简谐振动的方程

初始条件
x t0 x0 ,
v v0 t0
x0
A cos 0
v0 A sin 0
A
x02
v0
2
tan 0
v0
x0
例 质量为M的盘子,系于
竖直悬挂的轻弹簧下端.
弹簧的劲度系数为k. 质
量为m的物体自离盘高处
自由落下掉在盘上，没有 m
反弹。
M
h
求盘子的最大位移.
解：如图，选(m+M)平衡位置 为坐标原点，选向下为x轴正 方向。设振动方程为：
15.7
0
15.7
1
t(s)
31.4
A vm 31.4cms1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0 0,则cos0 0
0
6
t 1 v 15.7cms1
sin( 1 ) v v 1 6 A vm 2
1 7 或11
66 6
a1 0,则
cos( 10) 0
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
t t A
t
t 0
x
o
x
x Acos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1） F kx (平衡位置 x 0 )
2）
d2x dt 2
2 x
3） x Acos(t )
补一例……
四 根据初始条件确定振幅和初位相
x A cos(t 0 )
1 7
66
3.14s1
A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
x Acos(t )
v
A
sin(t
)
vm
cos(t
2
)
vm A 31.4cms1
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
0
arctg( v0
x0
)
0,
由x0=Acos0=-0.098<0
cos0<0, 取0=
m
振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
O
x
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2
X
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
3 复摆
J
d 2
dt 2
M
mgl
d2 mgl 0
dt 2 J
记 2 mgl x
J
d2x dt 2
2
x
0
பைடு நூலகம்
o
(3)
l
*C
P
(1)
d2x dt 2
2x
0
(1)
简谐振动的动力学方程
二、简谐振动的运动学方程
(1)式的解是
x Acos(t ) (4)
或 x Asin(t ) 或 x Acost Bsint
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
固有频率 1 g 1.6Hz 2 2 l
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
解：方法1 设振动方程为
x Acos(t 0 )
v0 Asin0 15.7cms1
v(cms1)
31.4
a0 2 Acos0 0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x Acos(t 0 )
t 0 — 位相，决定谐振动物体的运动状态 0 是t =0时刻的位相—初位相
并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg kl
取平衡位置为原点
m
O
k mg / l
x
X
令向下有位移x, 则 f mg k(l x) kx
作谐振动
设振动方程为 x Acos(t 0 )
k g 9.8 10rad / s
m l 0.098
由初条件得
A
x02
( v0
)2
0.098m
2
由图知 2
23
6
1 s1
t 0
A vm 31.4 10cm
3.14
x 10 cos( t )cm
6
2
o
v
t 1s
x Acos(t )
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度 加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
x
x t 图
A
t
x Acost
vt 图
A v
v A sint
t
A cos(t )
2
a t 图
a
A 2
t
a A2 cost
A2 cos(t )
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
⑴ 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；
(2)若取x0=0，v0>0 为计时零点，写出振动方程,
x Acos(t )
,
式中
k
mM
初始条件,
x0
mg k
v0
m
m M
2gh
O
m
M
h
x0
O
x
用振动知识
A
x02
(v0
)2
mg k
1 2kh (m M )g
最大位移=
x0
A
mg k
mg k
1 2kh (m M )g
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2