北师大版高二数学选修2-1《圆锥曲线》单元试卷及答案

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(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（）A ．25B ．45C ．15D ．232．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（） A ．43y x =± B ．34y x C ．35y x =± D ．53y x =± 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞ 4．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A ．B ．)+∞C ．⎛⎝ D ．5．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（）A B ．C ．2 D ．46．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（）A ．2B 1C 1D ．2+7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（）A ．910+B ．926+C ．712612+D ．832612+ 8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+= 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切；②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知点P 是椭圆22:110064x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（）A ．15B ．16C ．17D ．1811．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45πB ．34πC ．(625)π-D ．54π 12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x =的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（）A BC D ．2二、填空题13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.14．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于2，则点P 到y 轴的距离等于__________． 15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．16．曲线412x xy y-=上的点到直线y 的距离的最大值是________．17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA的最小值为 ________. 18．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知长轴长为222222:1(0)x y C a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,点F 是椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在x 轴上的定点D ,使得过点D 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率6e =，一条准线方程为36x （1）求椭圆C 的方程；（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH 的面积为3155，求OG 的斜率. 24．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为83 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点.①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.26．已知椭圆E ：22154x y +=. （1）求与方程E 焦点相同，且过62,Q ⎭的椭圆方程C . （2）若直线12y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF =+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2．A解析：A【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥，取线段2PF 的中点N ，连接1NF ，由于1122PF F F c ==，则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则22442NP c a b =-=，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=，即422b c a -=，即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.3．D解析：D【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22b c a<，即可由此求出离心率. 【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2b y a=±， ∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a<. 4．A解析：A【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果.【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以223b ac <，所以2223c a ac -<，所以2123e e -<，即2330e --<，解得e <<1e >，所以1e < 故选：A【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式. 5．C 解析：C 【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为835c =-=， ∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．6．D解析：D【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D.【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.7．B解析：B【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求.【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244B B y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，BM == 所以ABM的周长为：2511944AB AM BM ++=++=+ 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =()()2221x y x ++-=，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p，因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设()00,2A x px ，则0022AT px k x =，则直线002:x AT x y x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x y px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛⎫∆=- ⎪ -⎪⎭=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．C解析：C 【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：如图，椭圆22:110064x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -==，圆C 面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.12．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..二、填空题13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中解析：2150x y --=【分析】设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程．【详解】设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222244x y -=，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以()1212121224y y x xx x y y -+==-+，所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为2150x y --=.故答案为：2150x y --=. 【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．14．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c =，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =15．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=，∴24tan tan 21()b b b a a BOA BOF b a a+∠==∠=-，整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.16．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的解析：3【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y x y x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：222y x -故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值是263.故答案为：263.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线 2【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．C ．D ． ⎛ ⎝⎦3．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B ．2C 2D ．34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △内切圆的半径大于12，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4 C．D．7．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF，则离心率e 的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．1,2⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A．7y x =±B．y = C．5y x =±D．y =9．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1⎤⎥⎝⎦D．1]10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A．[2 B． C．1] D．1,1)11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 CD12．双曲线2214x y -=的离心率为（）ABCD二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________. 14．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．16．已知双曲线2219x y m -=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________17．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．18．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.19．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.20．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.23．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值.24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+=. （1）判定直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.26．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫-⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②，①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：51e -≥51e --≤01e << 511e -≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C5．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．6．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.7．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<， 2231kca k+，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：72e > 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.8．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由113QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-；令=+m n t n m ，令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c =-②；由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题 10．A解析：A【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b+=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2m t n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．D解析：D【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果.【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MH OF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，ab MH c =，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b a a c ，222422c a a a c ，223c a =，3==c e a，故选：D .【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题. 12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222222254,1,5,c a b c a b e a ==∴=+=∴==本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102 【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥. 因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为102c a =. 10本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k ，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=. 故答案为：8.【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 15．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出b a，进而求出双曲线的渐近线方程.设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()a y x c b =+，由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-，所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>，即()2222244310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故答案为：43y x =±【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题. 16．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m =>∵双曲线的离心率为2 ∴2c a=，而222c a b =+ ∴27m =故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值17．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，得：56x =，12y =，故答案为：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.18．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1.【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a=±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由c e a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）.故答案为1.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率. 19．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b-=中求解即可. 【详解】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上, 设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =,故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.20．3【分析】先由椭圆的第一定义求出点到右焦点的距离再由第二定义求出点到右准线的距离【详解】由椭圆的第一定义得点到右焦点的距离等于离心率所以由椭圆的第二定义得即故点到右准线的距离故答案为：【点睛】本题考解析：3【分析】先由椭圆的第一定义求出点P 到右焦点的距离，再由第二定义求出点P 到右准线的距离d .【详解】由椭圆的第一定义得点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =，所以，由椭圆的第二定义得3122d =，即3d =，故点P 到右准线的距离3d =.故答案为：3【点睛】本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质，属于基础题.三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）6. 【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值.【详解】（1）由题意，得222221149141b e a a b⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434m y y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+．于是1FQ =．直线2l 的方程为：11x y m =-- 联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF =．所以()12113111362PQF m S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min 6PQF S=．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.22．（1）2212x y +=（2）一定经过定点，定点为(0,3).【分析】（1）根据离心率求出2212b a =，代入1,2M ⎛ ⎝⎭可得22a =，从而可得椭圆方程；（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，联立直线与椭圆方程求出B 、C 的坐标，求出直线BC 的方程，令0x =，得3y =，由此可得答案. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由2c e a ==得2c =，所以2222221122b a c a a a =-=-=，所以222221x y a a +=，因为椭圆C经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2212121aa⨯+=，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由椭圆的方程得(0,1)A ，设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，所以直线AB 、AC 的方程分别为：1y kx =+，114y x k=+，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得0x =或2412k x k =-+，所以2412Bk x k =-+，221212B k y k -=+，所以222412(,)1212k k B k k --++，同理可得222881(,)1881k k C k k --++，所以22222281128112841812BCk k k k k k k k k ---++==-+++2412k k +，所以直线BC 的方程为：222212414()12212k k ky x k k k-+-=+++，令0x =，得3y =，所以直线BC 一定经过一定点(0,3). 【点睛】关键点点睛：求出直线BC 的斜率和方程是解题关键. 23．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．24．（1）2215x y +=（2【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，5c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =，所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-，联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）直线l 与圆C 相交；答案见解析；（2）223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【分析】（1）易知直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，而点D 在圆C 内部，即可得证；（2）根据题意设中点M 的坐标为(),x y ，由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥，在RT CDM 中，由勾股定理得222CM DM CD +=，带入坐标即可得解.【详解】（1）证明：∵直线:10l mx y -+=经过定点()0,1D ，点D 到圆心()0,2的距离等于1故定点()0,1在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.（2）设中点M 的坐标为(),x y ，则由直线和圆相交的性质可得AB CM ⊥. 由于定点()0,1D 、圆心C 、点M 构成直角三角形，由勾股定理得222CM DM CD +=， ∴22222(2)(1)(21)x y x y +-++-=-，2222640x y y +-+=，即223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 此圆在圆22:(2)5C x y +-=的内部，故点M 的轨迹方程为：223124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线过定点问题，同时考查了求轨迹方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题涉及的题型和方法有：（1）直线过定点，直线过定点是常考题型，在给出含参直线方程时要注意直线有过定点的可能；（2）直接法求轨迹方程，这类问题的方法是：利用所给条件直接列方程，整理即为所求.26．（1）2214x y +=；（2）1；（3）1．【分析】（1）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果；（2）利用点差法可求得结果；（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】（1）根据题意，221b a=，所以22a b =，则椭圆方程22221x y a b +=转化为22221x y a a+=，又点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以21312a a+=，即22320a a --=，由于0a >，故解得2a =，则21b =，故所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由（1）得椭圆的方程为2214x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则1212122128x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由于点A 、B 在椭圆上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两个等式相减得()2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，即()()121211044x x y y ---=，所以直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-；（3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214xy +=得2258440x tx t ++-=，令()22(8)45440t t ∆=-⨯->，得t <<又3485t x x +=-，234445t x x -=，所以||5MN ===，又点O 到直线l 的距离d =， ()222512||1252MONt t SMN d -+==⨯=，当且仅当225t t -=，即t =t =t =t =t < 所以MON △面积的最大值为1．【点睛】关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±3．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A B C D 4．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（） A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=5．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C D 6．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．8+B ．8C ．16D ．167．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．设(,)P x y8=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =（）A ．1B ．2C ．3D ．410．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.11．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．14．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.16．点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，则23x y 的取值范围为______．17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 18．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．19．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0 426y22 2-22-则2C 的虚轴长为______.20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点．（1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．22．已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点. （1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为2，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.24．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫-⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．25．已知椭圆E ：22154x y +=.（1）求与方程E 焦点相同，且过62,Q ⎛⎫⎪ ⎪⎭的椭圆方程C . （2）若直线12y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由12213e m =-=，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---.设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．B解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =，∴ba=，故所求渐近线方程为y =，故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.3．B解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.4．A解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=， F 22bc bcb ca b ==+ ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.5．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .9．B解析：B【分析】根据题意得||4QF p =，||2PF p =，进而根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，设点P 在x 轴上方，故P ，再结合三角形PQF △面积即可得答案.【详解】解：由条件知(,0)2p F ，所以||4QF p =，所以1||||22PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=2p =．故选：B 【点睛】本题解题的关键在于根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，进而求出P 的纵坐标并结合三角形PQF △面积求解，考查运算求解能力，是中档题.10．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,34)±，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，得：56x =，12y =，故答案为：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.14．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.15．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题解析：2133+ 【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b Sd a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.16．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线解析：2【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)

一、选择题1．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A ．3B C D ．22．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直3．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4C ．D ．6．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（） A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A ．3B ．23C ．233D ．4338．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知点P 是椭圆22:110064x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（）A ．15B ．16C ．17D ．1810．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 23a ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 到原点的距离为3，则C 的方程为（）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.14．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于3()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 15．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线()31y x =-对称，则a =_____.16．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.17．如图，圆O 与离心率为32的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2212d d +的最大值是__________．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O为坐标原点，且BFO BFMS ∆=，则椭圆C 的离心率为________19．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，则λ的值为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点重合，左准线方程为1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为_____________.三、解答题21．已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点. （1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.22．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 方程；（2）设点E 为直线2px =与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为1k ，2k 的两条弦EM ，EN ，如果121k k +=-，证明：直线MN 过定点，并求定点坐标.23．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F2b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．24．已知抛物线C ：22y px =()0p >上的点M ()1,m 到其焦点F 的距离为2. （1）求C 的方程；并求其焦点坐标；（2）过点()2,0且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求弦AB 的长.25．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．26．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到2210100222020*******y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 3．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．4．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．5．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.6．B解析：B 【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线. 【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆；当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆；当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆；当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S=1211||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以11180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x y x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x y px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛⎫∆=- ⎪ -⎪⎭=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.9．C解析：C 【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：如图，椭圆22:110064x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．10．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由221c b e a a==-求解. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222512c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是2523⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．D解析：D结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin12032m n a c m n mn mn a⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,3ba ab a=+=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.12．C【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中解析：2150x y --=【分析】设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程．【详解】设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222244x y -=，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以()1212121224y y x xx x y y -+==-+，所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为2150x y --=.故答案为：2150x y --=. 【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．14．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得利用椭圆的性质可得的最小值为由题意可得最小值为即可得出离心率满足的不等式再利用得联立两个不等式即可解出的取值范围【详解】因为所以当且仅当取得最小值时取得最小值而的解析：3,52⎡⎢⎣⎭【分析】利用切线的性质和勾股定理可得||)PT b c =>，利用椭圆的性质可得2PF 的最小值为a c -，由题意可得PT )a c -，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b c >，得222a c c ->，联立两个不等式即可解出e 的取值范围.【详解】因为||)PT b c =>，所以当且仅当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值.而2PF 的最小值为a c -，所以PT 23()2a c -，所以22()4()a cbc --，所以2()a c b c --，所以2a c b +，所以()222()4a c a c +-，所以225302c ac a +-≥，所以25230e e +-.①又b c >，所以22b c >，所以222a c c ->，所以221e <.② 联立①②，得3252e <.故答案为：3,52⎡⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，离心率的计算公式，圆的切线的性质，勾股定理，一元二次不等式的解法，属于基础题15．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)1y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)1y x =-对称，所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ，003122y x a，且MN 与直线垂直，0031y x a，联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去）， 3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.16．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.17．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭解析：163【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到()2222012201PMx d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】由题知：2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，椭圆22:14xT y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2222012201PMx d y d ==+-+又因为220014x y +=，即220044x y =-.所以()22222120001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭+-.因为011y -≤≤，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163. 故答案为：163【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：2【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--，整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】根据Ⅰ为的内心及可得再由双曲线的定义得两式联立求解【详解】由Ⅰ为的内心及得即又由双曲线的定义得则故故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用还考查了数形结合的思想和运算求 22a b+【分析】根据Ⅰ为12PF F △的内心及1212IPF IPF IF F S S S △△△，可得1212||PF PF F F λ=+，再由双曲线的定义得122PF PF a -=，两式联立求解. 【详解】由Ⅰ为12PF F △的内心及1212IPF IPF IF F S S S △△△，得1212||PF PF F F λ=+，即1212PF PF F F λ-=，又由双曲线的定义得122PF PF a -=，则22a c λ=⨯，故a c λ==【点睛】本题主要考查双曲线的定义和三角形内切圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.20．【分析】由焦点重合可知由左准线方程可知从而可求设根据双曲线的定义可知则结合基本不等式可求其最值【详解】解：由焦点重合可知；由左准线方程可知又由双曲线的定义可知从而可求出因为为右支上任意一点所以设则则解析：【分析】由焦点重合可知2216a b +=，由左准线方程可知21a c-=-，从而可求2,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则212168PF t PF t=++，结合基本不等式可求其最值. 【详解】解：由焦点重合可知，2225916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c-=-，又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,4a b c ===. 因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PFt t c a =≥-=，则14PF t =+,则()22124168816t PF t PF t t +==++≥+= 当且仅当16t t =，即4t =时等号成立.即21216PF PF ≥. 故答案为:16.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.三、解答题21．（1）0y --=或0y +-=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my =+并联立双曲线根据韦达定理可得1y 与2y 关系，结合3CN ND =可得123y y =-，从而求得m 值得直线方程；（2）列出直线AC 与BD 方程，并求点P 坐标得12P x =，故得证. 【详解】解：设直线l 的方程为2x my =+，设()11,C x y ，()22,D x y ，把直线l 与双曲线E联立方程组，22214x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()224116120m y my -++=，则1212221612,4141m y y y y m m +=-=--，（1）()112,CN x y =--，()222,ND x y =-，由3CN ND =，可得123y y =-，即22841m y m =-①，22212341y m -=-②，把①式代入②式，可得22281234141m m m ⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，解得2120m =，m =，即直线l的方程为0y --=或0y +-=．（2）直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，直线AC 与BD 的交点为P ，故()1111y x x ++()2211y x x =--，即()1113y x my ++()2211yx my =-+，进而得到122121311my y y x x my y y ++=-+，又()121234my y y y =-+，故()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y -++-++===----++，解得12x =故点P 在定直线12x =上．【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解. 22．（1）24y x =；（2）证明见解析，定点(5,6)-. 【分析】（1）直线方程为2py x =-，代入抛物线，利用焦点弦公式即可求出p ，得出方程；（2）当MN 斜率不存在时，可得MN 方程为5x =，当MN 斜率存在时，设为y kx b =+，和抛物线联立，利用121k k +=-可得56b k =--，即可得出定点.【详解】（1）由题意知：(,0)2p F ，则直线l 的方程为2py x =-，代入抛物线方程得 22304p x px -+=，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，根据抛物线定义||2A p AF x =+，||2B pBF x =+，||||||48A B AB AF BF x x p p ∴=+=++==，2P =∴， ∴24y x =；（2）抛物线方程为24y x =，直线2px =，即1x =，解得(1,2)E . ①当MN 斜率不存在时，设方程为x t =，则((,M t N t -，121k k +==-解得5t =，∴方程为5x =； ②当MN 斜率存在时，设:(0)MN y kx b k =+≠，24y kx by x =+⎧⎨=⎩，即222(24)0k x kb x b +-+=，1222122042kb x x k b x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩111111222111y kx b b k k k x x x -+-+-===+---，2221b k k k x +-=+-， 12121222(2)1(1)(1)x x k k k b k x x +-+=++-⋅=---，化简得：56b k =--，此时:(5)6MN y k x =--，过定点(5,6)-. 综上，直线MN 过定点(5,6)-.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca；（2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222ba b c⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+ 点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍) 代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R =又由圆C 与l 相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,2a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键．24．（1）抛物线C 的方程为24y x =；焦点坐标为()1,0；（2）. 【分析】（1）根据已知求出p 的值即得解；（2）由题得直线l 方程为2y x =-，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解. 【详解】（1）抛物线22y px =()0p >的标准方程为2p x =-，由抛物线的定义可知：122p MF ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；（2）直线l 方程为2y x =-，由242y xy x ⎧=⎨=-⎩得2840x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，124x x =，∴12AB x =-=【点睛】方法点睛：求抛物线的弦长，一般先联立直线和抛物线的方程，再利用弦长公式12|||AB x x =-求解.25．（1）2212x y +=；（2）21y x =-+或21y x =+.【分析】（1）结合焦距和离心率求得a ，c ，再计算b ，即得方程；（2）先判断直线斜率存在且不为零，先设斜率写直线方程，联立直线与椭圆求得弦长PM ，根据垂直设另一条直线，同理可求PN ，直角三角形利用比例关系求得斜率，即得结果. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得22c =，可得1c =，又由椭圆的离心率为22，可得22c a =，代入1c =，可得2a =，故221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）依题意知直线1l ，2l 斜率存在且不为零，由点P 的坐标为()0,1，设直线PM 的方程为1y kx =+，联立方程22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或2224211221k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得点M 的坐标为222412,2121k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可知，直线PN 的方程为11y x k =-+，解得点N 的坐标为22242,22k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 224121k PM k k =++，222144112k k PN k k +=+=+ 由43PMPN =()2222241242121341k k k k k k k +++==++，由函数()()22221k k f k k +=+为偶函数，故只需要解方程()()22240213k k k k +=>+即可，方程()()22240213k k k k +=>+可化为3238640k k k -+-=，因式分解为()()223220k k k --+=，而方程23220k k -+=中，判别式44320∆=-⨯⨯<，方程无解，故三次方程的解为2k =，故方程()2224213k k k +=+的解为2k =-或2k =，故直线1l 的方程为21y x =-+或21y x =+.【点睛】思路点睛：直线与椭圆位置关系中的弦长问题，通常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y，所以12AB x =-或12AB y y =-，解决相关问题.26．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值. 【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=，因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >，所以124y y m +=，1222y y m =-+，又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-，所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ=[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+，故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．。

北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（） A．1BC．2D．4+3．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（） AB．2CD．24．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A．8+B．8C．16D．165．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C．11,212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭6．点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（） A ．14B ．12C ．2D ．47．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．528．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[23B ．5[3C ．2[31]2D ．[31,1)11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（）A ．B ．C D 12．双曲线2214x y -=的离心率为（）A B C D 二、填空题13．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.17．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线)1y x =-对称，则a =_____.18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.19．动圆M 与圆221:(1)1C x y ++=外切，与圆222:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8，椭圆的离心率为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．在平面直角坐标系中，()10,2C -，圆()222:212C x y +-=，动圆P 过1C 且与圆2C 相切.（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线14x =-上，求直线l 的方程.25．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.26．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==.故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF |,13QF QF =，不妨设()1220F F m m =>，则13,QF m QF m ==，故12123123F F c e a QF QF m m====--. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．B解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.4．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=-所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径3()r a c =-，然后根据3r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin120322a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得3()r a c =-，又312r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C6．B解析：B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出12k k 的值，利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=，由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-，所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-，而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==，当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.7．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =，即()()2221x y x ++-=，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以11180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(0A x，则0AT k =，则直线0:AT x x =-，代入抛物线方程化简得02220px y +=-，则02028px ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n ，则()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.12．C解析：C 【解析】双曲线2214x y -=中，222222254,1,5,c a b c a b e a ==∴=+=∴==本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦解析：221259x y +=(0)y ≠【分析】根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点【详解】ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠故答案为221259x y += ()0y ≠【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS=⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题 213+ 【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.故答案为：23+ 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.17．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)1y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)1y x =-对称，所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a，且MN 与直线垂直，0031y x a，联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去），3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.18．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取A y =，11135332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得p =．故答案为【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.19．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故解析：22198x y【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．【详解】解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =，解得3a =， ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为：22198x y ，故答案为：22198x y ．【点睛】本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my n x y b=+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-= 所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2）存在圆心在原点的圆2245x y +=满足条件．【分析】（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；（2）先假设圆存在，设方程)(22201x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为4a，故48a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(22201x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(222148440k x ktx t +++-=．设)(11,P x y ，)(22,Q x y ，则())()(2228414440kt kt∆=-+->，即2214<+t k ，122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．∴)()(12120x x kx t kx t +++=，即)()(22121210k x x kt x x t ++++=．②将①代入②得)()(2222222144801414k t k t t kk+--+=++，即)(2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，即)(0,15r d ====， ∴存在圆2245x y +=满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，圆2245x y +=也满足条件．综上所述，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=，抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k=,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2213y x +=；（2）1y x =+或31yx .【分析】（1）由题意可知，圆P 内切于圆2C ，根据椭圆的定义可知，P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆，计算出a 、b 的值，结合焦点的位置可求得轨迹C 的标准方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，根据12124x x +=-可得出关于k 的方程，求出k 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，由于1C 在圆2C 内，所以，圆P 内切于圆2C ，由题意知：1PC r =，223PC r =-所以121232PC PC C C +=>=，所以P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆.其长轴长223a =222c =221b a c =-=，所以曲线C 的标准方程为：2213y x +=；（2）若直线l 的斜率不存在，则A 、B 关于x 轴对称，不合题意；若直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将1y kx =+代入2213y x +=得：()223220k x kx ++-=，()()2224831220k k k ∆=++=+>，所以12223kx x k +=-+，所以1221=234x x k k +=--+ 所以2430k k -+=，解得1k =或3k =，所以，直线l 的方程为：1y x =+或31y x .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）22142x y +=；（2）10x y --=.【分析】（1）已知条件得2b c ==，再求得a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程．【详解】（1）由已知得2b c ==.又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y my ++-=.则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号. 由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．26．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y5=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =-由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120 B ．121C ．16或121D ．13或1202．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．33．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A B C D ．25．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（） A ．4B ．5C ．6D ．76．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．8+B ．8C ．16D ．167．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．61,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．6,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C ．(1,3⎤⎦D ．)3,⎡+∞⎣8．设(,)P x y ，若2222(23)(23)8x y x y +-+++=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（） A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 10．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4311．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（） A ．211B ．210 C 35D 37二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．15．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M a b ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S ∆=，则椭圆C 的离心率为________17．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________.20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 三、解答题21．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为22e =，点(2,1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N ，过点(2,0)F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．24．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线1y x =+交于A 、B 两点，若||8AB =，求抛物线的方程．25．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.26．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由12213e m =-=，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题2．D解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 3．A解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F 到渐近线的距离为22bc bcb ca b ==+ ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y xc a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可．【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．6．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.8．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，23c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y 到点1(0,23)F 的距离与到点2(0,23)F -的距离之和为定值8，并且12843F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为23c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .9．A解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得e =．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．10．B解析：B 【分析】由2POF 2=.c 把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为114252255O l d -=⨯=，圆C 面积的最小值为225455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 12． B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n ，则()()22221212x y MAMCx m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--，又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-，由()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k fk f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立；则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =15．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键解析：2【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =，由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=，即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以2c e a ===【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222|12|(21)|222bc b a c d ab c +---==+因为22||BF b c a =+，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==-，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =-，整理可得：[(21)]c a c =-，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线解析：433【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得3tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-，设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==，所以3tan FMN '∠=，即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x（舍），所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．18．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①221x y +≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点(,22A ，()22B -，(22C --，(22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.19．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为2【分析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ，设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--，解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.20．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-，而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-，同理可得212OE k k =-，312OF k k =-，所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2212x y +=（2）一定经过定点，定点为(0,3).【分析】（1）根据离心率求出2212b a =，代入1,2M ⎛ ⎝⎭可得22a =，从而可得椭圆方程；（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，联立直线与椭圆方程求出B 、C 的坐标，求出直线BC 的方程，令0x =，得3y =，由此可得答案. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由c e a ==得c =，所以2222221122b a c a a a =-=-=，所以222221x y a a +=，因为椭圆C经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2212121aa⨯+=，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由椭圆的方程得(0,1)A ，设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k，所以直线AB 、AC 的方程分别为：1y kx =+，114y x k=+，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得0x =或2412k x k =-+，所以2412B k x k =-+，221212B k y k-=+，所以222412(,)1212k k B k k --++，同理可得222881(,)1881k k C k k --++，所以22222281128112841812BCk k k k k k k k k---++==-+++2412k k +，所以直线BC 的方程为：222212414()12212k k ky x k k k-+-=+++，令0x =，得3y =，所以直线BC 一定经过一定点(0,3). 【点睛】关键点点睛：求出直线BC 的斜率和方程是解题关键.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =理化简12k k 即得解. 【详解】（1）椭圆D的离心率e ==a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=，设())()1122,,,A x y B x y ，则12y y +=，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++22222212(22222)m m m m m ⎛⎫+⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）2212x y +=；（2）21y x =-+或21y x =+.【分析】（1）结合焦距和离心率求得a ，c ，再计算b ，即得方程；（2）先判断直线斜率存在且不为零，先设斜率写直线方程，联立直线与椭圆求得弦长PM ，根据垂直设另一条直线，同理可求PN ，直角三角形利用比例关系求得斜率，即得结果. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得22c =，可得1c =，又由椭圆的离心率为2，可得2c a =，代入1c =，可得a =故1b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）依题意知直线1l ，2l 斜率存在且不为零，由点P 的坐标为()0,1，设直线PM 的方程为1y kx =+，联立方程22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或2224211221k x k ky k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得点M 的坐标为222412,2121k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可知，直线PN 的方程为11y x k =-+，解得点N 的坐标为22242,22k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，224121k PM k k =++，22221441122k k PN k k k +=+=++. 由43PMPN =()2222241242121341k k k k k k k +++==++，由函数()()22221k k f k k +=+为偶函数，故只需要解方程()()22240213k k k k +=>+即可，方程()()22240213k k k k +=>+可化为3238640k k k -+-=，因式分解为()()223220k k k --+=，而方程23220k k -+=中，判别式44320∆=-⨯⨯<，方程无解，故三次方程的解为2k =，故方程()2224213k k k +=+的解为2k =-或2k =，故直线1l 的方程为21y x =-+或21y x =+.【点睛】思路点睛：直线与椭圆位置关系中的弦长问题，通常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以2121AB k x =+-或12AB y y =-，解决相关问题.24．28y x =或24y x =-．【分析】设出抛物线方程为22y ax ，交点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式列方程求得a 后可得抛物线方程．【详解】设抛物线方程为22y ax ，1122(,),(,)A x y B x y ，由221y ax y x ⎧=⎨=+⎩，得2(22)10x a x +-+=，2(22)40a ∆=-->，解得2a >或0a <． 1222x x a +=-，121=x x ，128AB x x =-==，解得4a =或2a =-．所以抛物线方程为28y x =或24y x =-．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线标准方程，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设抛物线方程为22y ax ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得弦长．25．（1）证明见解析；（2）当914p =时，面积最大值为4. 【分析】（1）由题意可得：()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程，整理得24t p =，计算可得点C 的纵坐标值为12，从而得证；（2）由题意可得：BMNAMN S S=，求得直线l 的斜率，可求得直线l '的斜率和方程，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，求得MN 的值和点A 到直线l '的距离d =据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN △的面积的最大值，即可求解. 【详解】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得222224t t p p p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24t p =，∴42142C p p y p -==，故点C 的纵坐标为定值. （2）∵点C 是AB 的中点，BMNAMN SS=，设直线l 的斜率为k ，则11322k t t -==，所以直线l '的斜率为3k t'=-， ∴直线l '的方程为1322t y x t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即32y x t=-+，不妨记3m t=-，则:2l y mx '=+，代入椭圆方程并整理得()2221860m x mx +++=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12122286,2121m x x x x m m +=-=++12|MN x x -=点A 到直线l '的距离d =所以12AMNSN d M =≤=⋅===时取等号，解得272m =，所以229187t m ==，从而29414t p ==故当914p =时，BMN △的面积最大. 【点睛】关键点点睛：设出2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合()0,1A -，可得222 ,4t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭利用点C 在抛物线上可求出24t p =，利用其计算224t pp-的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l '与直线l的斜率互为相反数，直线l '的方程为32y x t=-+，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN △的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.26．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =---∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(2)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±3．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A B C D ．25．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B C D ．36．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．7．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．8+B ．8C ．16D ．168．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．12-B ．2 C ．3D 111．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（）A B C ．12 D12．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45π B ．34π C ．(6π-D ．54π 二、填空题13．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________. 15．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．如图，圆O 与离心率为32的椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2212d d +的最大值是__________．18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．三、解答题21．已知圆1C 的方程为()()2220213x y -+-=，椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，2C 的离心率为22，如果1C 与2C 相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆1C 的直径，求直线AB 的方程和椭圆2C 的方程．22．已知抛物线C ：22y px =()0p >上的点M ()1,m 到其焦点F 的距离为2. （1）求C 的方程；并求其焦点坐标；（2）过点()2,0且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求弦AB 的长.23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点(0，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.24．已知椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的右焦点为F 2(3，0)，离心率为e .（1）若e （2）设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN e k 的取值范围. 25．已知椭圆C ：22221bx y a +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的任意一点，已知12PF PF →→⋅的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点(M 、N 不是左、右顶点)，点D (-6，4)关于直线6y x =+的对称点为A ，且以MN 为直径的圆过点A ，问直线是否过定点，如果过定点，求出该定点坐标；如果不过定点，请说明理由.26．已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．B解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =，∴ba=，故所求渐近线方程为y =，故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.3．A解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bcn a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．6．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+<=当2,,C C M 三点共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+≤=+综上有18CM CC +≤2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =()()2221x y x ++-=，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin33MF c c π==，∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．11．A解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得e =．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．12．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.二、填空题13．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.14．【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程然后与抛抛物线联立利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为代入抛物线方程可得设可得所以因为过抛物线的焦点作倾斜角为的 3【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为45︒的直线方程，然后与抛抛物线联立，利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为2p y x =-，代入抛物线方程，可得22304p x px -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212123,4p x x p x x +==，所以222121212()4922x x x x x x p p -=+-=-=，因为过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ，且梯形PRQS 的面积为12，所以()2121122x x -=，可得218122p ⨯=，解得3p3【点睛】此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题15．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩，所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭解析：163【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到()2222012201PMx d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】由题知：2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，椭圆22:14xT y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2222012201PMx d y d ==+-+又因为220014x y +=，即220044x y =-.所以()22222120001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭+-. 因为011y -≤≤，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163. 故答案为：163【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为22200204543d -±===+，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =，所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-．又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-．在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =．故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a=，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.三、解答题21．直线AB 的方程为3y x =-+，椭圆2C 的方程为221168x y+=.【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，再将直线AB 的方程与圆的方程联立，求出交点A 、B 的坐标，再将交点A 坐标代入椭圆2C 的方程，可求得c 的值，进而可得出椭圆2C 的方程. 【详解】因为椭圆2C的离心率为2c e a ==，则a =，b c ∴==，所以，椭圆2C 的方程为222212x y c c+=，即22222y c x +=.设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于AB 为圆1C 的直径，则AB 的中点为()12,1C . 若直线AB 的斜率不存在，则AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.由已知可得12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得121242x x y y +=⎧⎨+=⎩. 由于A 、B 两点都在椭圆2C 上，则22211222222222x y c x y c⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()2222121220x x y y -+-=，可得2212221212y y x x -=--，所以，11212121212121122AB OC y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=⋅=--+-，1AB k ∴=-，所以，直线AB 的方程为()12y x -=--，即3y x =-+，联立()()22320213y x x y =-+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得11213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即点233A ⎛+- ⎝⎭、233B ⎛-+ ⎝⎭，将点A 的坐标代入椭圆2C的方程可得222222116c ⎛⎛=+= ⎝⎭⎝⎭，则28c =. 因此，椭圆2C 的方程为221168x y +=.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.22．（1）抛物线C 的方程为24y x =；焦点坐标为()1,0；（2）. 【分析】（1）根据已知求出p 的值即得解；（2）由题得直线l 方程为2y x =-，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解. 【详解】（1）抛物线22y px =()0p >的标准方程为2p x =-，由抛物线的定义可知：122p MF ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；（2）直线l 方程为2y x =-，由242y x y x ⎧=⎨=-⎩得2840x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，124x x =，∴12AB x =-=【点睛】方法点睛：求抛物线的弦长，一般先联立直线和抛物线的方程，再利用弦长公式12|||AB x x =-求解.23．（12）2【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x == （2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460k x x mk x x m +++++= 223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m ∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+ 设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.24．（1）221123x y +=；（2）22(,[)44-∞-⋃+∞ 【分析】(1) 根据右焦点为F 2(3，0)，以及3c a =a ，b ，c 即可. (2)联立22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，根据M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，易得OM ⊥ON ，则四边形OMF 2N 为矩形，从而AF 2⊥BF 2，然后由22F A F B ⋅=0，结合韦达定理求解.【详解】(1)由题意得c ＝3，3c a = 所以23a =又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3. 所以椭圆的方程为221123x y +=. (2)由22221y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝22222a b b a k-+ ，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为矩形，所以AF 2⊥BF 2.因为2F A =(x 1－3，y 1)，2F B = (x 2－3，y 2)，所以22F A F B ⋅= (x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0.即()222222(9)190(9)a a k a k a --++=+-，将其整理为k 2＝4242188118a a a a-+-+ ＝－1－428118a a -.<e ，所以a 12≤a 2<18.所以k 2≥18，即k ∈(,[,)44-∞-⋃+∞ 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由O 在以MN 为直径的圆上，即OM ⊥ON ，得到四边形OMF 2N 为矩形，推出AF 2⊥BF 2，结合韦达定理得出斜率k 与离心率e 的关系.25．（1）22143x y +=；（2）2(7-，0). 【分析】（1）由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，则1||PF的范围[a c -，]a c +，由数量积及1||PF 的范围可得数量积的最值，由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设M ，N 的坐标，直线MN 的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由题意求出A 的坐标，由以MN 为直径的圆过点A ，可得·0AM AN =，着力可得m ，k 的关系，进而可得直线恒过定点．【详解】（1）因为P 是椭圆任意一点，所以12||||2PF PF a +=，且1a c PF a c -+，所以222121212121·cos (||4)2y PF PF PF PF F PF PF PF c ==∠=+- 2222221111[||(2)4]()22PF a PF c PF a a c =+--=-+-，当1PF a =时，y 有最小值222a c -，当1PF a c =-或a c +时，y 有最大值22a c -，由题意可得2222322a c a c ⎧-=⎨-=⎩，解得21c =，24a =，所以2223b ac =-=，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将直线y kx m =+与椭圆联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222(34)84120k x kmx m +++-=，∆2222644(34)(412)0k m k m =-+->，可得2234m k <+，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，2222222222221212122222412834312()34343434k m k k m m m k m k y y k x x km x x m k k k k -+-=+++=-+=++++，因为点(6,4)D -关于直线6y x =+的对称点为A ，设(,)A x y ，则46622416y x y x +-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：2x =-，0y =，所以(2,0)A -，即椭圆的左顶点，因为以MN 为直径的圆过点A ，所以·0AN AM =，所以1(2x +，12)?(2y x +，2)0y =，整理可得：1212122()40x x x x y y ++++=，所以2222224121631240343434m km m k k k k---++=+++，整理可得：2271640m km k -+=，可得27m k =或2m k =都满足判别式大于0，若27m k =时，直线l 的方程为：2()7y k x =+，则直线恒过定点2(7-，0)；若2m k =时，直线l 的方程为：(2)y k x =+，则直线恒过定点(2,0)-．为左顶点（舍去）.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定点定值问题，解决本题的关键点是将以MN 为直径的圆过点A ，转化为向量·0AN AM =，再利用坐标代入计算，考查了学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．26．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t 联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关.∴8230t -=，解得238t=．即23(,0)8Q，此时27364QM QN⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m的恒等式，求出定点坐标．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（）A ．BC ．13-D ．132．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．23．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（）A ．3B C D ．24．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（）A B ．2C 2D 5．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2C ．2D ．16．过原点O 的直线交双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（）A ．5B ．4C ．5D ．57．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D8．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=9．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）． A ．312+ B ．622+ C ．31+ D ．62+10．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91611．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C ．33D ．43312．已知点P 是椭圆22:110064x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（）A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 17．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______.18．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则2x 的取值范围为______．19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>1C 的一个短轴端点恰好是抛物线2C ：24x y =的焦点F . （1）求椭圆1C 的方程；（2）过点F 的直线交抛物线2C 于,M N 两点，连接NO ，MO ，线段NO ，MO 的延长线分别交椭圆1C 于A ，B 两点，记OMN 与OAB 的面积分别为OMN S △､OAB S，设OMNOAB SSλ=-，求λ的取值范围.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.23．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比3PM PN=．（1）若点P 的纵坐标为2，求点P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．24．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.25．如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点，过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证:点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问：p 为何值时，BMN △的面积最大？并求面积的最大值.26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-，故选C.2．C解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．3．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =3 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)30，到双曲线C 的渐近线2223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．5．A解析：A 【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.6．D解析：D 【分析】根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt FAB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..【详解】设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AFBF CF ，取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，由1211||||||22OM AF CF ==得13AF m =. 根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，在1Rt F AB 中，有()()()22235222=m m a m a -++，化简得1514m a =，在12Rt F AF △中，有()()()2223322m m a c +-=，结合1514m a =，得222553c a =，所以53e = 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.8．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .9．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．10．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.11．D解析：D设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440y ky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．12．C解析：C 【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：如图，椭圆22:110064x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为3)4y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±15．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，得22234a m c +=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++ 123(423)42++=，当且仅当213e e =，上式取得等号，可得2212e e +的最小值为223+．故答案为：223+．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④ 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x =--，224211y x a ∴+=--，P ∴到原点的距离不，当P 在y 轴时取等号，此时12PF PF a ==，122PF PF a +=故③错误；对于④，由题意知点P 在曲线C 上，则△12F PF 的面积12122F PF Sy y =⨯⨯=，由①知221y x =--或221y x =--t ，则2424t a x -=，24442211(2)4444t a a a y t t -∴=--+=--+，1222212F PF S y a ∴=，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．18．【分析】可设则其中可得的取值范围【详解】由点是曲线上一个动点可设则其中又则故答案为：【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用辅助角公式三角函数的值域属于中档题解析：[5,5]-【分析】可设2cos ,x y θθ==，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，可得2x 的取值范围. 【详解】由点(,)P x y 是曲线22:143x yC +=上一个动点，可设2cos ,x y θθ==，[0,2)θπ∈，则2x 4cos 3sin 5sin()θθθα=+=+，其中4tan 3α=，又5sin()θα+[5,5]∈-，则2x [5,5]∈-. 故答案为：[5,5]-. 【点睛】本题考查了椭圆参数方程的应用，辅助角公式，三角函数的值域，属于中档题.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线解析：2【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．已知离心率为3的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于点D ，若83CD =，则直线AP 的斜率为（） A ．16或120B ．121C ．16或121D ．13或1203．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1BC ．2D ．34．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．25．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D6．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12B ．2C 1D7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOBp =（） A ．1B ．32C ．2D ．39．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4C．D．10．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF F △与12QF F 的面积之比为（）A．2 B1 C1D．2+11．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．双曲线2214x y -=的离心率为（）ABCD二、填空题13．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于62，则点P 到y 轴的距离等于__________． 14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为32，那么双曲线的离心率为________ 15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.16．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．17．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为35，则p 的值为______.20．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.三、解答题21．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(03，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||53||AB CD =l 的方程. 24．如图，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线11:2l y x =+与C 相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）设过F 的直线2l 交C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），若MF FN =3，求直线2l 的方程．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右顶点，22AB =，离心率22e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由2c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---，设PA k k =(103k <<)，则19PB k k=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可表示出CD ，然后列方程可求出k 的值【详解】由12213e m =-=，得9m =. 设()00,p x y ，则20202200119999PA PBx y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(103k <<)，则19PB k k =-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .直线BP 的方程为()139y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以18793CD k k =+=，解得13k =(舍去)或121.故选：B. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题3．D解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D.4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2222c a b =+.【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =，∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==≥当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PFPF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．7．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF F F =，A 为1PF 中点，21AF PF ∴⊥，圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB 3，列出方程，由此方程求出p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =，即2212ba +=，则3b a =， A ，B 两点的纵坐标分别是32=±py ，又AOB 的面积为3，可得1··3322=p p ，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-=，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.10．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为()121222223123323822231233PF F QF F a a S PF a t S QF a t a --+=====+--+△△故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.11．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：22【解析】依题意，由22226{2b c a c a b ===+，解得2,6a c ==，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cot26π22tan 6P S y∠===⋅⋅，解得2y =，代入双曲线方程解得22x =.14．【分析】由题意画出图形再由抛物线方程求出焦点坐标得到双曲线的焦点坐标由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式求解离心率即可【详解】如图由抛物线方程得抛物线的焦点坐标即双曲线的右焦点坐标为双曲线的渐近线方程解析：2【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．【详解】如图，由抛物线方程24y x =，得抛物线的焦点坐标(1,0)F ，即双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点坐标为(1,0)F ，双曲线的渐近线方程为by x a=±．不妨取by x a=，化为一般式：0bx ay -=．=，即222433b a b=+，又221a b=-，联立解得：214a=，12a∴=．则双曲线的离心率为：1212cea===故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．15．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由解析：22+【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c+=，由此能求出2212e e+的最小值．【详解】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m-=，由椭圆定义12||||2PF PF a+=，可得1PF m a=+，2PF a m=-，又123F PFπ∠=，2221212||?4PF PF PF PF c+-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c++--+-=，得22234a m c+=，即222234a mc c+=，可得2212134e e+=，则222212122212113()()4e e e ee e+=++2221221231(13)4e e e e =+++1(424+=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．16．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =. 故答案为：24y x =.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.17．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.18．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①221x y +≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点,22A ，(22B -，(C ，D ，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.19．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取A y =，11135332ACE ABC S S p p ∆∆∴===p =故答案为．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.20．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的21. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2221c b y b a a =±-=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得21e =（负的舍去）. 故答案为21. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥. 【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而20000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty n y x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-+2n >-+ 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.22．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得⎧=⎪=，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以2⎧=⎪⎪=，解得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--，从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）22143x y +=；（2）123y x =-+或123y x =--. 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，b，c ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1=，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.24．（1）22y x =；（2）630x --= 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为0求出p 的值，从而可得答案；（2）设21:2l x my =+，联立2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my --=，利用韦达定理以及平面向量的线性运算列方程组求解m 的值即可. 【详解】（1）联立222212y px y py p y x ⎧=⎪⇒=-⎨=+⎪⎩，可得220y py p -+=，因为直线11:2l y x =+与2:2(0)C y px p =>相切所以24401p p p =-=⇒=，抛物线方程为22y x =，（2）由（1）可知1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设21:2l x my =+，联立2212y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2210y my --=，设()()11221,,,,0M x y N x y y >，结合MF FN =3，可得12121212,3y y y y m m y y=-⎧⎪+=⇒=⎨⎪=-⎩，21:32l x y =+，即630x --=. 【点睛】求抛物线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．25．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计为定值，即可得出结果. 【详解】（1）2AB =2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率2e =，c a ∴=1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+，直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y +++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312mm y -+-+=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+，解得：2x =此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭，确定点P 横坐标为定值，即可求解. 26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证；（2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---，即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立，得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△ 故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+2．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．24．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2C ．2D ．15．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直6．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A ．B ．)+∞C ．3⎛- ⎝D ．7．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（） A ．9B ．8C ．6D ．48．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2D 9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．7y x =±B ．y =C ．5y x =±D ．y =11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若260AF B ∠=︒，2ABF 2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =D ．y =12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab=__________. 15．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________16．曲线412x x y y -=上的点到直线y 的距离的最大值是________．17．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）18．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.19．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点．（1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．22．已知圆1C 的方程为()()2220213x y -+-=，椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，2C 的离心率为22，如果1C 与2C 相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆1C 的直径，求直线AB 的方程和椭圆2C 的方程．23．已知圆2219:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M ，N ，且(0)MN OA λλ=≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程.24．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .25．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线1y x =+交于A 、B 两点，若||8AB =，求抛物线的方程．26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF |,13QF QF =，不妨设()1220F F m m =>，则13,QF m QF m ==，故121212F Fcea QF QF====-.本题选择A选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2．C解析：C【解析】设椭圆方程为()222210y xa ba b+=>>联立方程：2222143130y xa bx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b+---=,设()11M x y，，()22N x y，，则1212x x+=，即2221042169bb a=+，化简得：224a b=，又2227a b-=，易得：22369ab⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x+=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．C解析：C【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a=，又OAB的面积为2得2ab=，而双曲线C的焦距2c=.【详解】由题意，渐近线方程为by xa=±，∴,A B两点的坐标分别为(,),(,)a b a b-，故2AB a=，∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．A解析：A 【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k ++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.5．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 6．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2by a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以2323b ac <，所以22323c a ac -<，所以21323e e -<，即232330e e --<，解得333e -<<，又1e >，所以13e <<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.7．A解析：A 【分析】根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解. 【详解】设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点，所以N 是BF 中点，因为4FB FA =，所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m ,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=，解得12m = ∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA ||FB |=9，故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为5y x =±．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．11．D解析：D 【分析】结合双曲线的定义、2ABF 的面积、余弦定理列方程，化简求得ba，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】连接11,AF BF ，根据双曲线的对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，由于260AF B ∠=︒，所以12120F AF ∠=︒，212ABF AF F SS=，12AF BF =，设12,AF n AF m ==，结合双曲线的定义有2m n a -=，所以()2222222cos1201sin12032m n a c m n mn mn a⎧-=⎪⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，即2222244m n a c m n mn mn a -=⎧⎪=++⎨⎪=⎩，由()22m n a -=得22222224,12m n mn a m n a +-=+=，所以22416,2c a c a ==，而222c a b =+，所以2224,3ba ab a=+=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =14．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用解析：4 【解析】当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,22y x b y x b =+=-+，联立1212y x b y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222a ay x y x =-=-+，联立12212a y x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,所以MN 为定值，则22ab =，所以4a b=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用. 15．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m =故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值16．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y x y x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：222y x -故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为022263d +==所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值是263.故答案为：263.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.17．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.18．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点(,22A ，()22B -，(22C --，(22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.19．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =．所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==，又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ，又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=，∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】解：（1）将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0，设切线方程为()21y k x -=-，与24y x =联立得()2204k y y k -+-=（0k ≠），由()120k k ∆=--=得1k =．所以，所求切线方程为1y x =+．（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入24y x =得：240y y m +-=．由16160m ∆=+>，得1m >-．又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，()()()()22122112121211121222441111PA QAy y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()121441684201m m x x +-++==-，所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．直线AB 的方程为3y x =-+，椭圆2C 的方程为221168x y +=.【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，再将直线AB 的方程与圆的方程联立，求出交点A 、B的坐标，再将交点A 坐标代入椭圆2C 的方程，可求得c 的值，进而可得出椭圆2C 的方程. 【详解】因为椭圆2C的离心率为c e a ==a =，b c ∴==，所以，椭圆2C 的方程为222212x y c c+=，即22222y c x +=.设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于AB 为圆1C 的直径，则AB 的中点为()12,1C . 若直线AB 的斜率不存在，则AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.由已知可得12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得121242x x y y +=⎧⎨+=⎩. 由于A 、B 两点都在椭圆2C 上，则22211222222222x y c x y c⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()2222121220x x y y -+-=，可得2212221212y y x x -=--，所以，11212121212121122AB OC y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=⋅=--+-，1AB k ∴=-，所以，直线AB 的方程为()12y x -=--，即3y x =-+，联立()()22320213y x x y =-+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得1121x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2221x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即点2A ⎛- ⎝⎭、2B ⎛+ ⎝⎭，将点A 的坐标代入椭圆2C的方程可得22222211633c ⎛⎫⎛=++-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则28c =. 因此，椭圆2C 的方程为221168x y +=.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.23．（1）22142x y +=；（2）20x +=或20x -=.【分析】（1）由题可先求出焦点坐标得出c ，由点1F ，E ，A 共线，可得21AF =，1||3AF =，则可求出a ，即可得出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理求出弦长，得出面积，即可求出最值，得出此时的直线方程.【详解】(1)由2219()24x y +-=，令0y =得x =1(F ∴，2F ∴由点1F ，E ，A 共线，知E 为1AF 中点，则221AF OE ==，1||3AF =，242a a ∴=⇒=，∴2222b a c =-=，所求椭圆方程为：22142x y +=；(2)可知)A,由(MN OA λλ==，可得直线l 的斜率为2，设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y，由22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m +-=，由()22Δ)420m =-->，得22m-<<，12x x +=，2122x x m=-，12||MN x ∴=-==，又点A 到直线l 的距离为||3d m =，∴1||||23AMNSMN d m ==)2242m m -+=≤=，当且仅当224m m -=，即m =时，等号成立，综上，直线l的方程为2yx =+2y x =. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.24．（1）24y x =；（2）8.【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p =，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122p p =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=.【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.25．28y x =或24y x =-．【分析】设出抛物线方程为22y ax ，交点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式列方程求得a 后可得抛物线方程．【详解】设抛物线方程为22y ax ，1122(,),(,)A x y B x y ，由221y ax y x ⎧=⎨=+⎩，得2(22)10x a x +-+=，2(22)40a ∆=-->，解得2a >或0a <．1222x x a+=-，121 =x x，128AB x x=-==，解得4a=或2a=-．所以抛物线方程为28y x=或24y x=-．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线标准方程，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)x y x y，设抛物线方程为22y ax，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得弦长．26．（1）2212xy+=；（2）存在；1)y x=-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d+=.（2）设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=，先假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM中，由余弦定理得：22121242cos2d d d dθ=+-.又212cos1d dθ=，整理得，12d d+=所以点M的轨迹E是以(1,0)A-和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d dθ=.所以点M的轨迹E的方程是2212xy+=.（2）假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，由22(1)12y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k+-+-=设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，由韦达定理得，2122412kx xk+=+，21222212kx xk-=+.由题意以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x=--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x xx x=⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k =当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时1,2P ⎛⎝⎭、1,2Q ⎛- ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l 存在，其方程为1)y x =-.【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-，故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =，所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩，所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--，整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．32．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF BF =，则k =（）A B ．2C ．2D ．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D ．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A ．12 B ．12C 1D 16．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（） A ．5B ．4C ．3D ．28．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A B ．C D 9．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（）A ．21B ．21C ．21D 10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（）A ．12-B ．12-+ C ．12D ．211．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 12．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB BC CAk k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．2p二、填空题13．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______．17．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．18．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________．19．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,点F 是椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在x 轴上的定点D ,使得过点D 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.22．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得1290F PF ∠=，求12F PF △的面积.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为2，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点(0，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.26．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．A解析：A【分析】将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=，121=x x ，由3AF BF =可得1232x x =+，联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ，则直线方程为()1y k x =-，将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k++=，121=x x ，由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+，3AF BF =，则1232x x =+，结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=，代入121=x x ，则223121k k⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，由0k >，可解得k = 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．C解析：C 【分析】由题可求得212122ABF AF F BF F SSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,2a =，a AB c ∴=，42c e a =∈⎣⎦，，a c ∴∈，则[]4,8ac∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出22aAB c=⋅可求解. 5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c e a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =，可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =1211||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．9．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=10．A解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得e =．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．11．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．12．A解析：A 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(,0)2p F ∵0FA FB FC ++= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222p p px y x y x y -+-+-= ∴1230y y y ++=∵2221212121211()122AB y y x x y y p k y y y y p--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，3112CA y y k p +=. ∴3231123212()11102222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p+++++++=++== 故选A.二、填空题13．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出由此能求出的最小值【详解】由题意设焦距为椭圆长轴长为双曲线实轴为令在双曲线的右支上由双曲线的定义由解析：223+ 【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=，由椭圆定义12||||2PF PF a +=，可得1PF m a =+，2PF a m =-，又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=，得22234a m c +=，即222234a m c c+=，可得2212134e e +=，则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++12(4242++=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +的最小值为22．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣解析：①② 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -2标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：()()2222121x y x y -++=+对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，令y ＝0()()22121x x -=+x 221>，此时对应的点不在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误．故答案为：①② 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.18．3【分析】先由椭圆的第一定义求出点到右焦点的距离再由第二定义求出点到右准线的距离【详解】由椭圆的第一定义得点到右焦点的距离等于离心率所以由椭圆的第二定义得即故点到右准线的距离故答案为：【点睛】本题考解析：3 【分析】先由椭圆的第一定义求出点P 到右焦点的距离，再由第二定义求出点P 到右准线的距离d . 【详解】由椭圆的第一定义得点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =，所以，由椭圆的第二定义得3122d =，即3d =，故点P 到右准线的距离3d =.故答案为：3 【点睛】本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质，属于基础题.19．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =．所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）存在，(2,0)D .【分析】（1）题意说明a =P 的坐标代入22x ＋22y b ＝1，可得b ，即得椭圆方程；（2）设存在定点D 满足条件．设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -，将直线l 代入椭圆方程得y 的二次方程，判别式大于0，应用韦达定理得1212,y y y y +，A ，F ，E 三点共线即,FE FA 共线，由向量共线得一等式，代入1212,y y y y +可求得t ．【详解】解(1)因为2a =，所以a =(1,2P 代入22221x y a b +=，得1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2) 存在点(2,0)D 满足条件.设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(2)220m y mty t +++-= 12222mt y y m ∴+=-+，212222t y y m -=+且0∆>，由,,A F E 三点共线，得2112(1)(1)0x y x y -+-=，所以12122(1)()0my y t y y +-+=，所以222222(1)()022t mtm t m m -⋅+-⋅-=++解得2t =.所以存在定点(2,0)D 满足条件．【点睛】方法点晴：解法中体现了“设而不求”的思想，即设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程得y 的二次方程（判别式大于0），应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中另外的条件求解．22．16【分析】求出a 、b 、c ，利用双曲线的定义和勾股定理可求得12PF PF ⋅，进而可求得12F PF △的面积. 【详解】由双曲线方程221916x y -=，可知3a =，4b =，5c =.由双曲线的定义，得1226PF PF a -==，将此式两边平方，得221212236PF PF PF PF +-⋅=，221212362PF PF PF PF ∴+=+⋅.又1290F PF ∠=，由勾股定理可得2212122100PF PF F F +==，12362100PF PF ∴+⋅=，12·32PF PF ∴=，121211321622F PF SPF PF ∴=⋅=⨯=.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义结合勾股定理求得12PF PF ⋅的值，再结合三角形的面积公式求解，对于焦点三角形面积的问题，一般利用定义结合余弦定理求解.23．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得2==，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--，从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 24．（12【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460k x x mk x x m +++++= 223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m ∆=+->，()2242343mk k m x -±+-=则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+ 设O 到直线MN 的距离为d ，则2222431144441mk d k k k +===-+++ 0k =时，min 3d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；②8. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可.【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=- 所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=，所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±. （2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =，所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y + 所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(274M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,274M N ⎛ ⎝⎭- 所以直线l的斜率为6k =±，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-= 【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 26．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案.【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=，抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx m k x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k=,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=， ()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（）A ．BC ．13-D ．132．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞7．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A B C ．14D ．48．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A B ．12C 1D 19．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=10．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2D 11．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．ABC 1D 12．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（）A ．2B 1C 1D ．2+二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为 .15．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m n ⋅的值为___________16．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；17．已知抛物线2:4E x y =，过点(2,1)P -作E 的两条切线，切点分别为,A B ，则AB =________．18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________. 三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,1P l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）求椭圆C 的方程;（2）若APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PM 长度的最小值．23．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 方程；（2）设点E 为直线2px =与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为1k ，2k 的两条弦EM ，EN ，如果121k k +=-，证明：直线MN 过定点，并求定点坐标.24．点M 是椭圆223:11616x y C +=上一点，点A 是椭圆C 的左顶点，MO 的延长线交椭圆C于点B ，AMB 是以M 为直角顶点的三角形.若存在不同于点A ，B 的点C ，D ，使得0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，试探究直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由. 25．在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为准线的距离为8．（1）求椭圆的方程；（2）设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．26．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-，故选C.2．C解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=,设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．A解析：A 【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=， Fbcb c== ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a . 5．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥，取线段2PF 的中点N ，连接1NF ，由于1122PF F F c ==，则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=，即422b c a -=，即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得12e <12e > 故双曲线离心率的取值范围是()12,+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.7．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.8．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P +=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.9．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，23c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y 到点1(0,23)F 的距离与到点2(0,23)F -的距离之和为定值8，并且12843F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为23c =22216124b a c =-=-=，所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .10．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k t a b a b -=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．11．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2231aPF =-，2122131sin 3022(31)aPF a F F c c -====-，∴2(31)a c =-，31==+ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．12．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k -+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B k S OP x x k =-=+因为0k ≠，所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【详解】由双曲线得右焦点为即为抛物线的焦点∴解得∴抛物线的方程为其准线方程为过点作准线垂足为点则∴∴∴∴ 解析：32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px = 的焦点，∴42p = ，解得8p = ．∴抛物线的方程为216y x = ．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴AK =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKFSKF ==⨯=． 15．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此解析：316【分析】由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解．【详解】由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，所以双曲线中1c =方程()2210x y mn m n -=≠表示双曲线所以,m n 同号.当,m n 同正时，54a b =-，则2c ea ===，解得：14m = 则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则2c ea ===，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述：316m n ⋅= 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三解析：12【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故22PF c =，等腰12PF F ∆有一内角为23π，即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，1PF ==，由双曲线的定义可得，||12PF PF 2c 2a -=-=，即1)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.17．8【分析】设切线方程为即代入利用判别式为0求出两条切线的斜率进一步求出两个切点坐标利用两点间的距离公式可求得结果【详解】切线的斜率显然存在设切线方程为即联立消去得所以即则或设切线的斜率分别为则将代入解析：8 【分析】设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，代入24x y =，利用判别式为0，求出两条切线的斜率，进一步求出两个切点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】切线的斜率显然存在，设切线方程为1(2)y k x +=-，即21y kx k =--，联立2214y kx k x y=--⎧⎨=⎩消去y 得24840x kx k -++=，所以2(4)4(84)0k k ∆=--+=，即2210--=k k，则1k =1k = 设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，1122(,),(,)A x y B x y ，则11k =21k =，将11k =24840x kx k -++=得24(18(140x x -++=，即2(20x -+=，得2x =-12x =-2211(244x y -===3-(2A --，同理可得(2B ++，所以||AB =8=.故答案为：8. 【点睛】本题考查了直线与抛物线相切的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=，则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=，故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =，所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-．又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-．在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =．故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为2【分析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ，设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--，解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0， ∴1212066y yx x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=，即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22182x y +=；（2）5. 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率c a =,a b ，得出椭圆方程；（2）可得0PA PB k k +=，设出直线PA 方程，联立直线与椭圆，可得点A 坐标，同理得出点B 坐标，即可求出中点M 坐标，可判断M 在直线20x y +=上，即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为椭圆经过点P所以2222211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中222a b c =+，解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆方程为22182x y +=．（2）因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以0PA PB k k +=．设直线PA 的斜率为()0k k ≠，则直线PA 的方程为：()21y k x =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2221,1,82y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=．则21216164214k k x k--⨯=+，所以21288214k k x k --=+，代入得21244114k k y k--+=+．即2222882441,1414k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理可得2222882441,1414k k k k B k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭．所以22228241,1414k k M k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭．则M 在直线20x y +=上，所以PM 的最小值为P 到直线20x y +=的距离．即d ==63,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内，所以PM的最小值为5．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）24y x =；（2）证明见解析，定点(5,6)-. 【分析】（1）直线方程为2py x =-，代入抛物线，利用焦点弦公式即可求出p ，得出方程；（2）当MN 斜率不存在时，可得MN 方程为5x =，当MN 斜率存在时，设为y kx b =+，和抛物线联立，利用121k k +=-可得56b k =--，即可得出定点.【详解】（1）由题意知：(,0)2p F ，则直线l 的方程为2py x =-，代入抛物线方程得 22304p x px -+=，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，根据抛物线定义||2A p AF x =+，||2B pBF x =+，||||||48A B AB AF BF x x p p ∴=+=++==，2P =∴， ∴24y x =；（2）抛物线方程为24y x =，直线2px =，即1x =，解得(1,2)E . ①当MN 斜率不存在时，设方程为x t =，则((,M t N t -，1222111k k t t -+=+=---解得5t =，∴方程为5x =； ②当MN 斜率存在时，设:(0)MN y kx b k =+≠，24y kx by x =+⎧⎨=⎩，即222(24)0k x kb x b +-+=，1222122042kb x x k b x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩111111222111y kx b b k k k x x x -+-+-===+---，2221b k k k x +-=+-， 12121222(2)1(1)(1)x x k k k b k x x +-+=++-⋅=---，化简得：56b k =--，此时:(5)6MN y k x =--，过定点(5,6)-. 综上，直线MN 过定点(5,6)-. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.24．//AB CD ，理由见解析.【分析】利用AM MO ⊥得M 是以OA 为直径的圆与椭圆的交点，解方程组求得M 点坐标．可求得AB k ，由数量积为0得CMD ∠的角平分线垂直于OA ，从而0MC MD k k +=，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入0MC MD k k +=可求得参数关系以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)，由此可得两直线的位置关系．【详解】解：由题意(4,0)A -，因为AMB 是以M 为直角顶点的三角形，所以以AO 为直径的圆()2224x y ++=与椭圆223:11616x y C +=交于点M ，联立2222(2)4311616x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（舍），不妨设()2,2M -，则(2,2)B -，2012(4)3AB k --==---．由0MC MD OA MC MD ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭可得：CMD ∠的角平分线垂直于OA ，所以0MC MD k k +=，易知直线CD 斜率存在，设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，联立22311616y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2221363160k x kmx m +++-=，即122613km x x k -+=+，212231613m x x k -=+，所以121222022MC MD y y k k x x --+=+=++，即()12122(22)480kx x k m x x m ++-++-=，代入韦达定理可得：()()()4318311k m k k +=++，所以13k =-或22m k =+(过点M ，舍)因为13AB k =-，所以//AB CD .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），由题意中条件得出0MC MD k k +=，代入1212,x x x x +后可求得参数关系或参数值．从而判断出结论．25．（1）22184x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据长轴长、两准线的距离以及222a b c =+可得到椭圆的方程；（2）首先要对直线进行分类讨论，当斜率存在时，将直线与椭圆联立，设出,A B 两点的坐标，12k k +用12,x x 表示，再结合韦达定理就能得到证明．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆的长轴长为8，所以2228a a c==，所以2a c ==，2b . 所以椭圆的方程为22184x y +=．（2）证明①当直线l 的斜率不存在时，可得A 1,2⎛- ⎝⎭，B 1,2⎛-- ⎝⎭，得k 1＋k 2＝4.②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由221,842(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. ∆＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－24(2)12k k k -+，x 1x 2＝222812k k k -+. 从而k 1＋k 2＝112y x -＋222y x -＝1212122(4)()kx x k x x x x +-+＝2k －(k －4)·24(2)28k k k k--＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．26．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围. (3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的.【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =< 所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，， ())()2222x x y x y =⋅+-=+- ()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k k x k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B A AB B Ay y k x x -=- ()()3232222222222421111114212111B A MN B A k k k k k k k k k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点：(1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断；(2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率2e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（）A ．1B C ．2D ．42．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．33．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A B C D ．24．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（） A ．4B ．5C ．6D ．75．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（） A ．23B ．2C ．34D ．36．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．7．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（）A B ．3C D ．28．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（） ABC ．14D ．49．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（）A ．12 B．12C1 D 110．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．5211．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（）A ．⎛⎝⎭ B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎝⎭ D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D 二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________. 14．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:4C x y x y +=+就是其中之一.曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：20x y ++=； ②曲线C 与圆228x y +=有2个交点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12； ④曲线C 恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号) 15．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______16．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）17．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线与C 的左支交于M 、N 两点，若12MF F △是以1MF 为底边的等腰三角形，且1123MF NF =，则双曲线C 的离心率是________． 20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点重合，左准线方程为1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为_____________.三、解答题21．已知长轴长为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,点F 是椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在x 轴上的定点D ,使得过点D 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由. 22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.24．已知抛物线C ：2y x =，过点1,0A 的直线交抛物线C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，O 为坐标原点. （1）证明：OP OQ ⊥；（2）点()3,0B -，设直线PB ，QB 分别与抛物线C 交于另一点M ，N ，过点O 向直线MN 作垂线，垂足为D .是否存在定点E ，使得DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标及DE ；若不存在，请说明理由.25．我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1，且点3⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）经过点11,28P ⎛⎫-⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点，求直线AB 的斜率；（3）若直线l 与（2）中的直线AB 平行，且与椭圆交于M ，N 两点，试求MON △（O 为坐标原点）面积的最大值．26．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点Q 1⎛- ⎝⎭.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，所以FA OA ⊥，则FA b =，OA a =，AOF ∆的面积为1，可得1 12ab =，双曲线的离心率e =222225 4c a b a a +==，即12b a=，解得1b =，2a =，故选C. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查了计算能力；利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形中直径所对的圆周角为直角，可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12ab =，结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于,,a b c 方程组求出a 即可；2．D解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 3．B解析：B 【分析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.4．A解析：A【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可．【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．5．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值．【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．6．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．B解析：B 【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，则212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，2224ab AB a b ∴==+，212222M x x a cx a b +==+，直线PM 的斜率为1-，P MPM x x c a b ∴=-=+3||4||AB PM =，即222434ab a b c a b ⨯=++，解得3c e a ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.8．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan ak AOMb =∠==，所以b a =所以c e a ===，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.9．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故2322c c a +=，即)31c a =，故离心率31231c e a ===+.故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c e a=；（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.10．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.11．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：e >故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.12．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为c a =.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．②③【分析】求出点结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标即可判断②；在曲线上取点由可判断③；求出整点即可判断④【详解】对于①曲线令则；令则；所以点所以直线AB 的方程为：即故①错误；对于②解析：②③ 【分析】求出点()2,0A ，()0,2B ，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，由ADEFG S 可判断③；求出整点即可判断④. 【详解】对于①，曲线22:4C xy x y +=+，令0x =，则2y =±；令0y =，则2x =±；所以点()2,0A ，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：221x y+=即20x y +-=，故①错误；对于②，由222248x y x y x y ⎧+=+⎨+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以曲线C 与圆228x y +=有2个交点()2,2，()2,2-，故②正确；对于③，在曲线上取点()2,2D ，()2,2E -，()2,0F -，()0,2G -，顺次连接各点，如图，则12442122ADEFG S =⨯+⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：()2,0±，()0,2±，()2,2±，有6个，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.15．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线解析：433【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得3tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-，设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==，所以3tan FMN '∠=，即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x（舍），所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．16．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶解析：2.6【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即抛物线方程为2132147y x =-+. 当0x =时，327y =. 所以桥洞顶部距水面高度约为32182 2.677-=≈米. 故答案为：2.6 【点睛】本题主要考查抛物线的应用，同时考查了待定系数法求方程，属于中档题.17．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为22200204543d -±===+，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.18．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【详解】取的中点P 连接由题可知且所以又则在中在中得又所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解涉及双曲线定义的应用考查计算能力属于中等题解析：75【详解】取1F M 的中点P ，连接2PF ，由题可知212=MF F F ，且1132MF NF =，所以22MF c =，MP c a =-，1F P c a =-．又1132MF NF =，则()13NF c a =-，23NF c a =-．在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()2222342c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，2251270c ac a -+=，()()750a c a c --=．又1e >，所以75e =．故答案为：75.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由焦点重合可知由左准线方程可知从而可求设根据双曲线的定义可知则结合基本不等式可求其最值【详解】解：由焦点重合可知；由左准线方程可知又由双曲线的定义可知从而可求出因为为右支上任意一点所以设则则解析：【分析】由焦点重合可知2216a b +=，由左准线方程可知21a c-=-，从而可求2,23,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则212168PF t PF t=++，结合基本不等式可求其最值.【详解】解：由焦点重合可知，2225916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c-=-，又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,4a b c ===. 因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PFt t c a =≥-=，则14PF t =+,则()22124168816t PF t PF t t +==++≥+= 当且仅当16t t =，即4t =时等号成立.即21216PF PF ≥. 故答案为:16. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）存在，(2,0)D .【分析】（1）题意说明a =P 的坐标代入22x ＋22y b ＝1，可得b ，即得椭圆方程；（2）设存在定点D 满足条件．设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -，将直线l 代入椭圆方程得y 的二次方程，判别式大于0，应用韦达定理得1212,y y y y +，A ，F ，E 三点共线即,FE FA 共线，由向量共线得一等式，代入1212,y y y y +可求得t ．【详解】解(1)因为2a =，所以a =(1,2P 代入22221x y a b +=，得1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2) 存在点(2,0)D 满足条件.设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(2)220m y mty t +++-=12222mt y y m ∴+=-+，212222t y y m -=+且0∆>，由,,A F E 三点共线，得2112(1)(1)0x y x y -+-=，所以12122(1)()0my y t y y +-+=，所以222222(1)()022t mtm t m m -⋅+-⋅-=++解得2t =.所以存在定点(2,0)D 满足条件．【点睛】方法点晴：解法中体现了“设而不求”的思想，即设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程得y 的二次方程（判别式大于0），应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中另外的条件求解．22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响. 23．（12）2【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =7-，B ，M 不重合，故437y =-，213249x =，故43327MN x ==；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，()2224234343mk k m x k -±+-=+则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d ，则2222431144441m k d k k k +===-+++0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）存在，满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【分析】（1）设直线:1PQ x my =+，联立方程组得到121y y =-，结合0OP OQ ⋅=，即可求解；（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到34y y a =-与t 无关，得出对于抛物线2y x =上的两点的直线RS 过定点(),0a ，进而得到9M N y y =-，再结合Rt ODG ，即可求解.【详解】（1）设直线PQ ：1x my =+，联立方程组21x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得210y my --=，所以121y y =-，又由22121212120OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=+=，所以OP OQ ⊥.（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+与抛物线有两个不同交点()33,x y ，()44,x y ，联立方程组2x ty a y x=+⎧⎨=⎩，整理得20y ty a --=，可得34y y a =-与t 无关，即对于抛物线2y x =上的两点R ，S ，直线RS 过定点(),0a R ⇔，S 的纵坐标之积为a -，由此可得13M y y =，23N y y =，从而1299M N y y y y ==-，于是可得直线MN 过点()9,0，记为G ，则OD DG ⊥，取OG 中点为E ，则Rt ODG 中1922ED OG ==，故存在满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.25．（1）2214x y +=；（2）1；（3）1．【分析】（1）利用正焦弦长公式以及点⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可解得结果；（2）利用点差法可求得结果；（3）利用弦长公式求出||MN ，点到直线的距离公式求出点O 到直线l 的距离，根据面积公式求出MON △的面积，根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】（1）根据题意，221b a=，所以22a b =，则椭圆方程22221x y a b +=转化为22221x y a a+=，又点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以21312a a+=，即22320a a --=，由于0a >，故解得2a =，则21b =，故所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由（1）得椭圆的方程为2214x y +=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，因为点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段AB 的中点，则1212122128x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即1212114x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由于点A 、B 在椭圆上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两个等式相减得()2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y +-++-=，即()()121211044x x y y ---=，所以直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-；（3）由（2）设直线:l y x t =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线：:l y x t =+与椭圆方程2214xy +=得2258440x tx t ++-=，令()22(8)45440t t ∆=-⨯->，得t <<又3485t x x +=-，234445t x x -=，所以||5MN ===，又点O 到直线l 的距离d =， ()222512||1252MONt t SMN d -+==⨯=，当且仅当225t t -=，即t =t =t =t =t < 所以MON △面积的最大值为1．【点睛】关键点点睛：求出MON △面积关于t 的函数关系式是解题关键. 26．（1）[0,1]；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义求得2a ，然后可得b ，从而得椭圆方程，然后设点(),P x y ，计算12PF PF ⋅可得范围；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)代入椭圆方程得()2222214220kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得段线AB 的中点M 的坐标122M x x x +=，然后计算OM l k k ⋅可得定值．【详解】解：（1）因为焦距22c =，则1c =，所以左焦点()11,0F -，右焦点()21,0F则122a QF QF =+==所以a =222,1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=.设点(),P x y ，则()2222212=(1,)1,11122x x PF PF x y x y x y x ⋅---⋅--=-+=-+-=因为[x ∈，所以12PF PF ⋅的取值范围为：[0,1] （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220k x k x k +-+-=其中：2210k +>，0∆>，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为线段AB 的中点则2122421k x x k ，所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k -==所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程(1)y k x =-，直线方程与椭圆方程联立方程组并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM l k k ⨯中可化简得定值．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．32．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．[,1)2C ．D ． ⎛ ⎝⎦3．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④4．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±6．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．7．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦ B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C．(D．)+∞8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（） A．B ．2CD9．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）．A BC 1D10．点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q 两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（） A ．14B ．12C ．2D ．411．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F都在x M 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.14．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ､B 两点，直线2l 与C 交于D ､E 两点，则4AB DE +的最小值为________.15．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于2，则点P 到y 轴的距离等于__________． 16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.18．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比PM PN=（1）若点P P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程．附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．23．椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ，两点．求（1）线段AB 的长；（2）2ABF 的面积．24．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．已知椭圆E ：22154x y +=.（1）求与方程E 焦点相同，且过Q ⎭的椭圆方程C . （2）若直线12y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得. 【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：e ≥e ≤01e <<1e ≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.3．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠，则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-，联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+，联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则1y，即3()2A p ，则22FA k p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误．由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥，取线段2PF 的中点N ，连接1NF ，由于1122PF F F c ==，则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则22442NP c a b =-=，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=，即422b c a -=，即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 7．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.8．B解析：B【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．10．B解析：B 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出12k k 的值，利用基本不等式可求得21221k k +的最小值. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=，由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-，所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-，而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k kk+=+≥==，当且仅当18k=±时，等号成立，因此，21221kk+的最小值为12.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得214AQk k=-，进而利用韦达定理法求得1AQk k⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.11．B解析：B【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x=--，即21(1)(2)2x y-=+，它的图象是由抛物线212x y=向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y=中122p=，14p=，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．12．C解析：C【解析】12,MF MF⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c==，又3,ca=21,312a b∴==-=，C∴的方程为2212yx-=，故选C.二、填空题13．【分析】设弦的两端点分别为A（x1y1）B（x2y2）由AB的中点是P（81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中解析：2150x y --=【分析】设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程．【详解】设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，222244x y -=，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以()1212121224y y x xx x y y -+==-+，所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为2150x y --=.故答案为：2150x y --=. 【点睛】本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．14．36【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：36 【分析】设直线1l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，分别求得244AB k =+和244DE k =+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，联立方程组()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则()2222420k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12242x x k +=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k=++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221420442036AB DE k k ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当k =，上式取得等号，则4AB DE +的最小值为36. 故答案为：36. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF p x =+或2PF p y =+. 15．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c =，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =16．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：⎛- ⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可. 【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,3y y ==-，故3m =易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为23⎛- ⎝⎭.故答案为：23⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.17．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题解析：2133+ 【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3Mc x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.18．3【分析】由题得抛物线的准线方程为过点作于根据抛物线的定义将问题转化为的最小值根据点在圆上判断出当三点共线时有最小值进而求得答案【详解】由题得抛物线的准线方程为过点作于又所以因为点在圆上且半径为故当解析：3 【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案.【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min 413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.19．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为 132【分析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ，设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--，解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32.【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3±；（2）)10x y ++=；111x y-=±. 【分析】（1）根据直接法，利用PM PN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为PM PN==化简得22610x y x +-+=，令y 2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为3（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，3PM k =±，所以直线PM 的方程为)13y x =±+把)1y x =+代入22610x y x +-+=，得2410x x -+=，解得12x =22x =所以点P 的坐标为(2++或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM 的点法向式方程为()310x y ±++= 直线PN 的点方向式方程为111x y-=±. 【点睛】本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.22．（1）2212x y +=；（2）21y x =-+或21y x =+.【分析】（1）结合焦距和离心率求得a ，c ，再计算b ，即得方程；（2）先判断直线斜率存在且不为零，先设斜率写直线方程，联立直线与椭圆求得弦长PM ，根据垂直设另一条直线，同理可求PN ，直角三角形利用比例关系求得斜率，即得结果. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得22c =，可得1c =，又由椭圆的离心率为22，可得22c a =，代入1c =，可得2a =，故221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）依题意知直线1l ，2l 斜率存在且不为零，由点P 的坐标为()0,1，设直线PM 的方程为1y kx =+，联立方程22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或2224211221k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得点M 的坐标为222412,2121k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可知，直线PN 的方程为11y x k =-+，解得点N 的坐标为22242,22k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，PM =，22PN k ==+. 由43PMPN =()2224213k k k +==+，由函数()()22221k k f k k +=+为偶函数，故只需要解方程()()22240213k k k k +=>+即可，方程()()22240213k k k k +=>+可化为3238640k k k -+-=，因式分解为()()223220k k k --+=，而方程23220k k -+=中，判别式44320∆=-⨯⨯<，方程无解，故三次方程的解为2k =，故方程()2224213k k k +=+的解为2k =-或2k =，故直线1l 的方程为21y x =-+或21y x =+. 【点睛】思路点睛：直线与椭圆位置关系中的弦长问题，通常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y，所以12AB x =-或12AB y y =-，解决相关问题.23．（1；（2【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，∴直线AB 的方程为1)y x =+，将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12127x x +=-，1247x x =12||x x ∴-=因此，12||||AB x x =-=． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：d ==212ABF SAB d == 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可. 24．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p=，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122pp =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=. 【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，2a c -=222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以2a c -= 又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQ x m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+得()2222411240k x x k +-+-=，所以23434212441k x x x x k -+==+，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号，所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.26．（1）22143x y +=；（2【分析】（1）设出椭圆方程，可得出222212312a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，求出,a b 即可；（2）联立直线与椭圆，利用韦达定理求出22m =，再利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出O 到直线的距离，即可得出面积. 【详解】解：（1）由题意得：椭圆E 的焦点为()1,0-和()1,0，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=，且过2Q ⎭，可建立方程组 222212312a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩或2212102a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩（舍）. ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）联立直线与椭圆C 的方程，得2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得2230x mx m ++-=，由韦达定理得122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩， 1212121111343422x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()221212424620x x m x x m m =+++=-=.解得22m =满足0∆>，则12x x AB =-=∴12AOBSAB d ===【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x 形式；（5）代入韦达定理求解.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（） A ．1B ．3C ．2D ．32．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（）A 2B 3C 6D 4233．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．82B ．82C ．162+D ．1625．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为22[]42，，则线段AB 的长度的取值范围是（） A ．[2,22]B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D ．[42,82]6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于A B 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（） A ．154B ．41515C ．14D ．47．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（）A ．6B ．23C ．2D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（） A ．1B ．32C ．2D ．39．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF F △与12QF F 的面积之比为（）A ．23-B ．21-C ．21+D ．23+10．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91611．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（） A ．212-B ．22 C ．33D ．31-12．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.14．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，则PAF △周长最小值为______．16．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设,A B 在y 轴上的投影分别为,A B ''，若()32AB AA BB ''=+，则直线l 的斜率为______. 17．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.18．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若||2OA b =，则该双曲线的渐近线方程为_____________.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值．22．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 方程；（2）设点E 为直线2px =与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为1k ，2k 的两条弦EM ，EN ，如果121k k +=-，证明：直线MN 过定点，并求定点坐标.23．已知圆22:12O x y +=，P 为圆O 上的动点，点M 在x 轴上，且M 与P 的横坐标相等，且()21PN NM =-，点N 的轨迹记为C .（1）求C 的方程；（2）设()2,2A ，()4,0B ，过B 的直线（斜率不为±1）与C 交于,D E 两点，试问直线AD 与AE 的斜率之和∑是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求∑的取值范围.24．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．25．已知抛物线C ：2y x =，过点1,0A 的直线交抛物线C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，O 为坐标原点. （1）证明：OP OQ ⊥；（2）点()3,0B -，设直线PB ，QB 分别与抛物线C 交于另一点M ，N ，过点O 向直线MN 作垂线，垂足为D .是否存在定点E ，使得DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标及DE ；若不存在，请说明理由.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||35AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D.2．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ．【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．3．A解析：A【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F bcb c== ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．A解析：A 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有122888CM CC CM CC MC +-+=+<=当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出22aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF SSSSAB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222cAB a =，22a AB c ∴=，2242c e a =∈⎣⎦，，2,22a c ⎡∴∈⎣，则[]224,8ac∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出22aAB c=可求解. 6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b=∠==，所以15b a =所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．C解析：C 【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为835c =-=∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB 3，列出方程，由此方程求出p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =，即2212ba +=，则3b a =， A ，B 两点的纵坐标分别是32=±py ，又AOB 的面积为3，可得1··3322=p p ，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+-△△故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.10．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y+=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎛⎫.因此，()()()()222222000004836121343232OE OF x y x y x y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.11．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin 33MF c c π==， ∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．12．B解析：B 【分析】当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=，然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．二、填空题13．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：⎛- ⎝⎭ 【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan 3θ∴=．则AB 所在直线方程为3(1)y x =-．联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得1y x'=， 2y x =-得1y x'=-∴313|33x y ='==，131|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)3-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．14．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m = 故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值15．3【分析】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知因此问题转化为求的最小值根据平面几何知识当三点共线时最小从而可得结果【详解】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影解析：3 【分析】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知||||PF PD =．因此问题转化为求||||PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时||||PA PD +最小，从而可得结果【详解】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知||||PF PD =因此，||||PA PF +的最小值，即||||PA PD +的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，因此的最小值为(1)112A x --=+=， ||1AF =，所以PAF ∆周长的最小值为213+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．16．【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得设直线的倾斜角为根据焦点弦长公式可构造方程求得进而得到的值即为结果【详解】由抛物线的定义可知：设直线的倾斜角为则即直线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦解析：2±【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得AB ，设直线l 的倾斜角为α，根据焦点弦长公式可构造方程求得2sin α，进而得到tan α的值即为结果. 【详解】由抛物线的定义可知：()31122AB AF BF AA BB AA BB AA BB ''''''=+=+++=++=+， 4AA BB ''∴+=，6AB ∴=.设直线l 的倾斜角为α，则246sin AB α==，22sin 3α∴=，tan 2α∴=± 即直线l 的斜率为2±. 故答案为：2±. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦相关问题的求解，关键是熟练掌握抛物线的焦点弦长公式：1222sin p AB x x p α=++=. 17．①②【分析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得故②正确；联立得四个交点满足条件的最小正方形是以为中点边长为2的正方形故③不正确【详解】对于①将代入得成立故曲线关于直线对称故①正确；对于②因为所以所解析：①② 【分析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y=±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确. 【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(22B -，(22C --，(22D -，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①② 【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.18．【分析】延长交于点连接由角平分线及垂直可知由双曲线的定义可知结合三角形的中位线性质可求出即进而可求渐近线的方程【详解】解：延长交于点连接由知由双曲线的定义知由可知则所以故答案为:【点睛】本题考查了双解析：12y x =±. 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA ，由角平分线及垂直可知，2PF PQ =，由双曲线的定义可知12FQ a =，结合三角形的中位线性质，可求出1224FQ a OA b ===，即2a b =，进而可求渐近线的方程.【详解】解：延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA .由2,QPA F PA PA PA ∠=∠=知2PF PQ =. 由双曲线的定义知，12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由122,FO F O QA F A ==，可知1242FQ OA b a === 则2a b =，所以12b y x x a =±=±.故答案为: 12y x =±.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线求解.难点在于构造辅助线，推出,a b 的关系.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，3b =1c =，则122F F =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）6.【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值. 【详解】（1）由题意，得222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434my y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+．于是1F Q =．直线2l 的方程为：11x y m=-- 联立111x y mx ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF =．所以()12113111362PQF m SFQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min6PQF S =．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.22．（1）24y x =；（2）证明见解析，定点(5,6)-. 【分析】（1）直线方程为2py x =-，代入抛物线，利用焦点弦公式即可求出p ，得出方程；（2）当MN 斜率不存在时，可得MN 方程为5x =，当MN 斜率存在时，设为y kx b =+，和抛物线联立，利用121k k +=-可得56b k =--，即可得出定点.【详解】（1）由题意知：(,0)2p F ，则直线l 的方程为2py x =-，代入抛物线方程得 22304p x px -+=，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，根据抛物线定义||2A p AF x =+，||2B pBF x =+，||||||48A B AB AF BF x x p p ∴=+=++==，2P =∴， ∴24y x =；（2）抛物线方程为24y x =，直线2px =，即1x =，解得(1,2)E . ①当MN 斜率不存在时，设方程为x t =，则(,(,M t N t -，121k k +==-解得5t =，∴方程为5x =； ②当MN 斜率存在时，设:(0)MN y kx b k =+≠，24y kx by x =+⎧⎨=⎩，即222(24)0k x kb x b +-+=，1222122042kb x x k b x x k ⎧⎪∆>⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 111111222111y kx b b k k k x x x -+-+-===+---，2221b k k k x +-=+-， 12121222(2)1(1)(1)x x k k k b k x x +-+=++-⋅=---，化简得：56b k =--，此时:(5)6MN y k x =--，过定点(5,6)-. 综上，直线MN 过定点(5,6)-. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）221126x y +=；（2）不是定值；()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）设(),N x y，()00,P x y ，利用()21PN NM =-，根据向量的坐标运算可得00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入圆O 方程可得C 的方程；（2）设()():41DE y k x k =-≠±，()11,D x y ，()22,E x y ，将DE 方程代入椭圆方程可得韦达定理的形式，利用0∆>可得k 的取值范围，将AD AE k k +整理为121kk --，根据k 的范围可求得∑的取值范围. 【详解】（1）设(),N x y ，()00,P x y ，则()0,0M x ，()21PN NM =-，2PM PN NM NM ∴=+=，又()00,PM y =-，()0,NM x xy =--，由2PM NM =得：))000x x y y -=-=-，则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 在圆22:12O x y +=上，)2212x ∴+=，即221126x y +=，C ∴的方程为221126x y +=.（2）依题意，设()11,D x y ，()22,E x y ，过点B 的直线DE 斜率必存在，可设直线DE 的方程为()()41y k x k =-≠±，由()2241126y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222211632120k x k x k +-+-=，其中()()()4222256421321216320k k k k∆=-+-=->，解得：22k -<<， ()611,11,2k ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21221621k x x k ∴+=+，2122321221k x x k -=+，()()121212124242222222AD AE k x k x y y k k x x x x ------∴+=+=+----()()()()121222122122k x k k x k x x --+--+=+--()121122122k k x x ⎛⎫=-++ ⎪--⎝⎭()()()121212422124x x k k x x x x +-=-+⋅-++()22222216421221321216242121k k k k k k k k -+=-+⋅--⋅+++()()2221642112221881k k kk k k k -+-=-+⋅=--. ()66,11,11,22k ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121332,464,,1122k k k -⎛⎫⎛⎫∴=--∈-∞---+∞ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，AD AE k k ∴+不是定值，且∑的取值范围是()33,464,,22⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值、取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围. 24．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ；（2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得1212124y y k x x y y -==-+，由123k k +=可得()121281633y y y y =-+-，即可得出定点. 【详解】（1）由题意，452p MF =+=，故2p =，24y x =；令4x =，可得4y =±，故4a =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+，故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；1144MA k k y ==+，2244MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=+=++，即()121281633y y y y =-+-；因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率124k y y =+，由123k k +=得出()121281633y y y y =-+-. 25．（1）证明见解析；（2）存在，满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【分析】（1）设直线:1PQ x my =+，联立方程组得到121y y =-，结合0OP OQ ⋅=，即可求解；（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到34y y a =-与t 无关，得出对于抛物线2y x =上的两点的直线RS 过定点(),0a ，进而得到9M N y y =-，再结合Rt ODG ，即可求解.【详解】（1）设直线PQ ：1x my =+，联立方程组21x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得210y my --=，所以121y y =-，又由22121212120OP OQ x x y y y y y y ⋅=+=+=，所以OP OQ ⊥.（2）设过定点(),0a 的直线x ty a =+与抛物线有两个不同交点()33,x y ，()44,x y ，联立方程组2x ty a y x=+⎧⎨=⎩，整理得20y ty a --=，可得34y y a =-与t 无关，即对于抛物线2y x =上的两点R ，S ，直线RS 过定点(),0a R ⇔，S 的纵坐标之积为a -，由此可得13M y y =，23N y y =，从而1299M N y y y y ==-，于是可得直线MN 过点()9,0，记为G ，则OD DG ⊥，取OG 中点为E ，则Rt ODG 中1922ED OG ==，故存在满足条件的点9,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，相应的92DE =.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x t y x =+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB ==4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =，所以AFB △的周长为7+ 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（）A ．1B C ．2D ．32．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．[,1)2C ．D ． ⎛ ⎝⎦3．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．24．过原点O 的直线交双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（）A ．5B ．4C ．5D ．55．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12 B ．32 C ．43D ．96．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（） A ．5B ．4C ．3D ．27．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）. A ．13B ．12C ．2D ．39．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A B ．C D 10．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1211．12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积是（）A ．2B ．4C ．8D ．1612．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；15．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______. 16．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.17．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________．18．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若||2OA b =，则该双曲线的渐近线方程为_____________.19．已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________．20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，点()2,Q m 在抛物线E 上，且3QF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点()2,0P 且斜率为()0k k >的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点横坐标为4，求ABO 的面积.22．已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N 距离的比PM PN=（1）若点P P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．23．已知椭圆22:41C x y +=及直线:l y x m =+，m R ∈. （1）当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有公共点；（2）若直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，O 为坐标原点，求直线l 的方程. 24．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.25．已知椭圆C ：22221x y a b += （0a b >>）的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P 、Q 两点OP OQ ⊥，求直线l 的方程；26．已知椭圆E ：22154x y +=.（1）求与方程E 焦点相同，且过62,Q ⎭的椭圆方程C .（2）若直线12y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：51e -≥51e --≤01e << 511e -≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．D解析：D 【分析】根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt FAB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..【详解】设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AF BF CF ，取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，由1211||||||22OM AF CF ==得13AF m =. 根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，在1Rt F AB 中，有()()()22235222=m m a m a -++，化简得1514m a =，在12Rt F AF △中，有()()()2223322m m a c +-=，结合1514m a =，得222553c a =，所以535e =. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.5．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.6．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =，可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.7．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．8．C解析：C【分析】设点)P m ，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出m =，再分别计算12||,||PF PF的值，即可得答案；【详解】1a =，2b=，∴c =1(F，2F，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OF F P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C. 【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.9．D解析：D【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440y ky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．10．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中，()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.12．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--，又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-，由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立；则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故22PF c =，等腰12PF F ∆有一内角为23π，即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，1PF ==，由双曲线的定义可得，||12PF PF 2c 2a -=-=，即1)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.15．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x =--，224211y x a ∴+=--，P ∴到原点的距离不，当P 在y 轴时取等号，此时12PF PF a ==，122PF PF a +=故③错误；对于④，由题意知点P 在曲线C 上，则△12F PF 的面积12122F PF Sy y =⨯⨯=，由①知221y x =--或221y x =--t ，则2424t a x -=，24442211(2)4444t a a a y t t -∴=--+=--+，1222212F PF S y a ∴=，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．16．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.17．3【分析】先由椭圆的第一定义求出点到右焦点的距离再由第二定义求出点到右准线的距离【详解】由椭圆的第一定义得点到右焦点的距离等于离心率所以由椭圆的第二定义得即故点到右准线的距离故答案为：【点睛】本题考解析：3 【分析】先由椭圆的第一定义求出点P 到右焦点的距离，再由第二定义求出点P 到右准线的距离d . 【详解】由椭圆的第一定义得点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =，所以，由椭圆的第二定义得3122d =，即3d =，故点P 到右准线的距离3d =.故答案为：3 【点睛】本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质，属于基础题.18．【分析】延长交于点连接由角平分线及垂直可知由双曲线的定义可知结合三角形的中位线性质可求出即进而可求渐近线的方程【详解】解：延长交于点连接由知由双曲线的定义知由可知则所以故答案为:【点睛】本题考查了双解析：12y x =±. 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA ，由角平分线及垂直可知，2PF PQ =，由双曲线的定义可知12FQ a =，结合三角形的中位线性质，可求出1224FQ a OA b ===，即2a b =，进而可求渐近线的方程.【详解】解：延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA .由2,QPA F PA PA PA ∠=∠=知2PF PQ =. 由双曲线的定义知，12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由122,FO F O QA F A ==，可知1242FQ OA b a === 则2a b =，所以12b y x x a =±=±. 故答案为: 12y x =±.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线求解.难点在于构造辅助线，推出,a b 的关系.19．【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标求出直线联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解【详解】圆所以抛物线过点即其焦点为则直线联立直线与抛物线方程：整理得直线设其两根为弦长所以被抛物线截得解析：258【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解. 【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==-则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=，直线217640∆=->，设其两根为12,x x弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）24y x =；（2）【分析】（1）设出抛物线方程，根据抛物线定义可列式求出；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，联立直线与抛物线，根据中点横坐标求出t ，再求出底和高即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意设抛物线E 的方程为()220y px p =>，则准线方程为2p x =-，由3QF =，依定义得232p+=，解得2p =， ∴抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消x 得2480y ty --=，则124y y t +=，128y y =-， ∵线段AB 的中点横坐标为4，∴1242x x +=，即128x x +=，∴12228ty ty +++=，即()124t y y +=，可得244t =，∴21t =，12y y -===故ABO 的面积为1211222OP y y -=⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．（1）3±；（2）)10x y ++=；111x y-=±. 【分析】（1）根据直接法，利用PM PN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为PM PN==化简得22610x y x +-+=，令y 2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为3（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，所以直线PM 的方程为)1y x =+把)1y x =+代入22610x y x +-+=，得2410x x -+=，解得12x =22x =所以点P 的坐标为(2++或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM 的点法向式方程为)10x y ++= 直线PN 的点方向式方程为111x y-=±. 【点睛】本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.23．（1）⎡⎢⎣⎦；（2）y x = 【分析】（1）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用0∆≥可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，列出韦达定理，由OP OQ ⊥，可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，进而可计算得出m 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）联立直线l 的方程与椭圆C 的方程2241y x mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得225210x mx m ++-=，由于直线l 与椭圆C 有公共点，则()222420120160m m m ∆=--=-≥，解得22m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由韦达定理可得1225m x x +=-，21215m x x -=，OP OQ ⊥，所以，()()()21212121212122OP OQ x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅=+=+++=+++()2222212520555m m m m --=-+==，解得m =.因此，直线l 的方程为y x =± 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.24．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y t y y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =- 因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --=（2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴ 22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题25．（1）2214x y +=；（2）220x y -±=. 【分析】（1）根据条件建立关于,,a b c 的方程，解椭圆C 的方程；（2）法一：设直线2y x m =+与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示12120x x y y +=，求m 的值；法二：设直线l的方程为2y x t =+，联立方程后，构造22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再转化为关于y x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求t .【详解】（1）由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===，∴椭圆的方程为2214x y +=. （2）法一：设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 方程为2y x m =+，与椭圆方程联立，得 221716440x mx m ++-=，所以212121644,1717m m x x x x -+=-= ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=即2121252()0x x m x x m +++=，解得2m =±∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=. 法二：设直线l 的方程为2y x t =+，则由22142x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得22224x y x y t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()2224416160y y t t x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵OP OQ ⊥，∴2221614244t t t t -=-⇒=⇒=±- ∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=. 【点睛】方法点睛：求直线方程常用待定系数法，先定式，后定量.先定式，指的是根据已知从直线的5种形式里选择恰当的一种作为直线的方程，再通过联立直线与曲线方程，利用根与系数的关系，表示方程，解方程求出待定系数.26．（1）22143x y +=；（2【分析】（1）设出椭圆方程，可得出222212312a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，求出,a b 即可；（2）联立直线与椭圆，利用韦达定理求出22m =，再利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出O 到直线的距离，即可得出面积.【详解】解：（1）由题意得：椭圆E 的焦点为()1,0-和()1,0，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=，且过Q ⎭，可建立方程组 222212312a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩或2212102a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩（舍）. ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）联立直线与椭圆C 的方程，得2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得2230x mx m ++-=，由韦达定理得122123x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩， 1212121111343422x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()221212424620x x m x x m m =+++=-=.解得22m =满足0∆>，则12x x AB =-=∴12AOB S AB d ===【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

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选修2-1第三单元
命题人：秦天武
（90分钟完卷，总分150分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
1.对于椭圆C 1：122
22=+b
y a x ( a >b >0)焦点为顶点，以椭圆C 1的顶
点为焦点的双曲线C 2，下列结论中错误的是（）
A. C 2的方程为122
2
2
2=--b
y b a x B. C 1、C 2的离心率的和是1
C. C 1、C 2的离心率的积是1
D.短轴长等于虚轴长
2、双曲线14
32
2=-x y 的渐近线方程是( ) A. x y 23
±= B. x y 332±
= C. x y 43±= D. x y 3
4
±
=
3、抛物线2
8
1x y -=的准线方程是( ).
A. 321=x
B. 2=y
C. 32
1=y
D. 2-=y
4、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持
6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( )
A ．5、3
B ．10、2
C ．5、1
D ．6、4 5、抛物线x y 122=上与焦点的距离等于8的点的横坐标是（）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 6、若双曲线与6442
2
=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线方程是03=+y x ，则双曲线的方程是( )
A.
1123622=-y x B. 1123622=-x y C. 112362
2±=-y x D. 112
362
2±=-x y 7.若双曲线的两条渐进线的夹角为0
60，则该双曲线的离心率为 A.2 B.
36 C.2或36 D.2或3
32 8、与圆x 2
+y 2
-4y=0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是
( ).
A. y 2=8x
B. y 2
=8x (x>0) 和 y=0
C. x 2=8y (y>0)
D. x 2
=8y (y>0) 和 x=0 (y<0)
9、若椭圆)1(12
2>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y n
x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是
（）
A.4
B.2
C.1
D.1
2
10、已知椭圆2
22(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）
A.
02a << B.
02a <<
或a > C. 103a <<
D.
22
a <<二、填空题：（5分×4=20分）
11. 与椭圆22
143
x y +
=具有相同的离心率且过点（2，
椭圆的标准方程是。

12.双曲线的实轴长为2a ，F 1, F 2是它的左、右两个焦点，左支上的弦AB 经过点F 1，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列，则|AB |＝ .
13. 设1F 、2F 是双曲线22
4x y -=的两焦点，Q 是双曲线上任意
一点，从1F 引12FQF ∠平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是。

14．若方程
11
42
2=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①若C 为椭圆，则1<t<4; ②若C 为双曲线，则t>4或t<1； ③曲线C 不可能是圆； ④若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，则2
31<<t .
其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：（本大题共4小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本题15分）中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。

求这两条曲线的方程。

16.（本小题20分）设双曲线：132
22=-x a
y 的焦点为F 1,F 2.离心率为2。

（1）求此双曲线渐近线L 1,L 2的方程；
（2）若A,B 分别为L 1,L 2上的动点，且2215F F AB =,求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

17. （本小题15分）抛物线x y 42=上有两个定点A 、B 分别在对称轴的上下两侧，F 为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求这个最大面积.
18. （本小题20分）如图：直线L ：1y mx =+与椭圆C ：
222(0)ax y a +=>交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行
四边形OAPB 。

（1）求证：椭圆C ：222(0)ax y a +=>与直线L ：1y mx =+总有两个交点。

（2）当2a =时，求点P 的轨迹方程。

（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。

高二数学选修2—1圆锥曲线单元测试参考答案： 1---10 BABCD ADDCB
11、22
186
x y +=或221252534
y x +=
12、4a
13、2
2
4x y += 14、（2）
15、解：设椭圆的方程为
12
12
212
=+b y a x ，双曲线得方程为122
2
2
22=-b y a x ，半焦距c ＝13 由已知得：a 1－a 2＝4
7:3:2
1=a c
a c ，解得：a 1＝7，a 2＝3
所以：b 12＝36，b 22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
1364922=+y x ，14
92
2=-y x
16、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：2
3
2=+a a 解得a 2=1,所以双曲线的方程为
1322
=-x y ，所以渐近线L 1,L 2的方程为03
=-x y 和
3
x y +
＝0
（2）c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2 ，所以4221==c F F ，又2215F F AB =所以AB =10
设A 在L 1上，B 在L 2上，设A （x 1 ，
)3
1x ，B(x 2，－
)32x
所以
10)3
3
(
)(221221=+
+-x x x x 即
10)(31
)(221221=++-x x x x
设AB 的中点M 的坐标为（x ，y ），则x ＝
221x x +，y ＝3
22
1x x - 所以x 1＋x 2＝2x ， x 1－x 2＝23y
所以1043
1)32(2
2
=⨯+x y 整理得：12537522=+y x
所以线段AB 中点M 的轨迹方程为：125
3752
2=+
y x ，轨迹是椭圆。

17、解：由已知得)0,1(F ，不妨设点A 在x 轴上方且坐标为
),(11y x ，
由2=FA 得1,2111==+x x
所以A(1，2)，同理B(4,-4), 所以直线AB 的方程为
042=-+y x .
设在抛物线AOB 这段曲线上任一点),(00y x P ，且
24,4100≤≤-≤≤y x .
则
点
P
到
直
线
AB
的
距
离
d=
5
2
9)1(215
4
4
24
14
22002000-+=
-+⨯=
+-+y y y y x 所以当10-=y 时，d 取最大值
10
5
9，又53=AB 所以△PAB 的面积最大值为,2710
595321=⨯⨯=
S 此时P 点坐标为)1,4
1
(-.。