同济大学高等数学

第十节 平均值
本节要点
本节以定积分为工具,建立起连续函数在一个区间上的 三中不同的平均值的概念. 一、函数的算术平均值 二、函数的加权平均值 三、函数的均方根平均值
一、函数的算术平均值
我们知道，n 个数 y1, y2 ,L , yn 的算术平均值为
y
y1 y2 L n
yn
1 n
n i 1
q t dt
在小时间段 t,t dt内，销售收入为
p t q t dt
而在整个时间段 T1,T2 内，销售量为
T2 qt dt T1
在整个时间段 T1,T2 内，销售收入为
T2 pt qt dt T1
则整个时间段 T1,T2 内，销售商品的平均价格为
T2 pt qt dt p T1 T2 qt dt
yi .
在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连续函数
f x在区间 a,b上所取得的“一切值”的平均值. 今
讨论平均值的求法.
定义 f x在区间 a,b上定义，将区间 n等分，
分点为
a x0 x1 x2 L xn b,
各小区间的长度为
xi
b a ,i
n
1, 2,L
,n.
函数 f x 在各个端点处的取值记为
它在0,T 上的平均值为
因此，
1 T i2 t Rdt.
T0
I 2R 1 T i2 t Rdt R T i2 t dt,
T0
T0
从而
I 2 1 T i2 t dt.
T0
即
I 1 T i2 t dt.
T0
例如正弦波i t Im sint 的有效值为
I
2
2 0
I
2 m
sin
T1
将此平均价格称为价格函数 pt 关于权函数qt 在时
区间间 T1,T2 上的加权平均值。
一般情况下，将
f
b
a
f x w xdx
b
a
w
x
dx
称为函数 f x关于权函数w x在a,b上的加权平均值。
三、函数的均方根平均值
问题 非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化 而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却 标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值， 习惯上称为有效值.
为 y1, y2 ,L , yn 关于权数 k1, k2 ,L , kn 的加权平均值。
特别，当 ki 1i 1,2,L ,n 时，加权平均值即为
算术平均值。
如果用函数 pt 来反映商品一个时间段 T1,T2 内的
销售价格的变化情况，函数qt 来反映单位时间内的
销售量，那么在小时间段t,t dt内，销售量为
y 0 sin xdx .
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价p1 元，销 售了 q1 个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价 p2 元，销售了q2 个单位的商品，则在整个销售过程中，
n
n
lim y0 y1 L yn1 b a
n
ba
n
所以，将
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lim 1
n
f
n b a i1
xi1 xi.
b
1
a
b
a
f
x
dx.
y
b
1
a
b
a
f
x
dx.
称为可积函数 f x 在区间 a,b上 的算术平均值。
例 求函数 y sin x 在区间0, 上的平均值.
解 由公式，得
1
2
2
tdt
2 2
2 0
I
2 m
sin 2
tdt
I
2 m
4
t
1 2
sin
t
2 0
Im . 2
即：正弦交流电的有效值为它的峰值的 1 . 2
若函数 f xCa,b,在数学上把
1 b f 2 t dt
ba a
称为函数 f x在区间a,b 上的均方根平均值。
（简称为均方根）.
所销售商品的平均价格为
q1 p1 q2 p2（元）. q1 q2
这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平
均值，将q1, q2 称为权数。
一般，设 y1, y2 ,L , yn为实数，k1, k2 ,L , kn 0, 称 k1 y1 k2 y2 L kn yn k1 k2 L kn
周期性非恒定电流 i t 的有效值是这样规定的： 如果在一个周期T 内，i t 在负荷电阻 R 上消耗的平均
功率等于取固定值 I 的恒定电流在 R上消耗的功率时，
则称这个 I 值为 i t 的有效值.
今来计算 i t 的有效值.
固定值为 I 的电流在 R上消耗的功率为 I 2 R,
电流 i t 在 R上消耗的功率为 u t i t i2 t R,
yi f xi i 1,2,L ,n.
则可以用
1 n
n i1
yi
1 n
n i1
f
xi
来近似表示函数 f x 在区间a,b上的算术平均值.
自然地，称极限
y lim y0 y1 L yn1
n
n
为函数 f x 在区间a,b 上的算术平均值.
若 f x在a, b 上可积，则
y lim y0 y1 L yn1