2017高考数学专题数列教案.ppt

2 21
1
n 2 n 1
.
【规律方法】求通项的常用方法
(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归
纳猜想法.
(2)已知Sn与an的关系,利用an=SS1n,
n
Sn11，, n求a2n.
(3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前
n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).
;
(2)an=
.
【解析】a1=0,a2=2=21-a1, a3=2=22-a2,a4=6=23-a3;a5=10=24-a4, 所以an=2n-1-an-1,所以an-1=2n-2-an-2, 两式相减得:an-an-2=2n-2,
当n为奇数时,利用累加法得an-a1=21+23+…+2n-22n=3 2 ,
是首项为
3 2
,公比为
3
的等比数列.，
因此 an 的通项公式为
an
. 3n 1 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1 an
3n
2
1
.因为当
n
1时， 3n
1
2 3n1 ，
所以
1 3n 1
1 2 3n1
.于是
. 1 1 …+ 1 1 1
a1 a2
an
3
1 3n1
3 (1 2
1 3n
)
3 2
所以
命题角度一 基本数列求和、分组求和 【典题2】设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{a2n-1}是首 项为1的等差数列,数列{a2n}是首项为2的等比数列,且满足 S3=a4,a3+a5=a4+2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求S2n.
【信息联想】(1)看到数列{a2n-1}是等差数列、{a2n}是等比 数列,想到_等__差__、__等__比__数__列__的__通__项__公__式__. (2)看到求S2n,想到_等__差__、__等__比__数__列__前__n_项__和__分__组__求__和__.
n
Sn=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,
n
S2 017=-2 017.
答案：-2 017
热点考向二 求数列的前n项和 【考情快报】
高频考向 多维探究
难度:中档题
命题指数:★★★
题型:客观题、解答题都可能出现
考查方式:主要考查等差、等比数列前n项和公式以及其他求 和方法,尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容, 常与通项公式相结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命 题
⑤数列1,2,4,8,…的通项公式是an=_2_n_-_1(n∈N*).
⑥数列1,4,9,16,…的通项公式是an=_n_2(n∈N*).
n n 1
⑦数列1,3,6,10,…的通项公式是an=___2___(n∈N*).
1
⑧数列
1, 1 , 1 , 1 1234
,…的通项公式是an=__n_(n∈N*).
D.5
【解析】选D.因为a1>0, a1+9a6=a1+a6+8a6
=a2+a5+8a6 =a2+a6+a5+7a6 =2a4+a5+7a6 =2(a4+a6)+a5+5a6 =5(a5+a6)=0, 所以a5>0,a6<0, 即前5项和最大.
5.(2016·银川模拟)某音乐酒吧的霓虹灯是用♪∮♬三个不同
【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为 2,
3
Sn
a1 anq 1 q
所11以232Sa nn，=3-2an.
3
2.(2016·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且
a3+a8=13,S7=35,则a7= ( )
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选A.由已知条件可得, 所以a7=a1+6d=2+6×1=8.
【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,
所以
4＋d＝2q， (1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q，
解得d=2,q=3.
所以an=
n,
n
n 1
2k
1,
(k∈N*).
2 32 , n 2k
(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
⑤
n
n
1
1
n
2
1 2
[
n
1 n
1
n
1
1
n
2
].
⑥
1
n 1ห้องสมุดไป่ตู้n.
n n 1
⑦
1
1 ( n k n ).
n nk k
⑧n n! n 1! n!.
2.易错提醒
（1）裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或
者忘记系数致错.
（2）忽略验证第一项致误:利用 an
SS1n,
n
1, Sn1,
已知数列an 满足 a1 1， an1 3an 1.
（Ⅰ）证明
an
1 2
是等比数列，并求an 的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1 a1
1 a2
…+ 1 an
3 2
.
解:（Ⅰ）由 得 ,所以 . an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an1
1 2
3
an
1 2
又
a1
1 2
3 2
，所以
an
1
2
=(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)
是以p为公比
1 1 1 an1 an p
②递推关系形如an+1= (p为非零常数)可化为
a pa 的（形6）式.（取n倒1数法） n f (n)( p 0, p 1)
求
法
:
待
定系数
法
或
化
为an1 pn1
an pn
f (n) pn1
后累加法求解.
1.(1).在数列{an}中a1 1, an1 2an 2n (n N),求数列{an}的通项公式.
(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项 积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
（5）构造法：①递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化
q
q
为 p 1
p 1
{a n
q} p 1
an+1+ =p(an+ )(p≠1)的形式，利用 的等比数列求解.(又配a凑pn a法np或待定系数法)
专题二 数列的通项与求和
【主干知识】
1.必记公式
(1)“基本数列”的通项公式: ①数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=_(_-_1_)_n(n∈N*). ②数列1,2,3,4,…的通项公式是an=_n_(n∈N*). ③数列3,5,7,9,…的通项公式是an=_2_n_+_1_(n∈N*). ④数列2,4,6,8,…的通项公式是an=_2_n_(n∈N*).
(2)(2016·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=
2，n 1,. 2an，n 2
则an=
【信息联想】（1）看到an+1=an+l(n1 1 ) ，即an+1-an=ln(n+1)
n
-ln n，想到__累_加__或__累__乘__.
（2）看到前n项和形式，想到_a_n ___SS_1n_, n_S_n_1_1, ,_n___2__.
音符组成的一个含n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符♪
开始,相邻两个音符不能相同.例如n=1时,排出的音符串是♪∮,
♪♬;n=2时排出的音符串是♪∮♪,♪∮♬,♪♬♪,♪♬∮,…,记这种含
n+1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是♪的音
符串的个数为an,故a1=0,a2=2.则(1)a4=
n
求通项，忽
2
略n≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验.
（3）求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为n+1,
易错并且还易漏掉减数式的最后一项.
【考题回顾】 1.一组高考题回做！！！
. 16 年课标二理
17．Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28.记 bn=[lg an],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (Ⅰ)求 b1,b11,b101; (Ⅱ)求数列{bn}的前 1 000 项和
= n2 7n . 14
2
答案: n2 7n 14
2
【加固训练】3.（2016·杭州模拟）等差数列{an}中，a1= 2 015,前n项和为Sn, S12 S10 =-2，则S2 017的值为_____.
12 10
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则 Sn
n
d 2
n
a1
d 2
，
所以{Sn是} 首项为2 015，公差为-1的等差数列，
【答案】(Ⅰ)设{an}的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以{an}的通项公式为 an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(Ⅱ)因为 bn=
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893.
列{
1 anan
} 的前
1
100
项和为(
)
100
A. 101
99
B. 101
99
C. 100
101
D. 100
【其它考题回顾】
1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为
2 3
的等比数列{an}
的前n项和为Sn,则 ( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
（2）.已知{an}中,a1=1
,an1
an 1 nan
,
求通项an
2.已知数列{an}满足a1=4,a2=2,a3=1,又{an+1-an}成等差数列
(n∈N*),则an等于
.
【解析】由已知,{an+1-an}是首项为-2,公差为1的等差数列,
an+1-an=-2+(n-1)=n-3,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
【互动探究】题(1)条件变化为:已知数列{an}中,a1=1,
2nan+1=(n+1)an,求数列{an}的通项公式.
【解析】已知条件可化为 an1 n 1,
an 2n
所以a n
an a n1
a n1 a n2
a n2 a n3
a2 a1
a1
n 2(n 1)
n 1 2(n 2)
n2 2(n 3)
所以an=2n
3
2,同理,当n为偶数时,利用累加法得an-a2
=22+24+…+2n-22n= 4 ,
3
所以an=2n
3
2,综上所述an=
2n 2.1n
3
答案:(1)6 (2) 2n 21n
3
热点考向一 求数列的通项公式 【考情快报】
难度:中档题
命题指数:★★★
题型:在客观题、解答题中都会出现
2a1 9d 13,
7(2a1 2
6d)
35,
解得
ad112, ,
3.已知数列{an}为等差数列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成 等比数列,则a2017的值为
4.已知等差数列{an}的前n项和是Sn,若a1>0,且
a1+9a6=0,则Sn取最大值时n为 ( )
A.11
B.10 C.6
15 年课标二理
4. 已 知 等 比 数 列 {an} 满 足 a1 3 ， a1 a3 a5 21 ， 则
a3 a5 a7
A.21
B . 42
C.63
D.84
（１６）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1 1 ，an1 SnSn1 ，
则 Sn
1。
n
14 年课标二理 17.（本小题满分 12 分）
【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-
a1)+a1
=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn. (2)当n≥2时,Sn=2an=222，n(S1n，n-nS1，n-21.),Sn=2Sn-1,S1=2, 所以Sn=2n，所以an=
2常用的拆项公式(其中n N*)：
①
n
1
n
1
1 1 __n___n___1__
.
②
n
1
n
k
1 k
(
1 n
n
1
k
).
③
2n
1
1
2n
1
1( 1 1 ) __2___2_n___1__2_n___1___
.
④若等差数列a n 的公差为d,
则 1 1 ( 1 1 )； 1 1 ( 1 1 ). a na n1 d a n a n1 a na n2 2d a n a n2
考查方式:考查等差、等比数列的基本量的求解,考查an与Sn的 关系,递推关系等,体现方程思想、整体思想、化归与转化思想
的应用
【典题1】(1)(2015·衢州模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+
ln (1 1 ) ,则an= ( )
n
A.2+lnn
B.2+(n-1)lnn
C.2+nlnn D.1+n+lnn
1 a1
1 a2
…+
1 an
3 2
13 年课标二理
（3）等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，已知 S3 = a2 +10a1 ，a5 =
9，则 a1=（ ）
1
（A） 3
（B）
1 3
1
（C ） 9
（D）
1 9
（5）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， a5 5, S5 15 ，则数