立方根和开立方
12.3 立方根和开立方(教学课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
3
x 5
知识总结
平方根与立方根的区别和联系
平方根
正数 两个，互为相反数
性
0
0
质
没有平方根
负数
表示方法
被开方数
的范围
± a
非负数
立方根
一个，为正数
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
典例精讲
教材第12页
例1 求下列各数的立方根：
8
(1) 1000； (2) ； (3) -0.001； (4) 0.
3
3
3
3
100 （精确到 0.001），并利用你发现的规律求
3
3
0.1 ， 0.0001， 100000 的近似值.
3
0.000216 = 0.06
3
216 = 6
3
3
0.216 = 0.6
216000 = 60
总结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的
小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
解：依次按键：
3
2ndF
显示：7，所以
依次按键： 2ndF
3
3
4
3
=
343 = 7.
3
显示：-1.1，所以
(-)
3
1
.
3
1.331 = 1.1.
3
1
=
例3 用计算器求
3
2 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键： 2ndF
显示：1.259 921 05
所以， 2 1.260.
3
A )
A.
B.－
最新人教版七年级下册数学辅导班同步培优课件11-第六章6.2立方根
3.计算:(1)- 3 1 =
3
;(2) 3 3 =
;
64
8
(3) 3 -0.027 =
;(4) 3 (-2)3 =
.
答案 (1)- 1 (2) 3 (3)-0.3 (4)-2
4
2
解析
(1)∵
1 4
3
=
1 64
,∴-
3
1 64
=- 1
4
.
(2) 3
33 8
=3
27 8
=3
3 3 2
=3.
2
(3)∵(-0.3)3=-0.027,∴ 3 -0.027 =-0.3.
6.2 立方根
5.若一个数的平方根与它的立方根完全相同,则这个数是 (
栏目索引
)
A.1 B.-1 C.0 D.±1,0
答案 C 根据平方根与立方根的性质,一个数的平方根与它的立方根完 全相同,则这个数是0.故选C.
6.(-6)3的立方根是
.
答案 -6
解析 易知 3 a3 =a,∴ 3 (-6)3 =-6.
知识点二 立方根的性质
6.2 立方根
栏目索引
7.下列式子不正确的是 ( )
A. 3 -a =- 3 a
B. 3 a3 =a
C.( 3 a )3=a D.(- 3 a )3=a
答案 D 由立方根的性质知(- 3 a )3=-a,故选项D中式子不正确.
8.下列语句正确的是 (
6.2 立方根
)
栏目索引
答案 A 设棱长为x cm,则x3=100,∴x= 3 100 ,∵64<100<125,∴4< 3 100 <5, 故选A.
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
12.3立方根和开立方(知识讲解+巩固练习)
12.3立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】【高清课堂：立方根、实数，知识要点】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数.要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为00n =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念【高清课堂：立方根 实数，例1】1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； 33a a -=-.举一反三：【变式】我们知道a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0， 而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x ﹣5=0， ∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1． 类型二、立方根的计算【高清课堂：立方根 实数，例2】2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （423327(3)1---（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-（23321145⨯+（3）331864-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、求下列各式中x 的值：（1）3（x ﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【思路点拨】先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可． 【答案与解析】 解：（1）3（x ﹣1）3=24，（x ﹣1）3=8，x ﹣1=2， x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。
新初一数学衔接讲义立方根与开立方++n次方根-教师-春季班
初中数学备课组教师：班级：学生：日期：上课时间：主课题：立方根与开立方 n次方根教学目标：1、在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；2、在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；3、让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这关系式求一个负数的立方根；4、类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念。
教学重点：1、通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念；2、理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”。
教学难点：1、通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念；2、理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”。
考点及考试要求：基本内容立方根与开立方 n次方根知识精要一、立方根与开立方1、如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根），用3a表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）。
2、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．二、n次方根1、如果一个数的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数叫a的n次方根。
当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。
2、求一个数的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；3、任意一个实数a的奇次方根有且只有一个，并且与a有相同的正负性，表示为n a（读作“n次根号a”，根指数n是大于1的奇数）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根表示为n a，负n次方根表示为-n a±中省略n)（根指数n是正偶数）,其中被开方数a>0,根指数n是正偶数（当n=2时，在n a 负数的偶次方根不存在（即当a<0，根指数n是正偶数时，n a无意义）±=0。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
【数学教案-立方根】 立方根公式
下面就介绍它的奇异求法．
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先用前三位数 140 来确定立方根的十位数．因为 53＜140＜63，所以 十位数是 5，而不是 6．再用最终一位数 8 来确定立方根的个位数．因为 23＝8，所以个位数是 2．就是说，140608 的立方根是 52．确定立方根的 个位数时要留意下面规律：我们知道：13＝1，43＝64，53＝125，63＝216， 93＝729，就是说当被开方数的末位数是 1、4、5、6、9 时，立方根的个 位数就等于它本身(1、4、5、6、9)；
五、教学过程〔 fwsir 〕
(一)复习提问 请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？
3．开立方概念：
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求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
4．开立方运算与立方运算互为逆运算． 因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根． 例 1． 求以下各数的立方根： 解：(1)∵(-2)3=-8， (2)∵23=8，
5．立方根的性质： (1)正数有一个正的立方根． (2)负数有一个负的立方根． (3)0 的立方根是 0． 这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方 根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有 平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是 0 的平方根，立方根都是它本身．
(7) 的立方根为________ .
性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个
(8)一个自然数的算术平方根是 a，那么与这个自然数相邻的下一个 特殊重要的概念，希望同学们能够娴熟地把握它，尤其是它们之间的联系
数的立方与立方根立方与开立方的概念与运算
数的立方与立方根立方与开立方的概念与运算数的立方与立方根：立方与开立方的概念与运算数的立方与立方根是数学中一个经常出现的概念，也是在实际生活中常常会用到的数学操作。
立方与开立方分别是数的三次幂和三次方根，它们有着广泛的应用，不仅在数学领域中有重要的地位，而且在物理、工程等领域中也都十分关键。
本文将详细探讨数的立方与立方根的概念，并介绍它们的运算方法和应用。
一、立方的概念与运算在数学中，我们将一个数自身乘以自身再乘以自身得到的结果称为这个数的立方。
用符号表示，若数为a，则其立方表示为a³。
例如，2的立方就是2×2×2=8，而3的立方为3×3×3=27。
可以看出，立方运算实质上是乘法运算的重复操作。
在进行立方运算时，常常会遇到两个数的立方和的情况。
当我们想求两个数的立方和时，可以直接将各个数的立方相加即可。
例如，求1的立方和2的立方的和，即计算1³+2³=1+8=9。
此外，立方还涉及到立方差和立方差的平方等概念。
立方差是指两个数的立方之差，记作a³-b³。
而立方差的平方则是指立方差的平方，即(a³-b³)²。
这些概念在代数学中有着重要的应用。
二、立方根的概念与开立方运算与立方相对应的是立方根。
数的立方根是指一个数的三次方根。
用符号表示，若数为a，则其立方根表示为³√a。
例如，8的立方根就是³√8=2，而27的立方根为³√27=3。
可以看出，立方根运算实质上是乘法运算的逆运算。
在进行立方根运算时，常常会遇到两个数的立方根和的情况。
当我们想求两个数的立方根和时，可以直接将各个数的立方根相加即可。
例如，求2的立方根和3的立方根的和，即计算³√2+³√3。
除了立方根和的运算，还有立方根差的概念。
立方根差是指两个数的立方根之差，记作³√a-³√b。
7-3立方根与开立方++n次方根-学生-春季班
基本内容立方根与开立方 n次方根知识精要一、立方根与开立方1、如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的_______（也叫做三次方根），用3a表示，读作“三次根号a”，其中a是________，3是_________（注意：根指数3不能省略）。
2、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做_________。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．二、n次方根1、如果一个数的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数叫a的________。
当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。
2、求一个数的n次方根的运算叫做_________，a叫做________，n叫做_________；3、任意一个实数a的奇次方根_____________，并且与a有相同的正负性，表示为n a（读作“n 次根号a”，根指数n是大于1的奇数）正数a的偶次方根有___个，它们__________，正n次方根表示为n a，负n次方根表示为-n a±中省略n)（根指数n是正偶数）,其中被开方数a>0,根指数n是正偶数（当n=2时，在n a 负数的偶次方根________（即当a<0，根指数n是正偶数时，n a无意义）±=0。
零的n次方根等于_____，表示为n0三、总结归纳：平方根立方根n 次方根定义 及 表示方法若a x =2，则x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）记为±a ，其中a 表示正的平方根，叫做a 的算术平方根，读作“根号a ”；－a 表示负的平方根。
若3x a =，则x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为“3a ”，读作“三次根号a ”。
如果一个数的n 次方等于a ，即n x a =，那么这个数x 就叫做a的n 次方根.①当n 为偶数时，记为±n a ；②当n 为奇数时，记为 na ，读作“n 次根号a ”。
12.3立方根和开立方
（如图），那么它的棱长应取多长？
已知 一个数的立方 ， 求 这个数 .
哪个数的立方等于-64？
(4)3 64
把4叫做64的立方根，把-4叫做-64的立方根.
x 8
3
x 125
3
x 27
3
你能归纳出立方根的概念吗？
立方根和开立方的概念：
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的
3 3
(3) 6000
3
(4) 0.006.
3
18.17120593
0.181712059
被开方数的小数点向左（右）移动3位， 练习 它的立方根的小数点向左（右）移动1位。
填写下表，并回答问题
a
3
…… 20.000001 ……
20.001
11
21000
21000000 ……
a
0.01
0.1
3
8 2 27 3
(3) 0.001
3
(4)0
3
0 0
0.001 0.1
立方根的特征:
1.正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负 数，零的立方等于零.
2.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一
个负数，零的立方根是零. 3.任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.
立方根与平方根的特征有什么不同？
3 3
3
6
(3) 10 ;
3
6
10-2
-5
例3 用计算器，求值（近似值保留四位小数）
(1) 24;
2.8845
3
(2) 17576 ;
26
3
(3) 3.96;
3
1.5821
《立方根和开立方》
6.2立方根（第1课时）教学目标：知识与技能:1．通过立方根概念的学习，会用根号表示一个数的立方根，会求一个数的立方根.2．了解开立方与立方互为逆运算的关系．3．通过探究能分析、归纳立方根的性质，并理解立方根与平方根的异同．过程与方法:1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略．2．在学习了平方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想方法．3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．情感与态度:1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，让学生树立联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．2．学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．重点:引导学生类比平方根，学习立方根的概念和求法.难点:立方根的求法；立方根与平方根的联系及区别．教学过程:一、复习回顾问题1：定义平方根的定义？它的符号怎么表示？问题2：上节课我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的？问题3：那么平方根有什么样的性质呢？二、设计情境导入新课64m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？情境1：要制作一种容积为3你是怎么知道的？问题4：本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数.对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？43=，所以4是64的立方根.因此，在上面问题中，因为64类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.三、创设问题，探究新知探究一：根据立方根的意义填空，你能发现如何求一个数的立方根吗？因为823=，所以8的立方根是（）；因为（3）=0.064，所以0.064的立方根是（）；因为（3）=0，所以0的立方根是（）；因为（3）=–8，所以–8的立方根是（）；因为（ 3）=278-，所以278-的立方根是（ ）. 探究二：认真算一算，你有什么样的猜想？___,___,___;___,___,____;======Q Q 例题 求下列各数的值 (1)364; (2)381-; (3)36427- 四、巩固练习1.下列计算错误的是（ ）2.一个数的立方根是它本身，则这个数是（ ）A.1B.0或1C.-1或1D.0或1± 3.81的平方根与-8的立方根之和为（ ）A.-5B.7C.-5或1D.7或-114.若033=+y x ，则x 与y 的关系是互为相反数。
立方根知识讲解
立方根知识讲解【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a的立方根，a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质==a3=a要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D=【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式1】下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.【变式2】（2015春•大名县期末）下列说法正确的是（ ）A ．﹣4的立方是64B ． 0.1的立方根是0.001C ． 4的算术平方根是16D ． 9的平方根是±3 【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1） （2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭- （4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++ 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．【答案与解析】解：（x ﹣2）3=﹣125，可得：x ﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体．举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)【答案】.。
开立方的数学符号
开立方的数学符号开立方的数学符号有许多种，以下是常用的符号及其表示：1. 立方根符号（cube root symbol）表示为 $\sqrt[3]{\quad}$，用于表示一个数的立方根，例如$\sqrt[3]{27}=3$。
2. 开立方符号（square root symbol）表示为 $\sqrt[6]{\quad}$，用于表示一个数的开立方，例如$\sqrt[6]{64}=2$。
3. 三次方程的解（cubic equation solution）表示为 $\frac{-b\pm\sqrt[3]{b^2-4ac}}{2a}$，用于求解形如$ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三次方程的根。
4. 立方体的体积（volume of a cube）表示为 $V=s^3$，其中 $s$ 表示立方体的边长，用于计算立方体的体积。
5. 立方体的表面积（surface area of a cube）表示为 $S=6s^2$，其中 $s$ 表示立方体的边长，用于计算立方体的表面积。
6. 立方差公式（sum and difference of cubes formula）表示为 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ 和 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，分别表示两个立方数之和和之差的因式分解。
7. 立方数列公式（cubic sequence formula）表示为 $a_n=n^3$，用于计算一个立方数列的第 $n$ 项。
8. 立方和公式（sum of cubes formula）表示为 $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2$，用于计算前 $n$ 个立方数的和。
9. 立方根逼近公式（cube root approximation formula）表示为 $x_{n+1}=\frac{1}{3}(\frac{a}{x_{n}^2}+2x_n)$，其中$x_n$ 表示通过牛顿法逼近的 $a$ 的立方根的第 $n$ 项。
开立方的计算方法与技巧
开立方的计算方法与技巧1.定义与符号：开立方是将一个数的立方根求出来。
通常用符号³来表示，例如a³表示a的立方。
2.原理与规律：开立方的计算可以通过乘法与除法的运算规律来实现。
具体来说，一个数的立方是指这个数连续乘以自己三次的结果。
3.方法一：直接计算。
可以通过逐步计算的方法来求一个数的立方。
例如，要计算5的立方，可以先计算5乘以5，得到25，再将25乘以5，得到125、所以，5的立方就是1254.方法二：规律计算。
对于一些较小的数，我们可以利用一些规律来简化计算。
例如，要计算2的立方，可以直接将2乘以自己，并再乘一次，得到8、同样地，3的立方为27，4的立方为64，以此类推。
5.方法三：使用计算器。
对于大数的立方，手动计算往往十分繁琐和耗时。
而现代科学计算器和电子计算机通常都内置了立方根函数，可以通过直接输入数字并按下特定键来得到结果。
这样可以大大提高计算的效率。
6. 技巧一：利用乘法的交换律。
乘法具有交换律，即ab=ba。
因此，在计算一个数的立方时，可以调换计算顺序以减少乘法的次数，从而简化计算过程。
7. 技巧二：利用乘法的结合律。
乘法还具有结合律，即abc=(ab)c。
因此，在计算一个数的立方时，可以将它分解为一个数的平方与另一个数的乘积的形式，进而简化计算过程。
8. 技巧三：利用指数法则。
指数的计算法则中有一个规律是(a^m)^n=a^(mn)。
这意味着，可以先计算底数的乘积，再计算指数的乘积，从而简化计算过程。
9.技巧四：利用立方的几何意义。
立方不仅仅是一个数学概念，还有着丰富的几何意义。
通过观察和理解立方的形状与属性，可以更好地理解和应用立方的计算。
例如，立方的体积等于其中任意一条边的立方。
10.技巧五：利用近似值。
当需要计算大数的立方时，可以利用近似值来简化计算。
例如，要计算101的立方，可以将101近似为100，然后再计算100的立方，最后再稍微调整一下结果。
12.3立方根和开立方
•什么是立方根？ 什么是立方根？ 什么是立方根 •你会开立方吗？ 你会开立方吗？ 你会开立方吗 •你会用电子计算器求一个数的立方根吗？ 你会用电子计算器求一个数的立方根吗？ 你会用电子计算器求一个数的立方根吗 •能够根据条件正确地进行小数点移位，求 能够根据条件正确地进行小数点移位， 能够根据条件正确地进行小数点移位 出立方根的值。 出立方根的值。
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 的 如果一个数的立方等于 那么这个数叫做a的 那么这个数叫做
3 立方根.用 表示,读作 读作“ 立方根 用 3 a 表示 读作“三次根号 a”, a
中的a叫做被开方数,3叫做根指数. 中的 叫做被开方数 叫做根指数 叫做被开方数 叫做根指数 求一个数a的立方根的运算叫做开立方 求一个数 的立方根的运算叫做开立方 的立方根的运算叫做
3
得立方根扩大10倍 得立方根扩大10倍（或缩小 10 为原来的1/10 1/10）。 为原来的1/10）。
求值： 求值：
（）135× 25 1
3
10 3 （2） − 5 27 (2) ( x + 2) = −64
3
求下列各式中的 x （） x = −5 1
3
若3 3x − 7和3 3 y + 4互为相反数， 求3 x + y的值。
1.《一课一练》 1.《一课一练》12.4
(1) 24 ) 17576 (2 2 (3) − 3.96 )3 2 (4 3
3
3
3
用计算器，求下列立方根， 用计算器，求下列立方根，直接写出计算器显 示的结果： 示的结果：
(1)3 10 )3 − 10 )3 10000 )3 0.01 (2 (3 (4
比较被开方数和所得的立方根，你有什么发现？ 比较被开方数和所得的立方根，你有什么发现？ 1.被开方数和所得立方根符 1.被开方数和所得立方根符 3 (1) 10 2.15443469 ≈ 号相同。 号相同。
(完整)立方根和开立方
12．3立方根和开立方教学目标1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值。
4．理解a a =33和a a =33)(的含义，并能运用它们解决问题。
教学重点及难点：理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根。
教学过程设计一、 复习、类比、引入复习题：(1）我们用________表示面积为5的正方形边长; 用6来表示_________的正方形的边长。
（2）同样8表示_________的正方形的边长，那么这个正方形的边长是多少？你是怎么知道的？你运用了什么运算?（3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体。
这个正方体储物柜的棱长是多少分米？（4)经过立方运算后结果是27的数还有没有？是多少？这样立方是27的数有几个?师生归纳:已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.类似的,已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方。
二、 通过类比,学习新知给出立方根和开立方的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示,读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，3叫做根指数.求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
例如，如果,1253=x 因为_____________=125，所以________=x ,也就是说 是125的立方根.例题1、求下列各数的立方根： (1)1000 (2)278- (3)001.0- (4）0 [说明］体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根三、 思考归纳设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零.2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
伸优培训学校网络直播课模板第二讲：立方根和N次方根(教师版)
第十二章 实数第2讲 立方根&N 次方跟立方根和开立方一、【知识点精讲】1.立方根与平方根类似,有：如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,3a ”表示,读作“三次根号a ”3a a 叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根”,x 3a 2.开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算. 3.立方根的性质我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到3333a a a a ==.（以上a 是实数）方法与技能：一个数的立方根记作“3a ,根指数3不能忽略. 由于38,有382=,()328-=-,有382-=-,可见3388-=一般地,如果a >0则,33a a -=-如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来. 典型剖析二、【典型例题】【例1】 求下列各式的值：（1364（2364-（3327125-（431-【分析】 由立方根的意义,如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根,x 3a 可知a 的立3a 33a a =.【解答】 （1）33464,644==Q（2）()33464,644-=-∴-=-Q 3364644-==-（3）33327273,51251255⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭Q（4）()3311,11-=-∴-=-Q【例2】 判断题（对的打“√”,错的打“×”） （1）1的立方根是1±. （2）任何数都有立方根.（333a b =那么0a b -=.（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.（6364的平方根是4±.【解答】（1）（×）. 1的立方根是1.（2）（√）.任何实数a 都有唯一的立方根,记作3a （3）（√）.3a a 的立方根,则33a a =;同理,33b b =.33a b =可推出3333a b =,即a b =.0b -=.（4）（√）. 33a a =--Q∴两个互为相反数的立方根也互为相反数.(5) (×) Q 如果一个数x 的立方根是它本身,3,x x ∴=()210.x x -=0x ∴=或1±.如果一个数x 的平方根是它本身,则x x =,则()2,10x x x x =-=,所以0x ∴=或1.（6）（√）()336341616==,它的平方根为4±.【例3】 若a <0,323a a =______________.【解答】Q a 332323,0a a a a a a a a =-==-+=.3,x x =【例4】 求下列各数的立方根（1）0.216 （2）338- （3）125± 【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法,求带分数的立方根,要先将带分数化为假分数.33a a -=331251255-==-,但对于平方根来说不能适用,因为复数没有平方根. 【解答】（1）30.60.216=Q0.216∴的立方根是0.6,30.2160.6=.（2）32738125-=-Q ,而332728⎛⎫-=- ⎪⎝⎭338∴-的立方根是32-,即333382-=-.（3）()335125,5125=-=-Q125∴的立方根是5,31255=; 125-的立方根是5-,即31255-=-.三、【课堂针对练习】1. 判断（1）125512的立方根是58和58- （ ）（2）1216-的的立方根是没有意义的 （ ）（3）127-的立方根是13- （ ） （4）164的立方根是4 （ ）（5）35是27125±的立方根 （ ）2.下列说法正确的是（ ）（A ）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数 （B ）任何一个数必有立方根和平方根 （C ）一个数的立方根必与这个数同号 （D ）负数没有立方根 3. 求下列各数的立方根：(1)343(2)(3)0216-4.求下列各式的值：33333125117(1)(2)0.027(3)48527⎛+⎝5.计算：()3333331163(1)27(2)310.125216964---n 次方根一、【知识点精讲】1.n 次方根如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根,也可叙述为“如果n x a =(n 是大于1的整数),那么x 就叫做a 的n 次方根”,x n a 平方根和立方根是n 次方根的特例.2.开n 次方求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方,a 叫做被开方数, n 叫做根指数. n 次方根简称为“方根”;开n 次方简称“开方”. 3.n 次方根的性质由于n 次方根包含平方根和立方根在内,而平方根和立方根有不同的性质,这使得研究n 次方根的性质时,必然要把指数按奇数或偶数分别进行研究.与立方根类比：实数a 的奇次方根有且只有一个,n a ,其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数.与平方根类比：正数a 的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n n a ”表示,读作“n 次根号a ”,负n 次根用“n a -表示,其中被开方数0a >,根指数n 是正偶数（当2n =时,在n a ±n ）,负数的偶次方根不存在.因为零的n 次方等于零,所以零的n 次方根等于零,00n =方法与技能：研究n 次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来考虑,学习奇次根式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法之一.综上,无论n 为奇数还是偶数,对于正数a 的正n 次方根都记作n a 称为正数a 的n 次.nkn mk m a a =（n 为大于或等于2的整数）即根指数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去,这一公式可以顺用,即将nk mk a .nm a 反过来,n m a 化为nk mk a二、【典型例题】【例1】 求值：（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根（4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）32243-【分析】 运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,反数要充分理解,求n 次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】 （1）5232=Q∴32的五次方根5322==（2）()5232-=-Q∴-32的五次方根5322=-=-（3）()4216±=Q∴16的四次方根6642==± （4）()6264±=Q∴64的六次方根6642==±（5）()60.20.000064±=Q∴0.000064的六次方根60.0000640.2==±（6）52323243⎛⎫-=-⎪⎝⎭Q ∴32243-的五次方根53222433=-=-【例2】 选择题：1.下列语句中,正确的是（ ） （A ）正数a 的n n a （B ）如果n 是偶数,当且仅当a 是非负实数时,n a （C ）零的n 次方根无意义 （D ）任何实数都能开方2.5x -在实数范围内能开偶次方根的条件是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）5x ≥ （C ）5x ≤ （D ）0x ≤ 【分析】理解立方根和开立方的概念 【解答】1.（B ）当n 是奇数时,正数a 的n 次方根记作“n a ”, 当n 是偶数时,正数a 的n 次方根记作“n a ,故（A ）错.当a 为非负实数时,a 有偶次方根,n a n 是偶数）有意义,故（B ）对.零的n 次方为零,故（C ）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D ）错. 2.（C ）由被开方数50x -≥解得5x ≤,故选（C ）.【例3】求适合下列等式中的x .（1）3910x -= （2）4810x = 【分析】理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系【解答】（1）x 是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x -= ,即0.001x =.（2）由已知可知,x 是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x =±,即100x =±.三、【课堂针对练习】1.132-的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ）3. 423⎛⎫- ⎪⎝⎭的四次方根是（ ）4. 5(5)-的五次方根是（ ） 5.如果(0,)n x a a n =≥是偶数,那么x =6.下列式子中,正确的是54444()11()11((1)1()11A B C D ±=±=±-=--=7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值.(1) 12-的三次方的三次方根 （2）164的六次方根（3）—8平方的六次方根 8.计算：4334356)四【课后作业布置】1.338270m n +-=,则3()m n -的立方根= . 2.若0,a <()()23311a a --的值.3.已知28m n A m +-=+是8m +的算术平方根, 245m n B n -+=+5n +的立方根, 求35A B -的立方根.4. 解方程：327(1)80x -+=5. .立方根有如下性质：333333,a aab a b b b==(1)计算：30.0121.6⨯.(2)设3323,m n ==用含m n 、33164881、6.下列各式不正确的是4343()82()(6)6()1255()()nnA B C D a a n -=--=-=-=是奇数7. ()(0)x y zy z z x x y xyz xyz x y z+++++≠=8.计算：2007200733321)421)9.已知n 是自然数, a ()n n n n a a =成立.试讨论n 及a 的取值范围.。
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12．3立方根和开立方
教学目标
1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.
2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值.
4．理解a a =33和a a =33)(的含义，并能运用它们解决问题.
教学重点及难点:理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.
教学过程设计
一、 复习、类比、引入
复习题：
(1)我们用________表示面积为5的正方形边长; 用6来表示_________的正方形的边长.
(2)同样8表示_________的正方形的边长,
那么这个正方形的边长是多少?你是怎么知道的?
你运用了什么运算?
(3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体.
这个正方体储物柜的棱长是多少分米？
(4)经过立方运算后结果是27的数还有没有?是多少?
这样立方是27的数有几个?
师生归纳：已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.
类似的，已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方.
二、 通过类比，学习新知
给出立方根和开立方的概念：
如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，3叫做根指数. 求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.
例如，如果,1253=x 因为_____________=125,所以________=x ,
也就是说 是125的立方根.
例题1、求下列各数的立方根： (1)1000 (2)27
8- (3)001.0- (4)0 [说明]体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根
三、 思考归纳
设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？
1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方
等于零.
2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的
立方根是零.
3、 任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)a a =33)(，(2)a a =33.
四、 巩固练习
1．以下说法中正确的有（ ）.
A ．16的平方根是4±
B ．64的立方根是4±
C ．27-的立方根是3-
D ．81的平方根是9
2．求值： (1)33)8(- (2)3216 (3)3610- (4)335-
3．用计算器，求值（近似值保留三位小数）： (1)324 (2)317576 (3)396.3- (4)33
22
4．用计算器，求下列立方根，直接写出计算器显示的结果： (1)36 (2)36- (3)36000 (4)3006.0 五、 课堂小结
学生自主小结：你学到了什么?
你有什么样的疑问？
你有什么收获、体会或想法?
你还想知道什么？
六、 布置作业
布置作业：数学练习册12.3习题
教学设计说明
教学设计着重于把立方根与开立方和平方根与开平方进行类比教学.注重概念的形成过程.让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念.通过设置问题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念，让学生通过具体实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别.对本节课的例题和练习安排，我是这样思考的：(1)对例题1的教学，要着眼于对立方根的概念的理解，要求学生模
仿和适应书写格式.练习2则体现了开立方与立方互为逆运算的关系，并利用互逆运算来求一个数的立方根，但限于所得立方根是有理数的情况.
(2)求一个实数的立方根有两种途径.一种是根据定义（如例题1），
只用于求特殊实数的立方根，而且学生容易分析出这个实数是某数的立方；另一种是使用计算器（如练习3），这是通用的方法，要讲清
具体的操作.对练习3中的第（3）小题，可向学生说明一个负数的立方根等于它的相反数（正数）的立方根的相反数.
(3)在学生会用计算器求实数立方根的基础上，例4 的“思考”是引导学生探索被开方数与立方根之间的小数点移动规律，让学生看到，正开方数扩大1000倍，它的立方根扩大十倍；反之亦然.可指导学生类比被开方数与算术平方根之间的小数点移动规律，并进一步思考为什么有这样的规律，但是不要求学生勉为其难，更不要求会用.。