高二数学选修复习题及答案
高二数学选修复习测试题(有答案)
高二数学选修复习测试题（有答案）高二数学练习卷第Ⅰ卷一、选择题．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足，则与满足A．B．为常数函数c．D．为常数函数．如右上图，用四种不同颜色给图中的A、B、c、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种B．264种c．240种D．168种．在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等，且满足：①如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；②如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高。
则三人中成绩最低的是A．甲B．乙c．丙D．不能确定．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A．5处B．4处c．3处D．2处．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是①；②；③；④；A．①③B．②④c．①④D．①②③④．如右图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d，向平面内任意抛掷一枚长为l的小针，已知小针与平行线相交的概率P等于阴影面积与矩形的面积之比，则P的值为A．B．c．D．．右图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是右图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为．若的值域为[1，9]，则a2+b2–2a的取值范围是A．[8，12]B．c．[4，12]D．[2，2]．某单位安排7位员工在五一黄金周值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的A、B排在相邻两天，c不排在5月1日，D不排在5月7日，则不同的安排方案共有A．504种B．1008种c．960种D.1508种0．给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数是与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
高中数学选修二综合测试题知识集锦(带答案)
高中数学选修二综合测试题知识集锦单选题1、等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m=63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在答案：A分析：利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，则q2=a5a3=4，则q=±2．当q=2时，若S m=63，则有1×(1−2m)1−2=63，解得m=6；当q=−2时，若S m=63，则有1×[1−(−2)m]1−(−2)=63，整理可得(−2)m=−188，无整数解．故m=6．故选：A．2、下列求导运算不正确．．．的是（）A．(cosx)′=−sinx B．(log2x)′=1xln2C．(e−x)′=e−x D．(√x )′=2x√x答案：C分析：根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.由基本初等函数导数可知：(cosx)′=−sinx，(log2x)′=1xln2，故AB正确；由复合函数求导法则可知：(e−x)′=e−x×(−x)′=−e−x，故C错误；又幂函数的导数可知：(√x )′=(x−12)′=−12x−32=2x√x，故D正确；故选：C.3、若曲线y=x−12在点(a,a−12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（）A．24B．32C．64D．86答案：C分析：根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.∵y=x−12，∴y′=−12x−32，∴曲线在点(a,a−12)处的切线斜率k=−12a−32，∴切线方程为y−a−12=−12a−32(x−a).令x=0，得y=32a−12；令y=0，得x=3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12⋅3a⋅32a−12=94a12=18，∴a=64.故选：C4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(2−x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2)D．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)答案：B分析：由函数图象，确定f′(x)的零点并判断f′(x)的区间符号，进而可得f(x)的单调性，即可知极值情况. 由图知：当y=0时，有x=±2、x=1，∴f′(1)=0，f′(−2)=0，又x<−2时y>0，而2−x>0则f′(x)>0，即f(x)递增；−2<x<1时y<0，而2−x>0则f′(x)<0，即f(x)递减；1<x<2时y>0，而2−x>0则f′(x)>0，即f(x)递增；x >2时y <0，而2−x <0则f ′(x)>0，即f(x)递增； 综上，(−∞,−2)、(1,+∞)上f(x)递增；(−2,1)上f(x)递减. ∴函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1). 故选：B5、已知数列{a n }满足a n =1+2+4+⋯+2n−1，则数列{2n a n a n+1}的前5项和为（ ）A ．131B ．163C ．3031D ．6263答案：D分析：先求出a n =2n+1−1，得到2nan a n+1=12n −1−12n+1−1，利用裂项相消法求和.因为a n =1+2+4+⋯+2n−1=2n −1,a n+1=2n+1−1， 所以2na n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)=(2n+1−1)−(2n −1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1.所以{2na n a n+1}前5项和为(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(125−1−126−1)=121−1−126−1=1−163=6263故选：D6、在等比数列{a n }中，a 1=1，a 2a 3=8，则a 4+a5a 1+a 2=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：A分析：由题设结合等比数列通项公式求得公比q =2，进而求a 4+a5a 1+a 2.由题设，a 2a 3=a 12q 3=8，又a 1=1，可得q =2，∴a 4+a 5a 1+a 2=a 1q 3+a 1q 4a 1+a 1q=243=8.故选：A7、已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n .若S n T n=2n+13n+2，则a5b 5=（ ）A ．1929B ．1125C ．1117D ．23 答案：A分析：由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，得出结论．∵S n T n =2n+13n+2，∴a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=2×9+13×9+2=1929，故选：A8、函数f(x)=3x +ln2的导数为（ ） A ．3x ln3B ．3x ln3+12C ．3x +12D ．3x 答案：A分析：利用导数的计算公式，直接判断选项. f ′(x )=(3x )′+(ln2)′=3x ln3. 故选：A 多选题9、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有a n 个球，从上往下n 层球的总数为S n ，则（ ）A ．S 5=35B ．a n+1−a n =nC ．S n −S n−1=n(n+1)2，n ≥2D ．1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 100=200101答案：ACD分析：根据a 1，a 2，a 3的值，可得a n −a n−1=n ，利用累加法可得a n ，再计算前5项的和可判断A ；由递推关系可判断B ；由S n −S n−1=a n 可判断C ；利用裂项求和可判断D ，进而可得正确选项. 因为a 1=1， a 2−a 1=2， a 3−a 2=3， ……，a n −a n−1=n ，以上n个式子累加可得：a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35，故选项A正确；由递推关系可知：a n+1−a n=n+1，故选项B不正确；当n≥2，S n−S n−1=a n=n(n+1)2，故选项C正确；因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+⋯+1a100=2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1100−1101)=2(1−1101)=200101，故选项D正确；故选：ACD.10、（多选）下列命题中为真命题的是（）．A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2（k为常数）一定成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则1a ，1b，1c可能成等差数列答案：BCD分析：举特例说明即可判断选项A，B，D；利用等差数列的定义推理即可判断选项C作答.对于A，取a=1，b=2，c=3，显然a，b，c成等差数列，而a2=1，b2=4，c2=9，此时a2，b2，c2不成等差数列，A是假命题；对于B，令a=b=c，显然a，b，c成等差数列，则2a=2b=2c，此时2a，2b，2c是公差为0的等差数列，B是真命题；对于C，因a，b，c成等差数列，则b−a=c−b=d(d为常数)，于是得(kb+2)−(ka+2)=k(b−a)=kd，(kc+2)−(kb+2)=k(c−b)=kd，而k为常数，因此，(kb+2)−(ka+2)=(kc+2)−(kb+2)=kd(kd为常数)，所以ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)成等差数列，C是真命题；对于D，令a=b=c≠0，显然a，b，c成等差数列，则1a =1b=1c，此时1a，1b，1c是公差为0的等差数列，D是真命题. 故选：BCD 11、已知f (x )=lnx x，下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在x =1处的切线方程为y =x +1B ．f (x )的单调递减区间为(e,+∞)C ．f (x )的极大值为1e D ．方程f (x )=−1有两个不同的解 答案：BC分析：对于A ，利用导数的几何意义求解，对于B ，求导后，由导数小于零求解，对于C ，求导后求极值，对于D ，函数y =f(x)与y =−1的交点个数判断 对于A ，由f (x )=lnx x （x >0），得f ′(x)=1−lnx x 2，f(1)=0，则f ′(1)=1，所以f (x )在x =1处的切线方程为y =x −1，所以A 错误，对于B ，由f ′(x)<0，得1−lnx <0，x >e ，所以f (x )的单调递减区间为(e,+∞)，所以B 正确，对于C ，由f ′(x)=0，得x =e ，当0<x <e 时，f ′(x)>0，当x >e 时，f ′(x)<0，所以当x =e 时，f (x )取得极大值f(e)=1e ，所以C 正确，对于D ，由C 选项可知f (x )的最大值为1e，且当0<x <e 时，f (x )<1e，当x >e 时，f (x )=lnx x>0， 所以函数y =f(x)与y =−1的交点个数为1，所以f (x )=−1有1个解，所以D 错误， 故选：BC 填空题12、定义在(0，+∞)上的函数f (x )满足：∀x >0有f (x )+xf ′(x )>0成立且f (1)=2，则不等式f (x )<2x 的解集为__________． 答案：(0，1)分析：由f (x )+xf′(x )>0，判断出函数ℎ(x )=xf (x )的单调性，利用单调性解f (x )<2x 即可 设 ℎ(x )=xf (x )∵ℎ′(x )=(xf (x ))′=f (x )+xf′(x ),又∵∀x >0有f (x )+xf′(x )>0成立， ∴函数ℎ′(x )>0，即ℎ(x )是(0，+∞)上的增函数．∀x>0，f(x)<2x⇔xf(x)<2，即ℎ(x)<2=1×f(1)=ℎ(1),∴0<x<1，所以答案是：(0，1)．13、数列{a n}中，a1=5，a n+1=a n+3，那么这个数列的通项公式是______．答案：a n=3n+2分析：根据给定条件，判定数列{a n}是等差数列，再求出通项公式作答.数列{a n}中，因a n+1=a n+3，即a n+1−a n=3，因此，数列{a n}是等差数列，公差d=3，所以数列{a n}的通项公式是a n=a1+(n−1)d=3n+2.所以答案是：a n=3n+214、已知{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{b n}满足b1=a1，且b n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n+a n−1+⋅⋅⋅+a2+a1(n≥2,n∈N∗)，若a m+(b m−27)=2019，则m的值为______．答案：10分析：分别求出{a n}，{b n}的通项公式，代入a m+(b m−27)=2019，进而解方程求得m．解：由题意得：a n=1⋅2n−1=2n−1设{a n}的前n项和为S n，则b n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n+a n−1+⋅⋅⋅+a2+a1=(a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n)+(a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1)=S n+S n−1=1−2n1−2+1−2n−11−2=2n+2n−1−2(n≥2,n∈N∗)．∵a m+(b m−27)=2019∴a m+b m=2046．又∵a m+b m=2m−1+2m+2m−1−2=2⋅2m−2∴2⋅2m−2=2046，解得m=10．所以答案是：10解答题15、已知数列{a n}满足递推关系a n+1=2a n+1，且a1=1.(1)求a2，a3，a4；(2)尝试归纳出数列{a n}的通项公式.答案：(1)a2=3，a3=7，a4=15(2)a n=2n−1分析：（1）根据递推公式，直接代入求解即可=2n，进而可求解（2）根据题意归纳出规律：a n+1+1a n+1(1)因为a n+1=2a n+1，所以，a1=1=2−1，a2=2×1+1=3=4−1，a3=2×3+1=7=8−1，a4=2×7+1=15=16−1.(2)由（1）可归纳得，a2+1=2，a1+1a3+1=2，a2+1⋯a n+1+1=2n，可以猜测，a n+1=2na n+1所以，可以猜测a n=2n−1。
高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)
高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)， 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5， 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（ ） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列， 所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确； 因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确； 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确； 因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解： 对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立， 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______． 答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0， 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)， 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数， 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2， 故m 的最小值是2， 所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。
高中数学选修试题及答案
高中数学选修试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 1) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 1) / 2C. f^(-1)(x) = x / 2 + 1D. f^(-1)(x) = x / 2 - 1答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4相交，则交点的横坐标是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A6. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的第五项是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C7. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，则圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A8. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)答案：A9. 函数f(x) = x / (x^2 + 1)的值域是：A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)答案：B10. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 6)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/5B. cosθ = 1/3C. cosθ = -1/5D. c osθ = -1/3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = __________。
高二数学选修1-2复习训练
高二数学选修1-2复习训练题一、选择题：1．已知ABC 中，30,60A B ∠=∠=，求证a b <.证明：30,60A B ∠=∠=，A B ∴∠<∠,a b ∴<，画线部分是演绎推理的是（ B ）. A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论2．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是 ( D )A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③④3．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是 CA ．y bx a e =++是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生4.在回归直线方程表示回归系数中b bx a y,ˆ+=(D ) A ．当0x =时，y 的平均值 B.当x 变动一个单位时，y 的实际变动量C ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量 D.当x 变动一个单位时，y 的平均变动量5、下列表述正确的是（D ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。
6．在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ A ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-7．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( C )A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病8. 给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）①“若a,b ∈R,则0a b a b -=⇒=”类比推出“a,b ∈C,则=0a b a b -⇒=”②“若a,b,c,d ∈R ，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d ++==”；③若“a,b ∈R,则0a b a b ->⇒>”类比推出“a,b ∈C,则0a b a b ->⇒>” 其中类比结论正确的个数 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．39、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（B ）10、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是(C )A.y ∧=1.23x ＋4B. y ∧=1.23x+5C. y ∧=1.23x+0.08D. y ∧=0.08x+1.2311、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
人教版高中数学选修22试题四套带答案整理
（2）A位于第三象限？
6.（12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
13.函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax在区间 内单调递减，则a的取值范围是________．
14.现有12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有
种。（只列式）
三、解答题（共6题，70分）
15.（10分）已知复数 在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
21、解：（1）
令
所以函数 的单调递减区间为（－ ，－1）和（3，+ ）（2）
因为
所以
因为在（－1，3）上 >0，所以 在[－1，2]上单调递增，
9. (n∈N*)；10. ；11. ；
12.1＋a＋a2；13.(－∞，－1]；14.
13、【解析】∵g(x)在区间－∞， 内单调递减，
∴g′(x)＝3ax2＋4(1－a)x－3a在 上的函数值非正，
由于a<0，对称轴x＝ >0，故只需g′ ＝ ＋ a(1－a)－3a≤0，注意到a<0，
∴a2＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．
一、选择题（共8题，每题5分）
1.复数 在复平面内的对应点在（）
人教版高中数学选修 练习题及参考答案
人教版高中数学选修-练习题及参考答案(附参考答案)一、选择题1．命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A．如果x<a2+b2,那么x<2abB．如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C．如果x<2ab,那么x<a2+b2D．如果x≥a2+b2,那么x<2ab2．三角形全等是三角形面积相等的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列四个命题中，真命题是( )A．是偶数且是无理数B．8≥10C．有些梯形内接于圆D．xR,x2x+1≠04．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数二、填空题5．命题“若a=1,则a2=1”的逆否命题是______________________．?? 6．b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的______________________．7．全称命题“aZ,a有一个正因数”的否定是________________________．??8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________．条件．的______ ___，则非p是非q9．设p：|5x1|>4；?三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x23x+2=0}，B={x|x2mx+2=0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m范围．??12．给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中求实数的取值范围．有且仅有一个为真命题，常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤a=0或012．解：P真：对任意实数都有恒成立??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???常用逻辑用语答案14 CACC?5．如果a2≠1,那么a≠1 6．充分必要条件7．a0Z,a0没有正因数???8．每个三角形的三条中线不相等9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()()=1,两直线互相垂直．??????必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()()=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．????11、A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即BA．所以B=、B={1}或{2}，?，∴．=m28<0B=φ时，△当?无解．综上所述．时，，m当B={1}或{2}a<4;≤或0．解：12P真：对任意实数都有恒成立a=0??≤；0a14a≥q真：关于的方程有实数根???如果P正确，且Q不正确，有0≤a<4,且a>,∴<a<4；如果Q正确，且P不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(,4)．???圆锥曲线练习题一．选择题若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（） 1.1A.B. C. D.4y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，过抛物线B两点，若线段AB中点的横坐标2.为3，则|AB|等于（）A.10B.8C.6D.4若双曲线＋＝1的离心率，则k的取值范围是（） 3.A. B. C. D.与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（）4. B. A. C. D.过点M(2,0)的直线L与椭圆交于两点，设线段的中点为P，若直线l的斜率为，5.的斜率为，则等于（）直线OP?1－A. B. C. D.2．如果方程＋＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）6. A. B. C. D.二．填空题椭圆＋＝1的焦点分别是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的7.倍．椭圆＋＝1的焦点分别是，过原点O做直线与椭圆交于A，B两点，若ABF2的面积8.是20，则直线AB的方程是．?与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是9.已知直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支相交于不同的两点，则k的取值范围10.是．三．解答题?抛物线y=－x2与过点M(0,1)的直线L相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB11.的斜率之和为１，求直线L的方程．?已知中心在原点，一焦点为F(0,)的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此12.椭圆的方程．13．是椭圆＋＝1的两个焦点，为椭圆上一点，且AF1F2=45，求的面积．???圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD二．填空题：7. 7倍8.y=x 9. －＝1 10.－,3)<k<－1?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得11.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则1解：设所求的椭圆为＋＝12.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．圆锥曲线练习题答案CBCADD 一．选择题：二．填空题：1,3)<k<－－＝7. 7倍8.y=x 9. 1 10.－?三．解答题解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得13.有kR 设点则＋＝1,?由根与系数关系，解得直线方程．=50，则解：设所求的椭圆为＋＝114.椭圆与直线联立有，由已知＝，．1a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝根与系数关系带入得解得．解：13．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABCA1B1C1中，若＝,=,=,则=( )?→→+++D．+B．+C．A．b?c????2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与A，B，C一定共面的是( )→→→A．=++C．=2OA?OB?OC1→C．=++D．=++OC 33．若向量同时垂直向量和,向量=+(,R, ,≠0)，则（）???????A．∥B．C.与不平行也不垂直D．以上均有可能?4．以下四个命题中，正确的是( )A．若=+,则P，A，B三点共线B．若{,,}为空间一个基底，则{+,+,+}构成空间的另一个基底C．|()|=||||||???D．ABC为直角三角形的充要条件是＝0??5．已知=(+1,0,2),=(6,21,2),∥,则和的值分别为( )??????A．,B．5,2C．,D．5,2????二．填空题6．若=(2,3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则(+)=________.??7．已知G是ABC的重心，O是空间任一点，若++＝，则的值为_______.??? 8．已知||=1,||=2,<,>=60,则|(+2)|=________.??三．解答题9．若向量(+3)(75)，(4)(72)，求与的夹角．?????10．设，试求实数，使成立．求与侧面所成的角．正三棱柱的底面边长为，11．侧棱长为，小大的角面二，时值何于等问，动移上棱在点，，，中体方长在．12．为．空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 83 7．二．填空题6．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．=(2x,1,2)可求得平面的法向量为?．．（舍去）空间向量练习题答案 DDBBA一．选择题6．3 8二．填空题6．3 7．5三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>=,∴与夹角为60．?? 10．由成立，可建立方程组，解得．11．以A为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(,2)a,a,a),由于=(1,0,0)是面的法向量，??计算得cos<,>=,∴<,>=60．故与侧面所成的角为30．??12．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，．依题意．可求得平面的法向量为=(2x,1,2)?．．（舍去）。
精选高二数学选修精选 复习自测 答案
高二数学选修2-1及2-2期末自测1一、选择题二、填空题1、39- ；2、 1350 ；3、 -6 ；三、解答题13=②1030=③略 2、a=-3;b=-1 3、⊿=72k 2-48 ①⊿?0时，3636φπk k 或-②⊿=0时，36±=k ③⊿?0时，3636ππk - 高二数学选修2-1及2-2期末自测2一、选择题二、填空题1、()1,1,2-=n ϖ ；2、510 ；3、i i -2 ；4、454-或 ；5、181222=-y x ；三、解答题1、33cos =ϑ 2、（点差法）01=+-y x 3、5643--='x x y 高二数学选修2-1及2-2期末自测3一、选择题二、填空题1、 平行四边形不一定是菱形 ；2、 4 ；3、36 ；4、4;25==y x ； 5、 20 ；6、1322=-y x ；7、 1 ； 三、解答题1、()()DB EF 得0,2,2;0,1,1=--=；2、1422=+x y ；3、34--y x 高二数学选修2-1及2-2期末自测4一、选择题二、填空题1、1± ；2、 三 ；3、 若不都是锐角，则B A C ∠∠≠∠,900；4、144922=-y x ； 5、 -212 ；6、 （4，2） ；三、解答题1、93sin cos ==ϕϑ 2、332332-πφk k 或 3、443+-y x 高二数学选修2-1及2-2期末自测5一、选择题二、填空题1、55 ；2、 2 ；3、377 ；4、310 ；5、54 ； 三、解答题1、①略 ②31=d ③32-=AE ；2、13422=+y x ；3、01=--y x 高二数学选修2-1及2-2期末自测6一、选择题二、填空题1、13622=+y x ；2、 600 ；3、i z 2121-= ； 三、解答题1、①31sin cos ==ϕϑ ②3210=d ；2、022=--y x l ：；3、94182+-='x x y 高二数学选修2-1及2-2期末自测7一、选择题二、填空题1、i z +=1 ；2、x y 32±= ；3、 2：3：（-4） ；4、034=--y x ；5、 20 ；三、解答题13= ②略； 2、x y 782-=； 3、063=++y x高二数学选修2-1及2-2期末自测8一、选择题二、填空题1、 1或2 ；2、 -1 ；3、 -1 ；三、解答题1、161022=+x y ； 2、①略 ②900； 3、()xx f b a 3131-===；； 高二数学选修2-1及2-2期末自测9一、选择题二、填空题1、23-=x ；2、 1 ；3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈530,530k ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-32323132,32,31，－，－或 ； 5、 3 ；6、 5 ；7、 此题不做 ；三、解答题1、()2,2--∈k ；2、①1473cos =ϑ②63=d高二数学选修2-1及2-2期末自测1O一、选择题二、填空题1、x y 82-= ；2、45- ；3、042=+-y x ；三、解答题1、①101=⇒=-m m ；②101≠⇒≠-m m ；③10101-=⇒⎩⎨⎧≠-=+m m m ； 2、增加条件：DF=2。
高二数学选择性必修一总复习（B卷）答案与提示
高二数学选择性必修一总复习（B 卷）答案与提示一㊁单选题1.B2.B3.B4.D5.D 图16.B 提示:如图1,作直线2x +y =0,当直线上移与圆x 2+(y -1)2=1相切时,z =2x +y 取最大值㊂此时,圆心(0,1)到直线2x +y -z =0的距离等于1,即|1-z |5=1㊂解得z 的最大值为5+1㊂当下移与圆x 2+y 2=4相切时,2x +y 取最小值㊂同理|-z |5=2,即z 的最小值为-25㊂所以z =2x +y 的最大值与最小值之和是1-5㊂7.C 提示:直线l :k x -y -2k +1=0,即为k (x -2)+1-y =0,可得直线恒过定点(2,1)㊂圆C 2:(x -2)2+(y -1)2=1的圆心为(2,1),半径为1,且C ,D 为直径的端点㊂由A C ң=D B ң,可得A B 的中点为(2,1)㊂设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2+y21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1㊂两式相减可得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0㊂由x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,可得k =y 1-y 2x 1-x 2=-2b2a2㊂由-2ɤk ɤ-1,可得12ɤb2a2ɤ1㊂则椭圆的离心率e =ca =1-b 2a2ɪ0,22㊂图28.C 提示:如图2所示,建立直角坐标系㊂设抛物线的标准方程为y 2=2p x (p >0),Fp 2,0 ㊂y A =d2,代入抛物线方程可得d 22=2px ,解得x =d28p㊂由t a n θ=2t a nθ21-t a n2θ2=-45,可得t a n θ2=52或t a n θ2=-255(舍去)㊂又d2p 2-d28p=t a n θ2=52,可化为45p 2-8d p -5d 2=0㊂解得p =52d 或p =-510d (舍去)㊂故f d =p 2d =54㊂二㊁多选题9.A C 提示:设椭圆的右焦点F ',连接P F ',Q F ',根据椭圆对称性可知四边形P F Q F '为平行四边形㊂则|Q F |=|P F '|,且由øP F Q =120ʎ,可得øF P F '=60ʎ㊂所以|P F |+|P F '|=4|P F '|=2a ,则|P F '|=12a ,|P F |=32a ㊂由余弦定理可得(2c )2=|P F |2+|P F '|2-2|P F |㊃|P F '|c o s 60ʎ=94a 2+a 24-2ˑ32a ㊃12a ㊃12,所以c 2=716a 2㊂椭圆的离心率e =c 2a2=716=74㊂设M (x 0,y 0),P (x 1,y 1),则Q (-x 1,24 演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月-y 1),k 1=y 0-y 1x 0-x 1,k 2=y 0+y 1x 0+x 1㊂所以k 1k 2=y 0-y 1x 0-x 1㊃y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21㊂又x 20a 2+y 20b 2=1,x 21a 2+y21b2=1,相减可得y 20-y 21x 20-x 21=-b2a 2㊂因为c 2a 2=716,所以b 2a 2=916,即k 1k 2=-916㊂图310.A B 提示:在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,以点D 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系,令|A B |=2㊂则D (0,0,0),D 1(0,0,2),B (2,2,0),E (1,0,0),F (2,1,0),G (2,2,1),H (1,2,2),I (0,1,2)㊂对于A ,D 1E ң=(1,0,-2),G D ң=(-2,-2,-1),D 1E ң㊃G D ң=0,则D 1E ʅG D ,A 正确㊂对于B ,E F ң=(1,1,0),D B ң=(2,2,0)=2E F ң,即E F ңʊD B ң,而D ∉E F ,故D B ʊE F ㊂而E F ⊂平面D 1E F ,D B ⊄平面D 1E F ,因此D B ʊ平面D 1E F ㊂所以点D 与点B 到平面D 1E F 的距离相等,B 正确㊂对于C ,I H ң=(1,1,0)=E F ң,即I H ңʊE F ң,而H ∉E F ,故I H ʊE F ㊂取点Q (3,2,0),则E F ң=F Q ң=(1,1,0),G Q ң=H G ң=(1,0,-1)㊂所以E ,F ,Q 与H ,G ,Q 均三点共线,故E F ɘG H =Q ㊂所以E F ⊂平面H I G ,C 错误㊂对于D ,D 1F ң=(2,1,-2),G H ң=(-1,0,1),令D 1F 与G H 的夹角为θ,则:c o s θ=|c o s <D 1F ң,G H ң>|=|D 1F ң㊃G H ң||D 1F ң||G H ң|=43ˑ2=223,显然θʂπ6,D 错误㊂11.A B D 提示:由题意可得M 533,4,N393,-2㊂所以5332a2-16b 2=1,3932a2-4b2=1,即253a2-16b2=1,133a 2-4b 2=1㊂解得a 2=3,b 2=9㊂所以双曲线C 的方程为x 23-y29=1,A 正确㊂双曲线x 23-y29=1的渐近线方程为y =ʃ3x ,双曲线y 23-x 2=1的渐近线方程为y =ʃ3x ,B 正确㊂由双曲线的性质可知,若过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行,只与双曲线有一个交点,所以不存在一点,使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点,故C 错误㊂由题意得D (-3,0),E (3,0),设P (x 0,y 0)(x 0ʂʃ3)为双曲线上任意一点,则x 203-y 209=1,y 20=3x 20-9㊂所以k P D ㊃k P E =y 0x 0+3㊃y 0x 0-3=y 20x 20-3=3(x 20-3)x 20-3=3㊂因此,双曲线C 上存在无数个点,使它与D ,E 两点的连线的斜率之积为3,D 正确㊂故选A B D ㊂图412.A C D 提示:如图4,取A D 的中点N ,连接MN ㊂因为A 1D 1ʊA D 且|A 1D 1|=|A D |,且M ㊁N 分别为A 1D 1㊁A D 的中点,所以A 1M ʊA N 且|A 1M |=|A N |,四边形A A 1M N 为平行四边形㊂可得MN ʊA A 1,且|MN |=|A A 1|=4㊂因A A 1ʅ底面A B C D ,故M N ʅ底面A B -C D ㊂因为N P ⊂底面A B C D ,所以M N ʅN P ㊂34演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月因为|M P |=25,|N P |=|M P |2-|M N 2|=2,所以点P 的轨迹是以N 为圆心,2为半径的圆,其位于正方形A B -C D 内的部分㊂故点P 的轨迹长度为πˑ2=2π,A 正确㊂图5以A为原点,A B ㊁A D ㊁A A 1所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立空间直角坐标系,如图5㊂则A 1(0,0,4),C (4,4,0),M (0,2,4),B (4,0,0),D (0,4,0),B 1(4,0,4)㊂设P (2c o s θ,2+2s i n θ,0)-π2ɤθɤπ2㊂A 1C ң=(4,4,-4),M P ң=(2c o s θ,2s i n θ,-4)㊂A 1C ң㊃M P ң=8c o s θ+8s i n θ+16=82s i n θ+π4+2>0,B 错误㊂设平面B D D 1B 1的法向量为n =(x ,y ,z ),B D ң=(-4,4,0),B B 1ң=(0,0,4)㊂则n ㊃B D ң=-4x +4y =0,n ㊃B B 1ң=4z =0㊂令x =1,可得n =(1,1,0)㊂c o s <M P ң,n >=M P ң㊃n|M P ң|㊃|n |=2s i n θ+2c o s θ25ˑ2=55s i n θ+π4㊂又-π2ɤθɤπ2,则-π4ɤθ+π4ɤ3π4㊂所以,当θ+π4=π2,即当θ=π4时,c o s <M P ң,n >取得最大值55,故C 正确㊂如图4,挖去部分为半圆锥,原正方体的表面积S =6ˑ4ˑ4=96㊂挖去部分的面积S 1=8+2π,新增部分的面积S 2=12ˑ25ˑ2π=25π㊂所剩部分几何体的表面积S -S 1+S 2=88+2(5-1)π,故D 正确㊂三、填空题13.x +y -3=014.4 提示:由题意,显然过点M (-1,m )作抛物线C :y 2=2px 的切线的斜率存在,可设斜率为k ,则该切线方程为y -m =k (x +1),即y =k x +k +m ㊂联立y =k x +k +m ,y 2=2px ,消去y 可得k 2x 2+(2k 2+2k m -2p )x +k 2+2k m +m 2=0㊂由于切线与抛物线只有唯一交点,则Δ=(2k 2+2k m -2p )2-4k 2(k 2+2k m +m 2)=0,整理可得2k 2+2k m -p =0㊂由题意可知k M A ,k M B 为方程2k 2+2k m -p =0的两个根,则k M A ㊃k M B =-p 2㊂由题意,设直线A B 的方程为x =n y +p2㊂联立可得x =n y +p 2,y 2=2px ,消去x 可得y 2-2p n y -p 2=0㊂由题意可知y 1,y 2为该方程的两个根,则y 1y 2=-p 2㊂故y 1y 2k M A ㊃k M B =-p2-p2=2p ㊂由抛物线方程y 2=2p x (p >0),可得函数y =2p x 或函数y =-2p x ㊂则y '=12㊃12p x ㊃2p =p2p x 或y '=-12㊃12px ㊃2p =-p2px ㊂不妨设A (x 1,y 1)在第一象限,则x 1>0,y 1>0,即y 1=2p x 1,且kM A =p2p x 1=py 1㊂因设A (x 1,y 1)在第一象限,故B (x 1,y 2)在第四象限,即x 2>0,y 2<0,可得y 2=-2px 2,且k M B =-p2px 2=py 2,故k M A ㊃k M B =p 2y 1y 2㊂又y 1y 2=-p 2,则y 1y 2k M A ㊃k M B =y 1y 2p2y 1y 2=44 演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月(y 1y 2)2p2=p 2㊂综上可得2p =p 2,解得p =2,故y 1y 2k M A ㊃k M B=4㊂图615.66提示:设直线A C 与B D '所成角为θ,设O 是A C 中点,由已知得|A C |=6㊂如图6,以O B 为x 轴,O A 为y 轴,过O 与平面A B C 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系㊂则A 0,62,0 ,B 302,0,0,C 0,-62,0㊂作DH ʅA C 于H ,翻折过程中,D 'H 始终与A C 垂直,|C H |=|C D 2||C A |=16=66,则|O H |=63,|DH |=1ˑ56=306㊂因此可设D '306c o s α,-63,306s i n α,则B D 'ң=306c o s α-302,-63,306s i n α,与C A ң平行的单位向量为n =(0,1,0)㊂所以c o s θ=|c o s <B D 'ң,n >|=|B D 'ң㊃n ||B D 'ң||n |=639-5c o s α,当c o s α=1时,c o s θ取最大值66㊂16.①③④ 提示:设点P (x ,y )㊂对于①,若曲线C 表示点(a ,b ),则d (P ,C )=(x -a )2+(y -b )2ɤ2,化简可得(x -a )2+(y -b )2ɤ4㊂所以,点集D ={P |d (P ,C )ɤ2}所表示的图形是以点(a ,b )为圆心,半径为2的圆及其内部㊂点集D ={P |d (P ,C )ɤ2}所表示的图形的面积为πˑ22=4π,①正确㊂对于②,若曲线C 表示以点M (a ,b )为圆心,半径为2的圆㊂设Q 为曲线C 上一点,当点P 在曲线C内时,|P Q ң|=|M Q ң-M P ң|ȡ|M Q ң|-|M P ң|=2-|M P ң|,当且仅当Q ㊁P ㊁M 三点共线时,等号成立㊂所以,d (P ,C )=2-|M P |ɤ1,可得|M P |ȡ1,此时1ɤ|M P |<2㊂当点P 在曲线C 外时,|P Q ң|=|M Q ң-M P ң|ȡ|M P ң|-|M Q ң|=|M P ң|-2,当且仅当Q ㊁P ㊁M 三点共线时,等号成立㊂所以,d (P ,C )=|M P |-2ɤ1,可得|M P |ɤ3,此时2<|M P |ɤ3㊂当点P 在曲线C 上时,线段P Q 的长不存在最小值㊂综上所述,1ɤ|M P |<2或2<|M P |ɤ3,即1ɤ(x -a )2+(y -b )2<4或4<(x -a )2+(y -b )2ɤ9㊂图7所以,点集D ={P |d(P ,C )ɤ1}所表示的图形是夹在圆(x -a )2+(y -b )2=1和圆(x -a )2+(y -b )2=9的区域(但不包括圆(x -a )2+(y -b )2=4的圆周),如图7㊂此时,点集D ={P |d (P ,C )ɤ1}所表示图形的面积为πˑ(32-12)=8π,②错误㊂对于③,不妨设曲线C 为线段A B ,且|A B |=2㊂当点Q 与点A 重合时,由①可知,点集D 表示的是以点A 为圆心,半径为1的圆㊂当点Q 与点B 重合时,点集D 表示的是以点B 为圆心,半径为1的圆㊂图8故当点Q 在线段A B 上滑动时,点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形E F G D 和两个半径为1的半圆所围成的区域,如图8㊂此时,点集D 的面积为πˑ12+22=π+4,③正确㊂对于④,若曲线C 是边长为9的等边三角形,设等边三角形为әA B C ㊂因为øB A D =øC A E =π2,øB A C =54演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月π3,所以øD A E =2π3㊂图9由③可知,点集D 构成的区域由矩形A B R D ㊁A C FE ㊁B C -W L ,以及分别由点A ㊁B ㊁C 为圆心,半径为1,圆心角为2π3的三段圆弧,和夹在等边әA B C 和等边әS T U 中间的部分(包括边界),如图9㊂|S G |=1,因此,|A G |=|S G |t a nπ3=3,则|H G |=|A B |-2|A G |=9-23㊂所以,点集D 所表示的图形的面积为πˑ12+3ˑ9ˑ1+3492-(9-23)2=54+π-33,④正确㊂四、解答题17.(1)易知直线l 的截距不能为0㊂令x =0,y =-12-a ;令y =0,x =-1a ㊂则-12-a =-1a,解得a =1㊂(2)圆心12,12 到直线l 的距离d =12a +12(2-a )+1a 2+(2-a )2=15⇒42a 2-4a +4=15⇒a 2-2a -8=0⇒a =4或a =-2,故a 的值为4或-2㊂18.(1)由题意可知,C 上任意一点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离与它到直线x =-2的距离相等,轨迹为抛物线㊂设方程为y 2=2px ,则-p 2=-2,p =4,故抛物线C 的方程为y 2=8x ㊂(2)设直线A B 的方程为x =t y +2,A y 218,y 1,B y 228,y 2㊂则l O A :y =8y 1x ,l O B :y =8y 2x ㊂由y =8y 1x ,x =-2,得M -2,-16y 1㊂同理可得N -2,-16y 2㊂由x =t y +2,y 2=8x ,得y 2-8t y -16=0,则y 1y 2=-16㊂F M ң=-4,-16y 1,F N ң=-4,-16y 2,则F M ң㊃F N ң=-4,-16y 1㊃-4,-16y 2=(-4)ˑ(-4)+-16y 1ˑ-16y 2=16+16ˑ16y 1㊃y 2㊂又y 1y 2=-16,故F M ң㊃F N ң=16+16ˑ16-16=0㊂因此,以线段MN 为直径的圆经过点F ㊂19.(1)设点E 到A B 的距离为h ㊂因为әA B E 的面积为4,|A E |=2,|A B |=4,所以12h ㊃|A B |=4,12ˑh ˑ4=4,即h =2㊂因为|A E |=2,所以A E ʅA B ,即A A 'ʅA B ㊂又A D ʅA A ',A D ɘA B =A ,A D ⊂平面A B C D ,A B ⊂平面A B C D ,所以A A 'ʅ平面A B C D ㊂当λ=1时,F P ң=P H ң,即P 为F H 的中点,则P 在B 'D '上㊂又因为D D 'ʊA A ',所以D D 'ʅ平面A B C D ㊂因为A C ⊂平面A B C D ,所以D D 'ʅA C ㊂又A C ʅB D ,D D 'ɘB D =D ,D D '⊂平面B D D 'B ',B D ⊂平面B D D 'B ',所以A C ʅ平面B D D 'B '㊂又B P ⊂平面B D D 'B ',所以B P ʅA C ㊂(2)因为A A 'ʅ平面A B C D ,B D ⊂平面A B C D ,所以A A 'ʅB D ,即A E ʅB D ㊂又A C ʅB D ,A E ɘA C =A ,A E ⊂平面A C C 'E ,A C ⊂平面A C C 'E ,所以B D ʅ平面A C C 'E ㊂64 演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月因此,多面体B -A C C 'E 的体积V =13㊃S 梯形A C C 'E ㊃12|B D |=13ˑ12ˑ(2+4)ˑ422ˑ42=16㊂(3)由(1)知,D A ,D C ,D D '两两垂直㊂图10如图10,以D 为原点,D A ,D C ,D D '所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系㊂则D (0,0,0),B (4,4,0),E (4,0,2),C '(0,4,4),F (2,0,4),H (0,2,4)㊂故B E ң=(0,-4,2),B C 'ң=(-4,0,4)㊂设P (x 0,y 0,4),当λ=2时,F P ң=2P H ң,即(x 0-2,y 0,0)=2(-x 0,2-y 0,0)㊂所以x 0-2=-2x 0,y 0=2(2-y 0),则x 0=23,y 0=43,即P 23,43,4㊂所以B P ң=-103,-83,4㊂设平面B C 'E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则:n ㊃B E ң=-4y +2z =0,n ㊃B C 'ң=-4x +4z =0㊂令z =2,得x =2,y =1,则n =(2,1,2)㊂所以|c o s <B P ң,n >|=|B P ң㊃n ||B P ң|㊃|n |=-203-83+8-1032+-832+16ˑ4+1+4=277231㊂所以当λ=2时,直线B P 与平面B C 'E夹角的正弦值为277231㊂20.(1)由题意得,圆C :(x -1)2+y 2=16,则圆心C (1,0),半径r =4㊂设P N 中点为K ,则Q K 为线段P N 的垂直平分线,|P Q |=|Q N |㊂而|Q N |+|Q C |=|Q P |+|Q C |=r =4>|N C |=2,所以Q 点轨迹是以C ,N 为焦点,长轴长为4的椭圆,即a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3㊂所以点Q 的轨迹方程为x 24+y23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可得x 1,x 2ɪ(0,2)㊂则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,故y 21=3-3x 214,y 22=3-3x 224㊂因此,|A C |=(x 1-1)2+y 21=x 21-2x 1+1+3-34x 21=14(4-x 1)2=2-12x 1㊂同理可得|B C |=2-12x 2㊂因为A B ʅO M ,|O M |=3,所以|A M |=|O A |2-|O M |2=x 21+y 21-3=x 21+3-34x 21-3=12x 1㊂同理可得|B M |=12x 2㊂所以|A B |+|A C |+|B C |=|A M |+|B M |+|A C |+|B C |=12x 1+12x 2+2-12x 1+2-12x 2=4,即әA B C 的周长为定值4㊂21.(1)设P (x 0,y 0),切线y -y 0=k (x -x 0),且x 20+y 20=5㊂由x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),得(1+4k 2)x 2+8k (y 0-k x 0)x +4(y 0-k x 0)2-4=0㊂由Δ=0,得(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 2=0㊂设切线P A ,P B 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2=1-y 204-x 20=1-y 24-(5-y 20)=-1㊂74演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月又直线P A 的斜率为2,故直线P B 的斜率为-12㊂(2)①当切线P A ,P B 的斜率都存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),切线P A ,P B 方程为y -y i =k i (x -x i ),i =1,2㊂由(1)得(4-x 2i )k 2+2x i y i k i +1-y 2i =0,i =1,2㊂(*)由点A ,B 在椭圆上,得x 2i 4+y 2i =1,i =1,2,代入(*)得2y i k i +x i2 2=0,即k i=-x i4y i,i =1,2㊂切线P A ,P B 的方程为x ix 4+y iy =1,i =1,2㊂由于点P 在切线P A ,P B 上,则x ix 04+y iy 0=1,i =1,2,所以直线A B 的方程为x 0x4+y 0y =1㊂由P Q ʅA B ,得直线P Q 的方程为y -y 0=4y 0x 0(x -x 0)㊂联立直线A B ,解得x Q =4x 0(1+3y 20)x 20+16y 2=45x 0,y Q =y 0(1+3y 20)x 20+16y 20=15y 0㊂由x 20+y 20=5,得Q 点轨迹方程为516x 2+5y 2=1,且焦点恰为F 1,F 2㊂②当切线P A ,P B 的斜率有一个不存在时,不妨设P B 斜率不存在,且B (2,0),P (2,1),A (0,1)㊂直线A B 的方程为y =-12x +1,P Q 的方程为y -1=2(x -2),联立方程解得Q85,15,也在椭圆516x 2+5y 2=1上㊂综上可知,点Q 的轨迹为椭圆516x 2+5y 2=1㊂所以,S әQ F 1F 2=12|F 1F 2|ˑ|y Q |ɤ12ˑ23ˑ55=155,当Q 在椭圆516x 2+5y 2=1的短轴端点时取等号㊂22.(1)已知F 2(b ,0),则c =b ㊂故a 2=2c 2,e =22㊂(2)①设点P (x 0,y 0),于是|x 0-y 0-b |2=2b ㊂所以x 0-y 0-3b =0或x 0-y 0+b =0㊂方程组x -y -3b =0,x 2+2y 2=2b 2无解㊂由x -y +b =0,x 2+2y 2=2b 2,得P -43b ,-13b㊂又因为S әP F1F2=12ˑ2b ˑ13b =13,所以b =1㊂于是,椭圆C 的方程为x 22+y 2=1㊂②设直线l :y =k x +m ,代入椭圆C 的方程x 2+2y 2=2中,得:(2k 2+1)x 2+4k m x +2m 2-2=0㊂由Δ=0,得m 2=2k 2+1㊂同时,|F 1M |=|m -k |1+k2,|F 2N |=|m +k |1+k2㊂i )当k ʂ0时,|M N |=|F 1M |-|F 2N |k㊂所以(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |=4|k m |(1+k 2)|k |=4|m |1+k2=4|m |1+m 2-12=8|m |+1|m |ɤ4,当且仅当|m |=1时等号成立㊂而k ʂ0,|m |ʂ1,因此(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |<4㊂i i )当k =0时,四边形F 1M F 2N 为矩形㊂此时(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |=(1+1)ˑ2=4㊂由i ),i i )可知,(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |的最大值为4㊂(责任编辑 徐利杰)84 演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2023年11月。
高二理科数学选修测试题及答案
高二选修2-2理科数学试卷第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -22、 已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos13、设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-14、定积分dx e x x⎰-1)2(的值为（ ）A ．e -2B ．e -C ．eD ．e +25、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…12n－1<f(n) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k －1项 D ．2k 项6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（ ） A.340 B.13 C.225D.157、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ）)3,3(-或)11,4(- （D ）不存在8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]9、 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（ ） A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 10、 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C.(,1]-∞- D. (,1)-∞- 11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点值是（）(A) １ (B)(C) ２ (D)12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）? 2 f （1） B ．f （0）＋f （2）? 2 f （1）C ．f （0）＋f （2）> 2 f （1）D ．f （0）＋f （2）? 2 f （1）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则20()f x dx ⎰=14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++（）； 利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，； 则四面体的体积V=15、若复数z ＝21＋3i，其中i 是虚数单位，则|z |＝______.16、已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．三、解答题（本大题共70分）17、（10分）实数m 取怎样的值时，复数i m m m z )152(32--+-=是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 18、（12分）已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ； ⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.22、（12分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C 13、56 14、 23413S S ++1R （S +S ） 15、116、[－1,7)17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分）（2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分）（3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分） 18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以当3x =-时，m i n ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分（II ）设切点为3(,3)Q xx x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=-- 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--，解得0x =或3x =所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19.解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--=…………5分证明:①当1=n时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立,则1+=k n 时,)1(21)1(211111kk k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++)111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,12121=-+++k k a k a ,k k a k -+=∴+11.即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20.解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；…………6分 （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-当有极大值有极小值2m +. ………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时， 函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分22. 解：（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，，∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=． ∵0a >，∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，，∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），214x -=， 当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2gx 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x+-'=>， ∴函数()2a f x x x =+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11fx f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()20x a x af x x +-'=<，若a＜x≤e，则()()()2x a x af x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2fx f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e］时，()()()2x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
北师大版高二数学选修-试题及标准答案
北师大版高二数学选修-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：（选修2-1）孙 敏一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 1、a 3＞8是a ＞2的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数； B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除3、抛物线281x y -=的准线方程是( )A ． 321=xB ． 2=yC ． 321=y D ． 2-=y4、有下列命题：①20ax bx c ++=是一元二次方程（0a ≠）；②空集是任何集合的真子集；③若a ∈R ，则20a ≥；④若,a b ∈R 且0ab >，则0a >且0b >．其中真命题的个数有（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 45、椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ） A ．35 B ． 34 C ．45 D ． 9256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=7、已知a ＝（2，－3，1），b ＝（4，－6，x ），若a ⊥b ，则x 等于（ ）A ．－26B ．－10C ．2D ．10 8、如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BD BC AB 2121++等于（ ）A ．ADB ．GAC ．AGD ．MG9、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B ． 2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r10、设3=a ，6=b ， 若a •b ＝9，则,<>a b 等于（ ）A ．90°B ．60°C ．120°D ．45°11、已知向量a ＝（1，1，－2），b ＝12,1,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为（ ）A ．2(0,)3 B ．2(0,]3C ．(,0)-∞∪2[,)3+∞D ．(,0]-∞∪2[,)3+∞12、设R x x ∈21,，常数0>a ，定义运算“﹡”：22122121)()(x x x x x x --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13、命题“若2430x x -+=，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为 ．14、给出下列四个命题：①x ∃∈R ，是方程3x －5＝0的根；②,||0x x ∀∈>R ；③2,1x x ∃∈=R ；④2,330x x x ∀∈-+=R 都不是方程的根．其中假命题．．．的序号有 ． 15、若方程11222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为 ．16、抛物线24y x =的准线方程是 ．17、由向量(102)=，，a ，(121)=-，，b 确定的平面的一个法向量是()x y =，，2n ，则x ＝ ，y ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共53分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）18、（本小题满分8分）双曲线的离心率等于2，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点，求此双曲线方程．19、（本小题满分10分）已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.20、（本小题满分11分）已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a21、（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ； （Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1．22、（本小题满分12分）设椭圆12222=b y a x ＋(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2，0)，左准线 L 1 ：ca x 2-=与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。
高中数学选修二综合测试题经典知识题库(带答案)
高中数学选修二综合测试题经典知识题库单选题1、在数列{a n}中，a1=1，a n+1−3=a n，若a n=2020，则n=（）A．671B．672C．673D．674答案：D分析：分析得到数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解. ∵a1=1，a n+1−3=a n，∴a n+1−a n=3∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a n=a1+(n−1)d=1+3(n−1)=2020，解得n=674.故选：D.2、若函数f(x)=x2−ax+lnx在区间(1,e)上单调递增，则a的取值范围是（）A．[3,+∞)B．(−∞,3]C．[3,e2+1]D．[e2+1,3]答案：B分析：由f′(x)≥0分离常数a，利用构造函数法，结合导数，求得a的取值范围.依题意f′(x)=2x−a+1x≥0在区间(1,e)上恒成立，即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立，令g(x)=2x+1x(1<x<e)，g′(x)=2−1x2=2x2−1x2=(√2x+1)(√2x−1)x2>0，g(x)在(1,e)上递增，g(1)=3，所以a≤3.所以a的取值范围是(−∞,3].故选：B3、下列叙述正确的是（）A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3,…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1,…是常数列D ．数列{2n +1}是递增数列 答案：D分析：根据数列的概念逐一判断即可.对于A ，数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列，故A 错误； 对于B ，数列0,1,2,3,…可以表示为{n −1}，故B 错误； 对于C ，数列0,1,0,1,…是摆动数列，故C 错误； 对于D ，数列{2n +1}是递增数列，故D 正确. 故选：D.4、函数f(x)=3x +ln2的导数为（ ） A ．3x ln3B ．3x ln3+12C ．3x +12D ．3x 答案：A分析：利用导数的计算公式，直接判断选项. f ′(x )=(3x )′+(ln2)′=3x ln3. 故选：A5、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+a 3=20,a 3+a 5=5，则使得a 1a 2⋯a n <1成立的正整数n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：C分析：应用等比数列通项公式求基本量可得a n =25−n ，再由a 1a 2⋯a n =2n(9−n)2<1求正整数n 的范围，即可得答案.若等比数列的公比为q >0，且a n >0，由题设{a 1(1+q 2)=20a 3(1+q 2)=5，两式相除得q 2=14，则q =12， 所以a 1=16，故a n =25−n ，显然n ≤5时a 1a 2⋯a n <1不成立， 所以n >5且n ∈N ∗，a 1a 2⋯a n =24+3+2+1+0−1−...−(5−n)=2n(9−n)2<1，即n(9−n)2<0，则n >9，故正整数n 的最小值为10. 故选：C7、某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24ℎ城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24ℎ．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20min 才有一辆到达施工现场投入工作，要在24ℎ内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要．．．抽调这种型号翻斗车（ ）A ．25辆B ．24辆C ．23辆D ．22辆 答案：C分析：由题意可知每辆车的工作时间成等差数列，利用等差数列前n 项和公式可确定n 辆车的工作总时长S n ，当n =23时，S n <480，当n =24时，S n >480，可知共需要24辆车，由此确定结果. 总工作量为：20×24=480ℎ，由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减13ℎ，则每辆车的工作时间成等差数列， 设第n 辆车的工作时间为a n ，则a 1=24，等差数列的公差d =−13，∴n辆车的工作总时长S n=na1+n(n−1)2d=24n−n(n−1)6，∵S23=24×23−23×226≈468<480，S24=24×24−24×236=484>480，∴共需24辆车完成工程，∴至少还需要抽调24−1=23辆车.故选：C.8、在等比数列{a n}中，a1=1，a2a3=8，则a4+a5a1+a2=（）A．8B．6C．4D．2答案：A分析：由题设结合等比数列通项公式求得公比q=2，进而求a4+a5a1+a2. 由题设，a2a3=a12q3=8，又a1=1，可得q=2，∴a4+a5a1+a2=a1q3+a1q4a1+a1q=243=8.故选：A多选题9、已知数列{a n}前n项和为S n.且a1=p，2S n−S n−1=2p(n≥2)(p为非零常数)测下列结论中正确的是（）A．数列{a n}为等比数列B．p=1时，S4=1516C．当p=12时，a m⋅a n=a m+n(m,n∈N∗)D．|a3|+|a8|=|a5|+|a6|答案：AC分析：由已知条件求出a2=p2，当n≥3时，2S n−1−S n−2=2p，从而可得2a n−a n−1=0，进而可判断数列{a n}为等比数列，可求出a n,S n，然后对各选项分析即可由a1=p，2S n−S n−1=2p(n≥2)，得a2=p2，n≥3时，2S n−1−S n−2=2p，相减可得2a n−a n−1=0，又a2a1=12，数列{a n}为首项为p，公比为12的等比数列，故A正确；由A可得p=1时，S4=1−1 441−12=158，故B错误；由A可得a m⋅a n=a m+n等价为p2⋅12m+n−2=p⋅12m+n−1，可得p=12，故C正确；|a 3|+|a 8|=|p|(122+127)=|p|⋅33128，|a 5|+|a 6|=|p|(124+125)=|p|⋅12128，则|a 3|+|a 8|>|a 5|+|a 6|，即D 不正确； 故选：AC .10、下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列23,34,45,56，…的一个通项公式是a n =nn+1 B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，−1，1，−1，…与数列−1，1，−1，1，…是同一数列D ．数列12,14，…，12n是递增数列答案：ACD分析：由a 1=12≠23可判断A ；由数列的通项公式以及n ∈N ∗可判断B ；由数列定义可判断C ；由递减数列定义可判断D ．对于A ，当通项公式为a n =nn+1时，a 1=12≠23，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，由数列的通项公式以及n ∈N ∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； 对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误； 对于D ，数列12,14，…，12n是递减数列，故选项D 错误．故选：ACD ．11、以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ） A ．（1x ）′=1x 2B ．（cos 2x ）'＝﹣2sin 2x C ．(3x ln3)′=3x D ．（lgx ）′=−1xln10 答案：BC解析：对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可. (1x )'=−1x 2，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，(3xln3)'=3x ，(lgx )'=1xln10. 故选：BC .小提示：本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题.填空题12、已知函数f(x)=lnx−ax−2在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为___________.答案：(12,1)分析：由于函数f(x)在区间(1,2)上不单调，等价于函数f(x)在区间(1,2)上存在极值点，对函数f(x)求导，对a分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间(1,2)内，可得关于a的不等式，即可求出结果．由f′(x)=1x −a=1−axx.①当a≤0时，函数f(x)单调递增，不合题意；②当a>0时，函数f(x)的极值点为x=1a，若函数f(x)在区间(1,2)不单调，必有1<1a <2，解得12<a<1.所以答案是：(12,1).小提示：关键点点睛：由于函数f(x)在区间(1,2)上不单调，等价于函数f(x)在区间(1,2)上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点.13、已知数列{an}满足a1＝1，a n=2a n−1+2n−1（n≥2,n∈N∗），则an＝__．答案：n⋅2n−1分析：利用数列的递推关系式推出{a n2n−1}是等差数列，然后求解通项公式即可．数列{an}满足a1＝1，a n=2a n−1+2n−1（n≥2,n∈N∗），可得：a n2n−1=a n−12n−2+1，a n2n−1−a n−12n−2=1,所以{a n2n−1}是等差数列，首项为a120=1，公差为1，所以a n2n−1=1+（n﹣1）×1＝n，所以a n=n⋅2n−1．所以答案是：n⋅2n−114、已知数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=(−1)n，则数列{a n}的通项公式为______．答案：a n=(−1)n+1(n+1).分析：先由a n+1+a n=(−1)n，得a n+1+a n+2=(−1)n+1，进一步得到a n+2−a n=−2⋅(−1)n，再分奇偶项来求通项公式即可．因为a n+a n+1=(−1)n，所以a n+1+a n+2=(−1)n+1，得a n+2−a n=−2⋅(−1)n．所以当n为奇数时，a n+2−a n=2，当n为偶数时，a n+2−a n=−2．又a1=2，a n+a n+1=(−1)n，所以a2=−3，所以a1，a3，a5，…，a2k−1，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…，a2k，…构成以−3为首项，−2为公差的等差数列．−1)=n+1；所以当n是奇数时，a n=2+2(n+12−1)=−(n+1)．当n是偶数时，a n=−3−2(n2故数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n+1(n+1)．所以答案是：a n=(−1)n+1(n+1).解答题15、已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2，b2=4，a n=2log2b n,n∈N∗．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100．答案：(1)a n=2n，b n=2n，n∈N∗，(2)11302，分析：（1）先由已知条件求出b1=2，a2=4，从而可求出公差和公比，进而可求出数列的通项公式，（2）由（1）b n=2n=2⋅2n−1=a2n−1，即b n是数列{a n}中的第2n−1项，而b7=a26=a64，b8=a27=a128，从而可知数列{c n}的前100项是由数列{a n}的前107项去掉数列{b n}的前7项后构成的，进而可求得结果（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=2，b2=4，a n=2log2b n,n∈N∗，可得b1=2，a2=4，则d=2，q=2，a n=2n，b n=2n，n∈N∗，（2）由（1）b n=2n=2⋅2n−1=a2n−1，即b n是数列{a n}中的第2n−1项，设数列{a n}的前n项和为P n，数列{P n}的前n项和为Q n，因为b7=a26=a64，b8=a27=a128，所以数列{c n}的前100项是由数列{a n}的前107项去掉数列{b n}的前7项后构成的，所以S100=P107−Q7=107(2+214)2−2−281−2=11302，。
高二理科数学选修测试题及答案
高二选修2-2理科数学试卷第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -22、 已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )A.31+cos1B. 31sin1+cos1C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos13、设a R ∈，函数()xxf x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-14、定积分dx e x x⎰-1)2(的值为（ ）A ．e -2B ．e -C ．eD ．e +25、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…12n －1<f(n) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k －1项 D ．2k 项6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（ ） A.340 B.13 C.225D.15 7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]9、 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（ ）A.4()22xf x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 10、 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）(A) １(B) (C) ２ (D)12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（ ）A ．f （0）＋f （2）? 2 f （1）B ．f （0）＋f （2）? 2 f （1）C ．f （0）＋f （2）> 2 f （1）D ．f （0）＋f （2）? 2 f （1）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则20()f x dx ⎰=14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++（）；利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，； 则四面体的体积V= 15、若复数z ＝21＋3i，其中i 是虚数单位，则|z |＝______. 16、已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．三、解答题（本大题共70分）17、（10分）实数m 取怎样的值时，复数i m m m z )152(32--+-=是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18、（12分）已知函数3()3f x x x =-.（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ；⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围 21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.22、（12分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C 13、56 14、 23413S S ++1R （S +S ） 15、1 16、[－1,7)17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分）（2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分）（3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分）18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间 又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分（II ）设切点为3(,3)Q x x x -o o o ，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--oo o o ， 解得0x =o 或3x =o 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分 ⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--= …………5分 证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立, 则1+=k n 时, )1(21)1(211111k k k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++ )111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11. 即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-()f x所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；…………6分（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 0,()x g x =3;1,()m x g x +=2m +. ………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m的范围是(3,2)--.…………12分22. 解：（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，，∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，，∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x=，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a =（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x+-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()2x a x a f x x+-'=>． ∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x+-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
高中数学选修二综合测试题考点精题训练(带答案)
高中数学选修二综合测试题考点精题训练单选题1、已知函数f (x )={x 2+1,x ≥0−x 3+3x +a,x <0 的值域为[1,+∞)，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．[3,+∞) 答案：D分析：求出函数y =x 2+1在x ≥0时值的集合， 函数y =−x 3+3x +a 在x <0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当x ≥0时，f(x)=x 2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当x <0时，f(x)=−x 3+3x +a ，f ′(x)=−3x 2+3=−3(x +1)(x −1)，当x <−1时，f ′(x)<0，当−1<x <0时，f ′(x)>0，即f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增， ∀x <0，f(x)≥f(−1)=a −2，则f(x)在(−∞,0)上值的集合为[a −2,+∞)，因函数f (x )={x 2+1,x ≥0−x 3+3x +a,x <0 的值域为[1,+∞)，于是得[a −2,+∞)⊆[1,+∞)，则a −2≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞). 故选：D2、函数f(x)=2x 2−lnx 的单调减区间是（ ） A ．(−∞，12)B ．(0，12)C ．(−∞，−12)和(0，12)D ．(12，+∞)答案：B分析：根据函数求导，然后由f ′(x)<0求解. 因为函数f(x)=2x 2−lnx ， 所以f ′(x)=4x −1x =4x 2−1x=4(x−12)(x+12)x，由f ′(x)<0，解得0<x <12，所以函数的单调递减区间是(0,12)， 故选：B3、已知等差数列{a n }的公差d 为正数，等比数列{b n }的公比为q ，若a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 14=b 4，则d +q =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B分析：分析得到q >1，再解方程组{1+d =q 1+13d =q 3即得解.由a 2=b 2,a 14=b 4，得{1+d =q 1+13d =q 3，因为d >0,∴q >1，所以q 3−1q−1=13,∴q 2+q −12=0， 解得q =3,d =2,d +q =5. 故选：B.4、已知a =cos 23，b =sin 79，c =79，则（ ） A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．c >b >a 答案：A分析：令f(x)=x −sinx ,求导得f ′(x)=1−cosx ≥0，于是得f(x)在R 上单调递增，所以当x >0时有x >sinx ，进而可得c >b ，由二倍角公式及f(x)的单调性可得a =cos 23=1−2sin 213>1−2×(13)2=79，即可得答案.解：令f(x)=x −sinx ,则f ′(x)=1−cosx ≥0， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以当x >0时，f(x)>f(0)=0， 即当x >0时，x >sinx ， 所以79>sin 79，即c >b ，又因为a =cos 23=1−2sin 213>1−2×(13)2=79， 即a >c ，综上所述：a >c >b . 故选：A.小提示：本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，也考查了导数的应用和逻辑推理能力，属于较难题.5、汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]上的平均速度分别为v̅1，v̅2，v̅3，则三者的大小关系为（ ）A ．v̅1<v̅2<v̅3B ．v̅1<v̅3<v̅2C ．v̅3<v̅2<v̅1D ．v̅2<v̅3<v̅1 答案：A分析：结合图象，利用平均变化率的定义求解. 因为v̅1=k OA ，v̅2=k AB ，v̅3=k BC ， 由图象知k OA <k AB <k BC ， 所以v̅1<v̅2<v̅3． 故选：A6、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.7、下列求导运算正确的是（ ）A．(lnx+3x )′=1x+3x2B．(xe x)′=1−xe xC．(3x cos2x)′=3x(ln3⋅cos2x+2sin2x)D．(ln2+log2x)′=2+11−ln2答案：B分析：根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．选项A，(lnx+3x )′=1x−3x2，故A错；选项B，(xe x )′=x′e x−x(e x)′(e x)2=1−xe x，故B正确；选项C，(3x cos2x)′=(3x)′cos2x+3x(cos2x)′=3x ln3cos2x−2⋅3x sin2x=3x(ln3⋅cos2x−2sin2x)，故C错；选项D，(ln2+log2x)′=1xln2，故D错.故选：B.8、等差数列{a n}中，a1=1，a6=2a3.设b n=2a n，记S n为数列{b n}的前n项和，若S m=62，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6答案：C分析：首先求数列{a n}的通项公式，然后利用等比数列的前n项和公式，求m的值.设{a n}的公差为d，由题意得a n=1+(n−1)d，因为a6=2a3，所以1+(6−1)d=2[1+(3−1)d]，解得d=1，故a n=n，则b n=2n.所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n=2−2n+11−2=2n+1−2，由S m=62得2m+1−2=62，解得m=5.故选：C.多选题9、对于函数f(x)=lnxx2，下列说法正确的是（）A．f(x)在x=√e处取得极大值12eB．f(x)有两个不同的零点C ．f(√2)<f(√π)<f(√3)D ．若f (x )<k −1x2在(0,+∞)上恒成立，则k >e2答案：ACD分析：根据导函数确定f(x)的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【解】A 选项，f (x )=lnx x2，定义域为(0,+∞)，∴f ′(x )=1−2lnx x 3，令f ′(x )=0，解得x =√e ，当0<x <√e 时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0,√e)上单调递增， 当x >√e 时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(√e,+∞)上单调递减， ∴函数在x =√e 时取得极大值也是最大值f(√e)=12e ，故A 对，B 选项，∵0<x <1时f (x )<0，f (1)=0，f(x)max =f(√e)=12e >0，当x >1时f (x )>0，如下图所示：∴函数f (x )有且只有唯一一个零点，故B 错，C 选项，∵当x >√e 时f (x )为单调递减函数，∴f(√π)<f(√3)， ∵f(√2)=ln √22=ln24=f(2)<f(√π)，∴f(√2)<f(√π)<f(√3)，故C 对，D 选项，∵f (x )<k −1x2，故k >f (x )+1x 2=lnx+1x 2，由于函数在(0,+∞)上恒成立，∴k >(lnx+1x 2)max，设g (x )=lnx+1x 2，定义域为(0,+∞)，则g ′(x )=−2lnx−1x 3，设g ′(x )=0，解得x =√e ，∴x ∈√e),g ′(x )>0,g(x)单调递增，x ∈(√e,+∞),g ′(x )<0,g(x)单调递减，∴g (x )max =g (√e )=e −e2=e2，故k >e2，故D 对.故选：ACD.10、下列求导数运算正确的有（ ） A ．(sinx)′=cosx B ．(1x )′=1x 2C ．(log 3x)′=13lnxD ．(lnx)′=1x答案：AD分析：根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. A ：(sinx)′=cosx ，故正确； B ：(1x)′=−1x2，故错误；C ：(log 3x)′=1xln3，故错误；D ：(lnx)′=1x ，故正确. 故选：AD11、设函数f(x)=e xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x)定义域是（0，+∞）B ．x ∈（0，1）时，f(x)图象位于x 轴下方C ．f(x)存在单调递增区间D ．f(x)有且仅有两个极值点 答案：BC解析：根据{x >0lnx ≠0可得定义域，即可判断A ；通过当x ∈(0,1)时，f (x )<0可判断B ；由题意函数f(x)=e xlnx 满足{x >0lnx ≠0，解得x >0且x ≠1， 所以函数f(x)=e xlnx的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，所以A 不正确；由f(x)=e xlnx ，当x ∈(0,1)时，lnx <0，∴f (x )<0，所以f(x)在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确； ∵f ′(x )=e x (lnx−1x)(lnx )2，设g (x )=lnx −1x ，g ′(x )=1x +1x 2.(x >0)所以g ′(x )>0，函数g (x )单调增，g (e )=1−1e >0，g (e 2)=2−1e 2>0，所以f ′(x)>0在定义域上有解，所以函数f (x )存在单调递增区间，所以C 是正确的；则函数f ′(x)=0只有一个根x 0，使得f ′(x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(x0,+∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；故选：BC.小提示：本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.填空题12、已知函数f(x)=xe x，g(x)=2xln2x，若f(x1)=g(x2)=t，t>0，则lntx1x2的最大值为______________答案：2e分析：由已知等式代入可得x1e x1=2x2ln2x2=t，然后结合对数的运算和性质得出x1+lnx1=ln(2x2)+ln(ln2x2)=lnt，构造函数y=x+lnx(x>0)并由函数的单调性可得出x1=ln(2x2)，代入到所求式子后得lnt x1x2=lntt2=2lntt，再次构造函数ℎ(t)=2lntt，利用导数研究函数的单调性，可知当t=e时，ℎ(t)取得最大值，代入即可求出lntx1x2的最大值.解：由题意得，f(x1)=x1e x1=t，g(x2)=2x2ln2x2=t，∴x1e x1=2x2ln2x2=t，t>0，∴ln(x1e x1)=ln(2x2ln2x2)=lnt，即x1+lnx1=ln(2x2)+ln(ln2x2)=lnt，设y=x+lnx(x>0)，则y′=1+1x>0，可知y=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，所以x1=ln(2x2)，则x1+lnx1=ln(2x2)+lnx1=ln(2x1x2)=lnt，∴2x1x2=t，则x1x2=t2，∴lntx1x2=lntt2=2lntt，令ℎ(t)=2lntt ，则ℎ′(t)=2−2lntt2，当0<t≤e时，则ℎ′(t)≥0，ℎ(t)单调递增，当0>e时，则ℎ′(t)<0，ℎ(t)单调递减，故当t=e时，ℎ(t)取得最大值ℎ(e)=2e，即lntx1x 2的最大值为2e .所以答案是：2e.小提示：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键是利用对数的运算进行化简以及构造新函数并灵活利用函数的单调性，属于中档题. 13、已知在数列{a n }中，a 1=56，a n+1=13a n +(12)n+1，则a n =______．答案：32n−23n分析：由构造法可得2n+1a n+1−3=23(2n a n −3)，所以数列{2n a n −3}是以−43为首项，23为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式.因为a 1=56，a n+1=13a n +(12)n+1，所以2n+1a n+1=23×2n a n +1，整理得2n+1a n+1−3=23(2n a n −3)，所以数列{2n a n −3}是以2a 1−3=−43为首项，23为公比的等比数列，所以2n a n −3=−43(23)n−1，解得a n =32n −23n ．所以答案是：32n −23n .14、若a n =−2n 2+29n +3，则数列{a n }的最大项是第______项． 答案：7分析：a n =−2n 2+29n +3，对应的二次函数为y =−2x 2+29x +3，对称轴为x =294，找到离对称轴最近的整数即可．a n =−2n 2+29n +3，其对应的二次函数为y =−2x 2+29x +3， 对称轴为x =294，但n 为正整数，所以离x =294最近的整数为7，所以{a n }在第7项取最大值． 所以答案是：7. 解答题15、已知函数f (x )=ae 2x +(a −2)e x −x ，讨论f (x )的单调性． 答案：答案见解析分析：就a≤0,a>0分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.f(x)的定义域为R，f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(ae x−1)(2e x+1)，若a≤0，则f′(x)<0恒成立，故f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；若a>0，则当x<−lna时，f′(x)<0，当x>−lna时，f′(x)>0，故f(x)在(−lna,+∞)上为增函数，在(−∞,−lna)上为减函数，综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；当a>0时，f(x)在(−lna,+∞)上为增函数，在(−∞,−lna)上为减函数．。
高中数学选修二综合测试题知识总结例题(带答案)
高中数学选修二综合测试题知识总结例题单选题1、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1．则（）A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b答案：B分析：利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数f(x)=2ln(1+x)−√1+4x+1,g(x)=ln(1+2x)−√1+4x+1，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. [方法一]：a=2ln1.01=ln1.012=ln(1+0.01)2=ln(1+2×0.01+0.012)>ln1.02=b，所以b<a；下面比较c与a,b的大小关系.记f(x)=2ln(1+x)−√1+4x+1，则f(0)=0，f′(x)=21+x√1+4x =√1+4x−1−x) (1+x)√1+4x由于1+4x−(1+x)2=2x−x2=x(2−x)所以当0<x<2时，1+4x−(1+x)2>0，即√1+4x>(1+x)，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(0.01)>f(0)=0，即2ln1.01>√1.04−1，即a>c；令g(x)=ln(1+2x)−√1+4x+1，则g(0)=0，g′(x)=21+2x −√1+4x=√1+4x−1−2x)(1+x)√1+4x，由于1+4x−(1+2x)2=−4x2，在x>0时，1+4x−(1+2x)2<0，所以g′(x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0，即ln1.02<√1.04−1，即b<c；综上，b<c<a，故选：B.[方法二]：令f(x)=ln(x2+12)−x−1(x>1)f ′(x )=-(x−1)2x 2+1<0，即函数f(x)在（1，+∞)上单调递减f(√1+0.04)<f (1)=0,∴b <c令g (x )=2ln (x 2+34)−x +1(1<x <3)g ′(x )=(x−1)(3−x )x 2+3>0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增g(√1+0.04)⟨g (1)=0,∴a ⟩c综上，b <c <a ， 故选：B.小提示：本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 2、函数f (x )=2x −sinx 在(−∞,+∞)上是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定 答案：A分析：利用导数直接判断函数的单调性.∵f (x )=2x −sinx ，∴f ′(x )=2−cosx >0在(−∞,+∞)上恒成立， ∴f (x )在(−∞,+∞)上是增函数． 故选：A3、设函数f(x)=cosx ，则[f(π2)]′＝（ ） A ．0B ．1C ．−1D ．以上均不正确 答案：A分析：先求f(π2)的值再求导，实质是常数的导数为0. 因为f(π2)=cos π2=0为常数，所以[f(π2)]′=0.故选：A.4、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A，f(x)=−x为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，f(x)=(23)x为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，f(x)=x2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.5、已知f(x)=3xe x，则f(x)（）A．在(−∞,+∞)上单调递增B．在(−∞,1)上单调递减C．有极大值3e，无极小值D．有极小值3，无极大值答案：C分析：根据导数判断单调性与极值f′(x)=3−3xe x，则x<1时f′(x)>0，x>1时f′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减有极大值f(1)=3e故选：C6、设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n和为T n，已知a5=11,S10=120,b n=1a n⋅a n+1，若T k=17，则正整数k的值为（）A．9B．8C．7D．6答案：A分析：设等差数列{a n}的公差为d，根据a5=11,S10=120求得公差d，即可求得数列{a n}的通项，从而求得数列{b n}的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n}的前n和为T n，从而可得出答案.解：设等差数列{a n}的公差为d，S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)=5(11+a6)=120，所以a6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1， 所以b n =1an ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)，所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.7、用数学归纳法证明不等式12+13+14+⋯+12n−1>n2−1(n ∈N ∗,n ≥2)时，以下说法正确的是（ ） A ．第一步应该验证当n =1时不等式成立B ．从“n =k 到n =k +1”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n =k 到n =k +1”左边需要增加2k 项D ．从“n =k 到n =k +1”左边需要增加的代数式是12k−1+1+12k−1+2+⋯+12k 答案：D解析：根据题意n ≥2可知可以判定A 错误；根据n=k+1和n=k 时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.第一步应该验证当n =2时不等式成立，所以A 不正确；因为12+13+14+⋯+12k −(12+13+14+⋯+12k−1)=12k−1+1+12k−1+2+⋯12k ，所以从“n =k 到n =k +1”左边需要增加的代数式是12k−1+1+12k−1+2+⋯+12k ，所以B 不正确； 所以从“n =k 到n =k +1”左边需要增加2k−1项，所以C 不正确. 故选:D.小提示：本题考查数学归纳法证明中的关键步骤，关键要清楚不等式左边的和式的结构特征，特表要注意首项，末项和项数的变化情况.8、已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1=1，b 1=5，且a 21−b 21=34，则a 11−b 11的值为（ ） A ．-17B ．-15C ．17D ．15 答案：D分析：结合等差数列的通项公式可求得d1−d2=1910，进而可求出结果.因为数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}，{b n}的公差分别为d1,d2，又a1=1，b1=5，且a21−b21=34，则(a1+20d1)−(b1+20d2)=34，即d1−d2=1910，所以a11−b11=(a1+10d1)−(b1+10d2)=−4+10(d1−d2)=15，故选：D.多选题9、已知函数f(x)=xcosx−sinx，下列结论中正确的是（）A．函数f(x)在x=π2时，取得极小值-1B．对于∀x∈(0,π)，f(x)<0恒成立C．若0<x1<x2<π，则x1x2<sinx1sinx2D．若a<sinxx <b，对于∀x∈(0,π2)恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为1答案：BCD分析：利用导数研究f(x)在(0,π)上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造g(x)=sinxx，应用导数研究单调性即知C的正误；构造ℎ(x)=sinx−mx，应用导数并结合分类讨论的方法研究x∈(0,π2)上ℎ(x)>0、ℎ(x)< 0恒成立时m的取值范围，即可判断正误.f′(x)=−xsinx，∴(0,π)上f′(x)<0，即(0,π)上f(x)递减，则f(x)<f(0)=0，∴A错误，B正确；令g(x)=sinxx ，则在(0,π)上g′(x)=xcosx−sinxx2≤0，即g(x)递减，∴0<x1<x2<π时，有x1x2<sinx1sinx2，C正确；x>0，则a<sinxx 等价于sinx−ax>0，sinxx<b等价于sinx−bx<0，令ℎ(x)=sinx−mx，则ℎ′(x)=cosx−m，x∈(0,π2)，∴当m≤0时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)递增，故ℎ(x)>ℎ(0)=0；当m≥1时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)递减，故ℎ(x)<ℎ(0)=0；当0<m <1时，存在x 0∈(0,π2)使ℎ′(x 0)=cosx 0−m =0，∴此时，(0,x 0)上ℎ′(x)>0，则ℎ(x)递增，ℎ(x)>ℎ(0)=0；(x 0,π2)上ℎ′(x)<0，则ℎ(x)递减，∴要使ℎ(x)=sinx −mx >0在(x 0,π2)上恒成立，则ℎ(π2)=1−mπ2≥0，得0<m ≤2π.综上，m ≤2π时，x ∈(0,π2)上ℎ(x)>0恒成立，m ≥1时x ∈(0,π2)上ℎ(x)<0恒成立， ∴若a <sinx x<b ，对于∀x ∈(0,π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，正确.故选：BCD小提示：关键点点睛：选项D ，由题设不等式构造ℎ(x)=sinx −mx ，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.10、已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，满足a 1+3a 2=S 6，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．a 7=0B ．S 13=0C ．S 7最小D ．S 5=S 8 答案：ABD解析：由条件可得a 7=0，然后逐一判断每个选项即可 因为{a n }是等差数列，a 1+3a 2=S 6所以a 1+3(a 1+d)=6a 1+15d ，所以2a 1+12d =0 即a 1+6d =0，即a 7=0 所以S 13=13a 7=0S 8−S 5=a 6+a 7+a 8=3a 7=0所以正确的有ABD 故选：ABD小提示：本题考查的是等差数列的性质及其前n 项和的性质，属于典型题. 11、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 填空题12、在数列{a n }中，若a 1=1,a n+1=a n 1+2a n，则a n =________.答案：12n−1分析：通过取倒数的方法，证得数列{1a n}是等差数列，求得1a n，进而求得a n .取倒数得:1a n+1=1a n+2，所以数列{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n=1+2(n −1)=2n −1，所以a n =12n−1.所以答案是：12n−113、过点(1,2)且与y =2x 2相切的直线方程为______. 答案：y =4x −2分析：设切点为(t,2t 2)，利用导数可得出切线方程，将点(1,2)的坐标代入切线方程，求出t 的值，即可得出所求切线的方程.设切点为(t,2t 2)，对函数y =2x 2求导得y ′=4x ，所以，曲线y =2x 2在点(t,2t 2)处的切线方程为y −2t 2=4t (x −t )，即y =4tx −2t 2， 将点(1,2)的坐标代入切线方程可得4t −2t 2=2，可得t 2−2t +1=0，解得t =1，故所求切线方程为y=4x−2.所以答案是：y=4x−2.14、能说明“若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题的一个函数是__________.答案：f(x)=x3+1(答案不唯一)解析：根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.若f(x)=x3+1，则f′(x)=3x2是偶函数，但f(−x)=−x3+1≠−f(x)，所以f(x)不是奇函数；能满足“若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题.所以答案是：f(x)=x3+1.小提示：本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.解答题15、设函数f(x)=lnx+kx,k∈R．（1）若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x−2=0垂直，求f(x)的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任何x1>x2>0,f(x1)−f(x2)<x1−x2恒成立，求k的取值范围．答案：（1）单调递减区间为(0,e)，极小值为2；（2）[14,+∞).分析：（1）求导，利用f′(e)=0求出k，代入导函数可得单调性和极值；（2）条件等价于对任意x1>x2>0,f(x1)−x1<f(x2)−x2恒成立，设ℎ(x)=f(x)−x=lnx+kx−x(x>0)，可得ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，则ℎ′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.（1）由条件得f′(x)=1x −kx2(x>0)，∵y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与x−2=0垂直，∴此切线的斜率为0，即f′(e)=0，有1e −ke2=0，得k=e，∴f′(x)=1x −ex2=x−ex2(x>0)，由f′(x)<0得0<x<e，由f′(x)>0得x>e．∴f(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，当x=e时，f(x)取得极小值f(x)=ln e+ee=2．故f(x)的单调递减区间为(0,e)，极小值为2（2）条件等价于对任意x1>x2>0,f(x1)−x1<f(x2)−x2恒成立，设ℎ(x)=f(x)−x=lnx+kx−x(x>0)．则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，则ℎ′(x)=1x −kx2−1≤0在(0,+∞)上恒成立，得k≥−x2+x=−(x−12)2+14(x>0)恒成立，∴k≥14（对k=14,ℎ′(x)=0仅在x=12时成立），故k的取值范围是[14,+∞)。
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高二数学
常用逻辑用语圆锥曲线与方程综合测试题
一．选择题
1．有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
2．若命题p : 0是偶数，命题q : 2是3的约数.则下列命题中为真的是( ) 且q 或q C.非p D.非p 且非q
3．已知命题: 对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则是
A ．存在,sin 1x R x ∈≥有
B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有
C ．存在,sin 1x R x ∈>有
D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有4 一动圆与两圆：221x y +=和22
8120x y x +-+=都外切，则动圆心的轨迹为（ ）
（A ）圆弧 （B ）圆 （C ）椭圆 （D ）双曲线的一支
5 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（ ） A 116922=+y x B 1162522=+y x C 1251622=+y x D 19
162
2=+y x 6．a <0,b <0的一个必要条件为( )
A. a +b <0
B. a －b >0
C.b a >1
D. b a >－1 7．“12
m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
8 以椭圆116
252
2=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A 1481622=-y x B 127922=-y x C 1481622=-y x 或127
92
2=-y x D 以上都不对 9 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A. 12
B. 22
C. 2
D. 2 10 已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0)a b >>的右焦点为F ，若过点F 且与斜率为正数的渐近线垂直的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A ．（1，] B ．（1，） C ．[，＋∞） D.（，＋∞）
二．填空题
11. 双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________
12．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点； 命题βα//:q ， 则q p 是的 条件
13. 若椭圆221x my +=的离心率为2
，则它的半长轴长为_______________ 14、过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________
三．解答题
15、已知a ，b ，c 都是实数，证明ac ＜0是关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.
16、已知圆()11:221=++y x C 和圆()91:22
2=+-y x C ，求与圆1C 外切而内切于圆2C 的动圆圆心P 的轨迹方程。
17、求与双曲线136
272
2=-y x 有共同的渐近线，且经过点(233,9)的双曲线方程。
18. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程
19．命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程2
44(2)10x m x +++=无实数根 若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围
20、设F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22x y a b
+ =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点. （i ）若椭圆C 上的点A （1，32
）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；
（ii ）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程
高二数学 常用逻辑用语圆锥曲线与方程
综合测试题答案
一．选择题：1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．A 8．B 9．B 10．
二．填空：11．22
1205
x y -=± 12．必要不充分 13．1,2或 14．53
三．解答题：
15．证明：
(1)充分性：若ac ＜0,则Δ=b 2－4ac ＞0. 方程ax 2+bx +c =0有两个相异的实根，设为x 1,x 2. ∵ac ＜0,∴x 1x 2=a
c ＜0. 即x 1、x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
(2)必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1＞0,x 2＜0,则x 1x 2=a
c ＜0,∴ac ＜0. 由(1)(2)知ac ＜0是方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.
16．
17．
18．解：设抛物线的方程为2
2y px =，则22,21y px y x ⎧=⎨=+⎩
消去y 得 21212214(24)10,,24
p x p x x x x x ---+=+==
12AB x =-=
==，
24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或
19．解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题
当p 为真命题时，则21212
40010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；
当q 为真命题时，则216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得
当q 和p 都是真命题时，得32m -<<-
1m ∴<-
20．。