2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期中数学试卷 (解析版)
吉林省长春市二道区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年吉林省长春市二道区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（）A．B．1.414C．D．2．（3分）下列算式中，正确的是（）A．a4•a4＝2a4B．a6÷a3＝a2C．a2b•a3b2＝a5b2D．（﹣3a2b）2＝9a4b23．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、4，则第5组的频率是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.44．（3分）（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（）A．3B．0C．12D．245．（3分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，那么腰长为（）A．8cm B．10cm C．6cm或8cm D．12cm或8cm 6．（3分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．3B．2C．4D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°8．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：a2b﹣ab＝．10．（3分）用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设．11．（3分）已知a m＝3，a n＝2，则a2m﹣n的值为．12．（3分）计算：2019×2021﹣20202＝．13．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为度．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：+|1﹣|．16．（6分）先化简，再求值：（y+2）（y﹣5）﹣（y﹣3）2，其中y＝3．17．（6分）图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：（1）在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．（2）在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．18．（6分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．19．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC 至E，使CE＝AC，连接DE．求证：△BAD≌△EAD．20．（8分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F 分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．（1）求∠BOC的度数．（2）求证：CF＝BE+EF．21．（8分）班长小李对他所在班级（八年级2班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小李完成信息采集．（1）该班共有学生人；（2）在图1中，请将条形统计图补充完整；（3）在图2中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数度；（4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数．22．（9分）【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第69页的部分内容．请根据教材内容，结合图①，写出完整证明过程．【解决问题】如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，请写出线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．【结论应用】如图③，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，若∠BFC＝120°，则∠AEF的度数为．23．（10分）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．24．（12分）在△ABC中，AB＝10，BC＝12，点D为边AB的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线BC上运动，点Q在边AC上，设点P运动时间为t秒．（t＞0）（1）用含t的代数式表示线段CP的长．（2）当AB＝AC，点P在线段BC上．①若△BPD和△CQP全等，则t的值为．②连结AP，设△ACP的面积为S．当S＝12时，求t的值．（3）当∠ACB＝50°，△CPQ为等腰三角形时，请直接写出∠CPQ的度数为．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，属于无理数的是（）A．B．1.414C．D．解：属于无理数的是．故选：C．2．（3分）下列算式中，正确的是（）A．a4•a4＝2a4B．a6÷a3＝a2C．a2b•a3b2＝a5b2D．（﹣3a2b）2＝9a4b2解：A、a4•a4＝a4+4＝a8，本选项计算错误；B、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，本选项计算错误；C、a2b•a3b2＝a5b3，本选项计算错误；D、（﹣3a2b）2＝9a4b2，本选项计算正确；故选：D．3．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、4，则第5组的频率是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解：根据题意得：40﹣（12+10+6+4）＝40﹣32＝8，则第5组的频率为8÷40＝0.2．故选：B．4．（3分）（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，则m为（）A．3B．0C．12D．24解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，∴2m﹣24＝0，∴m＝12．故选：C．5．（3分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，那么腰长为（）A．8cm B．10cm C．6cm或8cm D．12cm或8cm 解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣8﹣8＝4cm，∴当底边＝6cm时，腰长＝＝6cm，∴腰长为6cm或8cm，故选：C．6．（3分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．3B．2C．4D．解：∵BC＝5，AC＝＝5，∴S△ABC＝×5×3＝×AC×BD，∴BD＝3，解法二：过A点做AE⊥BC交于点E，则易证三角形AEC全等三角形BDC，所以BD 等于AE＝3．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠EAC＝∠BAD＝70°﹣35°＝35°，故选：B．8．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm解：在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2，∴x2+42＝（8﹣x）2∴x＝3，∴CD＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：a2b﹣ab＝ab（a﹣1）．解：原式＝ab（a﹣1）．故答案为：ab（a﹣1）．10．（3分）用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设a2≥4．解：用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4．”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4．故答案为：a2≥4．11．（3分）已知a m＝3，a n＝2，则a2m﹣n的值为 4.5．解：∵a m＝3，∴a2m＝32＝9，∴a2m﹣n＝＝＝4.5．故答案为：4.5．12．（3分）计算：2019×2021﹣20202＝﹣1．解：2019×2021﹣20202＝（2000﹣1）×（2000+1）﹣20202＝﹣20202﹣1﹣20202＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（3分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为90度．解：∵k＝2，∴设顶角＝2α，则底角＝α，∴α+α+2α＝180°，∴α＝45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为65°．解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：+|1﹣|．解：+|1﹣|＝2+（﹣2）+﹣1＝﹣1．16．（6分）先化简，再求值：（y+2）（y﹣5）﹣（y﹣3）2，其中y＝3．解：原式＝y2﹣5y+2y﹣10﹣（y2﹣6y+9）＝y2﹣5y+2y﹣10﹣y2+6y﹣9＝3y﹣19，当y＝3时，原式＝3×3﹣19＝9﹣19＝﹣10．17．（6分）图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：（1）在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．（2）在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．解：（1）如图①，△BCD即为所求；（2）如图②，△ACE即为所求．18．（6分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．解：连结AC，如图所示：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，由勾股定理得：AC＝＝15（m），∵AC2+BC2＝152+362＝1521，AB2＝392＝1521，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝×15×36﹣×12×9＝216（平方米）．19．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC 至E，使CE＝AC，连接DE．求证：△BAD≌△EAD．【解答】证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC，∵AD平分∠CAB，AC＝CE，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，AE＝AB，在△BAD和△EAD中∴△EAD≌△BAD（SAS）．20．（8分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F 分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．（1）求∠BOC的度数．（2）求证：CF＝BE+EF．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°；（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝60°，交BC于点G，∵∠BOC＝120°，∴∠BOF+∠COG＝60°，∵∠EOF＝60°，∴∠EOB+∠BOF＝60°，∴∠COG＝∠EOB，∵∠ABO＝∠ABC＝30°，∴∠EBO＝∠OCG，在△BOE与△COG中，，∴△BOE≌△COG（ASA），∴OG＝OE，BE＝CG，在△OEF与△OGF中，，∴△OEF≌△OGF（SAS），∴EF＝FG，∵CF＝FG+CG，∴CF＝EF+BE．21．（8分）班长小李对他所在班级（八年级2班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小李完成信息采集．（1）该班共有学生40人；（2）在图1中，请将条形统计图补充完整；（3）在图2中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数108度；（4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数．解：（1）该班共有学生14÷35%＝40（人）故答案为：40；（2）选择书画的人数为：40﹣（14+12+4）＝10（人），补全条形统计图如图所示：（3）在图2中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数为，故答案为：108；（4）爱好“书画”的人数占本班学生数的百分比是：．22．（9分）【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第69页的部分内容．请根据教材内容，结合图①，写出完整证明过程．【解决问题】如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，请写出线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．【结论应用】如图③，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，若∠BFC＝120°，则∠AEF的度数为60°．【解答】【教材呈现】证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AD＝ED；【解决问题】解：AB2+AC2＝4AD2，理由如下：过B作BE∥AC交AD的延长线于E，如图②所示：则∠C＝∠DBE，∠CAD＝∠E，同①得：△BDE≌△CDA（AAS），∴EB＝AC，ED＝AD，∴AE＝2AD，∵∠E＝∠CAD，∠ABC＝90°，∴∠E+∠BAE＝∠BAE+∠CAD＝∠BAC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AB2+BE2＝AE2，∴AB2+AC2＝4AD2．【结论应用】解：过B作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：由②得：∠CAD＝∠G，△ACD≌△GBD，∴AC＝BG，∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即∠AEF＝∠EAF，∵∠BFC＝∠AEF+∠EAF＝120°，∴∠AEF＝∠BFC＝60°，故答案为：60°．23．（10分）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．解：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9．（2）x2﹣2x﹣35＝x2﹣2x+1﹣1﹣35＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）＝（x+5）（x﹣7）．（3）△ABC为等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．24．（12分）在△ABC中，AB＝10，BC＝12，点D为边AB的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线BC上运动，点Q在边AC上，设点P运动时间为t秒．（t＞0）（1）用含t的代数式表示线段CP的长．（2）当AB＝AC，点P在线段BC上．①若△BPD和△CQP全等，则t的值为3或3.5．②连结AP，设△ACP的面积为S．当S＝12时，求t的值．（3）当∠ACB＝50°，△CPQ为等腰三角形时，请直接写出∠CPQ的度数为65°或80°或50°．解：（1）设点P运动时间为t秒，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝12﹣2t，（2）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，当△BPD和△CQP全等时，BP＝PC，BD＝CQ，可得：2t＝12﹣2t，解得：t＝3，当△BPD和△CQP全等时，BP＝CQ，BD＝PC，可得：5＝12﹣2t，解得：t＝3.5，综上所述，若△BPD和△CQP全等，则t的值为3或3.5；故答案为：3或3.5；②连结AP，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴△ABC的边BC上的高＝，设△ACP的面积为S．当S＝12时，可得：12＝，解得：t＝4.5；（3）∵当∠ACB＝50°，△CPQ为等腰三角形时，当CP＝CQ时，∠CPQ＝，当PC＝PQ时，∠CPQ＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×50°＝80°，当QP＝QC时，∠CPQ＝∠PCQ＝50°，综上所述，当∠ACB＝50°，△CPQ为等腰三角形时，∠CPQ的度数为65°或80°或50°，故答案为：65°或80°或50°．。
2020-2021学年吉林省长春市长春新区北师大版五年级上册期末测试数学试卷(含答案解析)
16．奇思收集了127枚邮票。
（1）至少增加（________）枚后，总数就是5的倍数；
（2）至少减去（________）枚后，总数就是3的倍数。
17．比较大小，在（）里填上“＞”“＜”或“＝”。
1.5÷0.25（________）1.5 4.2×100（________）4.2÷0.01
故选择：B。
【点睛】
掌握小数除法的算理，找准每个数所在数位是解题关键。
4．B
【分析】
表示把整体平均分成5份，涂色部分占3份，据此选择。
【详解】
A． ，涂色部分用 表示。不符合题意。
B． ，把长方形平均分成5份，涂色占3份，可用 表示。符合题意。
C． ，涂色星星占总数的一半，用 表示。不符合题意。
故选择：B。
A．7和13都是奇质数。
故答案为：C。
【点睛】
本题主要考查奇质数的意义，即是奇数又是质数的数称为奇质数，同时要注意1既不是质数也不是合数。
3．B
【分析】
方框中的35，3在个位上，表示3个1，也就是30个0.1，5在十分位上表示5个0.1，所以方框中的35表示的是35个0.1，据此选择。
【详解】
由分析可知， 表示的是35个0.1。
14． 5 1
【分析】
判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；一个分数有几个分数单位，看分子，分子是几，就有几个分数单位；
最小的质数是2，把2化成分母是3的假分数，即 ； 化成假分数，即 ＝ ，再用分子相加，差是几，就是再添上几个这样的分数单位；据此解答。
【详解】
2＝ ； ＝
6－5＝1
【点睛】
此题主要考查分数的基本性质，分数与除法的关系，利用它们之间的关系进行转化即可。
2020-2021学年九年级第一学期期中考试考试物理试题(附解答)
2020-2021学年九年级第一学期期中考试考试物理试题本试卷分为A卷和B卷两部分，共8页。
A卷共100分，B卷共35分，全卷满分135分。
注意事项：1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项。
2．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应的位置上，在试卷上、草稿纸上答题无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡收回,试卷由学生自己保管好。
A卷(共100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分。
每个小题只有—个选项是符合题目要求的。
)1、分子是保持物质化学性质的最小微粒.首先提出分子概念的科学家是( )A、阿伏伽德罗B、道尔顿C、卢瑟福D、汤姆生2、下面四个实验现象中,能够说明分子在不停地运动的是 ( )3、初春培育水稻秧苗时，为了不使秧苗受冻，下列做法中正确的是 ( ) A．早晨多排水，傍晚多灌水 B．早晨多灌水，傍晚多排水C．早晨和傍晚都要多灌水 D．早晨和傍晚都不要灌水4、做功和热传递在改变物体的内能上是等效的，下图不属于做功改变物体内能的是（）5、如图所示的滑动变阻器的四种接法中，当滑片P 向右移动时使电路的电阻变小的接法是( )6、关于热机的效率，下列说法正确的是（）A、蒸汽机的效率通常高于喷气发动机；B、热机的效率一定小于100%；C、汽车排放的尾气，是城市环境污染的重要来源。
目前有一些新型燃料汽车，实现了“零排放”，它们的效率达到了100%；D、在完全无摩擦的道路上，汽车发动机的效率可达到100%。
7、如图所示，在探究并联电路中的电流关系时，小明同学用电流表测出A．B．C三处的电流分别为IA ＝0.5A，IB＝0.3A，IC＝0.2A，在表格中记录数据后，下一步首先应该做的是：（）A．整理器材，结束实验；B．换用不同规格的小灯泡，再测出几组电流值C．分析数据，得出结论；D．换用电流表的另一量程，再测出一组电流值8、在一本用电常识的书中，列出了使用白炽电灯的常见故障与检修，其中一项故障现象如下：从电路的组成来看，上述故障现象可以概括成一个原因：（）A、开路；B、通路；C、短路；D、以上都不对。
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷解析版
吉林省长春市东北师大附中实验学校2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若关于x的方程是ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≥0C．a＝1D．a≠02．（3分）方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝23．（3分）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝10B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x﹣3）2＝84．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+5的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝15．（3分）抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣2）2+1B．y＝2（x﹣1）2﹣2C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣16．（3分）已知点A（﹣2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，那么a、b、c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A．B．C ．D ．8．（3分）如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ．设BE ＝x ，FC ＝y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若抛物线y ＝（2﹣a ）x 2+3x ﹣2有最大值，则a 的取值范围是 ．10．（3分）抛物线y ＝2（x ﹣1）2+8的顶点坐标是 ．11．（3分）二次函数y ＝2x 2+mx +8的图象顶点在x 轴上，则m 的值是 ．12．（3分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度DO 是4米时，这时水面宽度AB 为 米．13．（3分）若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x ＝﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是 ．14．（3分）如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +（a ＜0）的图象上，点A 、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．16．（6分）某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年投入资金2880万元，则从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？17．（6分）如图，已知二次函数的顶点为（2，﹣1），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．（1）求该函数的解析式；（2）连结AB、AC，求△ABC面积．18．（7分）某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为1m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示．根据设计图纸已知：在图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+2x+1．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？19．（7分）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长AB＝152米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，试求出主塔高BD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60）20．（7分）如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．（1）求a的值；（2）求点F的坐标．21．（8分）甲、乙两名学生在同一小区居住，一天早晨，甲、乙两人同时从家出发去同一所学校上学．甲骑自行车匀速行驶．乙步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿公路匀速行驶，公交车的速度分别是甲骑自行车速度和乙步行速度的2倍和5倍，下车后跑步赶到学校，两人同时到达学校（上、下车时间忽略不计）．两人各自距家的路程y（m）与所用的时间x（min）之间的函数图象如图所示．（1）求a、b的值；（2）当乙学生乘公交车时，求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如果乙学生到学校与甲学生相差1分钟，直接写出他跑步的速度．22．（9分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2cm，点M（不与A、B重合）从点A出发沿AB方向以cm/s的速度向终点B运动．在运动过程中，过点M作MN⊥AB，交射线BC于点N，以线段MN为直角边作等腰直角三角形MNQ，且∠MNQ＝90°（点B、Q位于MN两侧）．设△MNQ与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），点M的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段MN的长，MN＝．（2）当点N与点C重合时，t＝．（3）求S与t之间的函数关系式．24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B 点在A点的右侧），与y轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．解：由x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，得a≠0．故选：D．2．解：x（x+2）＝0，⇒x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．3．解：x2+6x﹣1＝0，移项得x2+6x＝1，方程两边同加上9得x2+6x+9＝10，配方得（x+3）2＝10，故选：A．4．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故选：D．5．解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移2个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝2（x﹣2）2向下平移1个单位所得抛物线是y＝2（x﹣2）2﹣1．故选：D．6．解：当x＝﹣2时，a＝﹣x2+2x+3＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5；当x＝时，b＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝；当x＝时，c＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝﹣；所以a＜c＜b．故选：C．7．解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y＝ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，反比例函数y＝图象在第一三象限，只有B选项图象符合．故选：B．8．解：∵BC＝4，BE＝x，∴CE＝4﹣x．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠CEF+∠CFE＝90°，∴∠AEB＝∠CFE．又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴，即，整理得：y＝（4x﹣x2）＝﹣（x﹣2）2+∴y与x的函数关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+3x﹣2有最大值，∵2﹣a＜0，∴a＞2，故答案为a＞2．10．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+8的顶点坐标是（1，8），故答案为：（1，8）．11．解：∵二次函数y＝2x2+mx+8的图象顶点在x轴上，∴＝0，解得：m＝±8，故答案为：±8．12．解：当y＝﹣4时，﹣4＝﹣，解得，x1＝﹣10，x2＝10，∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），故答案为：20．13．解：如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．故答案为：﹣4＜x＜2．14．解：∵y＝ax2﹣2ax+的对称轴是x＝1，与y轴的交点坐标是（0，）∴点B的坐标是（0，）∵菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2﹣2ax+（a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，∴点B与点D关于直线x＝1对称，∴点D的坐标为（2，）．故答案为：（2，）．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝，x1＝，x2＝．16．解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意，应舍去），答：该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．17．解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．∵顶点为（2，﹣1），∴y＝a（x﹣2）2﹣1．又∵图象经过A（0，3）∴a（0﹣2）2﹣1＝3，即a＝1，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴C（3，0），B（1，0），∴BC＝3﹣1＝2，＝BC•OA＝×2×3＝3．∴S△ABC18．解：（1）y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，y＝2，最大答：最大高度是2米；（2）当y＝0时，﹣（x﹣1）2+2＝0，解得x1＝+1，x2＝﹣+1，∴B（+1，0）答：那么水池的半径至少为+1时，才能使喷出的水流都落在水池内．19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝152×sin31°＝152×0.52＝79.04，∴BD＝BC+CD＝79.04+7.9＝86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米．20．解：（1）把A（3，0）代入y＝ax2﹣x﹣中，得a＝；（2）∵A（3，0）∴OA＝3∵四边形OABC是正方形∴OC＝OA＝3当y＝3时，，即x2﹣2x﹣9＝0解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去）∴CD＝1+在正方形OABC中，AB＝CB同理BD＝BF∴AF＝CD＝1+∴点F的坐标为（3，1+）．21．解：（1）∵甲骑自行车的速度为1000÷5＝200m/min．∴公交车的速度为400m/min，乙步行的速度为80 m/min．∴a＝5×80＝400，b＝（10﹣5）×400+400＝2400；（2）当乙学生乘公交车时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．，解得，当乙学生乘公交车时，y与x之间的函数关系式是y＝400x﹣1600；（3）当乙先到达学校时，乙跑步速度为：（3000﹣2400）÷（3000÷200﹣10﹣1）＝150m/min，当甲先到达学校时，乙跑步速度为：（3000﹣2400）÷（3000÷200﹣10+1）＝100m/min，答：乙跑步的速度为100 m/min或150 m/min．22．解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．23．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵CA＝CB＝2cm，∠ACB＝90°，∴AB＝2cm，∠B＝45°，∵AM＝t，∴BM＝2﹣t，∵MN⊥AB，∴△NMB是等腰直角三角形，∴MN＝BM＝2﹣t．故答案为2﹣t．（2）如图1中，作CH ⊥AB 于H ，则AH ＝BH ，当点N 与C 重合时，AM ＝AH ＝，∴t ＝， ∴t ＝1s 时，点N 与点C 重合．故答案为1．（3）①如图2中，当0＜t ≤1时，重叠部分是△EFK ．S ＝•EF •KM ＝t 2．②如图3中，当1＜t ≤时，重叠部分是四边形MNFK ．S ＝S △MNQ ﹣S △FQK ＝（2﹣t ）2﹣•（4﹣2t ﹣t ）2＝﹣t 2+8t ﹣4．③如图4中，当＜t ＜2时，重叠部分是△MNQS＝（2﹣t）2＝t2﹣4t+4．综上所述，S＝．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．故答案为（﹣2，0），（8，0）．（2）当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．故答案为y＝﹣x+4．（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∴S△PBC∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（4）如图，当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），N3（3﹣，﹣4），N4（3+，﹣4），可得M3（5﹣，0），M4（5+，0），当AC为对角线时，可得M1（﹣8，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．。
2020-2021学年人教版五年级下册期中模拟测试数学试卷(A卷)(word版 含答案)
2020-2021学年人教版五年级下册期中模拟测试数学试卷（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．3.02m³＝（________）dm³90020cm³＝（________）L4.07m³＝（________）m³（________）dm³9.08dm³＝（________）L（________）mL2．一个正方体的表面积是54dm²，体积是（______）dm³。
3．一个两位数既是5的倍数，也是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是（______），最大是（______）。
4．16和24的公因数有（________）；8和12的公倍数有（________）。
5．一个长方体的体积是72cm³、长6cm 、宽5cm，高（________）cm 。
6．一个容量是15升的药桶，装满了止咳药水，把这些药水分别装在100毫升的小瓶里，可以装满（________）瓶。
7．在括号里填上适当的单位名称。
旗杆高15（______）教室面积80（______）油箱容积16（______）一瓶墨水60（______）8．左图从（_____）面看和（______）面看都是．从（________）面看是．9．在1~10中，（______）既不是质数，也不是合数。
既是质数，也是偶数的是（______）。
既是奇数，又是合数的是（______）。
10．一个长方体棱长总和是36cm，宽和高分别是3cm、2cm，它的体积是（______）cm³。
11．用3个棱长是2dm的正方体合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积之和少（________）dm²。
12．一个立体图形，从正面看是，从左面看是，要搭成这样的立体图形，至少要用（________）个小正方体，最多要用（________）个小正方体。
吉林省长春市2020届新人教版九年级上期中数学试卷含答案解析(全套样卷)
2020-2021学年吉林省长春市九年级(上)期中数学试卷一、选择题:每小题3分，共24分。
1．化简的结果是()A．2 B．4 C．4D．82．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜33．若，则的值是()A． B．C．D．4．一元二次方程x(x﹣2)=0的解是()A．x=0 B．x1=2 C．x1=0，x2=2 D．x=25．一元二次方程x2+2=0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根6．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为()A．6米B．7米C．8.5米D．9米7．如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地(图中阴影部分)，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是()A．(18﹣2x)(6﹣2x)=60 B．(18﹣3x)(6﹣x)=60 C．(18﹣2x)(6﹣x)=60 D．(18﹣3x)(6﹣2x)=608．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，点E的坐标为(1，0)，若点A、C、D 的坐标分别是(3，4)、(2，2)、(3，1)．则点D的对应点B的坐标是()A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)二、填空题:每小题3分，共18分。
9．比较大小:2(填“＞”、“＜”或“=”)．10．点A(2，4)关于x轴对称的点的坐标是．11．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3=0的一个根，则m的值是．12．如图，△BDE∽△BCA，若=，DE=6，则AC的长度是．13．如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结ED．若量出DE的长为25米，则池塘宽AB为米．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是AC中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，则CE的长度是．三、解答题:本大题共10小题，共78分。
吉林省长春市师大明珠学校20202021学年度上学期九年级第一次月考数学试卷..
初三年级综合测试数学学科试卷考试时长：120分钟 试卷分值：120分一、选择题（每小题3分，共24分）1.已知y =(m +2)x |m| 是关于x 的二次函数，那么m 的值为 ( ) （A ）－2. （B ）2. （C ）±2. （D ）0. 2.下列说法正确的是（ ）（A ）投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次.（B ）天气预报“明天降水概率10％”，是指明天有10％的时间会下雨.（C ）一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖（D ）连续投掷一枚质地均匀的硬币，若前5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上3.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则sinB 的值是 （ ）（A ）512. （B ）125. （C ）513. （D ）1213.4.如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.6km ，则M 、C 两点间的距离为（A ）0.8km. （B ）1.2km. （C ）1.3km. （D ）5.2km5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为 （ ）（A ）140石. B ）160石. （C ）180石. （D ）200石.6.将抛物线y =2x 2上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 （ ） （A ）y =2(x +2)2+3.（B ）y =2(x −2)2+3.（C ）y =2(x −2)2－3.（D ）y =2(x +2)2－3.7.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(－2，5)、(0，5)、(0，－1)(4，－1)，若线段AB 和CD 是位似图形，位似中心在y 轴上，则位似中心的坐标为 （ ） （A ）(0，1). （B ）(0，43). （C ）(0， 32). （D ）(0，3)8.如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连结AP 、PQ ，点E 、F 分别是AP 、PQ 的中点，连结EF.点P 在由点C 到点D 运动过程中，线段EF 的长度 （ ）（A ）保持不变. （B ）逐渐变小.（C ）先变大，再变小. （D ）逐渐变大.二、填空题（每小题3分，共18分）9. 如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F.若AB ：BC =5：3，DE =15，则EF 的长为 .10.走路被世界卫生组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数.手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯.张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是 步.11.已知A(－√2，y 1)，B(0，y 2)，C(32，y 3）三点都在抛物线y =−13(x －1)2+53上，比较y 1、y 2、y 3的大小 .（用“<”连接）12.如图，一辆小车沿着坡度为i =1：√3的斜坡从点A 向上行驶了50米到点B 处，则此时该小车离水平面的垂直高度为 米.13.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，连结DE 交对角线AC 于点F ，若AB =6，AD =8，BE =2，则AF 的长为 .14.如图，在平面直角坐标系中，抛物y =−12(x −3)2+m 与y =−23(x +2)2+n 的一个交点为A . 已知点A 的横坐标为1，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B 、C （点B 在点A 左侧，点C 在点A 右侧），则BC 的值为 . 三、解答题（共10小题，共78分）15. (6分) 计算: (12)−1+(π−3.14)0−2sin 45°.（第3题）（第4题）（第8题）（第7题）（第9题）（第12题） （第13题）（第14题）16.（6分）二次函数y =ax 2+bx －3(a ≠0)中的x ，y 满足如下表（1）求这个二次函数的解析式 （2）求m 的值17.（6分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、3个黄球，这些球除颜色外无任何差别.分别从每个盒中随机取出1个球，请你用列表或画树状图的方法，求取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率.18.（7分）东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门. 如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部A 距地面高AD =2.2m.为了解自己的有效测温区间，身高1.6m 的小明做了如下实验：当他在地面N 处时，测温门开始显示额头温度，此时测得A 的仰角∠ABE =18°；在地面M 处时，测温门停止显示额头温度，此时测得A 的仰角∠ACE =60°.求小明在地面的有效测温区间MN 的长度.（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1米）【参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32，√3≈1.73，√2≈1.41】.19. （7分）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点。
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区七年级(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）.1．若有理数a与3互为相反数，则a的值是（）A．3B．﹣3C．D．2．如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）A．B．C．D．3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（）A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（）A．5B．8C．9D．105．如图，直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是（）A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角6．下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．﹣a3b B．3a2b2C．4a3﹣3D．7．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西50°方向，则∠BAC的大小为（）A．80°B．85°C．90°D．95°8．如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定二、填空题（每小题3分，共18分）9．﹣的绝对值是．10．如图，在数轴上，点A与点B之间表示整数的点有个．11．若∠1＝65°，则∠1的补角的大小为．12．一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为．13．计算33°52′+21°54′＝．14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的”距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有个．三、解答题（本大题共10个小题，共78分）15．计算：（1）﹣23÷6+（﹣1）2020．（2）1.5﹣．16．以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程．（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…第一步，＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…第二步，＝ab﹣2a2b…第三步，（1）马小虎同学解答过程在第步开始出错，出错原因是．（2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．17．已知：图①，②，③均为5×3的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形并涂上阴影，与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，且3种方法得到的展开图不完全重合．18．如图，AB＝10，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AD的长．19．先化简，再求值：6（x2﹣2x）+2（1+3x﹣2x2）﹣2x2，其中x＝．20．补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC 且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：因为∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，所以∠AOC＝°，所以∠AOB＝∠AOC+∠＝°．因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠＝°，所以∠COD＝∠﹣∠AOD＝°．21．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°．（1）AB与EF的位置关系是．（2）对（1）中判断的AB与EF的位置关系加以证明．22．某市自2020年1月起，对餐饮用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）：月用水量（立方米）水价（元/立方米）第一级50立方米以下（含50立方米）的部分4.6第二级50立方米﹣150立方米（含150立方米）的部分6.5第三级150立方米以上的部分8（1）受疫情影响，某饭店4月份用水量为15立方米，则该饭店4月份需交的水费为元．（2）某饭店9月份用水量为a（50＜a≤150）立方米，则该饭店9月份应交的水费为元．（用含a的代数式表示）（3）某饭店11月份交水费1080元，求该饭店11月份的用水量．23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．24．如图，A，B，C是数轴上三点，点B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，（1）在数轴上，点A表示是数为，点C表示是数为．（2）动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t （t＞0）．①在数轴上，点P表示的数为，点Q表示是数为；（用含t的代数式表示）②若PB＝5QB，求t的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．若有理数a与3互为相反数，则a的值是（）A．3B．﹣3C．D．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝﹣3．故选：B．2．如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可．解：从上面看，所得到的图形有两行，其中第一行有2个小正方形，第二行有2个小正方形，因此选项A中的图形比较符合题意，故选：A．3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（）A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：根据题意，若收入80元记作+80元，则﹣50元表示支出50元．故选：C．4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（）A．5B．8C．9D．10【分析】先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．解：用科学记数法表示为1.25×1010的原数为12500000000，所以原数中“0”的个数为8，故选：B．5．如图，直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是（）A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角【分析】根据同位角定义可得答案．解：直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是同位角，故选：B．6．下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．﹣a3b B．3a2b2C．4a3﹣3D．【分析】利用单项式次数定义可得答案．解：A、﹣a3b是4次，故此选项不合题意；B、3a2b2是4次，故此选项不合题意；C、4a3﹣3是多项式，故此选项不合题意；D、是4次，故此选项符合题意；故选：D．7．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西50°方向，则∠BAC的大小为（）A．80°B．85°C．90°D．95°【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．解：∵∠DBA＝40°，∠DBC＝75°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝75°﹣40°＝35°，∵DB∥EC，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝180°﹣75°＝105°，∴∠ACB＝∠ECB﹣∠ACE＝105°﹣50°＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣35°＝90°．故选：C．8．如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定【分析】先求出M﹣N的值，再根据求出的结果比较即可．解：∵M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，∴M﹣N＝（x2+3x+12）﹣（﹣x2+3x﹣5）＝x2+3x+12+x2﹣3x+5＝2x2+17，∵不论x为何值，2x2≥0，∴M﹣N＞0，∴M＞N，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．﹣的绝对值是．【分析】根据绝对值的性质求解．解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得||＝．10．如图，在数轴上，点A与点B之间表示整数的点有6个．【分析】根据点A、点B所表示的数，再根据数轴表示数的意义，得到整数的点即可．解：因为点A表示的数是﹣3.2，点B表示的数是2.8，因此点A与点B之间的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共6个，故答案为：6．11．若∠1＝65°，则∠1的补角的大小为115°．【分析】根据互补，即两角的和为180°，由此即可得出∠1的补角度数．解：∵∠1＝65°，∴∠1的补角的大小为180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．12．一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为100a+10b+c．【分析】三位数＝百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字，把相关数值代入即可．解：∵个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，∴这个三位数可以表示为100a+10b+c．故答案为：100a+10b+c．13．计算33°52′+21°54′＝55°46′．【分析】相同单位相加，分满60，向前进1即可．解：33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′．14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的”距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有4个．【分析】到l1距离为3的直线有2条，到l2距离为2的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（3，2）的点．解：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个．故答案为：4三、解答题（本大题共10个小题，共78分）15．计算：（1）﹣23÷6+（﹣1）2020．（2）1.5﹣．【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的加法可以解答本题；（2）根据有理数的加减法可以解答本题．解：（1）﹣23÷6+（﹣1）2020＝﹣8×+1＝﹣+1＝﹣；（2）1.5﹣＝1+4+3+（﹣8）＝[1+（﹣8）]+（4+3）＝﹣7+8＝1．16．以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程．（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…第一步，＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…第二步，＝ab﹣2a2b…第三步，（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号．（2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可；（2）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可．解：（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号，故答案为：一，去掉括号时，没有变号；（2）正确的解答过程是：（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）＝a2b+4ab﹣3ab+3a2b＝4a2b+ab．17．已知：图①，②，③均为5×3的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形并涂上阴影，与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，且3种方法得到的展开图不完全重合．【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．解：如图所示：（答案不唯一）18．如图，AB＝10，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AD的长．【分析】先根据AB＝10，点C是AB的中点，求出AC和BC的长，再根据点D是线段CB的中点，求出CD的长，然后将AC和CD相加即可．解：∵AB＝10，点C是AB的中点，∴AC＝CB＝AB＝×10＝5，∵点D是线段CB的中点，∴CD＝BC＝×5＝2.5，∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5．答：线段AD的长为7.5．19．先化简，再求值：6（x2﹣2x）+2（1+3x﹣2x2）﹣2x2，其中x＝．【分析】直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案．解：原式＝6x2﹣12x+2+6x﹣4x2﹣2x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣3+2＝﹣1．20．补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC 且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：因为∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，所以∠AOC＝80°，所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝60°，所以∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°．【分析】直接利用已知结合角平分线的定义进而分析得出答案．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°．∴∠AOC＝80°．∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．∵OD平分∠AOB．∴∠AOD＝∠AOB＝60°．∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°．故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC，20．21．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°．（1）AB与EF的位置关系是AB∥EF．（2）对（1）中判断的AB与EF的位置关系加以证明．【分析】（1）AB∥EF，依据平行线的性质，即可得到∠BCD＝70°，进而得出∠E+∠DCE＝180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF；（2）依据平行线的性质，即可得到∠BCD＝70°，进而得出∠E+∠DCE＝180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF．【解答】（1）解：AB∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°（等量代换），∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，∵∠CEF＝130°，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行），故答案为：AB∥EF；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°（等量代换），∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，∵∠CEF＝130°，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）．22．某市自2020年1月起，对餐饮用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）：月用水量（立方米）水价（元/立方米）4.6第一级50立方米以下（含50立方米）的部分6.5第二级50立方米﹣150立方米（含150立方米）的部分第三级150立方米以上的部分8（1）受疫情影响，某饭店4月份用水量为15立方米，则该饭店4月份需交的水费为69元．（2）某饭店9月份用水量为a（50＜a≤150）立方米，则该饭店9月份应交的水费为（6.5a ﹣95）元．（用含a的代数式表示）（3）某饭店11月份交水费1080元，求该饭店11月份的用水量．【分析】（1）直接利用水价50立方米以下（含50立方米）的部分4.6元/立方米，得出答案即可；（2）根据三级收费标准不同，分别得出分段费用，进而得出答案；（3）根据题意得出用水量的范围，进而得出答案．解：（1）由题意可得：15×4.6＝69（元），故答案为：69；（2）由题意可得：50×4.6+（a﹣50）×6.5＝6.5a﹣95（元），故答案为：6.5a﹣95；（3）因为50×4.6+（150﹣50）×6.5＝880（元），1080＞880，所以11月份用水超过150立方米，设11月份用水x立方米，根据题意得：50×4.6+（150﹣50）×6.5+8（x﹣150）＝1080，解得：x＝175．答：该饭店11月份用水175立方米．23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为∠CPD＝∠α+∠β．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．【分析】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝50°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图②，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图③，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图④，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．24．如图，A，B，C是数轴上三点，点B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，（1）在数轴上，点A表示是数为﹣4，点C表示是数为6．（2）动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t （t＞0）．①在数轴上，点P表示的数为﹣4+2t，点Q表示是数为6﹣t；（用含t的代数式表示）②若PB＝5QB，求t的值．【分析】（1）根据点B所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点C、B表示的数；（2）①根据题意表示出AP＝2t，CQ＝t，根据两点的运动方向可得答案；②根据PB＝|4﹣（﹣4+2t）|，BQ＝|6﹣t﹣4|，PB＝5QB列方程即可得到答案．解：（1）∵B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，∴点B表示的数是4﹣8＝﹣4；点C表示的数是4+2＝6．故答案为：﹣4，6．（2）①由题意得：AP＝2t，CQ＝t，所以点P表示的数是﹣4+2t，点Q表示的数是6﹣t．故答案为：﹣4+2t；6﹣t．②由题意得：PB＝|4﹣（﹣4+2t）|＝|8﹣2t|，BQ＝|6﹣t﹣4|＝|2﹣t|，当PB＝5QB时，|8﹣2t|＝5|2﹣t|，解得t＝或．。
2020-2021长春市初三数学上期中试题附答案
2020-2021长春市初三数学上期中试题附答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1105．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间6．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ）A ．12019B ．2020C ．2019D ．20187．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____. 16．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=17．如图，AD 为ABC V 的外接圆O e 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．18．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A 的度数是_____°．19．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ．点D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC 交AC 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）若BD =8，sin ∠DBF =35，求DE 的长．22．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=34，AD=6，求线段AE 的长． 23．某市场将进货价为40元/件的商品按60元/件售出，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元/件，每星期该商品要少卖出10件．（1）请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润y （元）与该商品每件涨价x （元）间的函数关系式；（2）每月该商场销售该种商品获利能否达到6300元？请说明理由；（3）请分析并回答每件售价在什么范围内，该商场获得的月利润不低于6160元？24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310． 故选：A ．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键． 5．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．6．B解析：B【解析】【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.8．C解析：C【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++， ∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴2b a =,∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-, 根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.9．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误。
吉林省长春市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
吉林省长春市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．距离为2的两点A 、B 在数轴上关于原点对称，且点A 在点B 的左侧，则点A 表示的数为（ ） A ．1-B ．1C ．±1D ．02．长春轨道交通7号线，又称长春地铁7号线，是长春市正在修建的一条地铁线路，预计于2025年4月30日开通运营，全长22840米，22840这个数用科学记数法可表示为（ ） A ．32.28410⨯B ．42.28410⨯C ．52.28410⨯D ．322.8410⨯3．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不等式21m -+<-的解集为（ ） A ．1m <B ．1mC ．3m <D ．3m >5．如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是2米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离（BC 的长）为（ ）A ．2sin α米B ．2cos α米C ．2sin α米 D ．2cos α米6．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图1和图2B ．图1和图3C ．图3D ．图2和图37．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF ．观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论正确的是（ ）A ．CE CFCA BF= B ．CF EFBF AB= C ．CE EFCA AB= D ．CE EFAE AB= 8．如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°的直角三角板按照如图方式摆放，顶点A 、B 的坐标为（1，4）、（4，1），直角顶点C 的坐标为（4，4），若反比例函数ky x=0x >（）的图象与直角三角板的边有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．48k ≤≤B ．2584k ≤≤ C ．416k ≤≤ D ．25164k ≤≤二、填空题9．因式分解：2a ab -= __________．10 x 的取值范围是_______ ． 11．一元二次方程2320x x -+=根的判别式的值为_______．12．如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1 = 50°，则∠A +∠B +∠C +∠D 的度数为______．13．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，BE ⊥AC 交AC 于点E ，F 为BC 的中点，BC = 10，DE = 8，则△DEF 的面积为_____________．14．如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B 、C 两点的高度相同，到墙边的OA 的距离分别为0.5m ，1.5m ．若该墙的长度为12m ，则最多可以连续绘制_______个这样的抛物线型图案．三、解答题15．解方程：210x x --=.16．已知20a b -=，求2222ab b a b a a a ⎛⎫---÷⎪⎝⎭的值． 17．如图①，用一块长100cm ，宽80cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm²的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．18．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中画等腰△ABC，使得△ABC的面积为3．（2）在图②中画等腰△ABD，使得∠DAB = 90°．（3）在图③中画等腰△ABE，使得∠AEB = 90°．19．学校午餐采用自助的形式，并倡导学生和教师“厉行勤俭节约，践行光盘行动”．学校共有6个年级，且各年级的人数基本相同．为了解午餐的浪费情况，从这6年级中随机抽取了A、B两个年级，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个年级每天午餐浪费饭菜的质量，以下简称“每日餐余质量”（单位：kg），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A年级每日餐余质量的频数分布直方图如下（数据分成6组：≤≤≤≤≤≤：<<<<<<x x x x x x02,24,46,68,810,1012)b．A年级每日餐余质量在68≤<这一组的是：6.1，6.6，7.0，7.0，7.0，7.8xc．B年级每日餐余质量如下：1.4，2.8，6.9，7.8，1.9，9.7，3.1，4.6，6.9，10.8，6.9，2.6，7.5，6.9，9.5，7.8，8.4，8.3，9.4，8.8d．A、B两个年级这20个工作日每日餐余质量的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）m = ____________，n = _____________．（2）A、B这两个年级中，“厉行勤俭节约，践行光盘行动”做的较好的年级是______．（3）结合A、B这两个年级每日餐余质量的数据，估计该学校（6个年级）一年（按240个工作日计算）的餐余总质量．20．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．21．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？22．（1）下面是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．例4：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED．证明：∵CE∥AB（已知）∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED（两直线平行，内错角相等）．请你将上面的证明过程补充完整．（2）如图①，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB = 9，BC = 10，BF = 3，则线段AE的长为_____________．（3）已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为__________cm．23．如图在△ABC中，CD⊥AB，AB = 6，AD = 2，CD = 4，点E为边BC的中点．动点P 从点A出发，以5cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P 作PQ⊥AC于点Q，连结PE，以PE、PQ为边作平行四边形PQFE．设点P的运动时间为t（s）．∠=______________．（1）sin APQ（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，将函数22=--+（x≥0，a为常数）的图象记为G，图象y x ax aG 的最高点为P (0x ，0y )． （1）当2a =-时，求0y 的值．（2）当0a >时，点P 的坐标为_________（用含a 的代数式表示）． （3）若点P 到x 轴的距离为1，求a 的值．（4）矩形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．当图象G 在矩形ABCD 内的部分随x 的增大，y 的值先增大后减小．．．．．．时，直接写出a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】根据相反数的性质判断即可； 【详解】∵A 、B 在数轴上关于原点对称， ∴A ，B 互为相反数，又∵点A 在点B 的左侧，A ，B 之间的距离为2， ∴A 表示的数为-1． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了数轴的相关知识点，相反数的应用，准确判断是解题的关键． 2．B 【分析】直接根据科学记数法进行排除选项即可． 【详解】解：由22840这个数用科学记数法可表示为42.28410⨯； 故选B ． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 3．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误． 故选B ． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．D 【分析】解一元一次不等式即可； 【详解】2＜1m -+-，3m ＞；故选：D ． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，准确计算是解题的关键． 5．A 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin α＝BC AB ＝2BC，进而得出答案． 【详解】由题意可得：sin α＝BC AB ＝2BC， 故BC ＝2sin α（米）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．6．A【分析】根据尺规作图——角平分线的作法，逐项判断即可得到答案．【详解】解：根据基本作图可判定图一符合角平分线的尺规作图，故射线AD平分∠BAC，如图2，由作图可知：AM=AN，AF=AE，∴EM=FN，又∵∠BAC=∠BAC，∴△MAF≌△NAE，∴∠AMF=∠ANE，∵∠MDE=∠NDF，∴△MDE≌△NDF，∴MD=DN，又∵AD=AD，∴△MDA≌△NDA，∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，图三：尺规作图得到D是BC的中点，所以AD是中线不是角平分线，故选A．【点睛】本题主要考查角平分线、中垂线的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线、中垂线的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键．7．C【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．【详解】∵EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CF CEAB CB CA==， 故选：C ． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 8．C 【分析】分别把△ABC 的顶点坐标代入反比例函数解析式求解，然后由题意可进行求解． 【详解】 解：由题意得：当反比例函数经过△ABC 的顶点C 时， 把点()4,4C 代入得：k=16； 当反比例函数经过点A 时， 把点()1,4A 代入得：k=4； 当反比例函数经过点B 时， 把点()4,1B 代入得：k=4，∴若反比例函数ky x=0x >（）的图象与直角三角板的边有交点，则k 的取值范围为416k ≤≤；故选C ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 9．a(a-b) 【详解】 分析：根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可. 详解：2()a ab a a b -=-.故答案为：()a a b -.点睛：熟知“用提公因式法分解因式的方法并能确定本题中多项式各项的公因式是a ”是解答本题的关键.10．x≥3【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x 的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x≥3，故答案为x≥3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 11．1【分析】首先找出一元二次方程2320x x -+=中1a =，3b =-，2c =，然后根据根的判别式24b ac ∆=-计算即可．【详解】 解：一元二次方程2320x x -+=中1a =，3b =-，2c =，∴224(3)4121b ac ， 故答案是：1．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式24b ac ∆=-． 12．410°．【分析】先求∠1的邻补角，再求五边形的内角和，再求差即可．【详解】由邻补角定义得∠AED=180°-∠1=180°-50°=130° 因为五边形的内角和是：180°×（5-2）=540°，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D=540°-130°=410°．故答案为410°．本题考核知识点：多边形内角和，邻补角．解题关键点：求出五边形内角和及∠1的邻补角．13．12【分析】过点F作FH⊥DE交于点H，根据题意易得DF=EF，然后根据勾股定理及三角形面积可进行求解．【详解】解：过点F作FH⊥DE交于点H，如图所示：∵CD⊥AB交AB于点D，BE⊥AC交AC于点E，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵点F是BC的中点，∴12DF EF BC==，∴DH=HE，∵BC = 10，DE = 8，∴DF=5，DH=4，∴在Rt△DHF中，3HF==，∴11831222DEFS DE HF=⋅=⨯⨯=，故答案为12．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．14．6．【分析】根据B和C到OA的距离，求出BC中点到OA的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解．∵抛物线上B 、C 两点的高度相同，到墙边的OA 的距离分别为0.5m ，1.5m∴BC 中点到OA 的距离为0.5 1.512+=m ∴每个抛物线宽122⨯=m∵1226÷=∴可以连续绘制6个这样的图案故答案为6．【点睛】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴，属于二次函数部分的基础应用，题目较为简单，熟练掌握抛物线对称轴的不同求解方法是本题的关键．15．12,x x ==【分析】先求出24b ac -的值，然后套用公式x =进行求解即可． 【详解】210x x --=，()()22414115b ac -=--⨯⨯-=，x =12x x ==【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记公式x =. 16．13. 【分析】先将分式化简，然后将2a b =代入即可求出答案．【详解】 解：原式()()()()2222()a ab b a a b a a a b a b a a b a b -+-==-+-+a b a b-=+.∵2a b =，∴原式133b b ==. 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的混合运算法则，本题属于基础题型．17．10cm ．【分析】设小正方形的边长为x cm ，根据题意得()()10028024800x x --=，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为x cm ，根据题意得()()10028024800x x --=解得 1210,80x x ==（舍）答：小正方形的边长为10cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题关键.18．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析．【分析】（1）若△ABC 的面积为3，则要求底为2，高为3，因此以AB 边为腰，BC 边为底做三角形即可；（2）根据题意，点A 为等腰直角△ABD 的直角顶点，因此将AB 顺时针或逆时针旋转90°（按住直尺一角，将直尺旋转立起），然后连线即可；（3）根据图②，找到斜边BD 中点E ，然后连线即可，所做△ABE 即为所求．【详解】（1）如图①：若使△ABC 的面积为3，则要求底为2，高为3，因此以AB 边为腰，BC 边为底做三角形即可获得下图；（2）如图②：∵点A为等腰直角△ABD的直角顶点∴将AB顺时针或逆时针旋转90°（按住直尺一角，将直尺旋转立起）后，寻找合适的格点D进行连线即可获得下图；（3）如图③：根据图②，找到斜边BD中点E，然后连线即可，所做△ABE即为所求此时根据勾股定理=．【点睛】本题考查了等腰三角形，等腰直角三角形的判定和性质，属于中等难度题型，根据等腰三角形的性质绘图是本题的关键．19．（1）6.8；6.9．（2）A；（3）9360（kg）．【分析】（1）判断出A组样本容量，根据中位数的定义和A年级在68≤<这一组的数值即可求解；x根据中位数的定义即可得出B组统计的众数；（2）根据平均数和中位数进行比较，即可得出结论；（3）用A、B两个年级的平均数乘以6再乘以天数即可求解．【详解】（1）解：由A组的直方图可得样本容量为1+2+5+6+4+2=20，故中位数为排序后第10、11个数的中位数，又因为这两个数都落在68x≤<这一组，所以第10、11个数分别是6.6、7.0，故6.67.06.82m+==，在B组数据中6.9出现的次数最多，故众数n=6.9；（2）从平均数、中位数看，A组学生做的比较好，故答案为：A；（3）6.4 6.6624093602+⨯⨯=（kg）．答：该学校一年的餐余总质量约为9360kg．20．证明见解析．【详解】证明：∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，∴AB = BC，∠ADB = ∠AFB= 90°，∠DBC=30°，∠BAD = ∠ABF = 60°∴△ABF≌△ABD，∴BD = AF．∵△BDE是等边三角形，∴BD = BE，∠EBD = 60°．∴AF = BE，∠EBF = ∠EBD + ∠DBC = 90°．∴∠AFC = ∠EBF．∴AF∥BE．∴四边形AEBF是平行四边形．∵∠EBF=90°，∴平行四边形AEBF是矩形．21．（1）5；（2）230AB y x =+；1000CD y x=．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．【详解】 （1）（2）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1＝k 1x ＋30，把B （10，50）代入得，k 1＝2，∴AB 解析式为：y 1＝2x ＋30（0≤x≤10）．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2＝2k x， 把C （20，50）代入得，k 2＝1000，∴曲线CD 的解析式为：y 2＝1000x （x≥20）； 当x 1＝5时，y 1＝2×5＋30＝40， 当x 2＝30时，y 2＝100030， ∴y 1＞y 2∴第5分钟注意力更集中．故答案为：5；（3）当40y =时，23040,5x x +==．100040,25x x ==． ∴2552018-=>．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．22．（1）证明补充见解析；（2）3）20+【分析】（1）根据已知条件证明三角形全等判断即可；（2）根据勾股定理求出FD ，AD 计算即可；（3）根据题意分两种情况进行分析，一是沿底边中线剪开，一是沿腰的中点剪开，然后分别计算即可；【详解】（1）在△ABD 与△ECD 中，∵∠ABD=∠ECD ，∠BAD=∠CED （已证），BD=CD （已知），∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴AD=ED （全等三角形的对应边相等）；（2）在Rt △BFD 中，4FD ===，在Rt △AFD 中，AD ===，∵AD=DE ，∴2AE =⨯=；（3）沿底边中线剪开，如图所示，∵AB=AC ，BD=CD ，∴AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，∵120BAC ∠=︒，20AB cm =，∴20AD cm =，BD CD ==，拼接成的新三角形为△AEC ，∴△AEC 的周长=AC+CE+AE=2AD+2AC=20+40=60；沿腰上的中线剪开，如图所示，过点B 作BH AC ⊥交CA 延长线于H ，∵120BAC ∠=︒，∴60BAH ∠=︒，∵BH AC ⊥，∴90BHA ∠=°，∵20AD cm =，∴1102AH AB cm ==，BH =， ∵1102AN NC AC cm ===， ∴20HN cm =，在Rt △BHN 中，BN ==，由上题可知BC =，∴拼接成的新三角形为△CMB ，∴△CMB 的周长=BC+CM+BM=BC+AB+2BN=(20cm ++，综上所述，所得三角形的最大周长为（20+cm ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的正确，准确分析判断是解题的关键．23．（12）CQ =；（3）3655t <<；（4）t 【分析】（1）根据勾股定理求出AC ，根据同角度的余角相等得到∠APQ=∠ACD ，根据正弦的定义即可求解；（2）根据正弦的定义求出AQ ，即可求出CQ ；（3）分当∠EPQ 为直角时和当点P 运动到B 点时两种情况讨论，求出t 的值，即可确定t 的取值范围；（4）当CM 为∠BCA 角平分线时，连接EQ 交CM 与点N ，证明CQ=CE=12CB ，进而求出AQ=AC-CQ=2）时可以求出t ，问题得解．【详解】解：（1）∵CD ⊥AB ，且AD=2，CD=4，∴AC ==∵PQ ⊥AC ，∠A=∠A ，∴∠APQ=∠ACD ，∴sin sin AD APQ ACD AC ∠=∠=（2）由题意的AP=5t，∵sin APQ∠∴AQ=AP·sin APQ∠，∴CQ AC AQ=-=;（3）当∠EPQ为直角时，∠EPQ=90°，如图∵PQ⊥AC，∴∠PQA=90°，∴∠EPQ=∠PQA=90°，∴AC∥EP，∴△BPE∽△BAC∵E为CB中点，∴P为AB中点，∴AP=15AB=3，∴t=AP3=55，当点P运动到B点时，t=AP6=55，∴t的取值范围为36t55<<；（4）如图，当CM为∠BCA角平分线时，连接EQ交CM与点N，此时∠ACM=∠BCN，CN=CN，QN=EN，∴△CNE≌CNQ，∴CQ=CE=12CB，∵CD=BD=4，CD⊥AB，∴BC=∴CQ=12∴AQ=AC-CQ=由（2∴t=2【点睛】本题题考查了三角函数，勾股定理，平行四边形性质，相似等知识，综合性较强，根据题意理解相关定理，灵活运用所学知识是解题关键24．（1）02y =；（2）(0,)a ；（3）a =1a =；（4）115a -<<． 【分析】（1）将2a =-代入原函数，求解即可；（2）将函数一般式化为顶点式，根据0a >即可写出顶点即可；（3）分为0a >和0a <两种情况讨论，当0a >时，在x=0处取得最大值，当0a <时在对称轴处取得最大值，代入求解即可；（4）根据随x 的增大，y 的值先增大后减小时，得到抛物线对称轴在矩形内部，代入数值列出不等式组即可求解．【详解】（1）当2a =-时，原式为242y x x =-+-∴将其化为顶点式有()()22444222y x x x =-+++-=--+ ∴02y =（2）()()22222222y x ax a x ax a a a x a a a =--+=-++++=-+++ ∴抛物线对称轴为直线x a =-∵0a >∴0a -<∴在x a >-时，y 随x 的增大而减小∴当0x =时，y 有最大值为a∴P 点坐标为（0,a ）；（3）第一种情况，当0a >时，由（2）问得P 点坐标为（0,a ），即|a|=1 ∴解得a=1或-1（舍去）第二种情况，当0a <时，有01y =，即21a a +=∴解得1a =2a = ∴综上所述，a =1a =； （4）∵在矩形ABCD 中，y 的值随x 的增大先增大后减小∴抛物线对称轴在矩形ABCD 的内部，且01y >，且当3x =时，2y < 又∵由（2）得抛物线对称轴为直线x a =-∴2131962a a a a a a ->⎧⎪-<⎪⎨+>⎪⎪--+<⎩解得115a -<故a的取值范围为115a -<．。
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2+3＝0C．x﹣＝1D．y＝2x2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．33．若＝，则的值为（）A．B．C．D．34．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．C．D．＝﹣35．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8 6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（）A．B．C．12D．207．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：98．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝200二、填空题（每小题3分，共18分）9．＝．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．11．如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上．若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，﹣1）；则点C的坐标为．12．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为．13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为m．14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B 作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：×．16．（6分）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．18．（7分）如图①、图②、图③，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画出线段AB的中点O．（2）在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．19．（7分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2020年该市能够帮助建设保障性住房的户数．20．（7分）如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．21．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明：连结DE、EF．请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【拓展】如图②，设图①中的AE与DF的交点为G，连结CD，分别交AE、EF于点H、K．（1）＝．（2）若四边形FGHK的面积为3，则四边形ADEF的面积为．23．（10分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双40元，售价为每双100元．十•一期间，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少2元，但售价不能低于每双70元．假设某顾客一次性购买的运动鞋超过10双．（1）如果这位顾客一次性购买16双这款运动鞋，那么售价为每双元．（2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数．（3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，求这位顾客一次性购买这款运动鞋的双数．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CB方向运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当点P出发后，连结PQ，将△CPQ沿PQ翻折得到△DPQ，点C的对称点为D．设点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示PD的长．（2）当PD∥AB时，求四边形CPDQ的面积．（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，求PD的长．（4）当△DPQ的某条直角边所在的直线与边AB的夹角等于∠A时，直接写出t的值．2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2+3＝0C．x﹣＝1D．y＝2x【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不合题意；B、是一元二次方程，故此选项符合题意；C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：B．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．【解答】解：A、＝2，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．3．若＝，则的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据已知条件得出＝，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝+1＝+1＝；故选：C．4．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．C．D．＝﹣3【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项错误；C、原式＝＝，所以C选项正确；D、原式＝6+3＝9，所以D选项错误．故选：C．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，故选：D．6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（）A．B．C．12D．20【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝AG+GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，∴＝，∴CE＝，∴BE＝BC+CE＝4+＝；故选：B．7．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．8．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝200【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程并解答；【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．＝10．【分析】利用＝|a|进行化简即可．【解答】解：原式＝|﹣10|＝10，故答案为：10．10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝1+12＝13．所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．11．如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上．若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，﹣1）；则点C的坐标为（2，2）．【分析】根据点A的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．【解答】解：如图，点C的坐标为（2，2）．故答案是：（2，2）．12．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为1：3．【分析】直接利用位似图形的性质得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为：1：3．故答案为：1：3．13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为15m．【分析】根据同一时刻物高和影长成正比列出比例式即可求解．【解答】解：根据题意得：，即：，解得：AB＝15，故答案为：15．14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B 作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．【分析】设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，∵∠C＝90°，∴AD＝＝＝k，∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠CDA＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴＝，∴＝，∴BE＝k，∴＝＝，故答案为．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：×．【分析】根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式＝﹣﹣2＝4﹣2﹣2＝0．16．（6分）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x＝＝．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入原方程，得到关于m的方程，解之即可，（2）根据判别式公式，得到△＞0，即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意得：22﹣2m﹣2＝0，解得：m＝1，（2）△＝b2﹣4ac＝m2+8，∵无论m取何实数，m2≥0，∴△＞0，∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．18．（7分）如图①、图②、图③，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画出线段AB的中点O．（2）在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．【分析】（1）根据网格即可在图①中画出线段AB的中点O；（2）根据网格，利用相似三角形的性质即可在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）根据网格，利用相似三角形的性质即在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．【解答】解：（1）如图①线段AB的中点O即为所求；（2）如图②线段AB上点C即为所求；（3）如图③线段AB上点D即为所求．19．（7分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2020年该市能够帮助建设保障性住房的户数．【分析】（1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为x，根据该市2017年及2019年投入用于保障性住房建设的资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用能够帮助建设保障性住房的户数＝2020年投入用于保障性住房建设的资金÷3，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．（2）7.2亿元＝72000万元，∴72000×（1+20%）÷3＝28800（户）．答：2020年该市能够帮助建设保障性住房28800户．20．（7分）如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【分析】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABD∽△ACE；（2）由相似三角形的性质可得，可求CE＝2，由等腰直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．21．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明：连结DE、EF．请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【拓展】如图②，设图①中的AE与DF的交点为G，连结CD，分别交AE、EF于点H、K．（1）＝．（2）若四边形FGHK的面积为3，则四边形ADEF的面积为18．【分析】【教材呈现】证明DE∥AC，且DE＝AC＝AF，即可求解；【拓展】（1）证明△DHG∽△CHE，则＝，即DH＝HC，进而求解；（2）S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK，即2a+S△DHG＝3+a，故S△DHG＝3﹣a，而K是平行四边形DFCE的对角线的交点，故K是EF的中点，同理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S，则3a＝6﹣a，解得a＝，即可求解．△DGH【解答】【教材呈现】证明：连结DE、EF，则DE是△ABC的中位线，故DE∥AC，且DE＝AC＝AF，故四边形DAFE为平行四边形，∴AE、DF互相平分；【拓展】（1）解：同理可得，四边形DFCE为平行四边形，则KD＝KC，DF＝EC＝BE，∵DG＝BE，FG＝EC，∴DG＝FG＝EC，∵DF∥BC，∴△DHG∽△CHE，∴＝，即DH＝HC，设DH＝x，则HC＝2x，CD＝DH+HC＝3x，则CK＝CD＝x，故＝，故答案为；（2）解：设△HKE的面积为a，∵DH＝x，HK＝x，则△DHE的面积为2a，∵G是DF的中点，∴S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK，即2a+S△DHG＝3+a，故S△DHG＝3﹣a，∵K是平行四边形DFCE的对角线的交点，故K是EF的中点，同理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S△DGH，即3a＝6﹣a，解得a＝，故S△EFG＝a+3＝，∵四边形ADEF为平行四边形，故四边形ADEF的面积＝4S△EFG＝18，故答案为18．23．（10分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双40元，售价为每双100元．十•一期间，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少2元，但售价不能低于每双70元．假设某顾客一次性购买的运动鞋超过10双．（1）如果这位顾客一次性购买16双这款运动鞋，那么售价为每双88元．（2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数．（3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，求这位顾客一次性购买这款运动鞋的双数．【分析】（1）根据售价＝原价﹣2×超过10双的数量，即可求出结论；（2）利用数量＝（原价﹣最低售价）÷2+10，即可求出结论；（3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋x双（10＜x＜25），根据该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）100﹣2×（16﹣10）＝88（元）．故答案为：88；（2）（100﹣70）÷2+10＝25（双）．答：这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋25双．（3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋x双．∵798÷30＝26.6（双），26.6不为整数，∴10＜x＜25．依题意，得：x[100﹣2（x﹣10）﹣40]＝798，整理，得：x2﹣40x+399＝0，解得：x1＝19，x2＝21．答：这位顾客一次性购买这款运动鞋19或21双．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CB方向运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当点P出发后，连结PQ，将△CPQ沿PQ翻折得到△DPQ，点C的对称点为D．设点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示PD的长．（2）当PD∥AB时，求四边形CPDQ的面积．（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，求PD的长．（4）当△DPQ的某条直角边所在的直线与边AB的夹角等于∠A时，直接写出t的值．【分析】（1）根据点P的速度和时间t可表示点P的路程AP＝t，可得结论；（2）如图1，延长PD交BC于点E，证明△ACB∽△QDE，得，可得DE＝，再由平行线分线段成比例定理列比例式：，即，解方程可得t＝1，最后由三角形面积可得结论；（3）存在两种情况：①如图2，∠CPD＝∠B，延长PD交BC于点E，证明△ACB∽△EDQ，列比例式可得DE＝t，证明△PCE∽△BCA，列比例式可得t的值，由此计算PD的长；②如图3，∠CQD＝∠B，延长QD交AC于点E，同理可得结论；（4）分两种情况：①如图4，当四边形CPDQ是正方形时，∠QEB＝∠A，根据PC＝CQ列方程可得t的值；②如图5，∠PEA＝∠A时，证明△CPD∽△CAB，列比例式可得t的值．【解答】解：（1）由题意得：AP＝t，∵AC＝3，∴PC＝3﹣t，由折叠得：PD＝PC＝3﹣t；（2）如图1，延长PD交BC于点E，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，由题意得：AP＝CQ＝t，∠C＝∠PDQ＝90°，∴DQ＝CQ＝t，∠QDE＝90°，∵PD∥AB，∴PE∥AB，∴∠QED＝∠B，∵∠QDE＝∠C＝90°，∴△ACB∽△QDE，∴，即，∴DE＝，∵PE∥AB，∴，即，解得：t＝1，∴四边形CPDQ的面积＝2S△CPQ＝2×＝PC•CQ＝（3﹣1）×1＝3；（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，存在两种情况：①如图2，∠CPD＝∠B，延长PD交BC于点E，∵∠CPD+∠APD＝∠APD+∠B＝180°，∴∠A+∠BED＝180°，∵∠BED+∠QED＝180°，∴∠A＝∠QED，∵∠QDE＝∠C＝90°，∴△ACB∽△EDQ，∴，即，∴DE＝t，∵∠CED＝∠A，∠C＝∠C，∴△PCE∽△BCA，∴，即＝，解得：t＝，∴PD＝3﹣t＝3﹣＝；②如图3，∠CQD＝∠B，延长QD交AC于点E，∴EQ∥AB，∵PC＝PD＝3﹣t，同理得ED＝，∵EQ∥AB，∴，即＝，解得：t＝，∴PD＝3﹣t＝3﹣＝，综上，PD的长是或；（4）分两种情况：①如图4，当四边形CPDQ是正方形时，∠QEB＝∠A，∴PC＝CQ，∴3﹣t＝t，∴t＝；②如图5，∠PEA＝∠A时，由折叠得：∠CPQ＝∠DPQ，∵2∠CPQ+∠APD＝∠APD+2∠A＝180°，∴∠A＝∠CPQ，∵∠C＝∠C，∴△CPD∽△CAB，∴，即，解得：t＝，综上，t的值为或．。
2020-2021学年九年级上册数学第1章《二次函数》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上册数学第 1章《二次函数》单元测试卷式是（）1. 卜列关于X 的函数一定为二次函数的是（ A . y=4xB , y= 5x2 - 3xC. y=ax 2+bx+cD , y=x 3-2x+12.将二次函数y= 2x 2+5的图象先向左平移 3个单位，再向下平移 1个单位，则平移后的函数关系A. y=2 (x+3) 2+6 B . y=2 (x+3) 2+4 C. y=2 (x- 3) 2+6D. y=2 (x-3) 2+43. 如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长） ,其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 50m,门宽为2m.若饲养室长为 xm,占地面积为ym 2,则关于x 的函数表达式为（:2+26x (2<x<52)B. C. -2 .y= - . x +50x (2w x< 52) y= - x 2+52x (2< x< 52) - 2 一 一 一 __________ y=一方x2+27x- 52 (2<x< 52)（aw0）在同一坐标系中的图象可能是（D .5.以下抛物线的顶点坐标为（2, 0）的是（10.如图，已知顶点为（-3, -6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1, -4）,则下列结论:-1;⑤若点（-2, m ） , （- 5, n ）在抛物线上，则 m>n,其中正确的个数共有（二.填空题⑥y= （ x+1 ） 2- x 2.这六个式子中，二次函数有12.把二次函数 y=x 2- 4x+5化为y=a （x —h ） 2+k 的形式，那么h+k=A . y= 3x 2+2B . y= 3x2 - 2C. y=3 (x — 2) 2D. y=3 (x+2) 26.二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴是x=-1, 卜列结论中正确的是（8.二次函数C. 2a+b=0D. a - b+c>2 (x-1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2) a+b 的值是（ B. - 1C. 2D. 3 x 2- 2x+c 在-3< x< 2的范围内有最大值为一5, 则c 的值是（B. 3C. - 3D. - 69.二次函数 y=ax 2—2ax+b 中，当—1wxw 4 时，—2wyw3,贝U b — a 的值为( B. - 6或 7C. 3D. 3 或—2①b 2>4ac ；② ax 2+bx+c< - 6；③ 9a- 3b+c= - 6；④关于 x 的二次方程 ax 2+ bx+ c= - 4 的根为B. 2个C. 3个D. 4个11.观察：① y = 6x 2；② y=- 3x 2+5；③2 1y=200x 2+400x+200;④ y=x 3-2x;⑤ ¥二工 二.（只填序号）13. 一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度 y （m ）与水平距离 x （m ）之间的关系是7.二次函数 y= a2B. 4ac< b -114 .已知抛物线的顶点坐标是(-2, 3),其图象是由抛物线 y=-8x 2+1平移得到的，则该抛物线的解析式为.15 .抛物线y=a (x- h) 2+k (a<0)经过(-1,3)、( 5, 3)两点，则关于 x 的不等式a (x- h -1) 2+k<3的解集为.16 .已知二次函数 y=ax 2+bx+c (aw0, a, b, c,为常数)，对称轴为直线 x=1,它的部分自变量x 与函数值y 的对应值如下表.请写出ax 2+bc+c= 0的一个正数解的近似值 (精确到0.1)x - 0.4 — 0.3 — 0.2 — 0.117 .若函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 .18 .已知二次函数 y=ax 2+ (a-1) x- 2a+1,当1vxv3时，y 随x 的增大而减小，则 a 的取值范围是.19 .如果二次函数y=a (x-1) 2(aw0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是.20 .小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=-/父2的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O,两直角边与该抛物线交于A, B 两点 (如图)，对该抛物线，小甬将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A, B 的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是三.解答题21 .已知二次函数 y=2x 2+4x- 6,(1)将二次函数的解析式化为y= a (x-h) 2+k 的形式.(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 22 .已知二次函数(k 为常数)，求k 的值.__ 1 2 产12工m,则这名男生抛实心球的成绩是3m.y= ax 2+ bx+c0.920.38—0.12—0.5823.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+4ax+4a-4 (aw0)的顶点为A.(1)求顶点A的坐标；(2)过点(0, 5)且平行于x轴的直线1,与抛物线y=ax2+4ax+4-4 (aw 0)交于B、C两点.①当a=1时，求线段BC的长；②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.532 -11— I I E II」] ■ I J 、-5 一4 4-2 口, 1 2 3 4 5x-2~-3-4-5 _____________24.已知二次函数的图象y=- x2+bx+c如图所示，它与轴的交点坐标为(- 1,0), (3, 0)(1)求b, c的值；(2)根据图象，直接写出函数值y<0时，自变量x的取值范围.25.二次函数y=ax2+bx+c (aw0)与一次函数y=x+k (kw0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax2+bx+c- x- k< 0的解集；(3)写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2+bx+c= m有两个不等的实数根，求m的取值范围;26.如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m,设花园的面积为sm2,平行于墙的边为xm.若x不小于17m,(1)求出s关于x的函数关系式;(2)求s的最大值与最小值.花园27.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y = x2-2mx+1图象与y轴的交点为A,将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B.(1)直接写出点A的坐标为，点B的坐标为;(2)若函数y=x2-2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围.参考答案与试题解析・选择题1.解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；B、是二次函数，故此选项符合题意；C、当a=0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：B.2.解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y= 2x2+5向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=2 (x+3) 2+4.故选：B.3.解：y关于x的函数表达式为：y=g (50+2-x) x b-l= ---- x+26x (2W x<52).故选：A.4,解：①当a>0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y= ax - a (aw0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a<0时，二次函数y= ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a (aw0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点.对照四个选项可知D正确.故选：D.5.解：抛物线y= 3x2+2的顶点为(0, 2);抛物线y= 3x2-2的顶点为(0, - 2);抛物线y=3 (x-2) 2的顶点为(2, 0);抛物线y=3 (x+2) 2的顶点为(-2, 0);故选：C.6.解：A、由抛物线的开口向下知a<0,对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上，. 0,因此abc>0,故错误;B、抛物线与x轴有两个交点，b2 - 4ac>0,即4acv b2,故正确;C、对称轴为x= ----- --= - 1,得2a = b,23.2a- b= 0,故错误；D、•.当x= - 1 时，y>0• -a- b+c>0,故错误.故选：B.7.解：二.二次函数y=a (x- 1) 2+b (aw0)的图象经过点(0, 2),a+b = 2.故选：C.8.解：把二次函数y= - x2-2x+c转化成顶点坐标式为y= - (x+1) 2+c+l,又知二次函数的开口向下，对称轴为x=- 1,故当x= - 1时，二次函数有最大值为- 5,故-1+2+c= - 5,故c= - 6.故选：D.2 29.解：:抛物线y=ax — 2ax+b=a (x—1) +b- a,「•顶点(1, b - a)当a>0 时，当-1WxW4 时，—2WyW3,函数有最小值，b - a= - 2,当a<0 时，当—1wxw4 时，—2wyw3,函数有最大值，b - a= 3,故选：D.10.解：二•抛物线与x轴有2个交点，•・△= b2- 4ac>0,即b2>4ac,所以①正确；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),即x= - 3时，函数有最小值，•.ax2+bx+c> - 6,所以②错误；•.•抛物线的顶点坐标为(-3, - 6),•••9a-3b+c= - 6,所以③正确；•••抛物线y= ax2+bx+c 经过点(-1, - 4),而抛物线的对称轴为直线x= - 3,.二点(-1, - 4)关于直线x= - 3的对称点(-5, - 4)在抛物线上，••・关于x的一元二次方程ax2+bx+c= - 4的两根为-5和-1 ,所以④错误；•••抛物线开口向上，对称轴为直线x= - 3,而点(-2, m) , ( - 5, n)在抛物线上，: - 3 - ( - 5) > - 2 - ( - 3),m<n,所以⑤错误.故选：B.二.填空题11.解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=- 3x2+5；③y= 200x2+400x+200;故答案为：①②③.12.解：y=x —4x+5= ( x _ 2) 2+1,. .h=2, k= 1,h+k=2+1= 3.故答案为：3.13.解：•••一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是7T小亭卷i 2: 1・・・当y=0,则0 = - y；5-x2+Vx+—, _L 乙O R-J解得：x1= 10, x2= - 2,，这名男生抛实心球的成绩为10m,故答案为：10.14.解：,•,该抛物线是由抛物线y= - 8x2+1平移得到的，a= - 8,又•••抛物线的顶点坐标是(- 2, 3),该抛物线的解析式为y=- 8 (x+2) 2+3.故答案为：y=- 8 (x+2) 2+3.15.解：二.抛物线y=a (x-h) 2+k (a>0)经过(-1, 3) , ( 5, 3)两点,，大致图象如图所示：•1-y= a (x- h- 1) 2+k (a>0)经过(0, 3) , (6, 3)两点则关于x的不等式a (x-h-1) 2+kW3的解集为：x< 0或x>6.故答案为：*^0或*>6.16.解：由表可知，当x= - 0.2时，y的值最接近0, 所以，方程ax2+bx+c= 0一个解的近似值为-0.2, 设正数解的近似值为a,.•.对称轴为直线x=1,一+(一。
2020-2021长春市九年级数学上期中一模试卷含答案
2020-2021长春市九年级数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．42．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．133．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．344．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 5．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()222226x yy x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且38．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠39．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120° 11．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．14．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．15．将一元二次方程x 2﹣6x +5=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则ab =__．16．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.17．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．18．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，F 是CD 弧的中点，则∠CBF 的度数为_____．19．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .20．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．三、解答题21．某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？22．某市场将进货价为40元/件的商品按60元/件售出，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元/件，每星期该商品要少卖出10件．（1）请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元）与该商品每件涨价x（元）间的函数关系式；（2）每月该商场销售该种商品获利能否达到6300元？请说明理由；（3）请分析并回答每件售价在什么范围内，该商场获得的月利润不低于6160元？23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC＝4时，求阴影部分的面积．24．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．25．已知抛物线y=-x 2-2x+c 与x 轴的一个交点是(1,0)．（1）C 的值为_______；（2）选取适当的数据补填下表，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像； x •••1- 1 ••• y••• 0 •••（3）根据所画图像，写出y>0时x 的取值范围是_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4)-－4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．2．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 3．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．4．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.5．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大. 6．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.8．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点. 9．D解析：D【解析】【分析】Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P 在优弧ADB 上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE∴△ABC≌△BDE∠CBD=60°∴BD=BC=12cm∴△BCD为等边三角形∴CD=BC=BD=12cm在Rt△ACB中AB解析：【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，=13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为42．考点：旋转的性质．14．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：3 2【解析】【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝12·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，∴EA⊥BD，∴S△DEB＝12•x（6﹣3x）＝﹣32x2+3x=﹣32（x﹣1）2+32，∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .故答案为：32．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.15．12【解析】x2−6x+5=0x2−6x=−5x2−6x+9=−5+9(x−3)2=4所以a=3b=4ab=12故答案为：12解析：12【解析】x2−6x+5=0，x2−6x=−5，x2−6x+9=−5+9，(x−3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.16．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x1=1, x2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.17．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环解析：（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．18．18°【解析】【分析】设圆心为O连接OCODBD根据已知条件得到∠COD==72°根据圆周角定理即可得到结论【详解】设圆心为O连接OCODBD∵五边形ABCDE为正五边形∴∠COD==72°∴∠CB解析：18°【解析】【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠COD=3605︒=72°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】设圆心为O，连接OC，OD，BD．∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠COD=3605︒=72°，∴∠CBD=12∠COD=36°．∵F是CD弧的中点，∴∠CBF=∠DBF=12∠CBD=18°．故答案为：18°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．19．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===解析：312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=26022 3603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）=2290290121136036032πππ⨯⨯---⨯（=32432ππ-+=122π+ 20．9【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA 是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S 阴影=S △A1BA+S △A1BC1﹣S △解析：9【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A 1BC 1， ∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B=AB=6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA=30°，∴S △A1BA = 12×6×3=9， 又∵S 阴影=S △A1BA +S △A1BC1﹣S △ABC ，S △A1BC1=S △ABC ，∴S 阴影=S △A1BA =9． 故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．三、解答题21．（1）2555014000w x x =-+-；（2）当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【解析】【分析】（1）根据所得利润=每件利润×销售量，可以列出w 与x 之间的函数关系式并化简为二次函数一般形式；（2）由市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个的销售任务可以确定x的取值范围，然后结合二次函数图像性质可以解答本题．【详解】解：（1）根据题意，得()()()()2w x x x x x x=---=--=-+-40100550403505555014000⎡⎤⎣⎦，因此，利润与售价之间的函数关系式为2=-+-w x x555014000（2）∵销售量不得少于80个，∴100-5（x-50）≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，2=-+-w x x555014000()2x x=---511014000()222x x=--+--51105555140002=--+x5(55)1125∵a=－5＜0，开口向下，对称轴为直线x=55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x=54时，w最大值=()2--+，554551125=1120因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．22．（1）y=−10x2+100x+6000；（2）每月该商场销售该种商品获利不能达到6300元，理由见解析；（3）每件售价不低于62元且不高于68元时，该商场获得的月利润不低于6160元【解析】【分析】（1）该商品每件涨价x（元），该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元），依题意可得y与x的函数关系式；（2）不能，把函数关系式用配方法化为y=-10(x-5)2+6250，可得y有最大值为6250；（3）令-10x2+100x+6000≥6160，求出x的取值范围即可．【详解】（1）该商品每件涨价x（元），该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元），根据题意得y x x(6040)(30010)=+--∴y=−10x2+100x+6000故答案为：y=−10x2+100x+6000（2）每月该商场销售该种商品获利不能达到6300元，理由：∵y=−10x2+100x+6000=−10(x−5)2+6250，当x=5时，y取最大值为6250元，小于6300元∴不能达到；（3）依题意有：−10x2+100x+6000⩾6160，整理得：x2−10x+16⩽0，∴(x−2)(x−8)⩽0，∴①2080xx-⎧⎨-⎩……或②2080xx-≤⎧⎨-≥⎩，解①得：2⩽x⩽8，解②得：x⩽2且x⩾8，无解，∴当售价不低于62元且不高于68元时，商场获得的月利润不低于6160元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解两个变量表示的含义，根据题意找到等量关系列出函数关系式是解题的关键．23．（1）60°；（2）见解析；（3）163π-【解析】【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC＝∠D ＝60°；（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，结合∠ABC ＝60°求得∠BAC＝30°，从而推出∠BAE＝90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；（3）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF＝2，根据圆周角定理得出∠AOC＝120°，然后根据S阴影＝S扇形﹣S△AOC即可求得．【详解】解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．可得∠BAC＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，即BA⊥AE，得OA⊥AE，又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（3）连接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC，∵OA＝OB，∴OF＝12BC＝2，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠ABC＝60°，∴AC＝32AB＝43，∴S阴影＝S扇形﹣S△AOC＝2120411643243 36023ππ⨯-⨯⨯=-．【点睛】本题着重考查了切线的判定、圆周角定理以及扇形面积公式等知识，属于中档题．解题过程中，请注意注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．24．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，所以都选择A通道通过的概率为18，故答案为：18；（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为41 82 =．【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．25．（1）3；（2）见解析；（3）-3<x< 1．【解析】【分析】（1）直接把（1，0）代入抛物线22y x x c =--+即可得出c 的值；（2）先根据（1）抛物线的解析式得出其顶点坐标，再在顶点两边分别取两点，画出函数图象即可；（3）根据函数图象可直接得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =--+与x 轴的一个交点是（1，0），∴2120,c --+= 解得c=3，∴抛物线的解析式为22 3.y x x =--+故答案为：3.（2）∵抛物线的解析式为22 3.y x x =--+即2(1)4,y x =-++∴其顶点坐标为（-1，4），∴当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3； 当x=-3时，y=0；当x=1时，y=0． 如下表： x •••3- 2- 1- 0 1 ••• y ••• 0 3 4 30 •••（3）由函数图象可知，当y ＞0时，-3＜x ＜1．故答案为：-3＜x ＜1．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，能利用描点法画出函数图象，根据数形结合求解是解答此题的关键．。
2020-2021学年吉林省长春市农安县九年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年吉林省长春市农安县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜12．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列各数中，与的积为有理数的是（）A．B．3C．2D．2﹣4．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝05．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2 6．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）8．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．89．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5B．7C．8D．1010．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）A．2B．3C．D．二、填空题（共10小题）.11．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是．12．（4分）计算：﹣＝．13．（4分）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝．14．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝．15．（4分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是．16．（4分）若将方程x2+6x＝7化为（x+m）2＝16，则m＝．17．（4分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是．18．（4分）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．19．（4分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是．20．（4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是．三、解答题（21--24每小题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）21．（5分）解方程：x2+3x+1＝0．22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．（1）当m＝3时，判断方程的根的情况；（2）当m＝﹣3时，求方程的根．23．（5分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E ＝79°，求证：△ABC∽△DEF．24．（5分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．25．（7分）实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简．26．（7分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．28．（8分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜1解：由题意得：1﹣x≥0，解得：x≤1，故选：B．2．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；D、20＝22×5，该二次根式的被开方数中含开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：C．3．（3分）下列各数中，与的积为有理数的是（）A．B．3C．2D．2﹣解：A、×＝，故A错误；B、×3＝3，故B错误；C、×2＝6，故C正确；D、×（2﹣）＝2﹣3，故D错误．故选：C．4．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+＝1B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x+2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0解：A、是分式方程不是一元二次方程，故A错误；B、a＝0是一元一次方程，故B错误；C、是一元二次方程，故C正确；D、是二元二次方程，故D错误；故选：C．5．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2解：x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2．故选：C．6．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根解：∵△＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．7．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）解：A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），故选：B．8．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．8解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，∴＝，解得EF＝6，故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5B．7C．8D．10解：∵AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，∴DE＝＝2，DF＝＝3，DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF的周长为：2×2+3×2＝10，故选：D．10．（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）A．2B．3C．D．解：如图，∵S△ABC＝9、S△A′EF＝4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝2或A′D＝﹣（舍），故选：A．二、填空题（每小题4分，共40分）11．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是x≤3．解：∵＝3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．12．（4分）计算：﹣＝．解：原式＝3﹣2＝．故答案为：．13．（4分）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝2．解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，∴a+1＝3，解得：a＝2．故答案为2．14．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝﹣2．解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：1+3m+n＝0，3m+n＝﹣1，则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：﹣2．15．（4分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是x1＝3，x2＝﹣3．解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．16．（4分）若将方程x2+6x＝7化为（x+m）2＝16，则m＝3．解：在方程x2+6x＝7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32＝7+32，配方，得（x+3）2＝16．所以，m＝3．故答案为：3．17．（4分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（，）．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，∴OA：OD＝1：，∵点A的坐标为（0，1），即OA＝1，∴OD＝，∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝．∴E点的坐标为：（，）．故答案为：（，）．18．（4分）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为12 cm．解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC＝2EF，AB＝2AE，AC＝2AF，∴BC+AB+AC＝2（EF+AE+AF）＝12（cm）．故答案为：12．19．（4分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是（5，1）．解：∵将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，∴得到（5，﹣2），∵再向上平移3个单位长度，∴所得点的坐标是：（5，1）．故答案为：（5，1）．20．（4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是或．解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴＝；如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD+DE＝8+3＝11，∴△MAE∽△MCB，∴＝．∴的值是或．故答案为：或．三、解答题（21--24每小题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）21．（5分）解方程：x2+3x+1＝0．解：a＝1，b＝3，c＝1∴x＝＝．∴x1＝，x2＝．22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．（1）当m＝3时，判断方程的根的情况；（2）当m＝﹣3时，求方程的根．解：（1）当m＝3时，原方程为x2+2x+3＝0，∴△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴当m＝3时，原方程没有实数根；（2）当m＝﹣3时，原方程为x2+2x﹣3＝0，即（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴当m＝﹣3时，方程的根为﹣3和1．23．（5分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC∽△DEF．24．（5分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．解：如图所示：25．（7分）实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简．解：由数轴知，a＜0，且b＞0，∴a﹣b＜0，∴＝|a|﹣|b|+|a﹣b|＝（﹣a）﹣b+（b﹣a）＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．26．（7分）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．解：∵x＝1﹣，y＝1+，∴x﹣y＝（1﹣）﹣（1+）＝﹣2，xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）＝7+4．27．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD．28．（8分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝180，解得x1＝10（舍去），x2＝18，28﹣x＝28﹣18＝10．故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝200，即x2﹣28x+200＝0，则△＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．。
吉林省长春市长春五十二中赫行实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(解析版)
数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．【详解】解：，则信号最强的是，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．2. 银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！银农的粒径新标准达到纳米（1纳米米），也标志着银农产品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】【分析】首先把600纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，将600纳米用科学记数法表示即可．【详解】解：∵1纳米米，∴600纳米=米．故选：D ．dBm 50-60-70-80-50607080-<-<-<- 50-600900-910-=110.610-⨯90.610-⨯9610-⨯7610-⨯10n a -⨯n 910-=9760010610--⨯=⨯【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 如图所示，一个长方体的平面展开图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将各选项侧面展开图折叠即可解答．【详解】解：选项经过折叠均能围成长方体，选项经过折叠均不能围成长方体，所以不能表示长方体平面展开图．故选：．【点睛】本题考查了长方体侧面展开图，掌握立体图形与侧面展开图的关系是解题的关键．4. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a 的范围即可．【详解】解：∵不等式的解集为，∴，∴，故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．5. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依的10n a -⨯110a ≤<n A B C D ，，A ()33a x a -<-1x >a 0a >3a >3a ≠3a <()33a x a -<-1x >30a -<3a <ABC据是（ ）A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．【详解】∵，∴（同位角相等，两直线平行），∴C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．6. 如图，一个钟摆的摆长的长为a ，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C 是的中点，与交于点D ，则的长为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C 是的中点，为，可得的度数，已知的长为a ，用余弦公式可表示，根据，可得的长．【详解】解：点C 是的中点，，1∠2∠12∠=∠12∠=∠a b OA AOB ∠2x ABOC AB CD 2sin a x 2cos a x ()1sin a x -()1cos a x -ABAOB ∠2x AOC ∠OA OD CD OC OD =-CD ABAC BC∴=，，，，，，故选：D ．7. 尺规作图：如图，在中，．（1）以点B 为圆心，BA 的长为半径画弧，在左侧交BC 所在的直线于点E ；（2）以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，在右侧交BC 所在的直线于点F ；（3）作线段EF 的垂直平分线交BC 于点D ，接连AD ．根据以上作图描述及作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. 与的周长相等D. 与的面积相等【答案】C【解析】【分析】根据作图及线段的垂直平分线的定义进行推导即可．【详解】解：如图，连接AE ，AF，12AOC BOC AOB x ∴∠=∠=∠=OD OD OA OB == ，()SAS OAD OBD ∴ ≌90ODA ODB ∴∠=∠=︒cos cos OD OA AOC a x ∴=⋅∠=()cos 1cos CD OC OD a a x a x ∴=-=-=-ABC AC AB >BD CD=BAD CAD ∠=∠ABD △ACD ABD △ACD由作图可知，AB =B E ，AC =CF ，ED =FD ，∴的周长=AB +AD +BD =BE +BD +AD =ED +AD ，的周长=AC +AD +CD =CD +CF +AD =DF +AD ，∵ED =FD ，∴与的周长相等，故选：C ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象上有两点A 、C ，点A 在第二象限，点C 在第四象限，以为对角线作矩形，其中轴．若点B 在函数的图象上，且矩形的面积50，则m 的值为（ ）A. B. C. 6 D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例，矩形的性质等知识，设，根据反比例函数点的坐标特点求出，ABD △ACD ABD △ACD 2m y x=-AC ABCD AB y ⊥()30m y x x =>ABCD 252254(),A a b 3,2B a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后根求出，，然后根据矩形的面积求解即可．【详解】解∶ 设，则，∴∵矩形，轴，∴轴，轴，∴B 的纵坐标为b ，又B 在图象上，∴B 的横坐标为，∴C 的横坐标为，又C 在的图象上，∴C 的纵坐标为，∴，∴，，∵矩形的面积50，∴，∴，即∴，故选∶C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 分解因式：_______．【答案】【解析】32,23C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭52AB a =-53BC b =(),A a b 2ab m =-332m ab =-ABCD AB y ⊥AB x ∥BC y ∥()30m y x x=>3322ab a b -=-32a -2m y x=-2332ab b a =-3,2B a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭32,23C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3522AB a a a =--=-2533BC b b b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ABCD 055352a b ⋅=-12ab =-212m -=-6m =226m m -=2(3)m m -【分析】提公因式法因式分解．【详解】．【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是关键．10. 已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为_____．【答案】－1【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2−4ac ＝（−2）2−4×1×（－k ）＝4＋4k ＝0，解得：k ＝－1，故答案为：－1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11. 用一张等宽纸条折成如图所示的图案．若，则∠1的太小为_________度．【答案】15【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，翻折的性质等知识，先利用平行线的性质与对顶角的性质求出的度数，然后利用翻折的性质求解即可．【详解】解∶如图，∵，∴，的226m m -=2(3)m m -220--=x x k 220--=x x k 220--=x x k 2150∠=︒ABC ∠2150∠=︒32150∠=∠=︒∵纸条的对边互相平行，即，∴，∵翻折，∴，故答案为：15．12. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，连结、，得到平行四边形．则平行四边形的面积为_________．【答案】36【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A 、C 的横坐标，点B 、D 的纵坐标确定出平移规律，再根据平移规律求出C 、D 的坐标，然后利用割补法求解即可．【详解】解∶∵线段平移到线段，点A 的对应点为C ，点B 的对应的为D ，，，，，∴平移规律为向左平移3个单位，向上4个单位，∴的对应点C 的坐标为，的对应点D 的坐标为，如图，过D 、A 作x 轴的平行线，过C 、B 作y 轴的平行线，两两相交于M 、N 、F 、E ，∴平行四边形的面积为，故答案为：36．13. 如图，在中，，点D 为边的中点，点E 为线段的中点．若，a b ∥180330ABC ∠=︒-∠=︒11152ABC ==︒∠AB CD AC BD ACDB ACDB AB CD ()1,2A --()4,C b -()5,2B (),6D a ()1,2A --()4,2-()5,2B ()2,6ACDB 11119834643464362222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=ABC 90BAC ∠=︒AC BD 3AB =，则边的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，先利用直角三角形斜边上中线的性质求出，然后利用勾股定理求出，最后利用线段中点定义求解即可．【详解】解∶ ，点E 为线段的中点， ，∴，又，∴∵点D 为边的中点，∴故答案为：14. 点，，均在抛物线上，且C 为抛物线的顶点．若，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向上，根据点A ，B 到对称轴的距离大小关系求解．【详解】解：由题意得：抛物线对称轴，∵点C 为抛物线的顶点，且，∴抛物线开口向上，∴，2AE =AC BD AD 90BAC ∠=︒BD 2AE =24BD AE ==3AB =AD ==AC 2AC AD ==()11,A a y -()22,B a y +()00,C x y 221y ax ax =-+021y y y ≤<a 102a <<021y y y ≤<212a x a-=-=021y y y ≤<0a >当，即时，∵，∴，解得：，即此时，当，即时，点B 在点A 的右侧，不符合题意；综上分析可知：．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后整体代入求值即可．【详解】解：，∵，∴．16. 一个布袋中有2个红球和2个白球，它们除颜色外都相同．若从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出第二个球，用画树状图或列表的方法，求摸到一个红球一个白球的概率．【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画出树状图然后根据概率公式列式即可得解．【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：11a -<2a <21y y <()1121a a -->+-12a <102a <<11a -≥2a ≥21y y >102a <<102a <<()()()2443x x x +-+-231x x -=2267x x --5-()()()2443x x x +-+-221669x x x =-+-+2267x x =--231x x -=()222672372175x x x x --=--=⨯-=-23=∵共有12种等可能的结果，其中摸到一个红球一个白球的结果有8种，∴摸到一个红球一个白球的概率为．17. 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套，求第一批套尺购进时单价是多少？【答案】2元/套．【解析】【分析】设第一批套尺购进时单价是x 元/套，则设第二批套尺购进时单价是x 元/套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量-第一批套尺数量=100套，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：（1）设第一批套尺购进时单价是x 元/套．由题意得：即解得：x=2．经检验：x=2是所列方程的解．答：第一批套尺购进时单价是2元/套．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意要检验．18. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O ，点E 为边的中点，于点F ，点G 在边上，且．（1）求证：四边形为矩形；（2）若平行四边形的面积为28，，则矩形的周长为__________．【答案】（1）见解析（2）11【解析】82123=54541500100010054x x -=12001000100x x-=ABCD AC BD CD OF AD ⊥AD EG OF ∥OEGF ABCD 7BC =OEGF【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；（2）过点C 作于点H ，根据平行四边形面积公式求出，证明，得出，求出，根据中位线求出，根据矩形的性质求出周长即可．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，∵点E 为边的中点，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形为矩形；【小问2详解】解：过点C 作于点H ，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，∵平行四边形的面积为28，∴，∵，，∴，∴，OE ACD OE AD ∥OEGF 90OFG ∠=︒CH AD ⊥2847ABCD S CH AD === AOF ACH ∽12OF OA CH AC ==122OF CH ==1722OE AD ==ABCD AO CO =CD OE AD ∥EG OF ∥OEGF OF AD ⊥90OFG ∠=︒OEGF CH AD ⊥ABCD AO CO =7AD BC ==ABCD 2847ABCD S CH AD === OF AD ⊥CH AD ⊥OF CH ∥AOF ACH ∽∴，∴，∵，点E 为边的中点，∴，∵四边形为矩形，∴，故答案为：11．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．19. 在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9．乙品种：如折线图所示．甲、乙品种产量统计表品种平均数中位数众数方差甲品种 3.163.20.2912OF OA CH AC ==122OF CH ==AO CO =CD 1722OE AD ==OEGF ()722247112OEGF C OE OF ⎛⎫=+=⨯+=+= ⎪⎝⎭矩形a乙品种 3.163.30.15根据以上信息，完成下列问题：（1）____________，__________；（2）若乙品种种植2000棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；（3）请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好．【答案】（1）3.2，3.5（2）1200棵 （3）见解析【解析】【分析】本题考查了中位数、众数、方差、利用样本估计总体以及选择合适的统计量作决策等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键．（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）利用样本估计总体的方法解答；（3）从平均数和方差两个角度进行分析即可．【小问1详解】解：将甲品种的10个数据从小到大排列为：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，排在第5、6位的数是3.2，3.2，所以中位数；乙品种的10个数据中，数据3.5出现了3次，出现的次数最多，所以众数；故答案为：3.2，3.5；【小问2详解】解：答：估计乙品种的产量不低于3.16千克的有1200棵；【小问3详解】解：从甲、乙两品种产量的平均数来看，都是3.16千克，两者相当；从方差来看：甲品种的方差是0.29，乙品种的方差是0.15，所以乙品种的产量更为稳定，乙品种要更好一些（答案不唯一）．20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，点B 在b =a b = 3.2 3.2 3.22a +== 3.5b =62000120010⨯=22⨯AO格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图1中，作出点A 关于点O 的对称点C ，连结．（2）在图2中，作出线段关于点O 的成中心对称线段．（3）在图3中，已知点F 是线段上的任意一点，作出一条线段，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键．（1）根据中心对称的性质即可解决问题．（2）分别画出点A 和点B 关于点O 的对称点即可解决问题．（3）先画出关于点O 的对称线段，再延长与之相交即可解决问题．【小问1详解】解：连接并延长，与网格交点即为点C ，连接，如图所示，点C 即为所求作的点．【小问2详解】分别连接，并延长，与网格分别交于点D 和点E ，如图所示，线段即为所求作的线段．【小问3详解】分别连接，并延长，与网格分别交于点D 和点E ，连接，连接并延长与交于点G，的AC AB DE AB OG OG OF AB FO AO AC AO BO DE AO BO DE FO DE如图所示，即为所求作的线段．21. 甲、乙两人先后由A 地沿同一路线前往B 地，甲先出发，1小时后乙再出发，乙出发后半小时后在离A 地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB 两地正中间．然后两人各自保持原速不变，先后到达B 地．若甲由A 地出发的行驶时间为x 小时，甲、乙离A 地的距离为千米和千米，、与x 之间的函数图象如图所示．（1）甲的速度是__________千米/小时；（2）求与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）乙到达B 地后立即从原路返回A 地．乙离A 地的距离（千米）关于x （小时）的函数图象如图所示．则乙在返回途中与甲相遇时离A 地___________千米．【答案】（1）6（2） （3）【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）利用待定系数法求出函数关系式；（3）令，求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．（1）根据“速度路程时间”即可算出甲车的速度；（2）设乙车离地的距离与时间的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式；（3）根据题意得到（千米）关于（小时）的函数解析式为：，关于的函数关系式为：的OG 1y 2y 1y 2y 2y 3y ()2181812y x x =-≤≤72513y y =x =÷A y x 3y x 3936y x =-+1y x，解方程组即可得到结论．【小问1详解】甲的速度千米小时；故答案为：6；【小问2详解】设，把，代入得，，，；【小问3详解】乙出发后半小时后在离A 地9千米处追上甲，此时两人正好到达AB 两地的正中间．所以乙出发后1小时后到达B 地，A 地与B 地之间的路程为18千米，设（千米）关于（小时）的函数解析式为：，把，代入得，，，；设，将代入得：，解得：，关于的函数关系式为：，联立方程组得解，解得，，乙在返回途中与甲相遇时离A 地千米．故答案为：．16y x =961.5==/2y kx b =+(1)0，(1.5,9)01.59k b k b +=⎧⎨+=⎩∴1818k b =⎧⎨=-⎩()2181812y x x ∴=-≤≤ ∴3y x 3y mx n =+(2,18)(4,0)21840m n m n +=⎧⎨+=⎩∴936m n =-⎧⎨=⎩()393624y x x ∴=-+<≤1y tx =(1.5,9)9 1.5t =6t =1y ∴x 16y x =6936y x y x =⎧⎨=-+⎩125725x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴72572522. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：（1）如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由；（2）如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连结、．若，，，则线段的长为____________；（3）如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则的面积为______________．【答案】（1），理由见解析（2（3【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：（1）利用证明，即可得出结论；（2）类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求解即可；（3）以为边，在的左上方作等边，类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求出，过A 作于H ，利用含的直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可．【小问1详解】解：理由：∵，∴，ABC AB AC ABE ACD AE AB =AD AC =BAE CAD ∠=∠BD CE BD CE ABC AB AC ABE ACD 90EAB CAD ∠=∠=︒BD CE 3AB =2BC ==45ABC ∠︒BD ABC 30ABC ∠=︒AC ACD BD 8BD =5BC =ABC BD CE =SAS BAD EAC ≌BAD EAC ≌BD EC =AB AB ABE BAD EAC ≌BD EC =AB BE ==AH BC ⊥30︒AH BD CE=BAE CAD ∠=∠BAD EAC ∠=∠∵，，∴，∴；【小问2详解】解：∵，是等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，又，∴；【小问3详解】解：如图，以为边，在的左上方作等边，∵，是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∵，，AE AB =AD AC =BAD EAC ≌BD EC =ABE ACD AB AE =AC AD ==45ABE ∠︒90EAB CAD ∠=∠=︒BAD EAC ∠=∠BAD EAC ≌BD EC ==45ABE ∠︒=45ABC ∠︒90EBC ∠=︒3AB AE ==90BAE ∠=︒22218BE AB AE =+=2BC =BD CE ===AB AB ABE ABE ACD AB AE =AC AD =60ABE BAE CAD ∠=∠=∠=︒BAD EAC ∠=∠BAD EAC ≌8BD EC ==90ABC ∠=︒60ABE ∠=︒∴，又，∴，过A 作于H ，则，∴，23. 如图，在中，，，．动点P 从点C 出发，沿CA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿BC 以相同的速度向终点C 运动，当点P 到点A 时，点Q 同时停止运动．连结，以、为边作平行四边形．设点P 的运动时间为t 秒．（1）边的长为____________．（2）当点H 落在边上时，求的值．（3）当平行四边形是轴对称图形时，求的值．（4）沿过点Q 且垂直于的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．直接写出所有符合上述条件的值．【答案】（1）（2）（3）或， （4）或【解析】90EBC ∠=︒5BC =AB BE ===AH BC ⊥12AH AB ==152ABC S =⨯= ABC 90BAC ∠=︒3AB =4AC =PQ BQ PQ BQPH ()0t >BC AB AH BHBQPH t BC BQPH t 545259251325195023【分析】（1）在中，根据勾股定理，即可求解，（2）用含的代数式，依次表示出，，，由平行四边形，表示出，当点在边上时，得到，，代入，即可求，根据，依次求出、即可求解，（3）①当平行四边形为矩形时，，，解得：，②当平行四边形为菱形时，作，由，，解得：，则，在，中，根据勾股定理，表示出、，由，代入，即可求解，（4）作， ①当在线段上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，②当在线段延长线上时，由，只有当，时，可以拼成三角形，用含的代数式表示出，，代入，即可求解，本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，解题的关键是：【小问1详解】解：∵，，，在中，，故答案为：，【小问2详解】解：Rt BAC t PC BQ AP BQPH HP H AB AHP ABC ∽AP HP AC BC =t AH HP AB BC=AH BH BQPH ABC QPC △△∽BC PCAC QC =259t =BQPH PD BC ⊥ABC DPC ∽BC PC AC DC =45DC t =22955QD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Rt DPC Rt PQD △PD PQ BQ PQ =QF BC ⊥G BH BQG HFG ∽BQ HF =BQG HFG ≌t BQ HF G BH GHF QPF ∽HF PF =GHF QPF ≌t HF PF 90BAC ∠=︒3AB =4AC =Rt BAC 5BC ===5根据题意得：，，则，∵平行四边形，∴，，当点在边上时，，∴，即：，解得：，则：，∵，即：，解得：，则：，∴，故答案为：，【小问3详解】解：①当平行四边形为矩形时，是轴对称图形，∵是矩形，∴，∴，∴，即：，解得：，②当平行四边形为菱形时，是轴对称图形，过点作，交于点，1PC t t =⋅=1BQ t t =⋅=4AP AC PC t =-=-5QC BC BQ t =-=-BQPH HP BQ t ==HP BC ∥H AB AHP ABC ∽AP HP AC BC =445t t -=259t =209HP t ==AH HP AB BC =20935AH =43AH =45333BH AB AH =-=-=443553AH BH ==45BQPH BQPH 90PQC ∠=︒ABC QPC △△∽BC PC AC QC =545t t=-259t =BQPH P PD BC ⊥BC D∵，∴，∴，即：，解得：，则，或，∴，∴在中，，在中，，∵菱形，∴，∴，解得：（舍）或，故答案为：或，【小问4详解】解：过点作，与直线交于点与直线交于点，①当在线段上时，90PDC ∠=︒ABC DPC ∽BC PC AC DC =54t DC =45DC t =495555QD BC BQ DC t t t =--=--=-495555QD BQ DC BC t t t =--=+-=-22955QD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Rt DPC 35PD t ===Rt PQD △PQ ===BQPH BQ PQ =t =5t =2513t =2592513Q QF BC ⊥HP F BH G G BH∵，∴，只有当，时，可以拼成三角形，∴，，∴，解得：，②当在线段延长线上时，∵，∴，只有当，时，可以拼成三角形，∴，，∴，解得：，故答案为：或．HP BQ ∥BQG HFG ∽BQ HF =BQG HFG ≌BQ t =9145555HF FP HP QD BQ t t t =-=-=--=-1455t t =-2519t =G BH BH QP ∥GHF QPF ∽HF PF =GHF QPF ≌11112222HF HP BQ t t ===⨯=955PF QD t ==-19525t t =-5023t =2519502324. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，抛物线上有两点A 、B （点B 在点A 的右侧），设点A 的横坐标为m ，点B 的横坐标为．（1）______________，____________；（2）过点A 作y 轴的垂线，与抛物线另交于M 点，与y 轴交于N 点．当时，求线段的长；（3）将此抛物线上A 、B 两点之间的部分（包括A 、B 两点）记为图象G ．①当图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大时，设图象G 对应函数值最大值与最小值的差为d ，求d 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，设图象G 在正方形内部（包括边界）的左侧最高点到y 轴的距离为，最低点到x 轴的距离为（最高点和最低点不重合），当时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1），（2）或 （3）①②或或【解析】【分析】（1）直接写出顶点式，即可得出结论；（2）根据作图可知关于对称轴对称，进而得到的横坐标为，分和两种情况，进行讨论求解即可；（3）①根据图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大，得到在对称轴两侧，进而得到最小值为顶点的纵坐标，分和两种情况，进行讨论求解即可；②分和两种情况，分别画出图象，进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线的顶点为，∴抛物线的解析式为：，∴；2y x bx c =++()2,2-32m -b =c =4MN AN =MN ()1,02m 1h 2h 12h h =4-2163MN =165MN =()22144124411m m m d m m m ⎧⎛⎫-+-<<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+≤-⎩112m -≤<12m =-14m =-,A M M 4m -01m <<0m <,A B 432m m -≤-432m m ->-01m <<0m <2y x bx c =++()2,2-()222242y x x x =--=-+4,2b c =-=故答案为：；【小问2详解】∵点A 的横坐标为m ，点B 的横坐标为，且点B 在点A 的右侧，∴，∴，∵，∴对称轴为直线，∵过点A 作y 轴的垂线，与抛物线另交于M 点，与y 轴交于N 点∴关于对称轴对称，∴的横坐标为，当时，，，∵，∴，∴，∴；当时，，，∴，∴，∴；综上：或；4,2-32m -32m m <-1m <()222y x =--2x =,A M M 4m -01m <<AN m =4MN m =-4MN AN =44m m -=45m =165MN =0m <AN m =-4MN m =-44m m -=-43m =-416433MN =+=163MN =165MN =【小问3详解】①∵图象G 对应函数值y 随x 的增大而先减小后增大，∴在对称轴的两侧，∴，∴，∵，，在对称轴的两侧，∴当时，图象上的最小函数值为，由（2）知，点的对称点的横坐标为，∴当时，即：时，图象上最大函数值为，∴；当，即：时，图象上的最大函数值为，∴；∴；②∵以点为中心作正方形，正方形的边与坐标轴垂直，正方形边长为，的,A B 322m ->12m <()222y x =--32m x m ≤≤-,A B 2x =G 2-A 4m -432m m -≤-1m ≤-G ()223222441m m m ---=--224412441d m m m m =--+=-+432m m ->-112m -<<G ()2222244242m m m m m --=-+-=-+2242244d m m m m =-++=-+()22144124411m m m d m m m ⎧⎛⎫-+-<<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+≤-⎩()1,02m∴正方形关于轴对称，正方形平行于轴的边上的点到轴的距离为，∵∴，当时，如图： 则：，，当点在正方形内部时，此时，，∴，解得：；当，图象与正方形的边有交点时如图：x x x m ()222242y x x x =--=-+()()22,42,32,441A m m m B m m m -+---01m <<()()1,,1,D m m E m m ---C y m =A 12,C h m h y m ===12h h =2142m m m m m m ≥-⎧⎨-<-+<⎩112m -≤<0m <G ,DE EF此时：，∴，当时，则：，解得：；当图象交于点时，此时，∴点的纵坐标为，∴，解得：，()()1,,1,D m m E m m +-+121,D c h x m h y m ==+==-12h h =1m m +=-12m =-G DG H ()1,D m m +-H m -242m x x -=-+2x =±∴，∴，为抛物线顶点到轴的距离为2，当，解得：；综上：或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正方形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．2H x =12H h x ==-2h x 12h h =22-=14m =-112m -≤<12m =-14m =-。
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2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2+3＝0C．x﹣＝1D．y＝2x2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．33．（3分）若＝，则的值为（）A．B．C．D．34．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．C．D．＝﹣35．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8 6．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC ＝4，则BE的长为（）A．B．C．12D．207．（3分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC 于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：98．（3分）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝200二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）＝．10．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．11．（3分）如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上．若点A的坐标为（﹣1，1），点B 的坐标为（2，﹣1）；则点C的坐标为．12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为．13．（3分）如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为m．14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：×．16．（6分）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．18．（7分）如图①、图②、图③，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画出线段AB的中点O．（2）在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．19．（7分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2020年该市能够帮助建设保障性住房的户数．20．（7分）如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．21．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明：连结DE、EF．请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【拓展】如图②，设图①中的AE与DF的交点为G，连结CD，分别交AE、EF于点H、K．（1）＝．（2）若四边形FGHK的面积为3，则四边形ADEF的面积为．23．（10分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双40元，售价为每双100元．十•一期间，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少2元，但售价不能低于每双70元．假设某顾客一次性购买的运动鞋超过10双．（1）如果这位顾客一次性购买16双这款运动鞋，那么售价为每双元．（2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数．（3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，求这位顾客一次性购买这款运动鞋的双数．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CB方向运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当点P出发后，连结PQ，将△CPQ沿PQ翻折得到△DPQ，点C的对称点为D．设点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示PD的长．（2）当PD∥AB时，求四边形CPDQ的面积．（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，求PD的长．（4）当△DPQ的某条直角边所在的直线与边AB的夹角等于∠A时，直接写出t的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2+3＝0C．x﹣＝1D．y＝2x【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、是一元一次方程，故此选项不合题意；B、是一元二次方程，故此选项符合题意；C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：B．2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．解：A、＝2，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．3．（3分）若＝，则的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据已知条件得出＝，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．解：∵＝，∴＝，∴＝+1＝+1＝；故选：C．4．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．C．D．＝﹣3【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项错误；C、原式＝＝，所以C选项正确；D、原式＝6+3＝9，所以D选项错误．故选：C．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，故选：D．6．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC ＝4，则BE的长为（）A．B．C．12D．20【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝AG+GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，∴＝，∴CE＝，∴BE＝BC+CE＝4+＝；故选：B．7．（3分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC 于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．8．（3分）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝200【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程并解答；解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）＝10．【分析】利用＝|a|进行化简即可．解：原式＝|﹣10|＝10，故答案为：10．10．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝1+12＝13．所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．11．（3分）如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上．若点A的坐标为（﹣1，1），点B 的坐标为（2，﹣1）；则点C的坐标为（2，2）．【分析】根据点A的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．解：如图，点C的坐标为（2，2）．故答案是：（2，2）．12．（3分）如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为1：3．【分析】直接利用位似图形的性质得出答案．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为：1：3．故答案为：1：3．13．（3分）如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为15m．【分析】根据同一时刻物高和影长成正比列出比例式即可求解．解：根据题意得：，即：，解得：AB＝15，故答案为：15．14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为．【分析】设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．解：∵＝，∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，∵∠C＝90°，∴AD＝＝＝k，∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠CDA＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴＝，∴＝，∴BE＝k，∴＝＝，故答案为．三、解答题（本大题10小题，共78分）15．（6分）计算：×．【分析】根据二次根式的乘除法则运算．解：原式＝﹣﹣2＝4﹣2﹣2＝0．16．（6分）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x＝＝．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若方程的一个根为2，求m的值．（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入原方程，得到关于m的方程，解之即可，（2）根据判别式公式，得到△＞0，即可得到答案．解：（1）根据题意得：22﹣2m﹣2＝0，解得：m＝1，（2）△＝b2﹣4ac＝m2+8，∵无论m取何实数，m2≥0，∴△＞0，∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．18．（7分）如图①、图②、图③，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画出线段AB的中点O．（2）在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．【分析】（1）根据网格即可在图①中画出线段AB的中点O；（2）根据网格，利用相似三角形的性质即可在图②中的线段AB上找到点C，使得＝．（3）根据网格，利用相似三角形的性质即在图③中的线段AB上找到点D，使得＝．解：（1）如图①线段AB的中点O即为所求；（2）如图②线段AB上点C即为所求；（3）如图③线段AB上点D即为所求．19．（7分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．假设这两年每年投入的年平均增长率相同．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2020年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，求2020年该市能够帮助建设保障性住房的户数．【分析】（1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为x，根据该市2017年及2019年投入用于保障性住房建设的资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用能够帮助建设保障性住房的户数＝2020年投入用于保障性住房建设的资金÷3，即可得出结论．解：（1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．（2）7.2亿元＝72000万元，∴72000×（1+20%）÷3＝28800（户）．答：2020年该市能够帮助建设保障性住房28800户．20．（7分）如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【分析】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABD∽△ACE；（2）由相似三角形的性质可得，可求CE＝2，由等腰直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．21．（8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明：连结DE、EF．请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【拓展】如图②，设图①中的AE与DF的交点为G，连结CD，分别交AE、EF于点H、K．（1）＝．（2）若四边形FGHK的面积为3，则四边形ADEF的面积为18．【分析】【教材呈现】证明DE∥AC，且DE＝AC＝AF，即可求解；【拓展】（1）证明△DHG∽△CHE，则＝，即DH＝HC，进而求解；（2）S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK，即2a+S△DHG＝3+a，故S△DHG＝3﹣a，而K是平行四边形DFCE的对角线的交点，故K是EF的中点，同理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S△DGH，则3a＝6﹣a，解得a＝，即可求解．【解答】【教材呈现】证明：连结DE、EF，则DE是△ABC的中位线，故DE∥AC，且DE＝AC＝AF，故四边形DAFE为平行四边形，∴AE、DF互相平分；【拓展】（1）解：同理可得，四边形DFCE为平行四边形，则KD＝KC，DF＝EC＝BE，∵DG＝BE，FG＝EC，∴DG＝FG＝EC，∵DF∥BC，∴△DHG∽△CHE，∴＝，即DH＝HC，设DH＝x，则HC＝2x，CD＝DH+HC＝3x，则CK＝CD＝x，故＝，故答案为；（2）解：设△HKE的面积为a，∵DH＝x，HK＝x，则△DHE的面积为2a，∵G是DF的中点，∴S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK，即2a+S△DHG＝3+a，故S△DHG＝3﹣a，∵K是平行四边形DFCE的对角线的交点，故K是EF的中点，同理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S△DGH，即3a＝6﹣a，解得a＝，故S△EFG＝a+3＝，∵四边形ADEF为平行四边形，故四边形ADEF的面积＝4S△EFG＝18，故答案为18．23．（10分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双40元，售价为每双100元．十•一期间，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少2元，但售价不能低于每双70元．假设某顾客一次性购买的运动鞋超过10双．（1）如果这位顾客一次性购买16双这款运动鞋，那么售价为每双88元．（2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数．（3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，求这位顾客一次性购买这款运动鞋的双数．【分析】（1）根据售价＝原价﹣2×超过10双的数量，即可求出结论；（2）利用数量＝（原价﹣最低售价）÷2+10，即可求出结论；（3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋x双（10＜x＜25），根据该商店销售这款运动鞋的总利润为798元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：（1）100﹣2×（16﹣10）＝88（元）．故答案为：88；（2）（100﹣70）÷2+10＝25（双）．答：这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋25双．（3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋x双．∵798÷30＝26.6（双），26.6不为整数，∴10＜x＜25．依题意，得：x[100﹣2（x﹣10）﹣40]＝798，整理，得：x2﹣40x+399＝0，解得：x1＝19，x2＝21．答：这位顾客一次性购买这款运动鞋19或21双．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CB方向运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当点P出发后，连结PQ，将△CPQ沿PQ翻折得到△DPQ，点C的对称点为D．设点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示PD的长．（2）当PD∥AB时，求四边形CPDQ的面积．（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，求PD的长．（4）当△DPQ的某条直角边所在的直线与边AB的夹角等于∠A时，直接写出t的值．【分析】（1）根据点P的速度和时间t可表示点P的路程AP＝t，可得结论；（2）如图1，延长PD交BC于点E，证明△ACB∽△QDE，得，可得DE＝，再由平行线分线段成比例定理列比例式：，即，解方程可得t＝1，最后由三角形面积可得结论；（3）存在两种情况：①如图2，∠CPD＝∠B，延长PD交BC于点E，证明△ACB∽△EDQ，列比例式可得DE＝t，证明△PCE∽△BCA，列比例式可得t的值，由此计算PD的长；②如图3，∠CQD＝∠B，延长QD交AC于点E，同理可得结论；（4）分两种情况：①如图4，当四边形CPDQ是正方形时，∠QEB＝∠A，根据PC＝CQ列方程可得t的值；②如图5，∠PEA＝∠A时，证明△CPD∽△CAB，列比例式可得t的值．解：（1）由题意得：AP＝t，∵AC＝3，∴PC＝3﹣t，由折叠得：PD＝PC＝3﹣t；（2）如图1，延长PD交BC于点E，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，由题意得：AP＝CQ＝t，∠C＝∠PDQ＝90°，∴DQ＝CQ＝t，∠QDE＝90°，∵PD∥AB，∴PE∥AB，∴∠QED＝∠B，∵∠QDE＝∠C＝90°，∴△ACB∽△QDE，∴，即，∴DE＝，∵PE∥AB，∴，即，解得：t＝1，∴四边形CPDQ的面积＝2S△CPQ＝2×＝PC•CQ＝（3﹣1）×1＝3；（3）当四边形CPDQ的某个内角等于∠B时，存在两种情况：①如图2，∠CPD＝∠B，延长PD交BC于点E，∵∠CPD+∠APD＝∠APD+∠B＝180°，∴∠A+∠BED＝180°，∵∠BED+∠QED＝180°，∴∠A＝∠QED，∵∠QDE＝∠C＝90°，∴△ACB∽△EDQ，∴，即，∴DE＝t，∵∠CED＝∠A，∠C＝∠C，∴△PCE∽△BCA，∴，即＝，解得：t＝，∴PD＝3﹣t＝3﹣＝；②如图3，∠CQD＝∠B，延长QD交AC于点E，∴EQ∥AB，∵PC＝PD＝3﹣t，同理得ED＝，∵EQ∥AB，∴，即＝，解得：t＝，∴PD＝3﹣t＝3﹣＝，综上，PD的长是或；（4）分两种情况：①如图4，当四边形CPDQ是正方形时，∠QEB＝∠A，∴PC＝CQ，∴3﹣t＝t，∴t＝；②如图5，∠PEA＝∠A时，由折叠得：∠CPQ＝∠DPQ，∵2∠CPQ+∠APD＝∠APD+2∠A＝180°，∴∠A＝∠CPQ，∵∠C＝∠C，∴△CPD∽△CAB，∴，即，解得：t＝，综上，t的值为或．。