简谐振动运动方程

4
（c）
3
（d）
3
(b)
T t0
4
51 7
t0
T 8
T 4
T 8
0
t0 T
2
7 2
8
7
4
或 ：0
4
(d)
v0
x0
A 2
v0 0
cos 0
x0 A
1 2
0
v0 A sin0 0
sin0 0
0
3
例2、劲度系数为k的轻质弹簧，上端与质量为m的平板相连，下端与地面相连。 今有一质量也为m的物体由平板上方h高自由落下，并与平板发生完全非弹性碰 撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。
R.P.Feynman
我们将要学习的谐振子，在许多其他 领域中有类似的东西。虽然我们从力学的例子， 如挂在弹簧上的重物、小振幅的摆，或者某些 其他的力学装置出发，但实际上我们是在学习 某一种微分方程。这种在物理学和其他学科中 反复出现，而且事实上它是许多现象中的一部 分，是值得我们认真研究的。
—— 费曼
结构框图
第12章 振 动
摆动
混沌
阻尼振动 受迫振动 共振
简谐振 动
电磁振荡
振动的 合成
频谱 分析
• 核心内容： 简谐振动
运动方程 特征量 能量 振动的合成
自学内容：单摆的非简谐运动与混沌现象；频谱分析
§12.1
一. 简谐振动的运动方程
1. 理想模型：弹簧振子
简谐运动
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点）
A
由cos 0大小和sin0的符号决定0
(2) ( t 0 )与状态参量 x，v 有一一对应的关系
x Acos(t 0 ); v A sin(t 0 )
例：
当
t 0
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当
t 0
5
3
时：
x A, 2
v 3 A
0(2的整数倍) (的奇数倍)
同相 反相
x x1 x2
2 1 0
x2 振动超前x1振动
t 2 1 0
x2 振动落后x1振动
[例] 由振动曲线决定初相 解:
x A v0
(1)
cos0
x0 A
0
x0 0 t0
t
v0 A sin0 0
sin0 0
arccos x0
0
A
集中弹性
集中惯性
回复力
F kx
(平衡位置为坐标原点）
回复力和物体惯性交互作用形成谐振动
判据一：物体所受回复力恒与位移成正比且反向时，物体的运动是简谐运动
扩展:
F kx 不仅适用于弹簧系统
自学下册 P 4 [例1]
立方体 F
回复力：重力与浮力的合力
l
o
F kx
mg
k l2水g
x
扩展:
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
求解*得运动方程：
x Acos(t 0 ) A, 0 为积分常数
判据三：任何一个物理量如果是时间的余弦（或正弦）函数，那么该物理量 的变化称为简谐振动
, A,0 : 简谐振动的特征量
3.
d x d2 x x, d t , d t2
均随时间周期性变化
x Acos( t 0 )
v
dx dt
Asin(t
0
)
a
d2 x dt 2
A 2cos( t
0
)
av
T4
x
3T 4
T2
o
0 0, 1
t
T
由状态参量 曲线族称为相图。
x, v d x dt
为坐标变量作出的函数
思考: 简谐振动的相图并理解其意义。
d2 x dt 2
2
x
对t积 分 ：
dx dt
2
2 x2
c1
为四象限角
(2) 与初相为零的余弦函数比较
x Acost 1
振动函数:
x Acos(t )
2
0
2
1
0
从图上可以看出:
x落后 2
x 1
0
x A v0
x0 0 t0
x 1
x
2
t
t 0
2
t
T
0
t
0
0
练习
教材 P13 12.1.3
答案：
(a)
0
5
4
或
3
4
（b） 7 或
4
F kx 不仅适用于弹簧系统
离系统平衡位置的位移
准弹性力
F kx
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x
F
m
d2 dt
x
2
d2 x k dt2 m x 0
令
k 2
m
得
*
d2x dt 2
2
x
0
线性微分方程
判据二：任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身成正比且反号时，该物理量的 变化称为简谐振动。
➢ 物理概念、物理思想深化 ➢ 更加贴近物理前沿和高新科技 ➢ 对自学能力的要求提高
第四篇 振动与波动
摆动的秋千
鸟的翅膀
船的起伏
➢ 任何一个物理量( 如位移、角位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等) 在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动。
➢ 波动: 振动在空间的传播 共同特征：运动在时间、空间上的周期性
(
dx dt
)2
c1
x2
C1
2
1
dx dt
o
x
与振动过程和振动曲线如何对应？
dx dt
o
x
x
T/2
o
Tt
相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。
二. 简谐振动的特征量
1. 角频率 、周期T、频率
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
由谐振动周期性特征看
的物理意义:
固有角频率
x(t T ) x(t)
1、作业题册
时间：第一周星期五(9.10)下午1：00 — 4：00 地点：X6220 说明：以自然班为单位。5.00元/本
2、答疑
时间：星期二 下午1:00 —— 3:00
地点： X6220
本学期教学内容及特点
基
实物运动规律 振动
本
与
粒
波动
子
相互作用和场
量子现象 与
量子规律
多粒子体系 的 热运 动
x Acos
0
0
v0 A sin0
解得
A
x2
v2 0
0
2
3. 相位 t 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
： (1)初相
0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 Acos0 v0 A sin 0
0
arctg(
v0
x0
)
或
} cos0
x0 A
s in 0
v0
Acos[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 ) (t T ) 0 t 0 2
---- 描述谐振运动的快慢
T 2
周期
1 频率 T 2
2. 振幅A ：
A | xmax |
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由 在 t = 0 时刻
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
( t ) (3)
每变化
0
， 2 整数倍 x、v重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地 反映出谐振动的周期性特征。
(4) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调
x1 A1 cos(t 1) Biblioteka Baidu2 A2 cos(t 2 )
相差
(t 2 ) (t 1) 2 1