2017高考数列与不等式
17年高考真题—理科数学4：数列与不等式
2017高考真题分类汇编：数列与不等式1．【2017天津 2】设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ） （A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）32．【2017课标III 3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（A ）1盏 （B ）3盏 （C ）5盏 （D ）9盏3．【2017课标I 4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）84．【2017山东 4】已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）65．【2017北京 4】若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为（ ）（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）96．【2017浙江 4】若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）（A ）[]0,6（B ）[]0,4 （C ）[)6,+∞ （D ）[)4,+∞7．【2017课标II 5】设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）98．【2017浙江 6】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 9．【2017山东 7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ） （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2ab a b a b +<+< 10．【2017天津 8】已知函数()()()23121x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）2⎡⎤-⎣⎦ （D）3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．【2017课标III 9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0。
17年高考真题—文科数学4：数列与不等式
2017高考真题分类汇编：数列与不等式1．【2017山东 3】已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）32．【2017北京 4】若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为（ ）（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）93．【2017浙江 4】若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）（A ）[]0,6（B ）[]0,4 （C ）[)6,+∞ （D ）[)4,+∞4．【2017课标III 5】设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）（A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,35．【2017浙江 6】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．【2017课标I 7】设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37．【2017课标II 7】设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）98．【2017江苏 9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =_________。
9．【2017江苏 10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是_________。
专题04数列与不等式2017年高考数学(理)试题分项版解析
【2017课标1，理4】记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}na的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】试题分析：设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a aS a a+==+=，即3416a a+=，则4534()()24168a a a a+-+=-=，即5328a a d-==，解得4d=，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}na为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。
3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么 该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.4.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0>d ”⇔“02564>-+S S S ”，故为充要条件．5.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A 【解析】【考点】 应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大。
2017年高考理科数学-数列专题讲义(含解析)
1、按照一定顺序排列着的一列数成为数列，数列中每一个数叫做这个数列的项； 2、如果数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式； 注意：1）并不是所有数列都有通项公式，如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得 到的通项公式或者递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可以；2）有的数列的 通项公式在形式上并不唯一；3）当不易直接发现规律时，可以拆分成若干部分的和差积商 或充分挖掘题目条件求解； 3、如果已知数列的第一项或（前 n 项） ，且任意一项与它的前一项（或前 n 项）间的关系可 以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式； 4、数列可以看做定义域为 N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的 一列函数值，它的图像是一群孤立的点； 5、数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关 系表示） ； 真题回顾----1 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次 报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数 为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报 到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为________.
=
若项数为奇数，设共有 2n-1 项，则：1） S奇 S偶 = an = a中 ；2） 真题回顾----10 在等差数列 【答案】74
n ； n 1
{an }
中，
a3 a7 37
，则
a2 a4 a6 a8
__________
真题回顾----11 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 ... a7 （ （A）14 【答案】C （B）21 （C）28 ） （D）35
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细解析.doc
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细
解析
数列一章的【学习目标】如下：
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an;
4．掌握常见的几种数列求和方法.
不等式一章的【学习目标】如下：
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.。
专题04 数列与不等式-2017年高考数学(文)试题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．32.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 93.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）95.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.36.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 . 11.【2017山东，文】若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，学&科网y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．19.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题4数列与不等式(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题4 数列与不等式一、单选题（共13题；共25分）1、（2017·天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A、B、1 C、D、32、（2017•北京卷）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A、1B、3C、5D、93、（2017•新课标Ⅰ卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A、1B、2C、4D、84、（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A、a+ ＜＜log2（a+b））B、＜log2（a+b）＜a+C、a+ ＜log2（a+b）＜D、log2（a+b））＜a+ ＜5、（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A、0B、2C、5D、66、（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件7、（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[0，6]B、[0，4]C、[6，+∞）D、[4，+∞）8、（2017•新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为________．9、（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A、﹣15B、﹣9C、1D、910、（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A、1盏B、3盏C、5盏D、9盏11、（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A、﹣24B、﹣3C、3D、812、（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R 上恒成立，则a的取值范围是（）A、[﹣，2]B、[﹣，]C、[﹣2 ，2]D、[﹣2 ，]13、（2017•新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A、440B、330C、220D、110二、填空题（共7题；共7分）14、（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________15、（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________16、（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=________．17、（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8=________．18、（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．19、（2017•北京卷）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=________．20、（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．三、解答题（共5题；共30分）21、（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．22、（2017·天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．23、（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）≤x n≤ ．24、（2017•北京卷）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（13分）(1)若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．25、（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．2、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．3、【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．4、【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．5、【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．6、【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．7、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．8、【答案】-5【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．9、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．10、【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．11、【答案】A【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为= =﹣24．故选：A．【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．12、【答案】A【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．13、【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：设该数列为{a n}，设b n= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则= a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n ﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．二、填空题14、【答案】﹣1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y= x﹣，通过平移可知当直线y= x﹣，经过点B（1，1）时，直线y= x﹣在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．15、【答案】-8【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．16、【答案】【考点】等差数列的前n项和，数列的求和【解析】【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n= ，= ，则=2[1﹣+ +…+ ]=2（1﹣）= ．故答案为：．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．17、【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= ，S6= ，∴= ，= ，解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得= ，= ，联立解出即可得出．18、【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．19、【答案】1【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．20、【答案】4【考点】基本不等式【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．三、解答题21、【答案】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n= =（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n= ．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．22、【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n= ．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．23、【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥ ，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤ ，综上所述≤x n≤ ．【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明24、【答案】（1）解：a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d1＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时= =﹣a n+ ，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[ ]+1，当n≥m时，≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【考点】数列的应用，等差关系的确定【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2.）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．25、【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣2（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．。
第03天 数列与不等式回顾基础篇-2017年高考数学自由复习系列江苏版 含解析 精品
1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 2．等比数列及其性质(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．(2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . 3．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法． (5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝，S n －S n －1n ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法如：1n n ＋＝1n－1n＋1；1n n＋k＝1k⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋k.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．5．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合．6．处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法．(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零．(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来．(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑．(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值．8．解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离．(3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值．利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题：(1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．热点一：等差数列【典例】【2017南通三模】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ．【答案】110【解析】511148102a a d a a =+=+=⇒= ，所以10111010920901102S a d =+⨯⨯⨯=+=【考点定位】等差数列的性质、等差数列的前n 项和【题型概述】等差数列是高考的必考内容，可以填空题单独出现，也可在解答题中与函数、不等式结合进行考查，处理时可回归基本量构造方程组，有时也要考虑与一元一次函数和一元二次函数相结合，体现出数列的函数特征.【跟踪练习1】在等差数列}{n a 中，首项31=a ，公差2=d ，若某学生对其连续10项求和，在遗漏一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 . 【答案】200考点：等差数列的前项和.【跟踪练习2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞﹣．【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣，∴，解得，∴=﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质． 热点二：等比数列【典例】【2017苏锡常镇三模】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ． 【答案】3 【解析】341131531(1313),931333a a a a -+-=⇒===- 【考点定位】1．等比数列的求和；2．数列的求和；3．基本不等式．【题型概述】等比数列是高考的必考内容，可以填空题单独出现，也可在解答题中与函数、不等式结合进行考查，处理时可回归基本量构造方程组，有时也要考虑与指数函数相结合，体现出数列的函数特征.【跟踪练习1】【2017苏锡常镇三模】已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈, ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由． 解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++，∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分 由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +…，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +…，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +…，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分 【跟踪练习2】数列{}n a 满足11a =,132n n n a a +=+．（1）求证数列{}2nn a +是等比数列；（2）证明：对一切正整数，有1211132n a a a +++<…．考点：等比数列定义的应用与求和. 热点三：数列求和【典例】【2017盐城三模】设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ▲ ．【答案】2056 【解析】102013192420131912()()2()10210205612S a a a a a a a a a -=+++++++=++++=⨯+=-【考点定位】数列求和【题型概述】数列求和可以是两种特殊数列求和，也可以是一般数列求和，它的常见方法很多比较灵活，用什么方法取决于通项公式的结构特征，常与不等式和函数相结合进行考查，是比较综合的，应引起广大考生的注意.【跟踪练习1】已知数()af x x =的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，*n N ∈，记数列{}n a 的前项和为n S ，则2015S = . 【答案】12016-考点：1.幂函数；2.裂项相消求和．【跟踪练习2】已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点．数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前项和．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）因为2a ，5a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点，则⎩⎨⎧=⋅=+1075252a a a a ，解得：⎩⎨⎧==5252a a 或⎩⎨⎧==2552a a ． 又等差数列}{n a 递增，则⎩⎨⎧==5252a a ，所以*,N n n a n ∈= ．因为点）（n n S b ,在直线1+-=x y 上，则1+-=n n b S ，当1=n 时，1111+-==b S b ，即211=b ．当2≥n 时， )1()1(11+--+-=-=--n n n n n b b S S b ，即121-=n n b b ．所以数列}{n b 为首项为21，公比为21的等比数列，即*,)21(N n b n n ∈=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：*,N n n a n ∈=且*,)21(N n b n n ∈=， 则*,)21(N n n b a c n n n n ∈⋅=⋅= ，所以nn n T )21()21(3)21(221132⋅++⋅+⋅+⋅= ①231111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ② ． ①-②得：1132)21)(2(1)21()21()21()21(2121+++-=⋅-++++=n n n n n n T ．所以*12(2)(),2n n T n n N =-+∈．或写 *22,2n n n T n N +=-∈．考点：等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和． 热点四：数列的综合应用【典例】【2017南通三模】已知{}n a 是公差为的等差数列，{}n b 是公比为的等比数列，1q ≠±，正整数组()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分 【考点定位】新定义【题型概述】数列作为高中数学代数核心之一，在高考的后三题中常有出现，它常与函数、不等式相结合以高考压轴大戏的身份出现，对于特殊数列的基本量一定要烂熟于心，数列的函数特征要正确理解并加以运用，这往往是解题的重点和难点所在.【跟踪练习1】【2017盐城三模】已知数列{}n a ，{}n b 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{}n c .（1）设数列{}n a 、{}n b 分别为等差、等比数列，若111a b ==，23a b =，65a b =，求20c ； （2）设{}n a 的首项为1，各项为正整数，3n n b =，若新数列{}n c 是等差数列，求数列{}n c的前项和n S ；（3）设1n n b q -=（是不小于2的正整数），11c b =，是否存在等差数列{}n a ，使得对任意的*n N ∈，在n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数总是n b ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{}n a ；若不存在，请说明理由.所以0,d q >>，所以3d =，2q =，所以32n a n =-，12n n b -=. ...............2分因为11b a =，32b a =，56b a =，720b a >， 所以249c a ==. ...............4分（2）设等差数列{}n c 的公差为d ，又11a =，且3n n b =，所以11c =，所以1n c dn d =+-. 因为13b =是{}n c 中的项，所以设1n b c =，即(1)2d n -=. 当4n ≥时，解得211d n =<-，不满足各项为正整数； ...............6分当133b c ==时，1d =，此时n c n =，只需取n a n =，而等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以1(1)2n S n n =+； ...............8分当123b c ==时，2d =，此时21n c n =-，只需取21n a n =-，由321nm =-，得312n m +=，3n 是奇数，31n + 是正偶数，m 有正整数解， 所以等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以2n S n =. ...............10分综上所述，数列{}n c 的前项和1(1)2n S n n =+或2n S n =. ...............11分（3）存在等差数列{}n a ，只需首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-. ...............13分下证n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数为n b . 即证对任意正整数，都有1211211n n n b b b n b b b b a b a -++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+<⎧⎪⎨>⎪⎩， 即22211111n n n q q q n q q q b a b a --++++++++<⎧⎪⎨>⎪⎩成立. 由221221111(1)(1)10n n n n q q q b a q a q q q q a ---++++-=--+++-=-<， 212211111(11)(1)0n n n n n q q q b a q a q q q q q q a ---++++-=--++++--=->. 所以首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-的等差数列{}n a 符合题意. ..............16分【跟踪练习2】已知数列{a n }，{b n }满足：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝1(1)22n n +-⋅+（*n ∈N ）. （Ⅰ）若{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n }的前n 项和S n ； （Ⅱ）若{a n }是等差数列，且a n ≠0，问：{b n }是否是等比数列？若是，求{a n }和{b n }的通项公式；若不是，请说明理由．考点：等差数列与等比数列.。
5.5 数列与不等式的相结合 -突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍 含解析
突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型。
对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.近年数列与不等式交汇题考查点：1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇。
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想. 题型一：最值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值;（2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值;（3）利用条件中的不等式关系确定最值.【例1】设等差数列}{na 的前项和为nS ，若104≥S,155≤S ， 则4a 的最大值为______.【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项1a 与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的范围，由此可确定4a 的最大值.【评注】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键,同时解答中要注意不等式传递性的应用。
【小试牛刀】已知等差数列{}na 的等差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列,若11a=，nS 为数列{}na 的前项和,则2163n n S a ++的最小值为________________。
【答案】4题型二：恒成立问题求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1）若函数)(x f 在定义域为D ,则当D x ∈时,有m x f ≥)(恒成立⇔m x f ≥min )(；m x f ≤)(恒成立⇔m x f Max ≤)(；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【例2】已知正项数列}{na 的首项11=a,前项和n S 满足)2(1≥+=-n S S a n n n ．(Ⅰ）求证：}{n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ)记数列}1{1+n n a a 的前项和为n T ，若对任意的*∈N n ，不等式a a T n -<244恒成立,求实数的取值范围．【分析】本题考查等差数列的判断，裂项相消法求数列的前项和，利用不等式恒成立求参数的范围. （Ⅰ)由)2(1≥-=-n S S an n n代入1-+=n n n S S a ,变形整理得出数列}{n S 是等差数列，从而可求出na ；（Ⅱ）先用裂项相消法求数列}1{1+n n a a 的前项和为nT ,再求n T 的取值范围,最后根据不等式a a Tn-<244恒成立,求出实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为1-+=n n nS S a ，所以11--+=-n n n nS S S S，即11=--n n S S ，所以数列}{n S 是首项为1,公差为1的等差数列，得n S n =，所以)2(12)1(1≥-=-+=+=-n n n n S S an n n，当1=n 时，11=a 也适合, 所以12-=n an。
专题3.4 专题突破：高考中的数列与不等式问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲
题型一 等差数列、等比数列的综合问题例1 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【思维升华】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【跟踪训练1】已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．题型二 数列的通项与求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn}是等比数列； (2)求通项a n 与前n 项的和S n .【解析】(1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N *时，a n n≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数， ∴{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12·(12)n －1，∴a n ＝n ·(12)n. ∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝12－12n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n.综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n. 学科*网【思维升华】(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等． 【跟踪训练2】 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求{a n }的通项a n ； (2)若c n ＝1n b n －，求{c n }的前n 项和S n .所以a 5a 3＝14＝q 2，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，q 2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝25－n，所以b n ＝5－n (n ∈N *)， 所以c n ＝1n－n －＝－1n n ＋，所以S n ＝－(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝－(1－1n ＋1)＝－n n ＋1(n ∈N *)． 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇例3 (2017·温州十校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .∴a n ＝4n －2(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4n －n ＋＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝4n2n ＋1. 命题点2 函数与不等式的交汇例4 已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，且T n＝S n3·2n－1，若对于一切正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．【变式1 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*).(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·2a n(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立.【思维启迪】(1)先求a n，再构造等比数列求b n；(2)不等式c n＋1>c n恒成立，可以转化为求函数的最值问题.【思维升华】数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.【变式2】已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.命题点3 数列应用题例5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元． (1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元． 【解析】 设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N *， 则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…， a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是以a 1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列． ∴a n －500＝1 000×2n －1，∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)∵a 4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元． (2)由a n ＞32 500，即2n －1＞32，得n ＞6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．思维升华 数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n 项和公式或递推关系式，建立数列模型．【跟踪训练3】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n项和T n .。
导数高考题分析之2017年全国III理数：利用导数研究不等式恒成立及数列不等式问题
导数高考题分析之2017年全国III理数：利用导数研究不等式恒成立及数列不等式问题函数导数研究函数性质和证明不等式问题，一直都是以高考压轴题的地位出现，也是大家的噩梦，但其实这类问题最大的敌人是自己心中的畏惧，接下来如果看到一个导数题，不要说话，努力灭它.下面的专题以高考压轴题为例，一天一个的去消灭它们，希望能在解题的过程中再次学习，归纳总结，大家多多指点.今天的问题是：2017年全国III理数吐槽一下：函数导数经典问题第一问研究不等式恒成立的参数范围，注意化简变形，分离参数求解，分类讨论，同2017年全国III理数。
第二问考察函数导数与数列不等式的综合，注意变形，利用第一问的结论放缩.【小结】此题主要考查导数在解决单调性、函数与数列不等式的综合问题中的应用，考查学生的运算求解能力及化归与转化思想.第一问与2017年全国Ⅱ卷导数第一问类似，恒成立问题一般做法是分离常数，但是在分离参数后再求导会发现导函数很复杂，因此本题中没有用分离常数而是进行分类讨论.分类讨论在我们解导数题时是常用方法.本题第二问用到了第一问的结论（在做题过程中要注意利用前一问所给结论进行解题），求解过程中将函数问题转换为数列求和问题.第二问有难度，这里给出的解法是取对数变为前n项和再放缩.放缩法解题是数列求和中的常见问题，也是难点问题.数学问题的探究过程实际上是试错过程，所以需要我们在平时做题过程中多尝试，多积累。
学习时间的长短并不重要，重要的是效率高考得分策略：细节决定命运，细节改变命运（1）内紧外松（2）一慢一快，相得益彰，即审题慢，解题快（3）确保运算准确，立足一次成功（4）做快不等于做对，准确放第一位（5）书写规范（6）抓紧时间，不为难题纠缠（7）控制节奏（8）执过索因，逆向思考，正难则反（9）面对难题，讲究策略，争取得分（10）用好开考前5分钟教育就是当学的东西全都忘了的时候，仍保留下来的东西数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语音，数学是一种精神，一种理性的精神教育是一个圆形概念，方方面面都要兼顾到每天都要加油哦作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。
2017年高考文科数学分类汇编 数列与不等式
数列与不等式1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值12315z =--=- .故选A.【考点】线性规划【名师点睛】点睛线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】点睛线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9【答案】D 【解析】试题分析如图，画出可行域，【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有（1）截距型形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式a zy x b b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. z b5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D 【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D 【解析】试题分析如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D．【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++CByAx转化为bkxy+≤（或bkxy+≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【考点】等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知4652S S S d+-=，结合充分必要性的判断，若qp⇒，则p是q的充分条件，若qp⇐，则p是q的必要条件，该题“0>d”⇔“02564>-+SSS”，故为充要条件．8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲.y【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .【答案】4【考点】基本不等式求最值【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常用形式包含()222,a b ab a b R +≥∈，),a b a b R++≥∈，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立. 11.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】【考点】基本不等式12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)n n a =-；（2）32)1(321+⋅-+=n n n S ，证明见解析． 【解析】试题分析（1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-；（2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．试题解析（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩，解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列． 【考点】等比数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+= (1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【解析】试题分析（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可，（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.（2）由得.解得当时，由①得，则. 当时，由①得，则.【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）122-=n a n ；（2）122+n n【解析】试题分析（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得122-=n a n ，验证1=n 时也满足（2）由于121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和.（2）由（1）121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ， ∴1221211)121121()5131()311(125321+=+-=+--++-+-=++++=n nn n n n a a a S n n .【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(I)2n n a =；(II) 2552n nn T +=- 【解析】试题分析(I)列出关于1,a d 的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和. 试题解析(I)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知, 22111(1)6,a q a q a q +==. 又0n a >， 解得1,22a q ==， 所以2n n a =.12231......357212122222n n n n T c c c n n -=+++-+=+++++ , 又235113572121222222n n n n n T +-+=+++++ , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【解析】试题解析（Ⅰ）解由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660,6,20,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分（Ⅱ）解设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+.【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有（1）截距型形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式a z y x b b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .【答案】（Ⅰ）32n a n =-.2n n b =.（Ⅱ）2(34)216n n T n +=-+. 【解析】试题分析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，等比数列的公比为q ，建立方程求解；（Ⅱ）先求{}2n a 的通项，再求()2622nn n a b n =-⋅，再根据错位相减法求和.z b（Ⅱ）解设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----.得2(34)216n n T n +=-+.所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+.【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和13521n b b b b -++++ ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）312n -.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=1【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前n 项和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 19.【2017江苏，19】对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k nn nk n ka aa a aa--+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明{}n a 是等差数列.【解析】证明（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=1【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法 (1)用定义证明1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明122n n n a a a ++=+；(3)通项法n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法2n S An Bn =+。
2017年高考“数列”试题(理科卷)分析与启示
2018年4月新颖试题2017年高考“数列”试题(理科卷)分析与启示⑩南昌师范学院数学与计算机科学系孙庆括刘山数列作为高中数学中的重要内容之一，是考查学生 逻辑思维和演绎推理能力的重要载体，在历年各个省市 的高考数学试卷中都占有相当重要的地位.另外，数列 作为一种特殊的离散函数，同时又是初等数学和高等数 学的衔接点，既有相对的独立性也具有其较强的综合 性，不但试题灵活，而且解题思想和方法多样化，故这类 题目往往很难把握.因此，如何抓住数列命题的一般趋 势，剖析其本质规律，成为了师生们研究的重点.通过对 2017年各地高考理科数学试卷中的数列试题的特征分 析，笔者给出一些教师教学和考生复习的建议.一、试题特征分析数列在2017年全国高考理科数学卷I (安徽、湖北、 福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南）、卷"（甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、重 庆、陕西、海南）和卷#(云南、四川、广西、贵州)及6套自 主命题的北京、江苏、浙江、上海、天津、山东卷中都有考 查.为了更直接地体会全国各地高考数学理科试卷中的 数列试题，按类别列出下表(见表1 )，并总结出数列试题的一些考查特征：第一，从知识点的题型分布来看，数列多出现在选 择题和填空题中，以考查基础知识和基本运算为主，几 乎每一套试卷都考查了等差或等比数列的通项公式与 求和公式知识.同时，包括压轴题在内的解答题中也出 现了数列，在考查数列基础知识的基础上还考查了数列 与函数、不等式、导数、常用逻辑用语等交叉融合性知 识，如北京卷、浙江卷和上海卷.可喜的是，2017年的试 题在保留选择题和填空题的考查题型的基础上，还开创表1 2017年全国高考理科数学数列试题考查特征统计类别题号题型分值统计考查内容交汇O P难度等级选择题填空题解答题全国卷I 4V 10等差数列通项公式及U #项和的应用—中等12V 等比数列求和与分组求和—较难全国卷"3V10等比数列求和公式的应用—较易15V 等差数列求和、裂项相消法在数列求和中的应用—中等全国卷#9V10等差数列前和的应用—较易14V 等比数列通项公式的应用—中等北京卷10V18等差、等比数列的通项公式—中等20V 数列与不等式放缩法综合应用不等式很难天津卷18V 13等差、等比数列及前颁和公式、错位相减法在等比数列求和中的应用—中等山东卷19V 12等比数列通项公式、错位相减法在等比数列求和中的应用—中等江苏卷9V21等比数列通项公式的应用—中等19V等差数列通项公式的应用—中等浙江卷6V19等差数列单调性与公差的关系逻辑用语较易22V 以数列为背景来考查函数与导数的综合知识函数与导数、不等式较难上海卷10V 9数列的通项对数函数 运算性质较易15V等差数列性质的应用逻辑用语中等"本文系2015年江西省高等学校教改课题“基础教育新课改背景下高师《数学史》课程体系改革研究”(JX JG -15-23-7)系列成果之一.高中十•？•!{：，■? 67了新定义题和数学文化背景题，这是一大亮点.第二，从考查的数学思想方法角度看，重点考查了错 位相减法、倒序相加法、裂项相消法、递推法、分组求和法、 放缩法等数学思想方法，如全国卷I 第12题，全国卷"8 15题，全国卷#第14题，天津卷第18题和山东卷第19题.第三，从分值来看，不同省份的试卷对数列的考查 分值有所差异，从总体上看数列题普遍占2道，在选择 题、填空题和解答题中都有分布，分值在9分与21分之 间.进一步，天津卷和山东卷均仅以一道解答题的形式 呈现，分值分别为13分和12分.第四，从试题难度来看，除全国卷I 第12题以外，所 有试卷的选择题、填空题都是常规题且难度不大，都可 以用解决等差和等比数列的公式法来解决，一些考查等 差和等比数列的解答题也是如此.但是被放在了压轴位 置的数列题，难度较大，对学生逻辑思维和分析及解决 问题的能力要求较高.二、试题赏析与评析(一）考查等差与等比数列通项及求和公式等基础知识通项公式与求和公式作为数列的基础知识，基本为 必考内容，在各套试卷中均有涉及，难度不大.例1 (2017年全国卷"）等差数列{〇#}的前#项和为$…，"3%3，&4%1〇, ！士%_____■'%1评析:本题考查等差数列的通项及求和公式和裂项 相消法的应用，难度适中.先利用等差数列的通项公式与求和公式求出前#项和&#，得到丄%2 [，求和S # \ # #+1 丨得！丄'-1 S # #+1例2 (2017年江苏卷)等比数列{"#}的各项均为实数，其前#项的和为S #，已知S ),"7，S 6=@，则〇$=_____■44评析:本题意在考查对等比数列通项公式的运用能 力，但并不一定用到求和公式，可根据S 6-S 3,14,求出-,2 和ai ,4，代人等比数列通项公式，即得〇8=32.这种“设而不 求，整体代人”的数学思想，大大减少了计算量，类似地 还有2017年上海卷第10题.进一步，对等比数列或等差 数列的求和的考查，可以是直接考查求和公式，也可以 是结合通项公式来考查，如全国卷#第9题■总体上看， 难度适中，个别偏难.例3 (2017年全国卷I )几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件■为激发大家学习数学的 兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.参谋_ . 新颖试题__________________________________________2018年4月这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2,4，1，2,4,8，1，2,4,8，16,…，其中第一项是 20,接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21，22,依此类推.求满足如下条件的最小整数.:.>100且该 数列的前.项和为2的整数幂■那么该款软件的激活码 是（）■A .440B .330C .220D .110评析：本题是全国卷I 选择题的压轴题，对学生的综合分析问题的能力要求较高，意在通过实际生活背景 考查分组求和法和等比求和公式的运用，关注到'，/的 取值范围和确定2'+2m -'-2取值范围是解题关键■把数列的项分为'组，共有项■设数列第.项是第'组的2第/项，则有'$ 14,可得.项和为2'+2m -'-2.由1 和'$ 14,可得2'-1<2'+2/-'-2<2'+1，故2'+2m -'-2%2'■进而 对/$4逐个代入，发现只有当/$5时才满足.>100,因此/%5，'％30时，最小整数(30-1)‘30 +5%440■当然，2此题作为选择题，用排除法较为简洁■(二）考查数列与函数、不等式等交汇知识数列与函数、不等式的综合也是高考常考内容，主 要运用构造函数思想、函数的性质(特别是单调性)及不 等式证明的技巧和方法等知识解题，要求学生具有深厚 较强的知识迁移和逻辑推理能力，其难度往往较大.例4 (2017年浙江卷）已知数列{0#}满足:0i %1，0…%0#+i+ln (1+0#+i )(# & N 1)■证明：当# & N 1 时，(1)0<0#+1<0#；0n 0n +1(,2)20…+1-0…% ;评析：本题是一道非常典型的用构造函数的方法来解决数列问题的考题，考查学生对函数和导数知识 的综合运用能力，难度较大■第（）问先构造函数（0=0 + ln (1+0)，0>0,再根据它的递增性并结合题目所给的递 推关系式来完成证明■第(2)问构造函数（0)~0+ln (1 +0)]_0-[0_ln (1+0)]，0>0,然后运用导数知识判断其单2调性从而得出3(0)>(0)=0,于是就有20#+1-0#=0#+i-ln (1 +0#+i ) % [ 0#+i+ln (1 +0#+1) ] ^^ = ”奸1 ■第（3 )问利用第(2 )问22的结论得到0#%」^之后，再根据函数4(0)%0-ln (1+0)>02#-2得出20#+i >0#，通过递推即得0#$ ^!，从而命题得证■2#-1例5 (2017年北京卷）设{"#}和{5#}是两个等差数68十•？•!{：，■?高中列，记！"=max {$厂a *"，'!一%"，…，'"一&"}，其中…表示& (2 &这)个数中的最大的数.⑴若a "="，'"=2"-l ，求!*，!2，!3的值，并证明{!"}是等 差数列；(2)证明：或者对于任意正数.，存在正整数/，当"! /时，'>M ;或者存在正整数/，使得!/，!/+*，C /+2，…"是等差数列.评析：本题考查数列与不等式的综合知识，难度较 大.第（l )问根据{!"}的通项形式来证明它是等差数列，理 解到{CJ 的定义并求出通项是解题的关键.分别求得a *#l ，a 2#2，a 3#3 且'*=1，'2#3，'3=5，代入得！*，！2，！3的值，由('2-a 2" ) - ( ' *-a *" ) " 0，得'*-"a *! '2-"a 2，则！"='厂&*."=1_"，于是!…+*-!…=-1 ( " ! 2 ).又因为C 2-C *,-1，故{c …}是等差数 列.第(2)问考查“放缩法”在数列不等式证明中的应用， 涉及分类讨论及转化思想.设数列K }和{'"}的公差分别 为 3*，32，t 'i -a i .n ^'i + l -O ^J-E a j + l -l )^*].",!*-a 1") + (j -l )(32-31")，分类讨论3*,0，3*>0，3*<0这三种情况.①当3*,0时，对32>0和32" 0分别进行分析，由等差数 列性质，可得存在/使得^，^，^，…是等差数列必当 3*>Q 时，4 • "+32为一个关于"的一次项系数为负的一次 函数，所以必然存在/使!/，!^，C m+2,…是等差数列;③当 31<0，-3."+32为一个关于"的一次项系数为正一次函数，此时根据上述的分析可设么=5"+'+上(其中""0，S s d r a j +da ，8,'「32).对8 ! 0和! <0这两种情况进行讨 论，采用“放缩法”即可证明对于任意正数.，存在正整数/，使得K " ! /时，有^!.."(三）借助新定义题彰显创新能力例6 (20l 7年江苏卷)对于给定的正整数2,若数列 {&"}满足:a "_t +a "_t +l +…+a -l +a +l +…+a "+t -l +a "+t =22a "，对任意 正整数（">2)总成立，则称数列{&"}是“P (2)数列”.(l )证明:等差数列{〇»}是“K 3)数列”;⑵若数列{a j 既是“9⑵数列”，又是“9⑶数列”，证明：K }是等差数列.评析:借助新定义数列创新题来考查常用数列的相 关概念和性质，近几年备受命题者的青睐.本题给出了 9(2)数列的定义，第⑴问要判断等差数列是否为9(2) 数列，考生只需运用等差数列的重要性质:H +an +^a "， 即可兀成证明.因为a i -3+a "-2+a "-l +ai i +l +a "+2+ai i +3, ( &"-3+&"+3 ) + (a "-2+a "+2) + ( a "-l +0"+：!) ,6a ",2 • 3a "，即{a "}是 “9 ⑶数列”.而 第(2)问要证明它是等差数列，同样是运用等差数列等 差中项性质来证明.因为a "-2+aI i -1+aI i +1+a "+2=4a "(">2，"#N $ )，则 a ^+a w +an -i +aw +a ^+aws/ajX ">2，" # N $ )，即有2018年4月4a …-1+4a "+1=8a I i ，故有 a "-1+a "+1,2a "，即{a "}是等差数列.(四）融入数学文化彰显数学素养例7 (20l 7年全国卷$)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加 增，共灯三百八十一，请问尖头几盡灯？”意思是:一座7 层塔共挂了 38l 盡灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.(A )l 盏（B )3 盏（C )5 盏（D )9 盏评析:2017年高考考试大纲增加了“数学文化”的要求，并且《普通高中数学课程标准》也强调了数学文化在 数学教学中的重要性.本题是引用我国古代数学名著 《算法统宗》中的内容来考查等比数列的求和公式，理解 题意是解题的关键，因此，平时要鼓励学生阅读像《九章 算术》《数书九章》等高考数学文化出题率较高的我国古 代著名的数学文献白话翻译本及中外数学历史名题等 著作，如沈康生《历史数学名题赏析》等.设塔的顶层共 有灯(盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由求和公式(1-27) ,381，得(,3，故答案选B .1-2三、启示与思考(一） 紧扣考试大纲，夯实基础一方面，无论教师教学还是学生复习，都要以课标 为基础，围绕教科书，紧扣考纲，对重点内容，如等差、等 比数列相关概念的性质、求公差和公比、通项公式、求前 "项和等进行重点复习，夯实基础知识.同时，注重如错 位相减法、裂项相消法等常用各类数学思想方法的教学 渗透和学习，重点加强观察、分析、归纳、猜想、推理论证 能力的培养和运算能力的强化训练.另一方面，关注数 学文化与数列试题的融合.2017年高考数学考纲把“数 学文化”作为单独的一个模块列了出来，理应受到重视. 殊不知，数学文化试题不仅包括显性的数学文化背景 题，还包括隐性数学历史名题，后者可能是未来高考数 学文化数列试题的重点.因此，教师上课时要有意识地 对教科书中出现的数学文化素材或历史名题进行拓展 改编，比如根据布罗卡点的基本性质，就可以结合等比 数列等知识拓展许多变式问题.(二） 注重数列与交汇知识的综合性复习2017年高考数学试卷中数列试题大多都是与其他数学知识相关联而命题的，体现了知识之间的融合性. 因此，一方面，教师要创设多种途径，如用思维导图、专 题讲座等形式不断沟通数列与集合、三角函数、二次函 数、指对幂函数、三角形边角关系、导数、不等式、极限、 平面几何、解析几何等知识之间的联系，通过例题、习 题、检测等方式来强化数学知识之间的相互联系.另一__________________________________________新颖试题_ .参谋高中十•？•!{：，■? 69教学参谋新颖试题2018年4月一道高考试题的再探究)江苏省东台中学房胜椭圆是最重要的圆锥曲线之一，其知识点是历年高 考的必考内容，且在高考试卷中所占的分值比重较大， 在选择题、填空题、解答题等各类题型中均有体现，多以 中档题为主，而高考对椭圆离心率的考查频率更高，本 文便从2017年的一道高考试题谈起.一、真题重现【高考真题】已3"是以#1、$2为焦点的椭圆4+^=1a b (&>0，）>0)上的一点，使得！ ##"#2*120。
专题06 数列、不等式-备战2017高考高三数学文全国各地
一、选择题【2017江西九江三模】已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（ ） A. 4± B. 4- C. D. 【答案】C【2017广西5月考前联考】已知变量，y 满足约束条件24,4312,1,x y x y y -+≤+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩则2z x y =+的最小值为（ ） A. 12-B. 1C. 2-D. 112【答案】C【解析】画出不等式组24,{4312,1,y x y y -+≤+≤≥表示的区域如图，结合图形可知当动直线2z x y =+经过点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，动直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小，则min 32122z ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，应选答案C 。
点睛：本题旨在考查线性规划等有关知识的综合运用，解答这类问题的常规思路是将不等式组表示的区域在平面直角坐标系中直观地表示出来，再运用数形结合的思想，借助图形的直观求出目标函数的最值，从而使得问题获解。
【2017福建三明5月质检】若变量,x y 满足约束条件011x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2y x +的最大值为（ ）A.14 B. 12C. 1D. 2 【答案】B点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．【2017广西5月考前联考】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A. 13-B. 112- C. 112 D. 13 【答案】B【解析】因为844444216S S S d S d =++⨯=+，即4441632165dS S d S -=+⇒=-，所以12844192483485d S S S d S d =++⨯=+=，则4121651519212S d S d =-⨯=-，应选答案B 。
2017浙江压轴数列分析（递推数列和不等式）
2017浙江压轴数列分析（递推数列和不等式）
先看题目：数列压轴，三步均为证明，想想都可怕。
不妨先思考思考：
好了，分析下：
话虽如此，但总不能画个图就说得证了吧，证明还是要用代数法严格对待。
证法1：
其实已经用上了类等比的地推方法，证法2，大家喜欢用的数学归纳法：
以下分析第二问：构造证明的套路
发现自己还是蛮啰嗦
证明完毕，纯手工打字录入，累个半死，希望对大家有所帮助，也为自己积累点今后的素材，放在这里总不会丢掉吧。
END
不能保证每天更新，实在太忙，有好点子或者好的题目（难题妙
解或者专题）基本上会找时间折腾下进来。
17年浙江高考压轴选择和填空解析
有好方法和类似题目欢迎发到***************，一起探讨，非常感谢。
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满分之路：数列与不等式
满分之路：数列与不等式1、必考内容和要求本节内容的考试说明主要以数列为主，数列与不等式的综合应用作为难点进行突破，考试说明包含下面几个部分, 文理科要求大体一致.（1）理解数列的概念、了解数列的表示法、了解数列是一个特殊的函数．（2）理解数列的定义，能够区分项与项数这两个不同的概念；理解通项公式是数列的第项，是与项数的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项．（3）能够根据通项公式写出数列的任意一项.对于比较简单的数列，能根据数列的前几项，用不完全归纳法写出它的一个通项公式．（4）了解数列是一个特殊的函数，会根据函数的单调性判别数列的增减性．（5）通过实例理解等差数列与等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列、等比数列，并确定其公差与公比．（6）探索并掌握等差数列、等比数列通项公式及前项和公式.能应用公式解决一些相关的问题．（7）体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．（8）能够在具体的问题情境中（如贷款、利率、折扣、人口增长、放射物的衰变等）发现数列的等差或等比关系，并能运用有关知识解决相应的问题．①应用等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式，解决一些实际应用性问题．②数列是定义域为正整数集的函数，是一个离散函数，是日常生活中大量实际问题的数学模型（如贷款、利率、折扣、人口增长、放射物的衰变等都是用等差数列与等比数列刻画）．2、考情解读数列是函数的延展，也是中学数学与高等数学的衔接点，同时还是联系实际的渠道之一，数列与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何的联系十分密切.体现了函数思想、方程思想、归纳思想、递推方法、待定系数法等重要的数学思想方法，因此，数列常常是综合性问题的交汇点.（1）考查数列的基本知识，一般在选择题和填空题（常为中档题，2017年全国I卷第12题选择题属于难题）或解答题前1-2题，考查等差与等比数列的基本概念、性质、通项公式、前项和公式等基本知识和基本性质的灵活运用，对基本的计算技能要求比较高，也用到一些常见的思想方法，如基本量思想，方程思想等.（2）考查数列的实际应用，能在具体的问题情境中发现数列的等差或等比关系并能用等差数列、等比数列知识解决相应的问题，了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系，主要考查的是数学建模以及运用数列知识解决实际问题的能力.（3）考查数列与其他知识和思想方法的综合类问题，此类问题在高考中历来占有重要的地位，解答题大多以数列为工具，综合归纳与猜想、递推思想、函数与方程思想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，考查学生综合运用数学知识分析问题和逻辑推理能力.注意不要认为数列解答题总是很难的压轴题，纵观2015、2016、2017年全国I、II、III卷的数列解答题就是一些中档题（或稍难的中档题），因此，不必一味钻研数学难题，也不必一直将其当做压轴题备考.（4）考查合情推理能力，这是新课程高考的一个重要特点，旨在促进学生提高自主学习能力和探究能力，数列是考查学生探究能力的最合适载体，因此高考题中已经透露出考查合情推理，探究能力的重要信息和明显特征，高考复习中对此给予充分的重视和必要的强化.关注、标星、点在看。
2017学年高考数学年(理)数列与不等式(练)专题练习 答案
2017年高考数学（理）专题练习（七）参数法（讲）1．参数法在函数问题中的应用例1．已知函数()22x x a f x =-，其在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[0,1] B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．参数法在三角中的应用例2．若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ） （A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例3．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.C.112D.1323．参数法在数列问题中的应用 例4．函数2()e cos ,[0,)f x a x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈N 个极值点．（Ⅰ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；（Ⅱ）若对一切*,|()|n n n x f x ∈≤N 恒成立，求a 的取值范围．4．参数法在不等式中的应用例5．已知函数()1|||0|2f x x x a a =+-->，．（Ⅰ）当a =1时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 5．参数法在解析几何中的应用例6．如图，设椭圆2221(1)x y a a+=>. （Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.6．参数法在立体几何中的应用例7．如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD 90ADC ∠=︒．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．。
2017年高考数学(理)-数列与不等式(练)-专题练习 -答案
a1 a2 4 m ， a1 a2 a3 8 m ，∴ a1 2 m ， a2 2 ， a3 4 ，∴ m 1， a1 1，∴
b1 [lg1] 0,b11 [lg11] 1,b101 [lg101] 2.
0,
（Ⅱ）因为 bn
1,
2,
3,
1 n 10, 10 n 100, 100 n 1000,
n 1000.
所以数列{bn} 的前1000 项和为190 2900 311893. 6．【2016 高考浙江理数】
6．【2016 高考浙江理数】【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．
2．练模拟
1．【<百强校>2017 届辽宁庄河市高级中学高三 12 月月考】【答案】B 2．【<百强校>2017 届河北沧州一中高三 11 月月考】【答案】D 3．【<百强校>2017 届辽宁盘锦高级中学高三 11 月月考】【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A
9
3 2
.
4．
7/9
5．
8/9
9/9
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题 q 中不等式组表示的平面区域 ABC 在命题 p 中不等式表示
的圆盘内，故选 A．
4．【2016 高考浙江理数
5．【2016 高考新课标 2 理数】
2/9
【解析】（Ⅰ）设{an} 的公差为 d ，据已知有 7 21d 28 ，解得 d 1.
所以{an} 的通项公式为 an n.
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2017高考数列与不等式
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件
33,
1,
0,
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
则z=x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件
2+330
2330
30
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
,则2
z x y
=+的最小值是
A.15
- B.9- C.1 D 9
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件
3260
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=-的取值范围是（）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
4.【2017北京，文4】若,x y满足
3,
2,
,
x
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
错误！未找到引用源。
则2
x y
+的最大值为
（A）1（B）3 （C）5 （D）9
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件
250
30
2
x y
x
y
-+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
,则z=x+2y的最大值是
A.-3
B.-1
C.1
D.3
6.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件
30
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则y
x
z2
+
=的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞
+D．[4，)∞
+
7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .
9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344
S S ==,,则8a = ▲ .
10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab
++的最小值为 . 11.【2017山东，文】若直线1(00)x y a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=
(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；
（2）若321T =，求3S .
14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭ 的前n 项和.
15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.
(I)求数列{a n }通项公式； (II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .
18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．
19.【2017
江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.
（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.。