同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(函数与极限 下)【圣才出品】
同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)
练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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文案大全。
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(重积分 下)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 10 章 重积分 下
10.2 课后习题详解
10．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝1 所围成的闭区域；
4
4
1
0
z
1 0
1 8
（2）在球面坐标系中，球面 x2＋y2＋z2＝z 的方程为 r2＝rcosφ，即 r＝cosφΩ可表示
为 0≤r≤cosφ，0≤φ≤π/2，0≤θ≤2π（图 10-2-46），于是
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（1） xydv ，其中Ω为柱面 x2＋y2＝1 及平面 z＝1，z＝0，x＝0，y＝0 所围成的
在第一卦限内的闭区域；
（2）
x2 y2 z2 dv ，其中Ω是由球面 x2＋y2＋z2＝z 所围成的闭区域；
（3） x2 y2 dv ，其中Ω是由曲面 4z2＝25（x2＋y2）及平面 z＝5 所围成的闭区
（3） z x2 y2 及 z＝x2＋y2； （4） z 5 x2 y2 及 x2＋y2＝4z. 解：（1）解法一：利用直角坐标计算。由 z＝6－x2－y2 和 z x2 y2 消去 z，解得 x2 y2 2 ，即Ω在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为 x2＋y2≤4。于是
x, y, z x2 y2 z 6 x2 y2 , x2 y2 4
x2 y2 dv
r2 sin2 r2 sindrdd
2 d
2 sin3 dA r4dr0来自0a2
2 3
A5
5
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)
第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。
（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。
（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。
（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。
（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。
3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。
二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
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练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
-
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
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极小值
↗
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拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第10章)【圣才出品】
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该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
f (x, y)d
，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x 与 y 称为
积分变量，D 称为积分区域，
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二
在 D 上至少存在一点 ，使得
．
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二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积 过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言在学习高等数学课程中，习题是提高理解和掌握知识的重要方式。
然而，有时候我们在学习的过程中可能会遇到一些难题，不知道如何解答。
为了帮助同学们更好地学习和掌握高等数学知识，我们整理了高等数学同济第七版下册的习题与答案完整版，供大家参考。
第一章无穷级数习题1.11.讨论级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 的敛散性。
2.求级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
答案1.首先，我们将这个级数进行比较审敛法。
考虑到n3+2n的最高次项为n3，而(2n2+3n−4)2的最高次项为(2n2)2=4n4，因此我们可以得到 $\\frac{n^3 +2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2} < \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$。
根据比较审敛法的基本原理，只需讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{4n^4}$ 的敛散性。
根据级数的性质，我们可以分别求前两项、前三项的和，并观察和的变化规律。
经过计算，可得前两项的和为 $\\frac{1}{16}$，前三项的和为 $\\frac{5}{96}$。
观察可以发现，当 n 的值逐渐增大时，和逐渐减小，并且趋于一个有限值。
因此，根据比较审敛法，原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^3 + 2n}{(2n^2 + 3n - 4)^2}$ 也收敛。
2.我们可以使用交错级数的性质求解这个问题。
根据交错级数的性质，交错级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^p}$ 的和为 $S = \\ln 2$，其中n=1。
对于这个问题，我们可以发现，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^2}$ 的形式和交错级数一样，只是n=2。
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
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2
(21)
1
(11)
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+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
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↗
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拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
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练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
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同济大学数学系《高等数学》（第7版）（下册）配套题库【考研真题精选＋章..
目 录第一部分 考研真题精选第8章 向量代数与空间解析几何第9章 多元函数微分法及其应用第10章 重积分第11章 曲线积分与曲面积分第12章 无穷级数第二部分 章节题库第8章 向量代数与空间解析几何第9章 多元函数微分法及应用第10章 重积分第11章 曲线积分与曲面积分第12章 无穷级数第一部分 考研真题精选第8章 向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d＝______。
[数一2006研]【答案】【解析】由点到平面的距离公式第9章 多元函数微分法及其应用一、选择题1设函数f（x，y）在点（0，0）处可微，f（0，0）＝0，，且非零向量→d与→n垂直，则（ ）。
[数一2020研]A．存在B．存在C．存在D．存在A【答案】【解析】∵f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）＝0，∴；即。
∵，∴存在。
∴选A项。
2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（ ）。
[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①因，故①正确。
②因，先求f x′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，f x′（0，y）不存在。
故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。
③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。
④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。
综上，正确个数为3。
故应选B。
3函数f（x，y，z）＝x2y＋z2在点（1，2，0）处沿向量→u＝（1，2，2）的方向导数为（ ）。
[数一2017研]A．12B．6C．4D．2D【答案】计算方向余弦得：cosα＝1/3，cosβ＝cosγ＝2/3。
偏导数f x′＝2xy，f y′＝x2，f z′＝2z。
得∂f/∂u＝f x′cosα＋f y′cosβ＋f z′cosγ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习3-7
总习题三
x
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不存在
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练习4-2
练习4-3
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总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
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总习题八
练习9-1
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练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
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练习111
练习112
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第四章 不定积分【圣才
第四章 不定积分4.1 复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念（1）原函数①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．③注意两点a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．b ．若和都是的原函数，则()Fx ()x φ()f x（C 0为某个常数）（2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量．2．基本积分表3．不定积分的性质（1）性质1设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法1．第一类换元法设具有原函数,可导，则有换元公式()[()]()[()]u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]t x f x dx f t t dtψψψ-='=⎰⎰其中的反函数．三、分部积分法1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则.①“反对幂指三”定义“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】3．常见函数的不定积分四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）相关概念①有理函数 两个多项式的商称为有理函数．②有理分式 有理函数又称有理分式．③真分式 当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式．④假分式 当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，称这有理函数为假分式．（2）真分式的分解对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积且Q 1(x)与Q 2(x)没有公因式，则它可分拆成两个真分式之和。
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图1
【答案】C
【解析】函数 在
内连续，观察知，函数 在除去点
外处处二阶可导．如图1所示，虽然 不存在，但在点 两侧
异号，因此
是
的拐点．
A点处二阶导数为0，且A点两侧 异号，根据拐点的定义知，A 点为曲线的拐点．B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧 都是大 于0，因此，B点不是拐点．
2．设函数 具有二阶导数， （ ）．[数一 2014研]
A．
，则当 充分大时，下列正确的有（ ）.[数三
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，所以
， ，当 时，有
，取 ，则知
．
6．设
，则当 时，若
是比 高阶
的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）. [数三 2014研]
A． B．
C． D．
目 录
第一部分 考研真题 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 第七章 微分方程
第二部分 课后习题 第一章 函数与极限 习题1-1 映射与函数 习题1-2 数列的极限 习题1-3 函数的极限 习题1-4 无穷小与无穷大 习题1-5 极限运算法则
【答案】1
【解析】在方程
两端关于x求导，得
将x＝0代入方程
将
代入
，得
． ，得
则
【答案】 【解析】因为
，
，所以
所以
7．曲线
上对应于t＝1的点处的法线方程为 ______．
[数二2013研]
【答案】
【解析】由题中函数表达式得，曲线上对应于t＝1的点处的切线斜 率为
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(无穷级数 下)【圣才出品】
k∈Z）
2．将下列函数 f（x）展开成傅里叶级数：
（1）f（x）＝2sin（x/3）（－π≤x≤π） ；
（2）
f
(x)
ex ,
1,
x 0 0 x 。
解：（1）设φ（x）是 f（x）经周期延拓而得的函数，φ（x）在（－π，π）内连续，x
＝±π是φ（x）的间断点。又φ（x）满足收敛定理的条件，故在（－π，π）内，它的傅里
cosnxdx
0
n
00
ab n
(1) n1
1 sin n
nx
0
a
n
b
(1) n1(
n 1, 2,
)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈z）处不连续，故
f
(x)
4
(a
b)
n1
1
(1)n n2
(b
a)
cos
nx
(1) n 1 (a n
b)
sin
nx
（x≠（2k＋1）π，
an
n(1)n n2
e2 e2 4
(n 1, 2,)
f（x）满足收敛定理的条件，而在 x＝（2k＋1）π（k∈Z）处不连续，故
f
(x)
e2
e2
1
4
n1
(1)n n2 4
(2
cos
nx
n
sin
nx)
（x≠（2k＋1）π，k∈Z）
（
3
）
a0
1
0 bxdx
axdx
(a b)
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 12 章 无穷级数 下
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(第7章)(圣才出品)
yn2 f x dx C1dx C 2
依此进行，接连积分 n 次，可得方程的含有 n 个任意常数的通解。
2．y′′＝f（x，y′）型的微分方程 方程 y′′＝f（x，y′），设 y′＝p，则 y′′＝dp/dx＝p′，即 p′＝f（x，p）。 设通解为 p＝φ（x，C1），又 p＝dy/dx，得 dy/dx＝φ（x，C1），进行积分，得通解 为
h 及 k 使其满足上述方程组，故可以化为齐次方程 dY/dX＝（aX＋bY）/（a1X＋b1Y）。
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三、一阶线性微分方程 1．线性方程 齐次线性方程 dy/dx＋P（x）y＝0 的通解
2．常数变易法（非齐次线性方程的通解） （1）将齐次线性方程 dy/dx＋P（x）y＝0 的通解
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第 7 章 微分方程
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7.1 复习笔记
一、可分离变量的微分方程
1．隐式解
设 y＝φ（x）是方程 g（y）dy＝f（x）dx（7-1-1）的解，代入得
g x x dx f x dx
将两端积分，得
g y dy f x dx
y x,C1 dx C2
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3．y′′＝f（y，y′）型的微分方程
方程 y′′＝f（y，y′），令 y′＝p 得 y′′＝dp/dx＝（dp/dy）（· dy/dx）＝pdp/dy，即 pdp/dy
＝f（y，p）。
x
e Pxdx P
x
ue
P
x
dx
Q
x
即
(2021年整理)高等数学同济第七版7版下册习题全解
(完整版)高等数学同济第七版7版下册习题全解编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高等数学同济第七版7版下册习题全解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数，故/, = Jj（ x2 + y1)3d（j = 2jj（x2+ y1) 3dcr。
fh i)i又由于D3关于；t轴对称，被积函数（/ +r2）3关于y是偶函数，故jj(x2+j2）3dcr =2j（x2+y2)3da=2/2.Dy 1）：从而得/, = 4/2。
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, —y）= -f(x,y)，PJjf/(x，y）da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y）关于：c是奇函数，即/（～x，y) = -/（太，y），则=0.D«3。
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x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1
1
1 n
1
1 n
，而
lim1
n
1,
lim
n
1
1 n
1，由夹逼准则，即得证。
（2）因
n
n
n
n2
1
n2
1 2
...
n2
1 n
n2 n2
，而
lim
n
n
n
1
lim
n
n2 n2
1
由夹逼准则，即得证。
（3） xn1 2 xn n N , x1 2
1 ，而
lim
x0
1
x
1
，
lim
x0
1
1 ，由夹逼准则，即
得证。
习题 1-7 无穷小的比较
1．当 x→0 时，2x－x2 与 x2－x3 相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为 lim 2x x2 0, lim x2 x3 0 ，则
x0
x0
lim
x0
x2 2x
x3 x2
lim x0
先证数列{xn}为有界数列：
n ＝ 1 时 ， x1 2 2 ； 假 定 n ＝ k 时 ， xk ＜ 2 。 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， xk1 2 xk 2 2 2 。故 xn＜2（n∈N＋）。
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准则 I′：如果
（1）g（x）≤f（x）≤h（x），x∈U（x0，r）；
（2）
lim
x x0
g
x
A,
lim
x x0
h
x
A
，
则
lim
x x0
f
x 存在，且等于
A。
证：∀ε＞0，因
lim
x x0
g
x
A ，故∃δ1＞0，当 0＜|x－x0|＜δ1 时，有|g（x）－A|＜ε，
即 A－ε＜g（x）＜A＋ε（1-2-1）
得
x2 n1
2
xn
，两端同时取极限得 a2＝2＋a⇒a2－a
－2＝0⇒a1＝2，a2＝－1（舍去），即
lim
n
xn
2。
（4）当 x＞0 时，1 n 1 x 1 x ；当－1＜x＜0 时，1 x n 1 x 1 ，而
lim1
x0
1,
lim
x0
1
x
1
，由夹逼准则，即得证。
（5）当
x＞0
时，1
x
x
1 x
；当ω＝0
时，
lim
x0
sin x x
0
，故不论ω为何值，均有
lim
x0
sin x x
。
（2） lim x0
tan 3x x
lim
x0
3
tan 3 3x
x
3 lim x0
tan 3x 3x
3
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
=
lim
x0
sin 2x 5x 2 2x sin 5x 5
再证数列{xn}是单调增加的：
因
xn1 xn
2 xn xn
2 xn xn2 xn 2 xn 1
2 xn xn
2 xn xn
由 0＜xn＜2，得 xn1 xn 0 ，即 xn＋1＞xn（n∈N＋）。
由单调有界准则，即知
lim
n
xn
存在。
记
lim
n
xn
a
，由
xn1
2
xn
x0 x
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（6） lim 2n sin n
x 2n
lim n
sin
x 2n
x
x
x
2n
2．计算下列极限：
1
1
（1） lim1 xx ；（2） lim 1 2xx ；
x0
x0
（3）
lim
x
1
x
x
2x
；（4）
又因
lim
x x0
h
x
A ，故对上面的ε＞0，∃δ2＞0，当 0＜|x－x0|＜δ2 时，有|h（x）－
A|＜ε，即 A－ε＜h（x）＜A＋ε（1-2-2）
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取δ＝min{δ1，δ2，r}，则当 0＜|x－x0|＜δ时，假设（1）及式（1-2-1）、（1-2-2）同
时成立，从而有
A－ε＜g（x）≤f（x）≤h（x）＜A＋ε，即有|f（x）－A|＜ε。因此
lim
x x0
f
x
存在，且等于 A。
4．利用极限存在准则证明：
（1） lim 1 1 1
n
n
（2）
lim
n
n
1 n2
n2
1 2
...
n2
1 n
1
（3）数列 2, 2 2 , 2 2 2 ,... 的极限存在；
lim
x
1
1 x
kx
（k
为正整数）。
解：（1） lim x0
1 x
1
x
lim
x0
1
x
1
x
1e1Fra bibliotek1（2） lim1 2xx x0
lim
x0
1
2
x
1 2x
2
e2
（3）
lim
x
1
x
x
2x
lim
x
1
1 x
x
2
e2
（4）
lim
x
1
1 x
kx
lim
x
1
1 xk
x
ek
3．根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 I′。
x x2 2x
0
所以当 x→0 时，x2－x3 是比 2x－x2 高阶的无穷小。
2．当 x→0 时，（1－cosx）2 与 sin2x 相比，哪一个是高阶无穷小？
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解：因为 lim 1 cos x2 0 ， lim sin2 x 0 ，则
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同济大学数学系《高等数学》第 7 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 1 章 函数与极限 下
1.2 课后习题详解
习题 1-6 极限存在准则 两个重要极限
1．计算下列极限：
（1） lim sin x ；（2） lim tan 3x ；