03功和能题

第三章 功和能

3-1一质点在几个力同时作用下的位移为Δr =5i +8j -9k (m)，其中某个力为恒力f =2i +3j -2k (N)，求这个力在过程中所作的功. 解：()()52985232=-+⋅-+=∆⋅=k j i k j i r f A J

3-2如图所示，一质点在坐标平面内作圆运动，所受外力中某一力f =y 2i +(x -R )2j （SI ），问当该质点自原点o 运动到a 点的过程中f 所作的功是多少?

解：在质点位移 j i r y x d d d += 的微过程中，力f 所作的元功d A 为

()y R x x y A d d d 2

2

-+=∆⋅=r f

因为质点在由方程 ()x R y R -+=2

22 决定的圆周上运动，所以 ()[]

()

y y R x R x R A d d d 222

2-+--=

质点自o 点运动到a 点的过程中所作的功为

()[]

()

30

2220

2

2

3

4R y y R x R x R

A A R

=

-+--=

=⎰⎰⎰d d d

3-3一物体按规律x =At 2在空气中作直线运动，式中A (＞0)为常量，t 为时间，若空气对物体的阻力正比于物体的速度，阻力系数为k ，求物体由x =0运动到x =L 的过程中，阻力所作的功.

解：按题意物体所受阻力可写为

f kv k

dx

dt

kAt k Ax x =-=-=-=-22 阻力所作的功为

x x A k x f A L

L

x d 2d 0

⎰

⎰-===23

213

4

kA -

3-4一地下蓄水池，面积为50m 2，贮水深度为1.5m.假定水平面低于地面的高度是5.0m.问要将这池水全部吸到地面，需作多少功?若抽水机的效率为80%，输入功率为35kW ，则需要多少时间可以抽完?

解：将示意图中离地面h 深d h 厚的一层水吸到地面，外力需作的功d A 为

()()h S m h

Sgh gh m A d d d d d ρρ===

()610211023.422

1

d 1

00

⨯=+=

=

∴⎰+h h h Sg h Sgh A h h h ρρ J

N A t

N 出出入

=

=η

23

6

1051.110

3580.0102.4⨯=⨯⨯⨯==∴入出N A t η s

y o

x

a

R

图3-2

3-5如题图，将原长l 0=6.0cm 的弹性皮筋装在间距

AB=2a =8.0cm 的刚性支架上，这时皮筋张力T 0=4.0N.今在

AB 中点处沿垂直于AB 的方向加一外力缓慢地将皮筋拉成折线ACB ，已知AC=BC ，OC=b =3.0cm ，皮筋质量可略，由功的定义求拉伸皮筋的过程中外力作的功.

解：把整根皮筋看作两根弹簧，每根弹簧的劲度系数可以求出。

由 T k a l 002=-⎛

⎝

⎭⎪

，得 400=k N/m

如图建立y 轴，在皮筋中点位移d y 的过程中，外力F 应作功

y T A d cos 2d α=

式中：cos α=+y

a y 22

，⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+=2022l y a k T ；

12.0d 22220022=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+=∴⎰y y a y l y a k A b

J

3-6如图所示，一子弹水平地射入一静止在光滑水平桌面上的木块，二者一起平动.已知子弹射入木块的深度为s 0，子弹在木块中达到相对静止的过程中木块位移为s ′，木块对子弹的平均阻力为F 0.分别以木块、地面为参考系，求此过程中 (1)阻力对子弹作了多少功? (2)子弹对木块作了多少功?

(3)这对作用力反作用力作功之和. 解：

(1) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：()-+'F S S 00; (2) 木块为参照系： 0 , 地面为参照系：S F '0;

(3) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：-F S 00。

3-7证明：一对作用与反作用力所作的总功，与参考系的选择无关.

证明：图中，f 1 , f 2表示m m 12,之间的一对相互作用力，因此有f 1 = - f 2。设在微过程中m m 12,相对于某参照系的位移为d r 1,d r 2，则在此参照系中算

得这一对力所做元功之和为：

()12

221222112

1r f r r f r f r f d d d d d d d d -=--=⋅+⋅=+=A A A

式中12r d 为质点1对质点2的位移，显然这与参照系的选择无关。 ⎰

⋅-=∴122r f d A

A B

C O a b 图3-5

图3-6

s'

s 0

r 2 2

B

O

也与参照系选择无关。证毕。

3-8某质点的质量m =0.2kg ，其运动方程为 x =4+3t 2

y =9t (SI) z=10

求t =5s 到t =10s 这段时间内，合外力对这个质点所作的功. 解：

解法一：由运动方程有

s

m d d .d d ,d d ,

s

m

d d 2t t

x

t z

t y

t x

60062

22

22

2====又

⎰⎰⎰⎰⨯=====∴21

21

2

1

2105

10726212121x x t t x x x x t t t v x x F A .d .d .d .d J

解法二：由运动方程可得t 时刻质点速度为

81362

2

22+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t z t y t x v d d d d d d

令v v 510,分别代表质点在t t ==510,时的速率，则由动能定理有

()2

52102

1v v m A -=合 =2.7×102 J

3-9质量为m 的雪撬从四分之一圆周的圆弧坡上

由静止滑下，并在水平地面上滑行一段距离s 后停下来(如图).设雪橇和地面间摩擦系数为常量，雪橇到达

水平面A 点时的速度为v ，圆弧的半径为R . 求摩擦

力的功和摩擦系数μ. 解：从圆弧坡上滑下 mgR =A μ 1+

2

2

1mv 在水平地面上滑行 2

2

1mv =μmgs = A μ 2 ∴ 摩擦力的功= mgR

μ =gs

v 2

3-10一轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定在A 点，一端连一质量为m 的物体，靠在光滑的半径为a 的圆柱体表面上，弹簧原长为AB. 在变力F (沿切线方向)作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B 移到C ，求力F 所作的功.

(1) 用功的定义作； (2) 用动能定理作. 解：

(1) 由于物体沿表面运动极其缓慢，可认为物体受力平衡。 在切向有 F mg f =+cos α 又f ka =α

()2

20

2

1θθαααθ

θka mga a ka mg A F +

=+=⋅=∴⎰⎰sin d cos d S F (2)质点运动中动能增量为零。所以由动能定理有 A A A A A F N f G 合=+++=0

F C

B

A

O

a θ

图3-10

图 3-9