范数-摆脱课本繁琐的公式,比较好懂
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上节课回顾
1/35
直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解 直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解. 是通过有限步运算后得到线性方程组的解 包含:高斯消元法 列主元消去法)、三角分解法、 高斯消元法(列主元消去法 包含 高斯消元法 列主元消去法 、三角分解法、 追赶法. 追赶法 列主元素法的精度虽稍低些, 计算简单 且具有良 列主元素法的精度虽稍低些,但计算简单,且具有良 的精度虽稍低些 好的数值稳定性。 好的数值稳定性。 三角分解法 A=LU LY=b
(又称为 的 又称为A的 又称为 列范数) 列范数
(λ为ATA的特 为 的特 || AX ||2 (2) || A ||2 = max = λmax ( AT A） 征值中绝对 ; n X ∈R || X ||2 值最大者) 值最大者 || X || ≠ 0
n || AX ||∞ (3) || A ||∞ = max = max ∑ | aij | 1≤i ≤ n X ∈R n || X || j =1 ∞ || X || ≠ 0
|| AX || = max n || AX || ||A||= max X ∈R n || X || || X || =1 , X ∈R || X || ≠ 0
为矩阵A的从属于该向量范数的范数， 为矩阵 的从属于该向量范数的范数，或称 为矩阵A的算子，记为||A||。 为矩阵 的算子，记为 。
计算方法三 计算方法三⑤
UX=Y 解线性方程组的所有直接的方法比较适用于中小 型方程组.对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的,但在 对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的 型方程组 对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的 但在 计算中很难保持稀疏性,因而有存储量大 因而有存储量大， 计算中很难保持稀疏性 因而有存储量大，程序复杂等 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决. 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决
|| X ||2 =
∑x
i =1
n
2
i
= x1 + x2 + ... + xn
2 2
2
范数： （3）向量的 ）向量的∞—范数： 范数 范数： （4）向量的 ）向量的p—范数： || 范数
计算方法三 计算方法三⑤(1≤p≤∞)
|| X ||∞ = max | xi |
1≤i ≤ n
n
X || p =
p
计算方法三 计算方法三⑤
16/35
•矩阵范数的性质： 矩阵范数的性质
（1）对任意 ∈Rn×n,有||A||≥0，当且仅当 ）对任意A∈ × 有 ，当且仅当A=0时， 时 ||A||=0. 为任意实数） （2）||λA||=|λ|||A||（λ为任意实数） ） （ 为任意实数 × （3）对于任意 、B ∈Rn×n ，恒有 ）对于任意A、 ||A+B||≤||A||+||B||. ≤ × 恒有： （4）对于矩阵 ∈Rn×n，X ∈Rn ，恒有： ）对于矩阵A ||AX|| ≤ ||A||• ||X||. • × （5）对于任意 、B ∈Rn×n 恒有 ||AB|| ≤ ||A|| • ||B|| ）对于任意A、
k →∞ (k )
= X ⇔ lim || X
k →∞
− X ||∞ = 0
定理3.5 在空间 n中，向量序列 (k)}收敛于向量 在空间R 向量序列{X 收敛于向量 定理 X的充要条件是对 的任意范数 ·||，有： 的充要条件是对X的任意范数 的充要条件是对 的任意范数|| ，
lim || X ( k ) − X ||= 0
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
13/35
a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
x2
k = →1 k +1
∴ lim X
k →∞
0 = 1
计算方法三 计算方法三⑤
9/35
注：显然有： 显然有：
|| X ||∞ = max | xi |
1≤i ≤ n
lim X
k →∞
(k )
=X
⇔ lim X
k →∞
(k )
(
(k )
−X =0
)
由无穷范数的定义知： lim X
几种常用的矩阵范数
11/35
常用的矩阵范数有A的 范数 范数、 的 范数、 的 常用的矩阵范数有 的1—范数、 A的2—范数、 A的 范数 ∞—范数，可以证明下列定理 范数， 范数 可以证明下列定理: 列元素绝对值之 定理3.6 定理 设A∈Rn×n，X∈Rn，则 ∈ × ∈
和的最大值
n || AX ||1 (1) || A ||1 = max = max ∑ | aij | n 1≤ j ≤ n X ∈R || X ||1 i =1 || X || ≠ 0
1 2 3 A = 4 5 6 7 8 0
计算方法三 计算方法三⑤
15/35
计算矩阵A的各种范数 例6. 计算矩阵 的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') ， n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564 ， ， ，
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) 源自文库 →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
∑| x |
i =1 i
p
4/35
例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数
X 1 = ∑ xk =7 || X ||2 =
n
∑x
i =1
n
2
i
= 21
|| X ||∞ = max | xi | =4
1≤i ≤ n
n
k =1
|| X || p =
p
∑| x |
i =1 i
p
= 1+ 4 + 2
计算方法三 计算方法三⑤
几种常用的向量范数： 几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)
范数： （1）向量的 ）向量的1—范数： 范数
n
3/35 T
|| X ||1 = ∑ | xi | =| x1 | + | x2 | +...+ | xn |
i =1
范数： （2）向量的 ）向量的2—范数： 范数
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
向量范数的等价性
定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则 任意两种范数， 定理 存在C 都有： 存在 1，C2>0，使得对任意 ∈Rn，都有： ，使得对任意X∈ C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p （证明略） 证明略） 使得： 注：同样有下列结论：存在C3,C4>0 使得： 同样有下列结论：存在 C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q
(k )
7/35
x1 x2 (k→∞) xn
X
(k→∞)
8/35
例：设
X
(k )
1 (k ) k x1 = = k x (k ) 2 k +1
(k )
显然， k→∞时 解: 显然，当k→∞时，
x1
(k )
1 = →0 k
(k )
行元素绝 对值之和 的最大值
计算方法三 计算方法三⑤
(又称为 的行范数 又称为A的行范数) 又称为
例：设A= 解：
12/35 1 − 2 的各种范数 − 3 4 求A的各种范数
||A||1=6，||A||∞=7 ，
|| A ||2 = λ = 15 + 221 ≈ 5.46
计算方法三 计算方法三⑤
线性方程组 AX=b
迭代过程中经常要遇到向量范数， 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以 及序列极限的概念。为此， 及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知 识和有关概念。 识和有关概念。
2/35
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数 向量范数： 对n维实空间 n中任一向量X ，按一定规则有一 维实空间R 任一向量 维实空间 确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 确定的实数与其相对应，该实数记为 ， 满足 下面三个性质： 下面三个性质： (1)(非负性 非负性)||X||≥0，||X||=0当且仅当 当且仅当X=0。 非负性 ≥ ， 当且仅当 。 (2)(齐次性 对任意实数λ ，|| λ X||=| λ | ||X||。 齐次性)对任意实数 齐次性 对任意实数λ 。 n ≤ (3)(三角不等式 对任意向量Y∈R ，||X+Y||≤||X||+||Y|| 三角不等式)对任意向量 ∈ 三角不等式 对任意向量 则称该实数||X||为向量 的范数 为向量X的范数 则称该实数 为向量
k →∞
计算方法三 计算方法三⑤
10/35
定理3.5 在空间 n中，向量序列 (k)}收敛于向 在空间R 向量序列{X 收敛于向 定理 的充要条件是对X的任意范数 量X的充要条件是对 的任意范数 ·||，有： 的充要条件是对 的任意范数|| ，
lim || X
k →∞
(k )
− X ||= 0
× 二、矩阵范数：设A是n×n 阶矩阵，A∈Rn×n 矩阵范数： 是 × 阶矩阵， X∈Rn， ||X||为Rn中的某范数，称 ∈ 为 中的某范数，
p p
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
10 − 14 A' A = − 14 20
注： |λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
2 ——弗罗贝尼乌斯 弗罗贝尼乌斯
AF =
∑ ∑a
j =1 i =1
n
n
ij
(Frobenius)范数 范数 简称F范数 简称 范数
计算方法三 计算方法三⑤
|| A ||F = 30 ≈ 5.477
∑ ∑a
j=1 i=1
n
n
2 ij
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数 范数简称 范数 计算方法三 计算方法三⑤
14/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令 函数 ： 中计算矩阵的范数的命令(函数 中计算矩阵的范数的命令 函数)： 矩阵A的谱范数 范数 矩阵 的谱范数(2范数 的谱范数 范数), = A’A的最大特征值的算术根 . 的最大特征值的算术根 (2) n = norm(A,1) 矩阵 的列范数（1-范数） 矩阵A的列范数 的列范数（ 范数 范数） 的最大列之和. 等 于A的最大列之和 的最大列之和 (3)n = norm(A,inf) 矩阵 的行范数 无穷范数 矩阵A的行范数 无穷范数) 的行范数(无穷范数 等于A的最大行之和 的最大行之和. 等于 的最大行之和 (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数 矩阵 的 范数. 范数 (1) n = norm(A)
注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意 上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， 等价性 两种范数都是等价的。 两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量 范数的等价性。 范数的等价性。 计算方法三 计算方法三⑤
向量序列的收敛问题
6/35
定义：假定给定了 定义：假定给定了Rn空间中的向量序列 X(1),X(2),...,X(k),...，简记为 (k)}，其中 ，简记为{X ， X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分 都存在极限x 量xi(k)都存在极限 i，即
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直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解 直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解. 是通过有限步运算后得到线性方程组的解 包含:高斯消元法 列主元消去法)、三角分解法、 高斯消元法(列主元消去法 包含 高斯消元法 列主元消去法 、三角分解法、 追赶法. 追赶法 列主元素法的精度虽稍低些, 计算简单 且具有良 列主元素法的精度虽稍低些,但计算简单,且具有良 的精度虽稍低些 好的数值稳定性。 好的数值稳定性。 三角分解法 A=LU LY=b
(又称为 的 又称为A的 又称为 列范数) 列范数
(λ为ATA的特 为 的特 || AX ||2 (2) || A ||2 = max = λmax ( AT A） 征值中绝对 ; n X ∈R || X ||2 值最大者) 值最大者 || X || ≠ 0
n || AX ||∞ (3) || A ||∞ = max = max ∑ | aij | 1≤i ≤ n X ∈R n || X || j =1 ∞ || X || ≠ 0
|| AX || = max n || AX || ||A||= max X ∈R n || X || || X || =1 , X ∈R || X || ≠ 0
为矩阵A的从属于该向量范数的范数， 为矩阵 的从属于该向量范数的范数，或称 为矩阵A的算子，记为||A||。 为矩阵 的算子，记为 。
计算方法三 计算方法三⑤
UX=Y 解线性方程组的所有直接的方法比较适用于中小 型方程组.对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的,但在 对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的 型方程组 对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的 但在 计算中很难保持稀疏性,因而有存储量大 因而有存储量大， 计算中很难保持稀疏性 因而有存储量大，程序复杂等 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决. 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决
|| X ||2 =
∑x
i =1
n
2
i
= x1 + x2 + ... + xn
2 2
2
范数： （3）向量的 ）向量的∞—范数： 范数 范数： （4）向量的 ）向量的p—范数： || 范数
计算方法三 计算方法三⑤(1≤p≤∞)
|| X ||∞ = max | xi |
1≤i ≤ n
n
X || p =
p
计算方法三 计算方法三⑤
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•矩阵范数的性质： 矩阵范数的性质
（1）对任意 ∈Rn×n,有||A||≥0，当且仅当 ）对任意A∈ × 有 ，当且仅当A=0时， 时 ||A||=0. 为任意实数） （2）||λA||=|λ|||A||（λ为任意实数） ） （ 为任意实数 × （3）对于任意 、B ∈Rn×n ，恒有 ）对于任意A、 ||A+B||≤||A||+||B||. ≤ × 恒有： （4）对于矩阵 ∈Rn×n，X ∈Rn ，恒有： ）对于矩阵A ||AX|| ≤ ||A||• ||X||. • × （5）对于任意 、B ∈Rn×n 恒有 ||AB|| ≤ ||A|| • ||B|| ）对于任意A、
k →∞ (k )
= X ⇔ lim || X
k →∞
− X ||∞ = 0
定理3.5 在空间 n中，向量序列 (k)}收敛于向量 在空间R 向量序列{X 收敛于向量 定理 X的充要条件是对 的任意范数 ·||，有： 的充要条件是对X的任意范数 的充要条件是对 的任意范数|| ，
lim || X ( k ) − X ||= 0
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
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a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
x2
k = →1 k +1
∴ lim X
k →∞
0 = 1
计算方法三 计算方法三⑤
9/35
注：显然有： 显然有：
|| X ||∞ = max | xi |
1≤i ≤ n
lim X
k →∞
(k )
=X
⇔ lim X
k →∞
(k )
(
(k )
−X =0
)
由无穷范数的定义知： lim X
几种常用的矩阵范数
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常用的矩阵范数有A的 范数 范数、 的 范数、 的 常用的矩阵范数有 的1—范数、 A的2—范数、 A的 范数 ∞—范数，可以证明下列定理 范数， 范数 可以证明下列定理: 列元素绝对值之 定理3.6 定理 设A∈Rn×n，X∈Rn，则 ∈ × ∈
和的最大值
n || AX ||1 (1) || A ||1 = max = max ∑ | aij | n 1≤ j ≤ n X ∈R || X ||1 i =1 || X || ≠ 0
1 2 3 A = 4 5 6 7 8 0
计算方法三 计算方法三⑤
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计算矩阵A的各种范数 例6. 计算矩阵 的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') ， n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564 ， ， ，
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) 源自文库 →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
∑| x |
i =1 i
p
4/35
例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数
X 1 = ∑ xk =7 || X ||2 =
n
∑x
i =1
n
2
i
= 21
|| X ||∞ = max | xi | =4
1≤i ≤ n
n
k =1
|| X || p =
p
∑| x |
i =1 i
p
= 1+ 4 + 2
计算方法三 计算方法三⑤
几种常用的向量范数： 几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)
范数： （1）向量的 ）向量的1—范数： 范数
n
3/35 T
|| X ||1 = ∑ | xi | =| x1 | + | x2 | +...+ | xn |
i =1
范数： （2）向量的 ）向量的2—范数： 范数
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
向量范数的等价性
定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则 任意两种范数， 定理 存在C 都有： 存在 1，C2>0，使得对任意 ∈Rn，都有： ，使得对任意X∈ C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p （证明略） 证明略） 使得： 注：同样有下列结论：存在C3,C4>0 使得： 同样有下列结论：存在 C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q
(k )
7/35
x1 x2 (k→∞) xn
X
(k→∞)
8/35
例：设
X
(k )
1 (k ) k x1 = = k x (k ) 2 k +1
(k )
显然， k→∞时 解: 显然，当k→∞时，
x1
(k )
1 = →0 k
(k )
行元素绝 对值之和 的最大值
计算方法三 计算方法三⑤
(又称为 的行范数 又称为A的行范数) 又称为
例：设A= 解：
12/35 1 − 2 的各种范数 − 3 4 求A的各种范数
||A||1=6，||A||∞=7 ，
|| A ||2 = λ = 15 + 221 ≈ 5.46
计算方法三 计算方法三⑤
线性方程组 AX=b
迭代过程中经常要遇到向量范数， 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以 及序列极限的概念。为此， 及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知 识和有关概念。 识和有关概念。
2/35
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数 向量范数： 对n维实空间 n中任一向量X ，按一定规则有一 维实空间R 任一向量 维实空间 确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 确定的实数与其相对应，该实数记为 ， 满足 下面三个性质： 下面三个性质： (1)(非负性 非负性)||X||≥0，||X||=0当且仅当 当且仅当X=0。 非负性 ≥ ， 当且仅当 。 (2)(齐次性 对任意实数λ ，|| λ X||=| λ | ||X||。 齐次性)对任意实数 齐次性 对任意实数λ 。 n ≤ (3)(三角不等式 对任意向量Y∈R ，||X+Y||≤||X||+||Y|| 三角不等式)对任意向量 ∈ 三角不等式 对任意向量 则称该实数||X||为向量 的范数 为向量X的范数 则称该实数 为向量
k →∞
计算方法三 计算方法三⑤
10/35
定理3.5 在空间 n中，向量序列 (k)}收敛于向 在空间R 向量序列{X 收敛于向 定理 的充要条件是对X的任意范数 量X的充要条件是对 的任意范数 ·||，有： 的充要条件是对 的任意范数|| ，
lim || X
k →∞
(k )
− X ||= 0
× 二、矩阵范数：设A是n×n 阶矩阵，A∈Rn×n 矩阵范数： 是 × 阶矩阵， X∈Rn， ||X||为Rn中的某范数，称 ∈ 为 中的某范数，
p p
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
10 − 14 A' A = − 14 20
注： |λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
2 ——弗罗贝尼乌斯 弗罗贝尼乌斯
AF =
∑ ∑a
j =1 i =1
n
n
ij
(Frobenius)范数 范数 简称F范数 简称 范数
计算方法三 计算方法三⑤
|| A ||F = 30 ≈ 5.477
∑ ∑a
j=1 i=1
n
n
2 ij
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数 范数简称 范数 计算方法三 计算方法三⑤
14/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令 函数 ： 中计算矩阵的范数的命令(函数 中计算矩阵的范数的命令 函数)： 矩阵A的谱范数 范数 矩阵 的谱范数(2范数 的谱范数 范数), = A’A的最大特征值的算术根 . 的最大特征值的算术根 (2) n = norm(A,1) 矩阵 的列范数（1-范数） 矩阵A的列范数 的列范数（ 范数 范数） 的最大列之和. 等 于A的最大列之和 的最大列之和 (3)n = norm(A,inf) 矩阵 的行范数 无穷范数 矩阵A的行范数 无穷范数) 的行范数(无穷范数 等于A的最大行之和 的最大行之和. 等于 的最大行之和 (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数 矩阵 的 范数. 范数 (1) n = norm(A)
注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意 上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， 等价性 两种范数都是等价的。 两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量 范数的等价性。 范数的等价性。 计算方法三 计算方法三⑤
向量序列的收敛问题
6/35
定义：假定给定了 定义：假定给定了Rn空间中的向量序列 X(1),X(2),...,X(k),...，简记为 (k)}，其中 ，简记为{X ， X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分 都存在极限x 量xi(k)都存在极限 i，即