北师大版高三数学选修4-4教案：2.2圆的参数方程及应用
2.2 圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
3、填空题: x 2 cos (1)参数方程 表示圆心为（2，-2） y 2 sin 2 2 半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 2 y 2 1 ( 2 ) 把圆方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos y 5 sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数 5 ，则点P的坐标是
3
5 5 3 , 2 2
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的 参数方程， 是参数.
思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a) 2 ( y b) 2 r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P ( x1 , y1 )平移得到的, 1 由平移公式, 有 x x1 a y y1 b
y
B
O
A
x
C
3、解：不妨设 ABC 的外接圆的半径为 1，建立 如图的平面直角坐标系 ，时点 B, C关于 x轴对称 x cos 那么外接圆的参数方程 是{ (为参数 ) y sin 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为 (1,0), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 设点 M (cos , sin )则 MA MB MC [(cos 1) 2 sin 2 ]
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 , , 则点Q对应 2 2 2 的参数 等于 3
【北师大版】高中选修4-4数学：第2章《圆的参数方程》学案(含答案)
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程． 2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O 为坐标原点，P 为圆上任意一点)．(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角(P 为圆上任意一点，O 为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r ，它与x 轴负半轴的交点为A (－r,0)，点P (x ，y )是圆周上任意不同于A 的一点，此时，圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k 2r 1＋k2，y ＝2kr1＋k2(k 为参数)．参数k 的几何意义是直线AP 的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角．(2)中心在点C (x 0，y 0)，长轴平行于x 轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C 为圆心，以a 为半径所作圆上一点P 和椭圆中心C 的连线CP 与x 轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (a 为参数)，则该曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin φ，y ＝b cos φ的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数) OP 与x 轴正方向的夹角(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π) x 2＋y 2＝4x 可化为(x－2)2＋y 2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝4，所以圆心到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交． 点(0,0)不在直线3x －4y －9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心． 2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) 根据题意，a ＝2，b ＝3，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．【做一做2－2】26 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝23.∴c ＝322－232＝18－12＝6， ∴焦距为2c ＝2 6.3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)【做一做3】C题型一 圆的参数方程的应用【例1】已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用． 题型二 椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上一个动点，求x ＋y 的最大值．分析：将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题． 题型三 双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.分析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.【例2】解：椭圆方程x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设椭圆上任一点P (3cos θ，sin θ)，则x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]， ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，x ＋y 取最大值2. 【例3】证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1. ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|P F 1|·|PF 2|＝|OP |2.1如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|OP |·|OQ |的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0的距离的最小值)是( )．A ．1B ．2C ．3 3参数方程=4sin ,=5cos x y θθ⎧⎨⎩(θ为参数)表示的曲线为__________．4已知抛物线y 2＝2P x ，过顶点的两条弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．答案：1．D 设M (2cos φ，si n φ)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.2．C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ.设双曲线上一动点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，tan θ，则|M 0M |2＝1cos 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3， 此时有|M 0M |＝ 3.3．椭圆 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ，y ＝5cos θ(θ为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x4，cos θ＝y5(θ为参数)①②①2＋②2，得x 216＋y 225＝1，所以曲线为椭圆．4．分析：用参数方程形式设出A ，B 的坐标，求出以OA ，OB 为直径的圆的方程，再求交点．解：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，设Q (x ，y )，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1，t 2为关于t 的方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)．∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点(0,0))．。
高中数学北师大版选修4-4：2.2圆的参数方程及其应用161+课件
x 6 2 cos 则由中点公式可得： (为参数 ) y 2 sin
∴ ( x －6 ) 2 + y 2 = 4
探究三：已知点P（x，y）是圆x2+y2- 4x- 4y-1=0上
所以:
max 4 3 2 min 4 3 2
2 3 cos 2 3 sin 1 （3）d 2 3 3 2 sin( ) 4 2
63 2 max 所以: 2 min 0
x 2 cos 5 1、 指 出 参 数 方 程 { (为 参 数 )所 y 3 2 sin
检
表示圆的圆心坐标、径 半，并化为普通方程
( x 5) ( y 3) 4
2 2
x r r cos r 2、 圆 { (为 参 数 ， r 0)的 直 径 y r sin 2 是4， 则 圆 心 坐 标 是 __________ （2，1）___
3、 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运 动时，求点M的轨迹的参数方程。
o
r
x
1、圆心在原点的圆的参数方程：
x 2 + y 2 = r2 y
o
r
x
1、圆心在原点的圆的参数方程：
x 2 + y 2 = r2 y
o
r
x
1、圆心在原点的圆的参数方程：
x 2 + y 2 = r2 y
o
r
x
1、圆心在原点的圆的参数方程：
x 2 + y 2 = r2 y
2018年高中数学北师大版选修4-4课件： 圆,椭圆,双曲线的参数方程
2.椭圆的参数方程
【做一做 2-1】
������2 ������2 椭圆 + =1 的参数方程为 9 4
.
解析:根据题意,a=3,b=2, ������ = 3cos������, 所以参数方程为 (φ 为参数). ������ = 2sin������ ������ = 3cos������, 答案: (φ 为参数) ������ = 2sin������
.
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HONGNANJUJIAO
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IANLITOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
3 .双曲线的参数方程 双曲线
������2 ������ 2
− 2 =1(a>0,b>0)的参数方程是
������
(1-������ )r 1+������ 2������������ 1+������
2 2 2
1.圆的参数方程
,
������ =
(k 为参数).
参数 k 的几何意义是直线 AP 的斜率.
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������ = 2cos������, 【做一做 1-1】 直线 3x-4y-9=0 与圆 (θ 为参数)的位置关系 ������ = 2sin������ 是( ). A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析:由圆的参数方程知圆心坐标为(0,0),半径 r=2. 所以圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离 d=
高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.2 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
思维脉络
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1
2
3
1.圆的参数方程
圆的普通方 程
圆的参数方程
参数的几何意义
x2+y2=r2
x = r������������������ y = r������������������
∵0<θ<43π
,
π 3
<θ+π3
<
5π 3
,-1≤cos
������ + π
3
∴0≤x<32.
<
1 2
,
故△ABC 的重心 G 的轨迹方程是圆(x-1)2+y2=1 中 0≤x<32的一段圆
弧.
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=2+sin 2α-cos 2α
=2+
2sin
2������− π
4
.
则当 α=kπ+38π(k∈Z)时,x2+2xy+3y2 取最大值为 2+ 2,当 α=kπ-π8(k∈
Z)时,x2+2xy+3y2 取最小值为 2- 2.
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高中数学选修4-4北师大版 双曲线的参数方程学案
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程.(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题.(难点)[基础²初探]教材整理1 圆的参数方程 1.标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r ，设点P (x ，y )是圆周上任意一点，连结OP ，令OP 与x 轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置.作PM ⊥Ox ，垂足为M ，显然，∠POM ＝α(如图223).则在Rt△POM 中有OM ＝OP cos α，MP ＝OP sin α，图223即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程.参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.2.一般圆的参数方程以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆，普通方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数，a ，b 是常数).填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________.(2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________.(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O (0,0)的距离的最大值是________，最小值是________.【解析】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1. ∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1， 最小值为2－1.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如x －x 02a 2＋y －y 02b 2＝1(a ＞b ＞0)，参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).此时参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数).其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)椭圆参数方程中，参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角.( ) (2)在椭圆上任一点处，离心角和旋转角数值都相等.( ) (3)在双曲线参数方程中，参数φ的范围为[0,2π).( ) 【解析】 (1)√ 椭圆中，参数φ的几何意义就是离心角.(2)³ 在四个顶点处是相同的，在其他任一点处，离心角和旋转角在数值上都不相等. (3)³ 双曲线中，参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.【答案】 (1)√ (2)³ (3)³[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]圆(x －r ＝φ为参数，求圆的参数方程.【精彩点拨】 根据圆的特点，结合参数方程概念求解. 【自主解答】 如图所示，设圆心为O ′，连结O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.1.确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.2.由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程.[再练一题]1.已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【解】 设中点M (x ，y ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程.它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.如图224所示，已知点M 是椭圆a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值.图224【精彩点拨】 本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解.【自主解答】 M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ²y M ＋12OB ²x M ＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab .本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性.[再练一题]2.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴的正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，(O 为原点)，求离心率e 的范围.【导学号：12990024】【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0)，则椭圆上的点P (a cos φ，b sin φ)，A (a,0). ∵OP ⊥PA ，∴b sin φa cos φ²b sin φa cos φ－a＝－1，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0， 解得cos φ＝1(舍去)或cos φ＝b 2a －b .∵－1≤cos φ≤1， ∴－1≤b 2a 2－b 2≤1.又椭圆离心率0＜e ＜1.从而22≤e ＜1.1F 2是两个焦点，证明：|PF 1|²|PF 2|＝|OP |2.图225【精彩点拨】 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明.【自主解答】 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1， 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1， ∴|PF 1|²|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|²|PF 2|＝|OP |2.1.与双曲线上点有关的问题，常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题.2.对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题，常将其化为普通方程后，再求解.[再练一题]3.求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.【证明】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得。
高中数学 第二章 参数方程 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学案 北师大版选修44
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M(x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。
高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第2节 参数方程教学案 理 北师大版-北师大版高三选修4-4
第二节 参数方程[最新考纲] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的 轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，那么直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)D [将直线方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，整理，得t 2－8t ＋12＝0，那么t 1＋t 2＝8，t 1＋t22＝4，故其中点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.]3．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，那么曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，那么a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，假设直线l 过(3,0)，那么3－a ＝0，∴a ＝3.]考点1 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．1.将以下参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1； 当t ≤－1时，－1≤x ＜0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． (3)因为x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝41＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t 21＋t2＝21＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，所以所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．2.如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 那么∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值X 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值X 围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值X 围．考点2 参数方程的应用1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否那么参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值X 围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．(1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.①求C 和l 的直角坐标方程； ②求C 上的点到l 距离的最小值．(2)(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．①求α的取值X 围；②求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)①因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2()1＋t 22＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.②由①可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.(2)①⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，那么l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. ②l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 那么t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.(1)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．[教师备选例题]曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.那么|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.1.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)假设a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)假设C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.考点3 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(1)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.①求C 2与C 3交点的直角坐标；②假设C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．(2)(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .①写出C 的普通方程；②以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)①曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. ②曲线C 1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)， 所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.(2)①消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．②C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[教师备选例题]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值X 围； (2)假设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最小值．[解] (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x 2＝4y . ∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点， ∴x ＋y ＝x ＋14x 2＝14(x ＋2)2－1，∴x ＋y 的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＝4y ，得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0.∴Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16>0，设方程t 2cos 2α－4t sin α－4＝0的两个根为t 1，t 2， 那么t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4cos 2α≥4，当且仅当α＝0时，取等号． 故当α＝0时，|AB |取得最小值4.1.(2019·某某摸底考试)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.假设直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．[解] (1)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos π3·t ，y ＝－5＋sin π3·t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝－5＋32t (t 为参数)，M 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入，得圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋(ρsin θ－4)2＝16，即ρ＝8sin θ.(2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心M 到l 的距离为d ＝||－4－5－32＝9＋32>4， ∴直线l 与圆C 相离．2．(2019·某某第三次大联考)在直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α (t 为参数，0<α<π)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ. (1)当α＝π6时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)点P ()－1，1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定||PA ·||PB 的取值X 围．[解] (1)当α＝π6时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t ，y ＝1＋12t .消去参数t 得x －3y ＋1＋3＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，得ρ2＋()ρsin θ2＝4， 将x 2＋y 2＝ρ2，及y ＝ρsin θ代入得x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1. (2)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0<α<π)，可知直线l是过点P (－1,1)且倾斜角为α的直线，又由(1)知曲线C 为椭圆x 24＋y 22＝1，所以易知点P (－1,1)在椭圆C 内，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 24＋y 22＝1中，整理得 ()1＋sin 2αt 2＋2()2sin α－cos αt －1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1·t 2＝－11＋sin 2α， 所以||PA ·||PB ＝||t 1||t 2＝11＋sin 2α， 因为0<α<π，所以sin 2α∈(]0，1， 所以||PA ·||PB ＝||t 1||t 2＝11＋sin 2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1， 所以||PA ·||PB 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.。
北师大版高中数学选修4-4第2讲：参数方程(教师版)
北师大版高中数学参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线解析：由3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)． 答案：这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线解析：由参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．答案：一个整圆弧例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.解析：由条件知,l 1∥l 2,在l 1中令t=0,则得坐标为(1,1). 由点到直线距离公式得l 1与l 2距离为:5=练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.解析：由l 1消去参数t 得,2,22k k y x =-++斜率为-.2k由l 2消去参数s 得,12y x =-,斜率为-2.∵两直线垂直,(2)()12k ∴-⋅-=-,得k =-1. 答案：-1类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.解析：曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设y k x =,求yx 的取值范围,即求当直线y =kx 与圆有公共点时k 的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得33k -≤≤故填[33-答案：[,]33-练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.解析：y 21cos 22cos ,θθ=+=消去22(02)x y y θ=≤≤得 其图像是一段抛物线弧,如图22-61,1(0,)2F 是它的焦点,l 是准线,d =|PF|,当A ,P ,F 三点共线时,||PA d +最小,其值是||2AF =例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.解析：把cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,化为普通方程为221,x y+=所以点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小1.1.练习1：已知圆C的参数方程为cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是______.解析：由cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y-+=,则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是16=答案：6例5：已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．答案：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1，则可设点M坐标为(secα，tanα)．d1＝|sec α－tan α|2，d2＝|sec α＋tan α|2，d1·d2＝|sec2α－tan2α|2＝12，故d1与d2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝a2⎝ ⎛⎭⎪⎫t＋1t，y＝b2⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．解析：∵t＋1t＝2xa，t－1t＝2yb，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝4x 2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋1t 2－2＝4y 2b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4＝4x 2a 2－4y 2b 2，即x 2a 2－y2b2＝1. 答案：x 2a 2－y2b 2＝1类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.解析：C 1:221cos ,(1)1;sin x x y y θθ=+⎧⇒-+=⎨=⎩则圆心坐标为(1,0).21,2:112x t C y t⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩10.x y ++=由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=2=,所以要求的最短距离为d -1=1.答案：1练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2解析：根据点到直线的距离公式可以得出结果. 答案：B类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.答案：(1)点P 在直线l 上． (2)最小值为 2.练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t ）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？答案：当θ为参数时，将原参数方程记为①， 将参数方程①化为 ⎩⎪⎨⎪⎧2x e t ＋e －t＝cos θ，2y e t－e－t ＝sin θ，平方相加消去θ，得x2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22＋y2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1.②∵(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0， ∴方程②表示的曲线为椭圆． 当t 为参数时，将方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2x cos θ＝e t ＋e －t，2y sin θ＝e t －e －t.平方相减，消去t ，得x 2cos 2θ－y2sin 2θ＝1.③ ∴方程③表示的曲线为双曲线，即C 为双曲线．又在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点为(－1，0)，(1，0)．因此椭圆和双曲线有共同的焦点．类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程:223cos ,3,x y x ρθ=+=可得即2239()24x y -+=,22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩可得23,x y -=所以圆心到直线的距离0,d ==即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.答案：31.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案：C 2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221C.29D ．229答案：B3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t －e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆答案：C 4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为答案：y ＝±13(x －2)5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个． 答案：16．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.答案：(,0)(10,)-∞+∞7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案：168.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.答案：圆的方程可化为22(1)(2)4,x y ++-=其圆心为C (-1,2),半径为2. 由于圆心到直线l 的距离72,5d ==< 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长答案：把直线2,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为y =+把它代入双曲线方程并整理得,2212130,x x -+=设直线交双曲线于1122(,),(,)A x y B x y 两点, 则1212136,,2x x x x +=⋅=则直线被双曲线截得的弦长||AB ==_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2答案：B2．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)答案：A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)答案：C4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.239答案：D6.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.答案：(x －1)2＋y 2＝47.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 答案： 5－ 58.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 答案：2能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)答案：D10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．0答案：A11．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．答案：1412.在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：313.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．解析：圆C 3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离: d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 214.(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案:(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 2.2
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第二讲 参数方程
解析：(1)由 C1 的参数方程yx＝＝21s＋in3αcos α，
得x－3 1＝cos α， 2y＝sin α，
平方消去 α 得曲
即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0.
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第二讲 参数方程
解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－35. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45. ∴P 的坐标为54，－34或－54，34.
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x＝2pt (4)抛物线x2＝－2py(p>0)的参数方程为____y_＝__－__2_p_t2(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．
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第二讲 参数方程
课堂深度拓展
考点一 椭圆参数方程的应用
【例题 1】 已知 A，B 分别是椭圆3x62 ＋y92＝1 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程．
第二讲 参数方程
【变式 2】 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝x 的距离为 2.
解析：设
P
的坐标为co1s
φ，tan
φ，
由 P 到直线 x－y＝0 的距离为
1 2得cos
φ－tan 2
φ ＝
2
即co1s φ－csoins φφ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 柱坐标系和球坐标系》
柱坐标系亳州二中王信一、学习目标1、理解柱坐标系。
并通过实例了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置方法2、体会柱坐标系与空间直角坐标系的区别与联系。
3、了解柱坐标与空间直角坐标的互化关系并进行简单的数学应用。
二、教学重难点重点：在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法，难点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系利用它们进行简单的数学应用三、教学过程（一）情景导入引例1：怎样准确的表示室内灯泡的位置？引例2：欣赏图片思考：如何确定圆柱形物体侧面商标或字的位置呢？试一试：给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，适当建立空间直角坐标系，利用直角坐标描述圆柱侧面点oPρ,θ,ZAθP()531，，因此θ=π3,故点A 的柱坐标为 2,π3,5 .的直角坐标为()21-1-，，,求它的柱坐标解:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ).因为tan θ=yx =1,所以,θ=π4.所以点M 的柱坐标为 2,π4, 2 .正解点M 的为柱坐标为 2,5π4, 2 . 注：已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点在O 平面内的射影所在的象限确定θ的值θ的取值范围是[0,2π类型二：柱坐标化成直角坐标【例2】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:(1) 2,5π6,3 ;(2) 2,π4,5 . 分析：解答本题直接利用公式 x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z计算即可.解：(1)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,5π6,3 , 所以x =ρcos θ=2cos 5π6=- 3,y =ρsin θ=2sin5π6=1,z =3,故(- 3,1,3)为所求.(2)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π4,5 ,所以 x =ρcos θ= 2cos π4=1,y =ρsin θ= 2sin π4=1,z =5,故(1,1,5)为所求.变式训练 将柱坐标点⎪⎭⎫⎝⎛162，，π化为直角坐标:解：设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π6,1 ,所以 x =ρcos θ=2cos π6= 3,y =ρsin θ=2sin π6=1,z =1,即( 3,1,1)为所求.三、作业 教材的柱坐标为⎪⎭⎫⎝⎛142，，π,求点M 关于原点O 对称的点的柱坐标 2、在确定空间物体位置时怎样选取坐标系，使研究过程方便、简捷？ 3、在地理学、天文学中，科学家们在确定航天器或其他星球的准确位置时又该选取什么坐标系更好呢？课后作业：预习下一节：球坐标系！。
高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4-4
参数方程的概念教学目标：（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
（2）分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
（3）能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；重点难点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义教学过程：1.问题提出：已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ，过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦，交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设M(y x ,) ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k ky k k x ，消去k,得41)23(22=+-y x ，因M 与P 1不重合，所以M 点的轨迹方程为41)23(22=+-y x （1≠x ）解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k （直线的斜率），间接地求出了x 与y 的关系式，从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=222112k k y k k x （1）和41)23(22=+-y x （1≠x ）（2）都表示同一个曲线，都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k 是参数，方程（2）是曲线的普通方程. （2）、抽象概括：参数方程的概念。
1、 曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1)并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、 曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程.4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程.3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ， t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式. 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
高中数学 2.1参数方程的概念教案 北师大版选修4-4
选修4-4 第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解：（1）、斜抛运动： 为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
（见课本第27页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：【课本P27页例题】为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4
圆 ， 则 圆 心 (1 ， 3 ) 到 直 线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的 距 离 为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝ 当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等 问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值． 解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)． 设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)， 则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．
高中数学北师大版选修4-4+§2.2圆的参数方程教案
.）随着选取的参数不同，参数方）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
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第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
)(sin cos 为参数θθ
θ⎩⎨
⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。
（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？
3、若如图取<PAX=θ，AP 的斜率为K ，并阅读课本P33页。
结论：4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、【课本P33页例3】已知两条曲线的参数方程
⎩⎨⎧==θθ
sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和⎩⎨⎧+=+=0
0245
sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) 为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨
⎧y x
（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。
学生练习，教师准对问题讲评。
（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值，
（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），
（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ
θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为。
(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ
（ θ + 4
π ）∴ x+y 的最大值为
，最
小值为。
(3)2
|
)4
sin(24|2
|
1sin 2cos 3|π
θθθ++=
-+++=
d
显然当1)4
sin(±=+
π
θ时，d
取最大值，最小值，分别为1+
1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2
+y 2
-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为
最短的直线方程是__________；
3、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。
2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
从中体会参数的意义。
3、利用参数方程求最值。
要求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5
1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线
2、已知)(sin cos 2为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。
3cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩
8．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθ
θ
⎩⎨⎧+==y x。