简谐振动运动方程
简谐振动动力学方程推导
简谐振动动力学方程推导
简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。
所以得到；
因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得
到：。
然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到。
将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；
将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，
则：；
将φ记为 t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。
则，在t时刻：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。
简谐振动的运动方程
简谐振动的运动方程
简谐振动是我们生活中非常常见的一种物理现象，它是一种周期
性的振动，比如钟摆的摆动、弹簧的伸缩、机械波的传播等都可以理
解为简谐振动。
简谐振动的运动方程可以表示为：x = A*sin(ωt + φ)。
其中，x 表示位移，A 表示振幅，ω 表示角频率，t 表示时间，
φ 表示初始相位。
这个方程告诉我们，简谐振动的运动轨迹是正弦曲线，振幅为 A，周期为T = 2π/ω，频率为f = ω/(2π)。
我们如果要想更加深入地理解简谐振动，可以从以下几个方面来
探讨。
首先，我们需要知道简谐振动的特点是什么。
简谐振动的最基本
特点就是周期性，相邻两个极值点之间的时间间隔是稳定的。
此外，
简谐振动对外力的响应也非常敏感，当外力频率接近振动系统的特征
频率时，振幅会急剧增加，这种现象被称为共振。
其次，我们需要掌握简谐振动的运动规律。
通过运动方程，我们
可以知道简谐振动的位移和时间之间存在一个正弦函数关系，这个关
系告诉我们简谐振动的位移随着时间而变化，当 t = 0 时位移最大，
当 t = T/4 时位移为零，当 t = T/2 时位移最小，当 t = 3T/4 时
位移为零。
最后，我们需要了解简谐振动在实际应用中的意义。
简谐振动在很多领域都有着广泛的应用，比如钟表的计时、天平的称重、电子电路的稳定等等。
在工程领域中，利用简谐振动原理可以设计出各种振动器和传感器，这些设备对于航空、航天、汽车、电子等行业都有着非常重要的意义。
总之，掌握简谐振动的运动规律和特点，对于我们了解各种物理现象和工程应用有着非常重要的指导意义。
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
简谐运动方程知识点总结
简谐运动方程知识点总结1. 简谐运动的基本特征简谐运动是一种最基本的振动运动，它具有以下几个基本特征：（1）周期性：简谐运动是周期性的，即物体在受力作用下做往复振动，每个周期内物体都会经历相同的振动过程。
（2）恢复力的特性：简谐运动的振动是由一个恢复力（例如弹簧力或重力）驱动的，且恢复力的大小与物体的位移成正比。
（3）运动是否受到阻尼和驱动力的影响：简谐运动通常假设没有阻尼和驱动力的影响，即物体受到的唯一作用力是恢复力。
2. 简谐振动方程的一般形式简谐振动可以用一个二阶微分方程来描述，其一般形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，x为物体的位移，t为时间。
上述方程也可以写成更常见的形式：$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$$这个二阶微分方程描述了简谐振动系统中物体的加速度与位移之间的关系。
该方程是一个线性齐次微分方程，它的解决方法通常是通过代数方法或微积分方法来求解。
3. 简谐振动方程的解法对于上述的简谐振动方程，可以通过代数或微积分方法来求解。
通常有以下几种解法：（1）代数方法：当简谐振动系统的质量m和弹簧的弹性系数k已知时，可以通过代数方法求解简谐振动方程的解析解。
这种方法通常涉及到代数运算和三角函数的应用，例如正弦函数和余弦函数。
（2）微积分方法：对于更一般的简谐振动问题，可以通过微积分方法来求解简谐振动方程。
这种方法通常涉及到微分方程的解法，例如特征方程法、特解法和叠加原理等。
（3）复数方法：简谐振动方程也可以通过复数方法进行求解。
这种方法通常利用复数的性质和欧拉公式来简化求解过程，从而得到方程的解析解。
4. 简谐振动方程的解析解当求解简谐振动方程时，通常可以得到一组解析解，它们可以用来描述简谐振动系统的振动特性。
一般而言，简谐振动方程的解析解可以分为如下几种情况：（1）无阻尼情况下的简谐振动：当简谐振动系统没有受到阻尼力的作用时，其解析解通常为正弦函数或余弦函数。
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
简 谐 振 动
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
普通物理学 §10-1 简谐振动
是代数值，有正负。 注意: φ有二个解。
如φ=α是解
φ=π+α也是解.
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2 A x0 ( v0 ) 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完整振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
第一次回到平衡位置所需时间：
△t = （ π/3 + π/2） /ω = (5π/6) /π = 5/6 秒 =0.83s
B’ O 0.06
●
ω
φ B C
x (m
A(t=0)
例2一谐振动的振动曲线如图所示。 φ 求：ω 、 以及振动方程。 x x A
A 2
A
A x0 = 2 t = 0时 { ...φ = π 3 v0 ＞0 A x1 = 0 2π ..Φ 1= π . t =1时 { dx 2 v1 = x dt ＜ 0 π =π ..ω = 5 π . Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1
M P
A
简谐振动方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
简谐振动特征方程
简谐振动特征方程简谐振动是物理学中一个重要的概念，它描述了许多自然界中的现象，例如弹簧振子、摆钟等等。
简谐振动的特征方程是用来描述振动系统的运动规律的，下面我们来详细介绍一下。
简谐振动是指一个物体在一个平衡位置附近做往复运动的现象。
这个物体可以是一个质点、一个弹簧振子、一个摆钟等等。
这些物体在平衡位置附近的运动可以用一个数学模型来描述，即简谐振动的特征方程。
简谐振动的特征方程可以写成如下的形式：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是振动系统的劲度系数，x是物体的位移。
这个方程描述了物体在振动过程中的运动规律。
我们可以从这个方程中得到一些重要的结论。
首先，当物体的位移为0时，即物体处于平衡位置时，方程变为0 = 0，这意味着物体处于静止状态。
其次，当物体受到外力作用时，例如一个弹簧的拉力或一个摆钟的重力，方程变为m * a + k * x = F，其中F是外力。
这意味着物体在外力作用下会发生加速度，从而产生振动。
根据简谐振动的特征方程，我们可以推导出振动系统的运动方程。
假设物体在t时刻的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，则有以下关系：x(t) = A * cos(ωt + φ)v(t) = -A * ω * sin(ωt + φ)a(t) = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体的最大位移；ω是角频率，表示物体在单位时间内完成的振动周期数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
从上面的方程可以看出，简谐振动的运动是周期性的，物体在单位时间内完成的振动周期数是固定的。
振幅决定了物体振动的幅度大小，角频率决定了物体振动的快慢，初相位决定了物体振动的起始位置。
简谐振动的特征方程不仅仅在物理学中有重要的应用，还在其他领域中有广泛的应用。
例如在工程学中，简谐振动的特征方程可以用来描述机械振动系统的运动规律，从而帮助工程师设计和优化振动系统。
大学物理(一)_ 简谐振动_41运动方程及特征量_
弹簧振子周期
T = 2π m
k
单摆周期
T = 2π l
g
表示一个质点一秒内振动的次数
2π T 表示一个质点2π 秒内振动的次数
简谐振动方程
y = A co s(ω t + ϕ )
三、特征量
1 振幅 A = ym ax
2 周期、频率、角频率
y
A o
−A
y−t 图
T
t
T
2
y = A c o s (ω t + ϕ ) = A cos[ ω ( t + T ) + ϕ ]
压，电磁场中电场强度和磁场强度
合成 3．最简单、最基本的振动是简谐振动
简谐振动 分解 复杂振动
§4-1 简谐振动的运动方程及特征量
一、简谐振动的定义
切向合力：在振动方向上所受合力
F t = − ky
Ft
=
mat
=
d2y m
dt 2
=
−ky
at
=
d 2y dt 2
=
−
k m
y
k =ω2
m
d 2y dt 2
= 2π
l （周期）
g
周期由系统本身性质决定
微振动是谐振动
二、简谐振动的振动表达式
解方程
d2 y dt2
+
ω
2y
=
0
简谐振动的微分方程
解得 y = A c o s ( ω t + ϕ )
简谐振动方程
积分常数，根据初始条件确定
运动速度 加速度
v
=
a
dy = − Aω sin (ω t + ϕ )
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它在许多自然界和工程应用中都有广泛的应用。
本文将对简谐振动的几个概念进行详细的分析。
1. 简谐振动的定义：简谐振动是指一个物体在给定的恢复力作用下，沿着一条直线或者围绕某个平衡位置作往复运动的振动。
简谐振动的特点是周期性、恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离成正比，且与物体的质量无关。
2. 简谐振动的公式：简谐振动的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，在不考虑阻尼和扰动力的情况下，运动方程可以表示为：mx'' + kx = 0，其中m为物体的质量，k为恢复力的常数，x为物体相对于平衡位置的位移，x''为加速度。
3. 简谐运动的特征：简谐振动有几个重要的特征：振动频率、周期、角频率、振幅和相位。
振动频率指的是单位时间内完成的振动次数，它与振动周期的倒数成反比。
振动周期是指完成一个完整的往复运动所需要的时间。
角频率是振动频率的2π倍，通常用符号ω来表示。
振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移。
相位是指振动物体位移相对于某一参考点的位置，可以用角度或时间来表示。
4. 简谐振动的能量：简谐振动的能量包括动能和势能两部分。
在振动的过程中，当物体处于平衡位置时，动能为零，势能最大；当物体处于最大振幅位置时，势能为零，动能最大。
根据机械能守恒定律，物体的总能量在振动过程中保持不变。
5. 简谐振动的叠加原理：叠加原理是指当系统中有多个简谐振动同时存在时，每个振动的叠加效果不影响其他振动的情况下，系统的振动可以看作是这些简谐振动的叠加。
这是因为简谐振动是线性的，可用叠加原理表示。
6. 简谐振动的应用：简谐振动在日常生活和科学研究中有广泛的应用。
钟摆的摆动、弹簧的振动、电路中的交流电振荡等都可以看作是简谐振动。
通过研究简谐振动的特性，可以推导出更复杂振动模式的行为，如非线性振动和混沌振动等。
简谐振动是物理学中一种重要的振动模式，它具有周期性、恢复力与位移成正比等特点。
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导简谐运动是一种最简单的周期性运动，它的位移与时间之间存在直接的数学关系。
简谐运动的位移公式可以通过对运动的力学特征进行分析和推导得到，下面是一个详细的推导过程：我们假设一个质点进行简谐振动，其位移方程为：y = A sin(ωt + φ)其中，y表示位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
简谐振动的特点是周期性和恢复性，即质点在其中一位置不受力的作用时会产生恢复力，使其回到平衡位置。
根据牛顿第二定律，可以得到简谐振动的运动方程：F=ma=-ky其中，F表示作用在质点上的恢复力，m为质点的质量，a为加速度，k为恢复力系数（弹簧的劲度系数）。
根据运动学的关系a = d²y/dt²，将这个等式代入上面的运动方程，我们可以得到：m d²y/dt² = -k y这是一个二阶线性常微分方程，我们假设解为 y = e^(rt)（其中，e为自然对数的底，r为待定常数）。
将这个解代入上面的微分方程，我们可以得到：m r²e^(rt) = -k e^(rt)化简后得到：mr²+k=0此方程是一个关于未知数r的二次方程，解得r₁=i√(k/m)和r₂=-i√(k/m)（其中，i表示虚数单位）。
由于解是复数，因此位移方程需要包含复数的情况，而实际情况下位移是一个实数。
根据欧拉恒等式，我们可以将虚数表示为余弦与正弦的复合形式：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)将任意一个解r代入上式，我们可以得到：e^(irt) = cos(√(k/m)t) + i sin(√(k/m)t)由于位移为实数，我们只关注上式中的实部：y = A e^(irt) = A cos(√(k/m)t)此时，y即为简谐振动的位移公式。
其中，A为振幅，√(k/m)为角频率，t为时间。
最后，我们还可以推导出简谐振动的速度和加速度的公式。
根据上面的位移公式，可以求出速度 v = dy/dt 和加速度a = d²y/dt²，分别对时间t求导即可得到：v = d/dt (A cos(√(k/m)t)) = -A√(k/m) sin(√(k/m)t)a = d²/dt² (A cos(√(k/m)t)) = -A(√(k/m))² cos(√(k/m)t)所以，简谐振动的位移、速度和加速度公式分别为：y = A cos(√(k/m)t)v = -A√(k/m) sin(√(k/m)t)a = -A(√(k/m))² cos(√(k/m)t)通过上述推导过程，我们得到了简谐振动的位移、速度和加速度公式，以及位移公式的推导过程。
简谐振动振幅公式
简谐振动振幅公式
简谐运动振幅公式：x=Asin√k/m)t，简谐运动是最基本也最简单的机械振动，当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动，如单摆运动和弹簧振子运动，实际上简谐振动就是正弦振动。
根据该运动方程式，我们可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。
简谐运动的数学模型是一个线性常系数常微分方程，这样的振动系统称为线性系统。
线性系统是振动系统最简单最普遍的数学模型。
但一般情况下，线性系统只是振动系统在小振幅条件下的近似模型。
简谐运动的运动方程
简谐运动的运动方程1. 简谐运动的概念简谐运动是指一个物体在恢复力作用下，在一个固定轴线上进行往复运动的运动形式。
在简谐运动中，物体的加速度与其位移成正比，且方向相反，符合以下的运动规律：1.加速度与位移成正比：a ∝ x2.加速度与位移的符号相反：a = -ω²x3.加速度与时间的关系：a = -ω²A sin(ωt)其中，a表示物体的加速度，x表示物体的位移，A表示运动的幅度（即最大位移），ω表示角频率，t表示时间。
简谐运动可以描述许多真实世界中的现象，如弹簧振子的运动、钟摆的摆动、音叉的振动等。
2. 简谐运动的运动方程简谐运动的运动方程描述了物体在简谐运动中的时间变化规律。
对于简谐运动，其运动方程一般可以表示为：x(t) = A sin(ωt + ϕ)其中，x(t)表示时间t时刻物体的位移，A表示运动的幅度（即最大位移），ω表示角频率，ϕ表示相位角。
•位移：位移x(t)表示物体从平衡位置开始的偏离程度。
•幅度：幅度A表示物体在简谐运动中的最大位移。
•角频率：角频率ω表示单位时间内物体通过一个完整振动周期的次数。
•相位角：相位角ϕ表示物体在t = 0时刻的位移相位。
3. 简谐运动的基本特点简谐运动具有以下的基本特点：3.1 周期性简谐运动是周期性的，物体的位移和速度随时间循环变化，周期T表示物体完成一个完整振动的所需时间。
3.2 能量守恒在简谐运动中，物体的动能和势能之和保持不变，即总机械能守恒。
3.3 相位关系简谐运动中，不同物体的位移之间存在相位差，相位差决定了物体之间的相对位置关系。
4. 简谐运动的重要应用简谐运动有许多重要的应用，下面介绍其中几个应用：4.1 时钟时钟中的摆锤进行来回振荡的运动就是简谐运动。
通过控制摆锤的长度，可以调整时钟的时间精准度。
4.2 天体运动天体运动中的一些周期性现象，如行星的公转运动、恒星的振动等，都可以使用简谐运动来描述。
4.3 电磁波电磁波是一种振动，可以用简谐运动来描述。
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物体在受到恢复力作用下，沿着某个固定轴向以往复运动的一种运动形式。
它是一种重要的振动形式，广泛应用于各个领域。
简谐振动的运动方程可以用如下形式表示：x = A * cos(ωt + φ)，其中x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
简谐振动的特点是周期性、等幅和等相位。
在自然界和工程实践中，简谐振动无处不在。
例如，弹簧的振动、钟摆的摆动、电路中的交流电信号等都可以用简谐振动来描述。
此外，简谐振动也是分析其他复杂振动的基础，通过将复杂振动拆解为简谐振动的叠加，可以更好地理解和研究振动现象。
简谐振动的运动方程中的角频率ω是一个重要的参数，它与振动周期T之间存在着关系：ω = 2π/T。
角频率衡量了单位时间内振动的周期性，单位是弧度每秒。
振动周期T表示振动完成一个完整周期所需的时间，单位是秒。
可以看出，角频率和振动周期是互为倒数的关系。
除了角频率和振动周期，简谐振动的另一个重要参数是振幅A。
振幅表示振动的最大位移，它决定了振动的幅度大小。
振幅越大，表示物体振动的幅度越大；振幅越小，表示物体振动的幅度越小。
初相位φ是简谐振动的另一个关键参数，它决定了振动的起始位置。
不同的初相位会导致物体在运动过程中的位移相位不同。
当φ=0时，物体从平衡位置出发，向正方向运动；当φ=π/2时，物体从平衡位置出发，向负方向运动。
简谐振动具有一些重要的特点。
首先，简谐振动是一种周期性振动，即物体在一定时间内会重复运动。
其次，简谐振动的振幅保持不变，即物体在振动过程中的最大位移保持不变。
最后，简谐振动的相位变化是均匀的，即物体在振动过程中的相位变化是匀速的。
简谐振动在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以利用简谐振动理论来研究和分析建筑物的抗震性能，从而保证建筑物在地震中的安全性。
在电子工程中，可以利用简谐振动理论来设计和优化电路，提高电路的性能和稳定性。
在生物医学领域，可以利用简谐振动理论来研究和治疗人体的振动问题，如心脏的跳动和声音的传播等。
简谐波质点的振动方程公式
简谐波质点的振动方程公式在学习物理的旅程中，简谐波质点的振动方程公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解波动现象的大门。
先来说说简谐波质点的振动方程公式到底长啥样。
它一般可以写成y = A sin(ωt + φ) 或者y = A cos(ωt + φ) 。
这里的 A 表示振幅，就是质点振动的最大位移；ω 是角频率，和周期、频率有关系；t 是时间；φ是初相位，决定了振动的初始状态。
就拿咱们生活中的例子来说吧，想象一下你在湖边看到水波荡漾。
那些水粒子就像是一个个简谐波中的质点，它们上下振动着。
假如我们仔细观察其中一个质点的运动，就可以用这个振动方程公式来描述它的位置随时间的变化。
还记得有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式的时候，有个调皮的小家伙举手问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，从讲台上拿起一根绳子，一端系在桌子腿上，另一端握在手里上下抖动。
“同学们，看这根绳子上的波动，每个点的运动是不是有规律的？”大家都睁大眼睛看着。
我接着说：“这就像简谐波呀，我们用这个公式就能算出每个点在不同时刻的位置。
”然后我又在黑板上画出了几个不同参数下的振动图像，让大家对比着看。
“你们看，当振幅 A 变大时，振动的幅度就更大；角频率ω 变大，振动就变得更急促。
” 同学们开始交头接耳，讨论着这些变化。
在解题的时候，这个公式也是大有用处。
比如已知一个质点的振幅是 5 厘米，角频率是2π 弧度每秒，初相位是π/4 ，要我们求在 t = 2 秒时质点的位置。
这时候，我们把数值代入公式：y = 5 sin(2π×2 + π/4) ，经过计算就能得出答案。
其实，不仅仅是水波，声音的传播也可以用简谐波质点的振动方程公式来描述。
当我们听到美妙的音乐时，声音的波动也是符合这个规律的。
还有地震波，虽然它带来的可能是灾难，但从物理的角度看，也是可以用这个公式来分析的。
总之，简谐波质点的振动方程公式虽然看起来有点复杂，但它就像是一个隐藏在物理世界中的密码，只要我们掌握了它，就能揭开很多波动现象的神秘面纱，更好地理解这个奇妙的世界。
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我们将要学习的谐振子，在许多其他 领域中有类似的东西。虽然我们从力学的例子， 如挂在弹簧上的重物、小振幅的摆，或者某些 其他的力学装置出发，但实际上我们是在学习 某一种微分方程。这种在物理学和其他学科中 反复出现，而且事实上它是许多现象中的一部 分，是值得我们认真研究的。
—— 费曼
结构框图
第12章 振 动
摆动
混沌
阻尼振动 受迫振动 共振
简谐振 动
电磁振荡
振动的 合成
频谱 分析
• 核心内容： 简谐振动
运动方程 特征量 能量 振动的合成
自学内容：单摆的非简谐运动与混沌现象；频谱分析
§12.1
一. 简谐振动的运动方程
1. 理想模型：弹簧振子
简谐运动
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点）
为四象限角
(2) 与初相为零的余弦函数比较
x Acost 1
振动函数:
x Acos(t )
2
0
2
1
0
从图上可以看出:
x落后 2
x 1
0
x A v0
x0 0 t0
x 1
x
2
t
t 0
2
t
T
0
t
0
0
练习
教材 P13 12.1.3
答案：
(a)
0
5
4
或
3
4
（b） 7 或
4
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
( t ) (3)
每变化
0
， 2 整数倍 x、v重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地 反映出谐振动的周期性特征。
(4) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
相差
(t 2 ) (t 1) 2 1
v
dx dt
Asin(t
0
)
a
d2 x dt 2
A 2cos( t
0
)
av
T4
x
3T 4T2oFra bibliotek0 0, 1
t
T
由状态参量 曲线族称为相图。
x, v d x dt
为坐标变量作出的函数
思考: 简谐振动的相图并理解其意义。
d2 x dt 2
2
x
对t积 分 ：
dx dt
2
2 x2
c1
4
（c）
3
（d）
3
(b)
T t0
4
51 7
t0
T 8
T 4
T 8
0
t0 T
2
7 2
8
7
4
或 ：0
4
(d)
v0
x0
A 2
v0 0
cos 0
x0 A
1 2
0
v0 A sin0 0
sin0 0
0
3
例2、劲度系数为k的轻质弹簧，上端与质量为m的平板相连，下端与地面相连。 今有一质量也为m的物体由平板上方h高自由落下，并与平板发生完全非弹性碰 撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
求解*得运动方程：
x Acos(t 0 ) A, 0 为积分常数
判据三：任何一个物理量如果是时间的余弦（或正弦）函数，那么该物理量 的变化称为简谐振动
, A,0 : 简谐振动的特征量
3.
d x d2 x x, d t , d t2
均随时间周期性变化
x Acos( t 0 )
Acos[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 ) (t T ) 0 t 0 2
---- 描述谐振运动的快慢
T 2
周期
1 频率 T 2
2. 振幅A ：
A | xmax |
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由 在 t = 0 时刻
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
F kx 不仅适用于弹簧系统
离系统平衡位置的位移
准弹性力
F kx
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x
F
m
d2 dt
x
2
d2 x k dt2 m x 0
令
k 2
m
得
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
判据二：任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身成正比且反号时，该物理量的 变化称为简谐振动。
x Acos
0
0
v0 A sin0
解得
A
x2
v2 0
0
2
3. 相位 t 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
： (1)初相
0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 Acos0 v0 A sin 0
0
arctg(
v0
x0
)
或
} cos0
x0 A
s in 0
v0
A
由cos 0大小和sin0的符号决定0
(2) ( t 0 )与状态参量 x，v 有一一对应的关系
x Acos(t 0 ); v A sin(t 0 )
例：
当
t 0
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当
t 0
5
3
时：
x A, 2
v 3 A
0(2的整数倍) (的奇数倍)
同相 反相
x x1 x2
2 1 0
x2 振动超前x1振动
t 2 1 0
x2 振动落后x1振动
[例] 由振动曲线决定初相 解:
x A v0
(1)
cos0
x0 A
0
x0 0 t0
t
v0 A sin0 0
sin0 0
arccos x0
0
A
集中弹性
集中惯性
回复力
F kx
(平衡位置为坐标原点）
回复力和物体惯性交互作用形成谐振动
判据一：物体所受回复力恒与位移成正比且反向时，物体的运动是简谐运动
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
自学下册 P 4 [例1]
立方体 F
回复力：重力与浮力的合力
l
o
F kx
mg
k l2水g
x
扩展:
➢ 物理概念、物理思想深化 ➢ 更加贴近物理前沿和高新科技 ➢ 对自学能力的要求提高
第四篇 振动与波动
摆动的秋千
鸟的翅膀
船的起伏
➢ 任何一个物理量( 如位移、角位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等) 在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动。
➢ 波动: 振动在空间的传播 共同特征：运动在时间、空间上的周期性
(
dx dt
)2
c1
x2
C1
2
1
dx dt
o
x
与振动过程和振动曲线如何对应？
dx dt
o
x
x
T/2
o
Tt
相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。
二. 简谐振动的特征量
1. 角频率 、周期T、频率
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
由谐振动周期性特征看
的物理意义:
固有角频率
x(t T ) x(t)
1、作业题册
时间：第一周星期五(9.10)下午1：00 — 4：00 地点：X6220 说明：以自然班为单位。5.00元/本
2、答疑
时间：星期二 下午1:00 —— 3:00
地点： X6220
本学期教学内容及特点
基
实物运动规律 振动
本
与
粒
波动
子
相互作用和场
量子现象 与
量子规律
多粒子体系 的 热运 动