简谐振动的方程
简谐振动
例 9.3 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而 m2>m1 ， 对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ， 问： 以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使 下面的木块提离地面？
F
m1
Hale Waihona Puke m2解：F 撤去后， m1 围绕其平衡位置 O 作简谐振动。
m1 在平衡位置时，弹簧的压缩量:
链接
4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成：形成拍
4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：椭圆轨道
链接
4.4 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
例 9.1 如图，一正方体木块浮在水面，因外界扰动而沿 竖直方向上下振动，设木块的边长为 l，密度为 ，水的 密度为 0 ( 0 ) 。 （1）证明木块作简谐振动，并求其振动周期； （2）若已知 t 0 时木块经过平衡位置以速度 v0 向下运 动，试求出物体的振动方程（取平衡位置为坐标原点， 向下为坐标轴正方向） 。
T
a1 2 mg N ma T
1
2T
a
1 mg 3
a1 a1 mg
N
x
mg
2mg 2mg x t 0 (l0 x0 ) A k k v 0 t 0
O E
x0 -x' l0
x
2mg 4k cos( t ) k 3m
解：第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 k T mg ma1 N mg 2T ma 1 N ma1 mg ma N k ( x0 x)
4k k a x, a1 x 3m 3m 4k x A cos( t ) 3m
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
x简谐振动(弹簧振子)
2
2
2Acos(2 2 1 (t 1 )
2
即： T 1
2 1
2 1
2 1
三.同频率 振动方向垂直
x A1 cos( t 1)
x A1
cos
t
cos1
sin
t sin
1
y A2 cos( t 2 )
y A2
cos
(2) t1 = 0.0025s = ¼ T t2 = 0.005s = ½ T
Δx1 = u t1 = ¼ λ
Δx2 = u t2 = ½ λ
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k
dt 2
m
x0
谐振方程
§2. 阻尼振动 受迫振动 共振
一.阻尼振动 —— 能量逐渐减少的振动。
摩擦阻力
考虑耗散作用
x
辐射阻尼 x
振动曲线：
振幅减小，
周期比系 统的固有
t
t
周期变大。
若阻尼过大，则系统完不成一次振动，称过阻尼振 动。见图
次，也就是合振动将加强与减弱各（ν2－ν1）次。
这样的两个简谐振动合成时，由于周期的微小差别
而造成的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍，
合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。
x1 2 1
曲线： o
t
x2
o
t
x1 +x2
o
t
定量讨论： 振幅相同，初相为零。
x1 Acos1t Acos 2 1t
5.关系式：
c
T
例 题 频率为3000Hz的声波以1560ms-1沿一波线
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐振动 平面简谐波
答：初相是指 t = 0 时刻的位相，
初始时刻选择不同，初相值就不同； 另外，单摆作简谐振动是角位移。
因此，把一个单摆位开一个小角度 0
自由摆动，此 0 并不是初位相。
单摆绕悬点转动的角速度等于 d
dt
而简谐振动的圆频率
g
l
，然后放开让其
可见，单摆绕悬点转动的角速度是不是简谐振动的圆频率。
4.3 简谐振动的能量
E=Ek
+Ep
=1k 2
A2
（4.15）
w wj E k= T 10 TE kdt= T 10 T 1 2m2 A 2s2 i(n t+)d t= 1 4 k2A
wj E p= T 10 T E pd t= T 10 T 1 2 kA 2c2 o (ts+)d t= 1 4 k2A
(1/2)kA2
kx0 =mg
化简上式得
d2x dt 2
+
k m+
I
x=0
R2
可知：物体做简谐振动．且振动圆频率为
w=
k
m+ I
R2
另解： 静平衡时 物体 ( x 处 )
滑轮
mgT2 =mdd2t2x
T 2T 1R=I
d2 x dt2
=
R
T1=kxo+x
联立以上各式可得
dd2t2x+mkR2R2+I x=0
w =
o
v0
=
m m+M
u0
X
>0
A=
mu0 k(m+
M)
,
j
0
=
3
2
,
x= m0u cowst(+3)
简谐运动方程知识点总结
简谐运动方程知识点总结1. 简谐运动的基本特征简谐运动是一种最基本的振动运动，它具有以下几个基本特征：（1）周期性：简谐运动是周期性的，即物体在受力作用下做往复振动，每个周期内物体都会经历相同的振动过程。
（2）恢复力的特性：简谐运动的振动是由一个恢复力（例如弹簧力或重力）驱动的，且恢复力的大小与物体的位移成正比。
（3）运动是否受到阻尼和驱动力的影响：简谐运动通常假设没有阻尼和驱动力的影响，即物体受到的唯一作用力是恢复力。
2. 简谐振动方程的一般形式简谐振动可以用一个二阶微分方程来描述，其一般形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，x为物体的位移，t为时间。
上述方程也可以写成更常见的形式：$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$$这个二阶微分方程描述了简谐振动系统中物体的加速度与位移之间的关系。
该方程是一个线性齐次微分方程，它的解决方法通常是通过代数方法或微积分方法来求解。
3. 简谐振动方程的解法对于上述的简谐振动方程，可以通过代数或微积分方法来求解。
通常有以下几种解法：（1）代数方法：当简谐振动系统的质量m和弹簧的弹性系数k已知时，可以通过代数方法求解简谐振动方程的解析解。
这种方法通常涉及到代数运算和三角函数的应用，例如正弦函数和余弦函数。
（2）微积分方法：对于更一般的简谐振动问题，可以通过微积分方法来求解简谐振动方程。
这种方法通常涉及到微分方程的解法，例如特征方程法、特解法和叠加原理等。
（3）复数方法：简谐振动方程也可以通过复数方法进行求解。
这种方法通常利用复数的性质和欧拉公式来简化求解过程，从而得到方程的解析解。
4. 简谐振动方程的解析解当求解简谐振动方程时，通常可以得到一组解析解，它们可以用来描述简谐振动系统的振动特性。
一般而言，简谐振动方程的解析解可以分为如下几种情况：（1）无阻尼情况下的简谐振动：当简谐振动系统没有受到阻尼力的作用时，其解析解通常为正弦函数或余弦函数。
简谐振动的方程1
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
A
a
t
A 2 cos(t )
2 描述简谐振动的特征量 (1)振幅 A
x A cos(t )
第14-1讲 简谐振动的方程
课本的内容: 14-1 简谐振动
14-2 简谐振动中的振幅 周期 频率 位相
14-3 旋转矢量
14-4 单摆和复摆
课本pp1〜pp14 (本讲内容重新组合)
一、简谐振动的动力学方程 1.弹簧振子
d x m 2 F kx dt
k 2 m
2
l0
k
m
A
o
固有频率
1 2 2
g 1.6 Hz l
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
解：方法1 设振动方程为
x A cos(t 0 )
v0 A sin 0 15.7cms 1 31.4 a0 2 A cos 0 0 15.7 0 15.7 31.4
v(cms 1 )
1
t (s)
A vm 31.4cms
1
v0 15.7 1 sin 0 A 31.4 2
5 0 或 6 6
a0 0, 则 cos 0 0
A
x
d x k x0 2 dt m
2
d x 2 x 0 2 dt
2
(1)
2 单摆
简 谐 振 动
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
简谐振动方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程振动方程和波动方程是物理学中非常重要的两个方程，它们分别描述了物体在振动和波动时的运动规律。
下面我们将详细介绍这两个方程。
一、振动方程振动是指物体围绕某个平衡位置做小幅度的周期性运动。
例如，弹簧振子、简谐振子等都是典型的振动系统。
振动方程就是用来描述这些系统运动规律的数学公式。
对于简谐振子而言，它的运动可以用如下公式表示：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示最大位移（即振幅），ω表示角频率（2πf），t表示时间，φ表示初始相位。
而对于一般的线性简谐系统，其运动可以用如下形式的二阶微分方程来描述：m(d²x/dt²) + kx = 0其中，m为质量，k为弹性系数，x为位移。
这就是典型的简谐振动方程。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到物体在不同时间点上的位移、速度和加速度等信息。
二、波动方程波浪是指媒介中沿某一方向传播的能量扰动。
例如，水波、声波、光波等都是典型的波动现象。
而波动方程则是用来描述这些现象的数学公式。
对于一维的机械波而言，它可以用如下形式的偏微分方程来描述：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，y表示位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
这就是典型的一维波动方程。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到物体在不同时间点上的位移分布情况。
对于二维或三维空间中的波动问题，则需要使用更加复杂的偏微分方程进行描述。
例如光学中常见的亥姆霍兹方程：(∇² + k²)n(r) = 0其中，n(r)为介质折射率分布情况，k为波数。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到光线在不同介质中传播时的路径和相位变化等信息。
总结：振动方程和波动方程是物理学中非常基础和重要的两个数学工具。
它们能够帮助我们深入理解物体在振动和波动时所表现出来的运动规律，并为我们研究和应用这些现象提供了强有力的数学工具。
2简谐振动的动力学方程
g l
dengyonghe1@
例4.3 复摆
M = − m g l sinθ ≈ − m g l θ
据 M =Iβ =I − mg lθ = I d 2θ d 2θ dt
2
o
d 2θ dt
2
得
θ
c
整理得
mg
mgl mgl + θ =0 记 =ω2 I I d t2 d 2θ d t2 + ω 2θ = 0
I T= = 2π mgl ω 2π
单摆？
I = ml 2
T = 2π
l g
dengyonghe1@
LC电路：如图 电路： 电路 当开关K接向 时达到稳定 当开关 接向b时达到稳定， 接向 时达到稳定， 在电容器内储存了能量. 在电容器内储存了能量 当开关K接向 时 当开关 接向c时，由于电容 接向 器内储存了能量，会对LC回 器内储存了能量，会对 回 路放电，电流为i，即： 路放电，电流为 ，
2
F = ma = −mω x
2
在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。 在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。
即：
F = − kx
2
d x m 2 = −kx dt
常系数二阶微分方程
dengyonghe1@
2
d x k + x=0 2 dt m
d x k k 2 + x=0 令ω = 2 m dt m 可以确定方程的解： 由初始条件x(t = o), v(t = 0)可以确定方程的解：
2 E0 A= k
振幅取决于振动的总能量
dengyonghe1@
单摆： 质量集中于小球上， 单摆： 质量集中于小球上， 不计悬线质量。 不计悬线质量。 取逆时针为 θ 张角正向， 张角正向， 以悬点为轴，受力如图。 以悬点为轴，受力如图。 只受到切方向的合外力： 只受到切方向的合外力：
简谐振动的方程
X
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
固有频率 1 g 1.6Hz 2 2 l
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
解：方法1 设振动方程为
x Acos(t 0 )
并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg kl
取平衡位置为原点
m
O
k mg / l
x
X
令向下有位移x, 则 f mg k(l x) kx
作谐振动
设振动方程为 x A cos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s
m l 0.098
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
t t A
o
t
t 0
x
x
x Acos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1） F kx (平衡位置 x 0 )
2）
d2x dt 2
2 x
3） x Acos(t )
补一例……
x Acos(t ) (4)
或 x Asin(t ) 或 x Acost Bsint
x Acos(t )
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度 加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
简谐振动的运动学方程
简谐振动的运动学方程一、简谐振动的概念和特征简谐振动是指在没有阻力的情况下，一个物体围绕着平衡位置做往复运动的现象。
简谐振动具有以下特征： - 循环性：振动物体围绕平衡位置做往复运动，一次完整的运动称为一个循环。
- 周期性：振动物体完成一个循环所需的时间称为振动的周期，记为T。
- 频率性：振动的频率是指单位时间内完成的循环数，记为f，与周期的倒数成正比。
二、简谐振动的描述简谐振动的运动学方程用来描述振动物体位置随时间的变化关系。
对于单摆、弹簧振子等简谐振动系统，可以根据其运动状态和受力情况建立相应的方程。
2.1 单摆的简谐振动单摆的简谐振动是指将一个质点用一根轻细线连接到固定点上，质点在重力作用下围绕该固定点做往复运动的现象。
单摆的运动学方程可以通过下面的推导得到：•设单摆的质点离开平衡位置的角度为θ，质点到固定点的距离为l。
•考虑到单摆的往复运动，可将角度θ表示为θ = θ0sin(ωt + φ)，其中θ0为最大摆角，ω为角速度，t为时间，φ为相位角。
•根据几何关系可知，质点在水平方向上的位移为l sinθ，根据物体在一维直线运动中的位移与时间的关系，可得到质点在水平方向上的位移与时间的关系方程为x = l sin(θ0sin(ωt + φ))。
2.2 弹簧振子的简谐振动弹簧振子是指将一根具有一定弹性的弹簧的一端固定，另一端挂上质点后产生的简谐振动现象。
弹簧振子的运动学方程可以通过下面的推导得到：•设弹簧振子的质点离开平衡位置的位移为x，弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。
•根据胡克定律可知，弹簧的拉力与位移成正比，即F = -kx。
•根据牛顿第二定律可知，质点所受的合力与加速度成正比，即F = ma。
•将上述两个等式联立可得到弹簧振子的运动学方程为m*d2x/dt2 + kx = 0。
三、求解简谐振动的运动学方程为了求解简谐振动的运动学方程，我们需要确定简谐振动的周期、频率和振幅。
借助初态条件和边界条件，我们可以使用微分方程求解的方法得到简谐振动的解析解。
简谐振子的运动方程
简谐振子的运动方程简谐振子是物理学中一个重要的概念，它描述了一类具有周期性振动的系统。
无论是在物理学还是其他领域，简谐振子的运动方程都有着广泛的应用。
本文将探讨简谐振子的运动方程及其相关的物理学原理。
简谐振子的运动方程可以用以下形式表示：\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \]其中，m是振子的质量，k是振子的弹性系数，x是振子的位移，t是时间。
这个方程描述了简谐振子在无阻尼和无外力的情况下的运动。
它是一个二阶线性常微分方程，可以通过解方程得到简谐振子的运动规律。
首先，我们可以将上述方程改写为：\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 \]令ω² = k/m，可以得到：\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 \]这个方程是一个简单的谐波方程，它描述了简谐振子的运动规律。
根据这个方程，我们可以得到简谐振子的解析解。
假设振子的位移可以表示为x = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，φ是相位差。
将这个表达式代入上述方程，可以得到：\[ -A\omega^2*cos(ωt + φ) + \omega^2*A*cos(ωt + φ) = 0 \]化简后可得：\[ -A\omega^2*cos(ωt + φ) + A\omega^2*cos(ωt + φ) = 0 \]由此可见，当x = A*cos(ωt + φ)时，振子的运动方程成立。
这个方程说明了简谐振子的位移随时间的变化规律。
简谐振子的运动方程还可以通过其他方法得到。
例如，我们可以利用拉格朗日方程来推导简谐振子的运动方程。
拉格朗日方程是描述物体运动的一种数学工具，它基于能量守恒和最小作用量原理。
对于简谐振子，拉格朗日方程可以表示为：\[ L = T - U \]其中，L是拉格朗日函数，T是振子的动能，U是振子的势能。
对于简谐振子，动能可以表示为：\[ T = \frac{1}{2} m(\frac{dx}{dt})^2 \]势能可以表示为：\[ U = \frac{1}{2} kx^2 \]将动能和势能代入拉格朗日方程，可以得到：\[ \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial(\frac{dx}{dt})}) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]化简后可得：\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \]这个方程与我们之前得到的简谐振子的运动方程是一致的。
简谐运动运动方程
简谐运动运动方程
简谐运动是一个重要的物理现象，在很多领域都有广泛的应用。
它的运动方程可以用以下公式来表示：x = A sin(ωt + φ)。
其中，x是物体的位移，A是振幅，ω是角速度，t是时间，φ是初相位。
这个公式说明，物体的位移随时间呈正弦变化，形成周期性的运动。
振幅决定了物体的最大位移，角速度则决定了运动的频率。
简谐运动的运动方程可以用不同的形式来表示，比如用余弦函数或复数形式。
但是无论采用何种形式，都必须满足简谐运动的特点，即运动周期为一定值，且每个周期的位移变化是相同的。
简谐运动在机械振动、电磁波、量子力学等领域都有广泛的应用。
在机械振动中，简谐运动可以用来描述弹簧振子、摆锤等物体的运动。
在电磁波中，简谐运动可以用来描述光的振动和声波的传播。
在量子力学中，简谐运动可以用来描述原子的振动和分子的振动。
因此，掌握简谐运动的运动方程对于理解这些物理现象具有重要的意义。
- 1 -。
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x Acos(t )
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度 加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
x
x t 图
A
t
x Acost
Hale Waihona Puke vt 图A vv A sint
t
A cos(t )
2
a t 图
a
A 2
t
a A2 cost
A2 cos(t )
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x Acos(t 0 )
t 0 — 位相，决定谐振动物体的运动状态 0 是t =0时刻的位相—初位相
1 7
66
3.14s1
A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
x Acos(t )
v
A
sin(t
)
vm
cos(t
2
)
vm A 31.4cms1
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
t t A
t
t 0
x
o
x
x Acos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1） F kx (平衡位置 x 0 )
2）
d2x dt 2
2 x
3） x Acos(t )
补一例……
四 根据初始条件确定振幅和初位相
x A cos(t 0 )
15.7
0
15.7
1
t(s)
31.4
A vm 31.4cms1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0 0,则cos0 0
0
6
t 1 v 15.7cms1
sin( 1 ) v v 1 6 A vm 2
1 7 或11
66 6
a1 0,则
cos( 10) 0
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
固有频率 1 g 1.6Hz 2 2 l
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
解：方法1 设振动方程为
x Acos(t 0 )
v0 Asin0 15.7cms1
v(cms1)
31.4
a0 2 Acos0 0
2
由图知 2
23
6
1 s1
t 0
A vm 31.4 10cm
3.14
x 10 cos( t )cm
6
2
o
v
t 1s
简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
0
arctg( v0
x0
)
0,
由x0=Acos0=-0.098<0
cos0<0, 取0=
m
振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
O
x
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2
X
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x Acos(t )
,
式中
k
mM
初始条件,
x0
mg k
v0
m
m M
2gh
O
m
M
h
x0
O
x
用振动知识
A
x02
(v0
)2
mg k
1 2kh (m M )g
最大位移=
x0
A
mg k
mg k
1 2kh (m M )g
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
初始条件
x t0 x0 ,
v v0 t0
x0
A cos 0
v0 A sin 0
A
x02
v0
2
tan 0
v0
x0
例 质量为M的盘子,系于
竖直悬挂的轻弹簧下端.
弹簧的劲度系数为k. 质
量为m的物体自离盘高处
自由落下掉在盘上，没有 m
反弹。
M
h
求盘子的最大位移.
解：如图，选(m+M)平衡位置 为坐标原点，选向下为x轴正 方向。设振动方程为：
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
⑴ 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；
(2)若取x0=0，v0>0 为计时零点，写出振动方程,
3 复摆
J
d 2
dt 2
M
mgl
d2 mgl 0
dt 2 J
记 2 mgl x
J
d2x dt 2
2
x
0
o
(3)
l
*C
P
(1)
d2x dt 2
2x
0
(1)
简谐振动的动力学方程
二、简谐振动的运动学方程
(1)式的解是
x Acos(t ) (4)
或 x Asin(t ) 或 x Acost Bsint
并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg kl
取平衡位置为原点
m
O
k mg / l
x
X
令向下有位移x, 则 f mg k(l x) kx
作谐振动
设振动方程为 x Acos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s
m l 0.098
由初条件得
A
x02
( v0
)2
0.098m