2019秋小学数学13.4 课题学习 最短路径问题
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
最短路径问题教案
课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时）内容分析1.课标要求“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。
2.教材分析知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。
学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。
对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。
为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。
“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。
有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。
在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思想。
在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。
13.4《最短路径问题(1)》教案
13.4《最短路径问题（1）》教案13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1 将军饮马问题一、教学目标(一) 学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和“两点之间，线段最短”，则师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC 的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:●活动②整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l 上找到一点C，使AC与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动③大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：⑴若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小；⑵现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′ ?⑶你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4．证明AC +BC“最短”●活动④反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+C B′=AB′，AC′+ C′B= AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴AC+BC﹤AC′+BC′，即AC +BC 最短．●活动⑤集思广益，理解新知追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.●活动⑥反思总结，归纳新知【方法归纳】1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，则点E就是所求的点.师：海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：探究二“一点两线型”的最短周长问题问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A 建在河流和草地所成的∠MON 内部.牧马人某一天要从A 牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A . 请你帮他确定马这一天行走的最短路线. 【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短 【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点A 关于OM 、ON 的对称点A ′、A ′′，连接A ′A ′′分别交OM 、ON 于E 、F ，此时△AEF 周长有最小值；【思路点拨】（1）将OM ，ON 抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点；（2）抽象为数学问题：如图，点A 在∠MON 内部，试在OM 、ON 上分别找出两点E 、F ，使△AEF 周长最短；（3）当AE 、EF 和AF 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE +EF +AF 的最小值为A ′A ′′的值，根据轴对称的性质得AE =A ′E ，AF =A ′′F ，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”. 【答案】作图如图1， 则此时点E 、F 使△AEF 周长有最小值．图1E D CA''A'ONM A图2FED CA''A'O NM AE'F'师：能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：【理由简要分析】如图2，在OM 上任取一个异于E 的点E′，在ON 上任取一个异于F 的点F′，连接A E′，A ′E′，E′F′，A ″F′，A F′，则A E′＝A ′E′，A F′＝A ″F′，且A ′E′＋E′F′＋F′A ″＞A ′A ″=A ′E ＋EF ＋FA ″= AE ＋EF ＋FA ，所以△AEF 的周长最小，故E ，F 就是我们所求使△AEF 周长最短的点． 练习 如图所示，点P 为∠AOB 内一点，P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点E ，交OB 于点F .若P 1P 2=9，则△PEF 的周长是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【知识点】轴对称知识【解题过程】因为P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，根据轴对称的性F质得PE= P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，故答案选C.【答案】C师：回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？探究三“两点两线型”的最短路径问题问题4 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1) 作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；(2)连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB 的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.练习某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图1所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹，不写作法)图1图2【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D 的路线行走时，所走的总路程最短.【思路点拨】“两点两线型”求路径最短，所求CP+PQ+QD的最小值为线段C1D1的值.【答案】作图如图2，小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短. 【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的综合能力.【方法归纳】“一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.3. 课堂总结师：让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题”，总结一下他所解决“最短路径问题”的所用的原理与方法.知识梳理1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲问题作法图形原理类型一lAB直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P.lPABPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短lBA⑴作点B关于直线l 的对称点B′；PA+PB的最类型二直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小.⑵连接AB′，与直线l相交于点P．则点P即为所求．（同样可作点A的对称点）lPB'BA小值为AB′的值，PB=PB′，两点之间，线段最短类型三O BAP两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小.⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′；⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．则点E、F为所求的点．FEDCP''P'O BAPPE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF=FP′′，两点之间，线段最短.类型四PABOQ两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小.⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′；⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．则点M、N为所求的点．NMQ'P'PABOQPM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.（三）课后作业基础型自主突破1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在l上的某处修建一个水泵站，分别向P、Q两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）作点P关于直线l 的对称点P′；（2）连接QP′，与直线l相交于点M；则在l上的点M修建一个水泵站所需管道最短．【思路点拨】根据“两点一线型”的最短路径模型，故选D.【答案】D2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A. （-2 ，0）B.（4 ，0）C. （2 ，0）D.（0 ，0）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】如图，作点B 关于x轴的对称点B′（4，-2），过点A作AC⊥x 轴，B′C⊥y轴于E，AC和B′C相交于点C，连接A B′ 交x轴于点P，交y轴于点D∵A（-2，4），B′（4，-2）∴C（-2，-2），E（0，-2），AC=B′C=6. 又∵AC⊥B′C，∴∠CA B′=∠A B′C=45°. ∵DE∥AC，∠DE B′=90°，∴∠ED B′ =∠DB′E=45°，∴DE =EB′=4，D（0，2）.同理可得∠OD P =∠OP D =45°，OP=OD=2 ，∴P（2，0）【思路点拨】在直角坐标系中抽出“两点一线型”的最短路径模型：在直线x轴的同侧有点A和点B点，在直线x轴上找一点P，使PA+PB最小.作图如图，再由图可构造得等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】C3.如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的一点.若AF=3，当EF+EC取得最小值时，∠ECF的度数是（）A.15°B.22.5°C.30°D.45°【知识点】等腰三角形的“三线合一”、轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）因为等边△ABC的边长为6，又AF=3，所以点F为AC中点.取AB中点F′，则点F与点F′关于直线AD对称；（2）连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.（做题前应先忽略原图中的点E，如图1，再根据“两点一线型”的最短距离的模型作图，如图2：）【思路点拨】分离出点F、点C和直线AD，找出“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键.连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【答案】C4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，且BD⊥CD，∠ADB=∠C. 若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为. 【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短【解题过程】过点D作DP⊥BC于P，∵∠A=90°，BD⊥CD，∴△BAD和△BDC都是直角三角形. 又∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠DBC. ∴BD是∠ABC 的平分线，∴垂线段DP=DA=3.【思路点拨】由题意可得△BAD和△BDC都是直角三角形，又因为∠ADB=∠C，所以∠ABD=∠DBC，则BD是∠ABC的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP长的最小值为3.【答案】35.如图，要在河道l边上建立一个水泵站，分别向A、B两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将村庄A、B两地抽象为两个点，将河道l抽象为一条直线；（2）作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l相交于点C.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点C，使AC+CB′最小，AC+CB′的最小值为线段AB′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，点C即为水泵站建所在的位置：6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA于E、交OB于F，此时△PEF周长有最小值，即乙站在E处、丙站在F处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题.在OA、OB上分别找点E、点F，PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，根据轴对称的性质得PE=P′E，PF=FP′′，再由“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图所示，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以当乙站在OA上的E处，丙站在OB上的F处时，才能使传球所用时间最少．能力型师生共研7.八年级（6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作“小明”关于小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交直线OP于点B，则按“小明”→B→A的线路跑，去捡B处的球，才能最快拿到球跑到目的地A.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点B，使AB+BA′最小，AB+BA′的最小值为线段AA′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，小明行走的路线是:“小明”→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.8.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=6cm，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN周长有最小值= P1P2，∵根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB= 2×30°=60°，∴△P1OP2为等边三角形，∴P1P2= OP1 =O P2 =6cm，即△PMN周长的最小值为6cm.【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△PMN周长PM+MN+PN的最小值为P1P2的值；根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=60°，OP1 = OP =O P2，△P1OP2为等边三角形，P1P2=6cm.【答案】6cm探究型多维突破9、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；(保留作图痕迹，不写作法)(2)求出最短路程.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】(1)作法：①如图作点A关于CD的对称点A′；②连接A′B交CD 于点M. (2)由(1)可得直线CD是点A与点A′的对称轴，M在CD上，∴AM＝A′M，A′C＝AC，又∵AC＝BD，∠A′CM=∠BDM=90°，∠A′MC=∠BMD，∴△A′CM≌△BDM，∴CM＝DM，A′M＝BM，∴M为CD的中点，且A′B＝2AM，∵AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程1000 m. 【思路点拨】⑴该题为“两点(直线同侧)一线型”求最短路径问题，在直线l上找一点M，使A′M+MB最小，A′M+MB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM ≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m【答案】(1)如图，点M即为所求的点; (2) 最短路程为1000 m.10.如图，在五边形ABCDE中，①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹，不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】①取点A关于BC的对称点P、关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，如图1，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，如图2；②如图3，∵∠BAE＝125°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°，∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°【思路点拨】①转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△AMN周长AM+MN+AN的最小值为线段PQ的值. ②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】①作图如图2，此时△AMN周长最小；②∠AMN＋∠ANM＝110°.自助餐1. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A.（0，0）B.（0，2）C.（0，4）D.（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′交y轴于点C′，当点C在C′处时△ABC的周长最小. 过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），∴B′点坐标为（﹣6，0），E（2，0），AE=8，OE=2. ∴B′E=8，∴B′E =AE ，O B′=B′E－OE=6.又∵AE⊥B′B，∴∠A B′E=∠B′AE =45°，∵C′O∥AE，∠C′O B′=90°，∴∠C′B′O =∠B′C′O =45°，∴C′O = B′O =6，∴点C′的坐标是（0，6），当点C在C′处时△ABC的周长最小，故选D．【思路点拨】分离出“两点一线型”的最短路径模型：在y轴的同侧有点A和点B，点，在y轴上找一点C，使AC+CB最小.作图时应忽略图中的点C，再由图可构造等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】D2. 如图所示，点P为∠AOB内一点，OP=9，P1、P2分别是点P关于OA、OB 的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.当△PEF的周长是9时，∠AOB 的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的知识、P2分别是点P关于OA、OB的对【解题过程】连接O P1，O P2. ∵OP=9 ，P1称点，∴根据轴对称知识O P1=O P2=OP=9，PE= P1E，PF=FP2 .∴PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9，∴O P1=O P2= P1 P2，∴△OP1 P2是等边三角形.又∵由轴对称知识得∠P 1 OP 2=∠P 1 OP +∠POP 2=2（∠AOP +∠POB ）=2∠AOB ，∴2∠AOB=60°，∴∠AOB=30°【思路点拨】根据轴对称知识，PE +EF +PF = P 1E +EF + P 2F = P 1 P 2，如图连接O P 1， O P 2易得证△OP 1 P 2是等边三角形，故答案选B【答案】B3.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】垂直平分线的知识，轴对称知识，两点之间线段最短【解题过程】(1)作线段AB 的垂直平分线，与EF 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 作AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【思路点拨】 ⑴到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又在河边EF 上，所以作AB 的垂直平分线与EF 的交点即为符合条件的点．⑵要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，结合 “两点一线型”的最短路径模型，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点 (或A )，与EF 的交点即为所求．【答案】(1)如图1，自来水厂部建在点P 处，到A ，B 村的距离相等．(2)如图2，自来水厂部建在点P 处，到A 、B 的距离和最短．4.公园内两条小河MO ，NO 在O 处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P (如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′分别交OM、ON于Q、R，此时△PQR周长有最小值，即此时使在半岛上修建的三段小路路程和最小，才能使修路费用最少.【思路点拨】要使修路费用最少，则应使三段路程和最小，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题.【答案】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置，修路费用最少．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，Q，R就是我们所求的小桥的位置．5．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR 的周长最小．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1)作点P关于直线BC的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点，如图所示．【思路点拨】P，Q为△ABC边上的两个定点，所以PQ长为定值，使△PQR的周长最小，只需要PR+QR最小.故分离出“一点两线型”的模型：在直线BC的同侧有点P和点Q，在直线BC上找一点R，使PR+QR最小.【答案】如图所示，点R就是所求作的点.6．如图，一艘游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上某处，再返回P 处，请画出游船航行的最短路径．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化思想【解题过程】如图1，作点P关于直线BC 的对称点P′，连接QP′，与直线BC 相交于点R. 则游船航行路线是：P→Q→R→P，即将游客送到河岸BC的R，游船航行的路径最短.（或作点Q关于直线BC 的对称点Q′同样得解，如图2）. 【思路点拨】将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”.由于P、Q为。
13-4课题学习最短路径问题课件
E1
A
B
P E
A
B
C
F
P B1
34、如图，,AO牧B童内在一A点处P放,P牛1、，P家2分在别B是处P，关A于、OBA到、
O河B岸的的对距称离点分,P别1P为2交AOCA和于BMD,点且，AC交=OBBD于,若N点点A.若到 Δ河P岸MCND的的周中长点为的5c距m离，为则5P010P米2的，长则为牧()童从A处把 A牛.3牵cm到B河.4边cm饮C.水5c再mD回.6家cm，最短距离是（） A.750米B.1000米C.1500米D.2000米
P1
A
AP1Q1的周长
河
Q1 Q Q
l
AP1 P1Q1 AQ1
A2 P1 P1Q1 A1Q1
A1
A1 A2
解：最短路径是AP+PQ+AQ.
NOTE:ΔAPQ的周长是A人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径.
13.4课题学习 最短路径问题
问题一：牧马人从A处回到B处休息，怎么走可使路径最短？
问题二：牧马人从A处到河边l处饮马，怎么走可使路径最短？
问题三：牧马人从A地出发，先到一条笔直的河边l处饮马，
然后到B地休息.牧马人到河边的什么地方饮马，可 使所走的路径最短？
草地
牧马人
A
营地
B
河D
C
l
13.4课题学习 最短路径问题
关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l的交
点，即为直线l上到A、B距离之和最短的点.
“牧马饮水问题3”：
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马， 然后回到A处，请画出最短路径.
13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)教案
13.4 课题学习最短路径问题（1）一、内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2.内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、目标与目标解析1.目标( 1 ) 前置微视频学习目标：①了解如何将实际问题抽象为数学的线段和最小问题②会解决“将军饮马问题”，理解通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，感悟转化思想.③理解如何通过逻辑推理证明所求距离最短，体会“任意”的作用.( 2 ) 课堂基础目标：分析较复杂最短路径问题.( 3 ) 课堂拓展目标：在分析较复杂最短路径问题的基础上，总结解决这一类最短路径问题的基本方法与思路，学会举一反三.2.目标解析达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会到轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”问题，为什么需要转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到.基于以上分析，教学前，教师先将学生的难点问题制作成微视屏，学生根据自己的学习情况，通过“微视屏”学习，理解怎样把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；怎样通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；怎样通过逻辑推理证明所求距离最短.在学生学习了视屏内容以后，课堂教学的重心就放在对于此类最短路径问题的理解和再应用.教学中先让学生复习视频学习的内容，并通过解决前测理解单的问题，总结视屏学习的内容。
课题学习 最短路径问题——将军饮马
教师活动学生活动设计意图【活动一】问题引入前几节课，我们学习了轴对称性质在等腰三角形中的应用,本节课，我们将继续探究轴对称性质的另一个实际应用——经典的“将军饮马问题”，请看视频。
【活动二】解决问题问题1：你能把“将军饮马”这个问题抽象为数学问题吗?问题2：注意观察，当饮马点C的位置改变时，你能确定使AC+CB最小的饮马点C的位置吗？问题3：当点A、B在直线l的异侧时，你能在直线l上确定一点C，使线段AC与CB的和最小?问题4 回到“将军饮马”问题，怎样将直线同侧两点转化为直线异侧两点?问题5：你能用所学的知识证明AC+CB最小学生认真观看视频，明晰本节课要探究的问题。
将A、B两地抽象为两个定点，将河抽象为一条直线l。
学生回答并相互补充，最后达成共识。
已知：直线l和直线l的同侧两点A，B;求作：直线l上一点C，使得AC+CB 最小.通过老师的引导启发，使同学们想到作定点的对称点，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异侧的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，感悟转化的数学思想。
教师引导点拨，从数学史上久负盛名的“将军饮马”问题引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想，同时引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题。
从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。
让学生进一步吗？小结：“将军饮马”问题的已知条件是什么？求什么？“将军饮马”的实质是什么？“将军饮马”的作图步骤是什么？跟踪练习：如图P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？【活动三】“将军饮马”变式1如图，点A 是∠MON 内的一点，分别在OM、ON上作点B、C，使△ABC 的周长最小。
结合几何画板的演示，师生共同完成证明过程。
学生回答，并相互补充，最后由教师总结。
要求学生用两种方法画图，学生独立思考，画出图形，点名一名学生在黑板上画图。
课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、教课方案理念最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。
最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对性的设计。
二、教课对象剖析八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。
向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较强的求知欲念，学习投入程度大。
他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。
学生在数学识题的提出和解决上有必定的方法，但不够深入和全面，需要教师的指引和帮助，学生自己拥有必定的研究精神和合作意识，能在亲自的经历体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理能力有待增强。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
课题学习 最短路径问题 导学案(带习题和答案)
13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。
13.4课题学习-最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所.例题1：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．注意：距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．【练习】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？警误区：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．二、解决“两线＋一点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。
试画出图形，并说明理由.三、解决“两线＋两点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋两点”型最短路径问题，要每点做一次轴对称，从而构造出最短路径．例题3：圣林中学八年级举行元旦联欢会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a四、造桥选址问题：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．例题4：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？注：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．。
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
13.4课题学习_最短路径问题
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
B
C
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定 这一天的最短路线。
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的 最短路线。
F
作法：1.作点A关于直线
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, B BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, N D E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
13.4课题学习 最短路径问题 教学设计
素养
目标
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短的公理和三角形两边之和大于第三边的垂线段最短的定理。
运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。
布置任务，复习知识点
为课堂上涉及知识点做知识储备
新课导入（疑）
一．温故知新
问题1.“孝”是中华民族的传统美德，一代代的中国人应该将它传承下去。晴空万里的一天，何将军从军营（点A）出发，到一条笔直的市集（直线l）买礼品，然后到父母家（点B），何将军到市集的什么地方买礼品，可使所走的路径最短？（假设选中的最佳位置刚好能买到礼品）
生自己读题完成题目，并先行自我归纳模型特点、作图方法、证明思路。
1.设置问题：
（1）让生在学案上作图,用点P表示具体位置；
（2）说出这样的作图依据；
（3）简要证明为何最短？
2.分析这样的模型特点：
两个定点在直线异侧，一个动点在直线上。
3.归纳此模型的作图方法、依据、证明思路。
以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
再动手作图，做出最短路径。
归纳总结此模型与上述模型的异同，得到作图方法。
5.在学案上作图，并证明路径最短，可以小组合作。
由平移性质可知，AM＝A'N，AA'＝MN＝M'N'，AM'＝A'N'.
AM+MN+BN转化为ＡA'＋A'Ｂ，而ＡM'＋M'N'＋ＢN'转化为ＡA'＋A'N'＋ＢN'
13.4 课题学习最短路径问题
13.4 课题学习最短路径问题一、学习目标1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.2.理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定.二、课时安排：1课时三、预习指导阅读教材P85-86“问题1”，学生独立完成下列问题：要点感知在解决最短路径问题时,我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.预习练习已知，如图,在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.四、目标检测知识点路径最短问题1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )A.7 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置.3.如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置.5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.挑战自我6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，2)D.(0，3)五、学后反思：。
13.4 课题学习 最短路径问题 课后训练
课后训练基础巩固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC ＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N 处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，因为AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.。
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基础巩固练
2．如图，直线 m 同侧有 A，B 两点，A，A′关于直线 m 对称，A， B 关于直线 n 对称，直线 m 与 A′B 和直线 n 分别交于 P，Q， 下面的说法正确的是( )
基础巩固练
A．P 是 m 上到 A，B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A，B 距离相等的点
B．Q 是 m 上到 A，B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A，B 距离相等的点
能力提升练
13．(1)如图(1)，在直线 AB 一侧有 C，D 两点，在 AB 上是否存 在一点 P，使 C，D，P 三点组成的三角形的周长最短，若 存在，找出此点；
解：存在．如图(1)所示，步骤略．
能力提升练
(2)如图(2)，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA，OB 上分别存 在点 E，F，使得 E，F，P 三点组成的三角形的周长最小， 若存在，找出 E，F 两点； 解：存在．如图(2)所示，步骤略．
基础巩固练
4．如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A，B 到河岸的距离 分别为 AC 和 BD，且 AC＝BD，若点 A 到河岸 CD 的中点的 距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所 走的最短距离是__1_0_0_0___米．
基础巩固练
5．[2018·重庆綦江中学月考]如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 3，面积是 12，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上 一动点，则△CDM 的周长的最小值为____9_._5____．
解：(1)过点 A 作 AP⊥a，并在 AP 上向下截取 AA′，使 AA′＝河 的宽度； (2)连接 A′B 交 b 于点 D； (3)过点 D 作 DC∥AA′交 a 于点 C，则 CD 即为桥的位置．
基础巩固练
10．甲、乙、丙三人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙， 乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．如图所示， 若甲站在∠AOB 内的 P 点处，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上， 并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何 处，才能使球从甲到乙、乙到丙、丙到甲这一轮所用的时间 最少？
11．如图，∠AOB＝30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝10.若 在 OA，OB 上分别有动点 Q，R，则△PQR 的周长的最小 值是( A ) A．10 B．15 C．20 D．30
能力提升练
12．[2017·重庆第 71 中月考]如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝ 50°，∠B＝∠D＝90°，E，F 分别是 BC，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( D ) A．50° B．60° C．70° D．80°
基础巩固练
解：如图所示．
作法：(1)作 C 点关于直线 OA 的对称点 C1，D 点关于直线 OB 的对称点 D1； (2)连接 C1D1，分别交 OA，OB 于点 P，Q，连接 CP，DQ，那 么小明沿 C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．
基础巩固练
9．如图，村庄 A，B 位于一条小河的两侧，若河岸 a，b 彼此平 行，现在要建一座与河岸垂直的桥 CD.问桥址应如何选择， 才能使 A 村到 B 村的路程最短？
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1D
5 9.5
2A
66
3 (2，0) 7 见习题
4 1 000
8 见习题
答案显示
9 见习题 10 见习题 11 A 12 D 13 见习题
基础巩固练
1．如图，直线 l 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 l 上的某处 修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方 案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( D )
基础巩固练
解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′交 AB 于点 E， 则点 E 就是所求作的点．
基础巩固练
8．某班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示的两直排(图中的 AO， BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上．请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
基础巩固练
解：如图所示． (1)分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2； (2)连接 P1P2，与 OA，OB 分别相交于点 M，N.因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必须站在 OA 上的 M 点处， 丙必须站在 OB 上的 N 点处才能使这一轮所用的时间最少．
能力提升练
C．P，Q 都是 m 上到 A，B 距离之和最短的点 D．P，Q 都是 m 上到 A，B 距离相等的点
坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A(3，2)，B(1， －2)．点 P 在 x 轴上，当 PA＋PB 的值最小时，点 P 的坐标 为_(_2_，__0_)__．
基础巩固练
6．如图，AD 是等边三角形 ABC 的 BC 边上的高，AD＝6，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边的中点，则 EM＋CM 的最小值 为____6______．
基础巩固练
7．有两棵树的位置如图，树脚分别为 A，B.地上有一只昆虫沿 A—B 的路径在地面上爬行．小树顶端 D 处一只小鸟想飞下 来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C 处，问小鸟飞至 AB 之 间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．