第四章 7函数的概念

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4.10 函数及其性质 ReLU 函数——线性整流函数
重视正向信号，忽视负 向信号， 与生物神经元相似。
x(x 0) f (x)
ax(x 0)
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4.10 函数及其性质
三、小结
本结介绍了函数的概念及几种特殊的函数（恒等函数、单 射、满射、双射）。
重点掌握本节定义的函数与以往函数及一般关系的不同之 处及几种特殊的函数（恒等函数、单射、满射、双射） 。
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Hale Waihona Puke 134.10 函数及其性质
f1={〈a,1〉,〈b,1〉} 〈3,a〉} f2={〈a,1〉,〈b,2〉} 〈3,b〉} f3={〈a,1〉,〈b,3〉} 〈3,a〉} f4={〈a,2〉,〈b,1〉} 〈3,b〉} f5={〈a,2〉,〈b,2〉} 〈3,a〉} 2021/f26/=1{6〈a,2〉,〈b,3〉}
集合；dom(f )=X= Df 也称为 f 的原像集。对于A X
，称f(A)为A的像(image of A)，定义为
f(A)=
{ y x( x A) ( y f ( x))}
显然 f( )= ；f({x})={f(x)}，x A。
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4.10 函数及其性质
在这里请注意区别函数值 f(x) 和集合A的像 f(A)这两个 不同的概念。函数值 f(x)∈Y，而集合A的像 f(A) Y。
解 只有(3)能构成函数。
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4.10 函数及其性质
由于函数归结为关系，因而函数的表示及运算可归结为 集合的表示及运算，函数的相等的概念、包含概念，也 便归结为关系相等的概念及包含概念。
定义4-10.2 设 f : A→B，g : C→D，如果A=C，B＝D，且
对每一x∈A，有f(x)＝g(x)，称函数 f 等于g，记为 f=g。
解 f1、f2是函数，f3、f4不是函数。
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4.10 函数及其性质 例3 下列关系中哪些能构成函数？ (1) {〈x, y〉| x, y∈ N, x+y<10 } (2) {〈x, y〉| x, y∈ N, x+y=10 } (3) {〈x, y〉| x, y∈ R, |x|=y } (4) {〈x, y〉| x, y∈ R, x=|y| } (5) {〈x, y〉| x, y∈ R, |x|=|y| }
例1 考虑下面6个由图示表示的集合A到集合B的关系，在 这６个关系中哪几个是A到B的函数？
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4.10 函数及其性质
例2 设A={a,b}，B={1,2,3}，判断下列集合是否是A到B的 函数。
f1={〈a,1〉,〈b,2〉}， f2={〈a,1〉,〈b,1〉}， f3={〈a,1〉,〈a,2〉}， f4={〈a,3〉}
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4.10 函数及其性质
对于函数 f：X→Y，f 的前域dom(f )=X就是函数 y= f(x)
的定义域，有时也记为 Df，f 的值域ran(f )
Y，有时也记为Rf，即 Rf =
Y 称为 f 的共{ y域或x(陪x域，Xr)an((fy)= Rff(也x)称)}为 f 的像
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4.10 函数及其性质
由于上述缘故，当A、B是有穷集合时，我们以BA记所有A到 B的全体函数的集合： BA={f | f：A→B} 则|BA|=|B||A|。
特别地AA表示A上函数的全体。
例4中，BA={ f1，f2，…，f9 }，|BA|=9， AB={ g1，g2，…，g8 }，|AB|=8。
证明 设A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，那么每一个f： A→B由一张如下的表来规定：
a
a1
a2
…
am
f(a) bi1
bi2
…
bim
其中bi1，bi2，…，bim为取自b1，b2，…，bn的允许元素重复 的排列，这种排列总数为nm个。因此，该形式的表恰有nm张，
恰对应全部nm个A到B的函数。
设 R 是 A 上 的 等 价 关 系 ， 令 g ： A→A/R ， a∈A ，
g(a)=[a]R，其中[a]R是由 a 生成的等价类，则称 g 是 从 A 到商集 A/R 的自然映射。
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4.10 函数及其性质
例7 设 A={1,2,3,4}，
R {1, 2,2,1} I A
如果 数f
A包含于C，gB，＝记D为，f且对每g。一x
∈A，有f(x)＝g(x)，称函
事实上，当不强调函数是定义在哪个集合上的时候，由于
函数是序偶的集合（特殊的关系），所以f=g的充分必要
条件是f g且 g f。
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4.10 函数及其性质
例5 设X={a,b}，Y={1,2,3}。由X→Y能生成多少个不同的函 数？由Y→X能生成多少个不同的函数？ 解 由X→Y 能生成 9 (=32=|Y||X|)个不同的函数。 由Y→X 能生成 8 (=23=|X||Y|)个不同的函数。 这些函数分别为：
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4.10 函数及其性质
(3) f：X→Y。如果它既是满射，又是单射，则称 f 为双射 的(Bijective)，双射函数(Bijection)也称为一一对应(One to One Correspondence)。
由定义不难看出，如果f：X→Y是满射，则对于任意的 y∈Y，都存在x∈X，使得y=f(x)；
所以自然映射都是满射且只有等价关系取IA时是双射。
关于自然映射：给定集合A和A上的等价关系R，就可以确定
一个自然映射g：A→A/R。
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4.10 函数及其性质 阶跃函数
1( x 0) f (x)
0(x 0)
模仿生物神经元中的 “通过”“拒绝”
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4.10 函数及其性质 Sigmoid 函数
都有 f(x)=c，则称 f：X→Y是常函数。 恒等函数：任意集合A上的恒等关系IA为一函数，常称为恒
等函数，因为对任意x∈A都有IA(x)=x 。
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4.10 函数及其性质
设A为集合，对于任意的A′ A，A′的特征函数
A : A {0,1}
定义为
A
1, 0,
a A a A A
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4.10 函数及其性质
定理4-10.3 设A、B是有穷集合，|A|=|B|，则 f： A→B是单射的充分必要条件是 f 是满射。
注意： 定理4-1.3 只对 X 和 Y 是有限集合的情形成立，在无限集 合上不一定有效。 几例个如特殊f的:函Z→数Z：，f (x)=2x，则 f 是单射，但不是满射。 常函数：设f：X→Y，如果存在c∈Y，使得对所有的x∈X，
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4.10 函数及其性质
该定理当X或Y中至少有一个集合是空集时，可分成下面两 种情况： (1) 当X＝ 时，X到Y的空关系为一函数，称为空函数， 即YX={ }。 (2) 当X≠ 且Y= 时，X到Y的空关系不是一个函数， 即YX= X= 。
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4.10 函数及其性质
如果f：X→Y是单射的，则对于任意y∈Ranf，都存在唯一 的 x∈X，使得y=f(x)。
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4.10 函数及其性质 下图说明了这三类函数之间的关系。注意，既非单射又非 满射的函数是大量存在的。
YX 入射 双射 满射
既非入射也非满射
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4.10 函数及其性质
g1={〈1,a〉,〈2,a〉, g2={〈1,a〉,〈2,a〉, g3={〈1,a〉,〈2,b〉, g4={〈1,a〉,〈2,b〉, g5={〈1,b〉,〈2,a〉, g6={〈1,b〉,〈2,a〉, 14
4.10 函数及其性质
定理4-10.2 设|A|=m，|B|=n，那么{f | f：A→B}的基数 为 nm，即共有nm个A到B的函数。
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4.10 函数及其性质
例1 考虑下面6个由图示表示的集合A到集合B的关系，在 这６个关系中哪几个是A到B的函数？
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4.10 函数及其性质
例1 考虑下面6个由图示表示的集合A到集合B的关系，在 这６个关系中哪几个是A到B的函数？
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4.10 函数及其性质
，
求 解自然映g射1(1g)1：={A1→}，A/gI1(A，2)g=2{：2}A，→gA1/(R3。)={3}，g1(4)={4} g2(1)=g2(2)={1,2}，g2(3)={3}，g2(4)={4}
注意到，
A/IA={{1},{2},{3},{4}} A/R ={{1, 2},{3},{4}}
(5) f : [0, 1]f→( x[a),b]，1a ≠b，f (x)=(b-a) x +a,
A=[0, 1/2)
x1
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解
(1) f是双射，f (A)=f({8})={8} (2) f是单射，f (A)=f({2，5})={〈2,3〉,〈5,6〉} (3) f是满射，f (A)=f({-1，2})={1，2} (4) f是单射，f (A)=f([0，7))=(1/8，1] (5) f是双射，f (A)=f([0，1/2))=[a，(a+b)/2)
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4.10 函数及其性质