.2简单组合体的结构特征整体设计教学分析立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科,只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开,才能清醒地认识几何学,为后续学习打下坚实的基础.简单几何体(柱体、锥体、台体和球)是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上,运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.三维目标1.掌握简单组合体的概念,学会观察、分析图形,提高空间想象能力和几何直观能力.2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会通过建立几何模型来研究空间图形,培养学生的数学建模思想.重点难点描述简单组合体的结构特征.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在我们的生活中,酒瓶的形状是圆柱吗?我们的教学楼的形状是柱体吗?钢笔、圆珠笔呢?这些物体都不是简单几何体,那么如何描述它们的结构特征呢?教师指出课题:简单组合体的结构特征.思路2.现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体,这节课学习的课题是:简单组合体的结构特征.推进新课新知探究提出问题①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.图1②观察图1,结合生活实际经验,简单组合体有几种组合形式?③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体,它们之间具有怎样的关系?活动:让学生仔细观察图1,教师适当时候再提示.①略.②图1中的三个组合体分别代表了三种不同的形式.③学生可以分组讨论,教师可以制作有关模型展示.讨论结果:①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的,这是多面体与多面体的组合体;图1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的,这是旋转体与多面体的组合体.②常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种:一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图1(1)和(3)所示的组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体,如图1(2)所示的组合体.③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征:1°长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的体对角线是球的直径;2°一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;3°一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.应用示例思路11请描述如图2所示的组合体的结构特征.图2活动:回顾简单几何体的结构特征,再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.解:图2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;图2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体;图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.点评:本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.图3一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球2),所得的一个几何体是几面体?并画图表示该几何体.活动:先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4(1),再作出判断.(1)(2)图4解:如图4(1),正方体ABCD-A1B1C1D1,O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体,而且该八面体共有6个顶点,12条棱.该多面体的图形如图4(2)所示.点评:本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形,并且以每个顶点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的,而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形,当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体的放置应稍许“倾斜”些,并且“后面的”线,即被前面平面所遮住的线,如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.1已知如图5所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.图5图6活动:让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直,以此确定所得几何体的结构特征.解:如图6所示,旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.点评:本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.图7 图8所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.2如图9(1)图9活动:让学生分组讨论和思考,教师及时点拨和评价学生.解:图9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱,也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体;而图9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.点评:考查空间想象能力和组合体的概念.图1010(1)中的几何体可以看作是由一个知能训练1.若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是()A.64 B.66 C.68 D.70分析:由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数.答案:B2.图11是一个奖杯,可以近似地看作由哪几种几何体组成?图11答案:奖杯的底座是一个正棱台,底座的上面是一个正四棱柱,奖杯的最上部,在正棱柱上底面的中心放着一个球.拓展提升1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形?活动:静止是相对的,运动是绝对的,点动成线,线动成面.用运动的观点看几何问题的形成,容易建立空间想象力,这样对于分割和组合图形是有好处的.明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程,以及柱、锥、台的相互关系,对于我们正确的割补图形也是有好处的.对于正方体的分割,可通过实物模型,实际切割实验,还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明,从而判断出各个截面的形状.探究:本题考查立体几何的空间想象能力,通过尝试、归纳,可以有如下各种肯定或否定性的答案:(1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、一般三角形.(2)截面三角形是锐角三角形,截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.(3)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为四边形时,这个四边形至少有一组对边平行.(4)截面不能是直角梯形.(5)截面可以是五边形:截面五边形必须有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形.(6)截面可以是六边形:截面六边形必须有分别平行的边,同时有两个角相等.(7)截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形,即正六边形.截面图形如图12中各图所示:图12课堂小结本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.作业习题1.1B组第2题.设计感想本节教学设计依据课程标准的要求:利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形,认识简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构.在教学时,尽量多给学生一些图片,以便学生形成直观感知,初步获得感性认识.备课资料备用习题试描述图13轴承所示的承架的结构特征.图13答案:底板:其外部结构是一个长方体;半圆头竖板:其下部是一个长方体,上部是半个圆柱,中间挖了一圆柱孔.。
高中必修二数学教案(最新8篇)
高中必修二数学教案(最新8篇)高中数学必修2优秀教案篇一一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上,本节来学习空间几何体的表示形式,以进一步提高对空间几何体结构特征的认识。
主要内容是:画出空间几何体的三视图。
比较准确地画出几何图形,是学好立体几何的一个前提。
因此,本节内容是立体几何的基础之一,教学中应当给以充分的重视。
画三视图是立体几何中的基本技能,同时,通过三视图的学习,可以丰富学生的空间想象力。
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图。
光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”。
用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构,这种图称之为“三视图”。
教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发,要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着,通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务。
进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务,这是提高学生空间想象力的需要,应当作为教学的一个重点。
三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践,动手作图来完成。
因此,教科书主要通过提出问题,引导学生自己动手作图来展示教学内容。
教学中,教师可以通过提出问题,让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法,体会三视图的作用。
对于简单几何体的组合体,在作三视图之前应当提醒学生细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图。
教材中的“探究”可以作为作业,让学生在课外完成后,再把自己的作品带到课堂上来展示交流。
值得注意的问题是三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成。
另外,教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片,让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形。
二、教学目标1、知识与技能(1)掌握画三视图的基本技能(2)丰富学生的空间想象力2、过程与方法主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。
最新人教版高中数学必修2第一章《空间几何体的三视图和直观图》教案2
1.2.3 空间几何体的直观图整体设计教学分析“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法,这是画空间几何体直观图的基础.因此,教科书安排了两个例题,用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中,要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置,可以借助于平面直角坐标系,确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此,画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法.值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系;另外,教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片,让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.三维目标通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图,提高学生识图和画图的能力,培养探究精神和意识,以及转化与化归的数学思想方法.重点难点教学重点:用斜二测画法画空间几何体的直观图.教学难点:直观图和三视图的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.画几何体时,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系,怎样画呢?教师指出课题:直观图.思路2.正投影主要用于绘制三视图,在工程制图中被广泛采用,但三视图的直观性较差,因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图方法比较复杂,又不易度量,因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上,是用一个平面图形来表示空间图形,这样表达的不是空间图形的真实形状,而是它的直观图.推进新课新知探究提出问题①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图?②上述画直观图的方法称为斜二测画法,请总结其步骤.③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同?并总结画几何体的直观图的步骤.活动:①和③教师首先示范画法,并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解,教师及时给予点评.②根据上述画法来归纳.③让学生比较两种画法的步骤.讨论结果:①画法:1°如图1(1),在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴相交于点O.在图1(2)中,画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.2°在图1(2)中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M′N′=MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴,并且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF.3°连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.图1②步骤是:1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3°已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.③画法:1°画轴.如图2,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.图22°画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.点评:画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸可以适当选取,用斜二测画法画图的角度也可以自定,但是要求图形具有一定的立体感.④画几何体的直观图时还要建立三条轴,实际是建立了空间直角坐标系,而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是:1°在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox、Oy,再作Oz 轴,使∠xOy=90°,∠yOz=90°.2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′,使∠x′O′y′=45°,∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.3°已知图形中,平行于x轴、y轴和z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.5°擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.斜二测画法的作图技巧:1°在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.3°在画一个水平放置的平面时,由于平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分表示平面,一般地,用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.应用示例思路1例1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.活动:学生回顾讨论斜二测画法的步骤,自己画出来后再互相交流.教师适当点评.解:(1)如图3(1),在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD,分别以它们所在的直线为x轴与y轴,将线段AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线,交⊙O于E,F,G,H,…,画对应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°.图3(2)如图3(2),以O′为中点,在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取C′D′=CD,将A′B′ n等分,分别以这些分点为中点,画与y′轴平行的线段E′F′,G′H′,…,使E′F′=,G′H′=,….(3)用光滑曲线顺次连接A′,D′,F′,H′,…,B′,G′,E′,C′,A′并擦去辅助线,得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕.点评:本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.变式训练1.画水平放置的等边三角形的直观图.答案:略.2.关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45°D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同分析:在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′也可以是135°,所以C不正确.答案:C例2 如图4,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.图4活动:让学生由三视图还原为实物图,并判断该几何体的结构特征.教师分析:由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥.解:画法:(1)画轴.如图5(1),画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(1) (2)图5(2)画圆柱的两底面,仿照例2画法,画出底面⊙O.在z轴上截取O′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′(与画⊙O一样).(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕.点评:空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.变式训练图6所示是一个奖杯的三视图,你能想象出它的几何结构,并画出它的直观图吗?图6答案:奖杯的几何结构是最上面是一个球,中间是一个四棱柱,最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略.思路2例1 如图7所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图.图7活动:利用斜二测画法作该梯形的直观图,要注意在斜二测画法中,要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图,所以先在原坐标系中过D作出该点在x轴的垂足,则对应地可以作出线段DE的直观图,进而作出整个梯形的直观图.解:步骤是:(1)如图8所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图9所示,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′A′y′=45°.(2)如图8所示,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=cm ≈2.598 cm;过E′作E′D′∥y′轴,使E′D′=,再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=CD=2 cm.。
高中数学必修2课程教案5篇
高中数学必修2课程教案5篇高中数学必修2课程教案5篇教案是实现教学目标的计划性和决策性活动。
教案以计划和布局安排的形式,对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策,以解决怎样教的问题。
下面小编给大家带来关于高中数学必修2课程教案,方便大家学习高中数学必修2课程教案1一、知识点归纳(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
(2)柱,锥,台,球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法:在坐标系中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积④圆台的表面积⑤球的表面积⑥扇形的面积公式 (其中表示弧长,表示半径)2、空间几何体的体积①柱体的体积②锥体的体积③台体的体积④球体的体积二、练习与巩固(1)空间几何体的结构特征及其三视图1.下列对棱柱说法正确的是( )A.只有两个面互相平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】(1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
(2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
(3)培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】:台体体积公式的推导【学前准备】:多媒体,预习例题(3)初中时,我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式:如图,把正方体截去四个角,得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上,圆柱的高等于圆锥底面半径,且圆柱的全面积:圆锥的底面积3:2=.)求圆锥母线与底面多成的角的正切值;(2)圆锥的侧面积参考答案:1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9.已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上,圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】:多媒体,预习例题4:如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为.类型四:一条测棱垂直底面,底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上,DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60,则球半径是类型五:正三棱锥的外接球问题6:已知正三棱锥底面边长为1,侧棱长为2,求外接球半径。
人教版高中必修2第一章空间几何体教学设计
人教版高中必修2第一章空间几何体教学设计背景高中数学教育是培育高素质人才的重要环节,数学是学习其他学科的基础和前提。
而数学中的空间几何体作为其中的重点内容之一,对于提高学生的三维想象能力,增强学生对空间的认知与把握,具有重要的意义。
本教学设计主要针对人教版高中必修2的第一章空间几何体。
教学目标•理解空间几何体的基本概念和特征。
•掌握计算空间几何体的体积、表面积以及相关的量的计算方法。
•培养学生对三维空间物体的认知和分析能力。
•提高学生的数学思维和解决实际问题的能力。
教学内容•立体角、球面角的概念及其计算。
•空间几何体的基本概念和特征。
•空间几何体的体积和表面积的计算。
教学过程第一课时1.自主探究1.让学生自行搜索空间几何体及其相关概念的定义和相关知识。
2.分组讨论,展示自己的探究结果,并综合讨论有关空间几何体的基本概念和体积等计算公式。
2.讲授1.讲解立体角、球面角的概念和计算方法。
2.介绍空间几何体的概念及其特征,包括长方体、正方体、圆柱体、锥体、球等等。
3.练习1.让学生独立完成教材上相关练习题,并试图举出实际问题运用空间几何体中的概念和计算方法。
第二课时1.讲授1.讲解空间几何体的体积和表面积的计算公式。
2.示例解析基本几何体的体积公式的推导及应用。
3.给出三维图形中的实际问题,要求学生运用相关知识进行计算。
2.练习1.让学生独立完成课本中有关空间几何体的计算题目。
2.引导学生设计和解决一些实际问题,鼓励学生进行数学模型的建立。
第三课时1.应用1.给出若干实际问题,引导学生通过运用所学的空间几何体知识来解决问题,加深对相关知识的理解和应用能力。
#### 2.总结2.对本章节的知识内容进行简要的总结和归纳。
教学评估1.在课堂上进行现场答题、小组讨论和个人口头评价,评估学生的掌握情况。
2.分配公共作业和个人作业,要求学生进行反思和自评。
教学反思空间几何体是数学中的重要概念之一,对于提高学生的数学思维能力和实践能力有很大的帮助。
数学必修2立体几何第一章全部教案
第一章:空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)一、教学目标1.知识与技能(1)通过实物操作,增强学生的直观感知。
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。
(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具(1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。
(2)实物模型、投影仪四、教学过程:一、创设情景,揭示课题1. 讨论:经典的建筑给人以美的享受,其中奥秘为何?世间万物,为何千姿百态?2. 提问:小学与初中在平面上研究过哪些几何图形?在空间范围上研究过哪些?3. 导入:进入高中,在必修②的第一、二章中,将继续深入研究一些空间几何图形,即学习立体几何,注意学习方法:直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.二、讲授新课:1. 教学棱柱、棱锥的结构特征:①提问:举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象?②讨论:给一个长方体模型,经过上、下两个底面用刀垂直切,得到的几何体有哪些公共特征?把这些几何体用水平力推斜后,仍然有哪些公共特征?③定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽).结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.④分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示:棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’⑤讨论:埃及金字塔具有什么几何特征?⑥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论:棱锥如何分类及表示?⑦讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?有什么共同的性质?棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征:①讨论:圆柱、圆锥如何形成?②定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱;以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→列举生活中的棱柱实例→结合图形认识:底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③讨论:棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征?→柱体、锥体.④观察书P2若干图形,找出相应几何体;举例:生活中的柱体、锥体.3.质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.1.2 简单组合体的结构特征》教案_25
普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修②第一章空间几何体 1.1节§1.1 空间几何体的结构(第一课时)教学设计一、教学内容解析本节是“空间几何体的结构”的第一课时,是立体几何部分的起始课,也是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高。
主要内容为空间几何体、多面体的有关概念和棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
与传统的立体几何体系相比,新课程采用从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面,故本节课的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上,要充分利用实物模型、图片等向学生展示具有典型几何结构特征的空间物体,增强直观感受,让学生按照由特殊到一般,由具体到抽象的思路来研究几何体的结构特征。
棱柱、棱锥、棱台是具有典型几何结构特征的空间几何体,是正确认识简单组合体的基础,因此本节课将重点研究棱柱的结构特征,并让学生在类比中自主研究棱锥和棱台的结构特征,从而为后续研究其它几何体提供一般性的思路和方法:直观感知、操作确认、思辨论证等。
本节课还蕴涵了丰富的数学思想方法,如借助于平面图形来研究立体图形,体现了类比及转化的数学思想;从棱柱的模型得到棱柱的定义与分类,体现了抽象概括与分类的思想;借助研究棱柱结构特征的方法研究棱锥、棱台,体现了类比的数学思想等.因此本节课是渗透数学思想,培养学生理性思维能力和数学应用意识的良好载体.基于此,确定本节课的教学重点为:让学生感受大量的空间实物及模型.概括出棱柱,棱锥,棱台的结构特征,逐步形成空间想象能力。
二、教学目标设置1.借助实物、模型及丰富多彩的图片,抽象出空间几何体的定义,能在感知多面体的基础上理解其定义及组成要素。
2.通过对棱柱这一类空间几何体的观察、分析、比较,抽象概括出棱柱的定义,依据定义,能判断一个几何体是否为棱柱。
理解棱柱的组成要素、表示方法、分类。
3.由探究棱柱结构特征的方法类比探究棱锥、棱台的结构特征,能判断一个几何体是否为棱锥、棱台。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.1.2 简单组合体的结构特征》优质课教案_2
1.1.2 简单组合体的结构特征(一)教学目标1、理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征.2、能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型.(二)重点、难点重点与难点都是认识简单组体体的结构特征.(三)教学方法概念形成过程中,学生观察、思考、讨论、交流与教师引导相结合,然后通过对一些具体问题的讨论,加深对简单组合体的结构特征的理解.教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境观察教材下列各图,说出这些几何体是由哪些简单几何体构成的.学生回答,然后师生共同讨论他们的联系与区别.通过问题解决,学生复习了上课时所学知识,同学又为学习新知识作准备概念形成1.简单组合体概念,由柱体锥体,台体和球体等简单几何体组合而成的几何体.2.简单组合体为构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.学生归纳,总结后教师予以适当修饰,补充.培养学生总结概括,表述的能力,加强对概念的理解.应用举例例1 已知球的外切圆台教师出示简单组合通过上、下底面的半径分别为r ,R ,求球的半径.【解析】圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为R + r ,梯形的高即球的直径为22)()(r R R r --+=2rR ,所以,球的半径为rR .圆锥底面半径为1cm ,高为2cm ,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.【解析】锥的轴截面SEF ,正方体对角面CDD 1C 1,如图所示.设正方体棱长x ,则CC 1 = x ,C 1D 1 =2x.作SO ⊥EF 于O ,则SO =2,OE = 1,∵△ECC 1~△EOS ,∴SOCC 1=EOEC 1,即2x =1)2/2(1x-. 体,学生说出简单组合体的结构特征,然后探索各有关量的联系方法,找到适当的轴截面,求解,教师板书. 直观、观察加强学生对简单组合体结构特征的认识,培养学生空间想象能力和逻辑推理能力.EC 1 OD 1=1FDCS∴x=22(cm ),即内接正方体棱长为22cm. 归纳总结一、知识点(1)简单组合体定义(2)简单组合体构成形式 二、注意事项轴截面在旋转体与多面体组合而成的几何体中的应用.师生共同总结——交流——完善巩固、加深对概念的理解、培养思维严谨性.课后作业 学生独立完成 巩固深化,提高学生解决问题的能力.备选例题例1 左下图是由右下图中的哪个平面图旋转得到的【解析】 因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥,因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成,可排除B 、D ,再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C. 【点评】组合体通过分拆,可转化为几个简单几何体,从而研究其结构特征.图4—1—9。
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必修2 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1. 多面体与旋转体:(1)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.(2)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.2. 棱柱:(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,否则斜棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
(3)棱柱的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。
(4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面为矩形的直平行六面体叫长方体;底面为正方形的长方体叫正四棱柱;棱长都相等的正四棱柱叫正方体。
(5)棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形;③侧棱平行且相等;④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3. 棱锥:(1)有一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。
正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高;正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。
(3)棱锥的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.(4)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(5)正棱锥的性质:①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
②正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。
③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。
④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
4. 圆柱与圆锥:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱;以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.在圆柱中,旋转的轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.5. 棱台与圆台:(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台.(2)棱台的性质:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形;侧棱的延长线相交于一点.(3)圆台的性质:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等.(4)棱台与圆台统称为台体.6.球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体,简称球.在球中,半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.7. 简单组合体:由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体. 【常见题型】1.给出如下四个命题:①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个共同的公共点;③多面体至少有四个面;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【解】D .2.圆锥底面半径为1cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. 【解】分析:画出轴截面图,设正方体的棱长为x ,利用相似列关系求解. 过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF ,正方体对角面CDD 1C 1,如图所示.设正方体棱长为x ,则CC 1=x ,C 1D1=. 作SO ⊥EF 于O ,则SO =OE =1,Q 1~ECC EOS ∆∆, ∴11CC EC SO EO =12)1x -=. ∴x ,cm 1.2 空间几何体的三视图和直观图1. 中心投影与平行投影:(1)光由一点向外散射形成的投影称为中心投影. (2)在一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影.(3)平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投影和正投影两种. 2. 柱、锥、台、球的三视图:(1)三视图的定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的11正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.(2)三视图的几何作用:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.3. 直观图:“直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下:(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系xoy,直观图中画成斜坐标系'''x o y,两轴夹角为45 .(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段. (3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.注意:1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构,称为“三视图”.2. 画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从几何体的正前方、左侧(和右侧)、正上方三个不同的方向看几何体,画出所得到的三个平面图形,并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来.3. 三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”.4. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象.【常见题型】1.如图,图(1)是常见的六角螺帽,试画出它的三视图.【解】分析:画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线 都用实线画出,被遮挡的部分用虚线表示出来. 图(1)为圆柱和正六棱柱的组合体. 从三个方向观察,得到三个平面图形,绘制的三视图如下图所示. 2.画棱长为4cm 的正方体的直观图.【解】分析:按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图,先画下底面,再画棱,再画上底面.(1)画法:如图,按如下步骤完成.第一步,在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴,与BC 垂直的直线为y 轴,画出对应的x '轴和y '轴,使45x O y '''∠=o .第二步,在x '轴上取''O C BC =,过'C 作'y 轴的平行线,取1''2C A CA =.第三步,连接''A O ,即得到该直角三角形的直观图. (2)画法:如图,按如下步骤完成.第一步,作水平放置的正方形的直观图ABCD ,使45,BAD ∠=o 4,2AB cm AD cm ==.第二步,过A 作z '轴,使90BAz '∠=o . 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线,在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.第三步,连接,,,A B B C C D D A '''''''',所得图形就是正方体的直观图.1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1. 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线), S 圆柱侧=2rl π,S 圆柱表=2()r r l π+,其中为r 圆柱底面半径,l 为母线长;2V Sh r h π==圆柱.2. 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为0360r lθ=⨯,S 圆锥侧=rl π, S 圆锥表=()r r l π+,其中为r 圆锥底面半径,l 为母线长.13V Sh =锥 S 为底面面积,h 为高)3. 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为0360R r l θ-=⨯,S 圆台侧=()r R l π+,S 圆台表=22()r rl Rl R π+++. '1()3V S S h =台 (S ,'S 分别上、下底面积,h 为高)→'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 (r 、R 分别为圆台上底、下底半径)4.柱、锥、台的表面积与体积的计算公式的关系5.柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系:13V S h =g 锥'0S =←−−− 1(')3V S S h =台 'S S=−−−→ V S h =g 柱.【常见题型】1.已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. 【解】设圆台的母线长为l ,则,圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上,圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下,所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上.又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧,于是RA 'C COA 'B 'C 'D 'D CBAO729l ππ=,即297l =为所求. 2.一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6,则长方体的体积是 . 【解】解析:长方体的长宽高分别为,,a b c ,求出,,a b c 的值,再求体积.设长方体的长宽高分别为,,a b c ,则2,3,6ab ac bc ===,三式相乘得2()36abc =. 所以,长方体的体积为61.3.2 球的体积和表面积1. 球的体积是对球体所占空间大小的度量,它是球半径的函数,设球的半径为R ,则球的体积343V R π=球2. 球的表面积是对球的表面大小的度量,它也是球半径的函数,设球的半径为R ,则球的表面积为24S R π=球面,它是球的大圆面积的4倍3. 用一个平面去截球,所得到的截面是一个圆. 【常见题型】1.如图,正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面上,如果163P ABCD V -=,则球O 的表面积是 A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π【解】如图,正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面上,PO 与平面ABCD 垂直,是棱锥的高,PO =R ,22ABCD S R =,163P ABCD V -=,所以2116233R R ⋅⋅=,解得R =2,则球O 的表面积是16π,选D.26,求球的表面积和体积.【解】分析:作出轴截面,利用勾股定理求解.作轴截面如图所示,6CC '=,2623AC ==设球半径为R ,则222R OC CC '=+22(6)3)9=+=∴3R =,∴2436S R ππ==球,34363V R ππ==球.一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1 有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对 2 棱长都是1的三棱锥的表面积为( )AB C D 3 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A 25πB 50πC 125πD 都不对 4 正方体的内切球和外接球的半径之比为( )AB 2C 2D 35 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm ,则球的表面积是( )A28cm π B 212cm πC 216cm π D 220cm π6 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A 7 B 6 C 5 D37下图是由哪个平面图形旋转得到的()(1)(2)(3)(4)A (1)B(2) C (3)D(4)8在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是()A 23B 76C 45D 569已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V和2V,则12:V V=()A 1:3B 1:1C 2:1D 3:110如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A 8:27B 2:3C 4:9D 2:911有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体表面积及体积为:()A 224cmπ,212cmπ B 215cmπ,212cmπC 224cmπ,236cmπ D 以上都不正确12正方体的全面积为18cm2,则它的体积是()A 4cm3;B 8cm3; C72112cm3; D 33cm3。