2020届江西省南昌二中高三高考校测(一)数学(文)试题(解析版)
江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学(文科)试题
江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文科）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
②命题“ ，使得 ”的否定是：“对 ，均有 ”；
③命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件；
④若函数 在 有极值0，则 ， 或 ， .
A．0B．1C．2D．3
9．已知x，y满足区域D： ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 ，焦点为 ，圆 ，过 的直线 与 交于 、 两点（点 在第一象限），且 ，直线 与圆 相切，则 （）
（I）求证： 平面 ；
（II）设 ，求三棱锥 夹在平面 与平面 间的体积.
17．已知点M为椭圆 （ ）上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为 ，且点M与点N关于原点O对称.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点M作椭圆的切线l与圆C： 相交于A，B两点，当 的面积最大时，求直线l的方程.
18．已知函数 ，
A． B． C． D．
12．若函数 在其定义域上有两个零点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、解答题
13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为________.
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
江西省南昌二中2020届高三(6月份)高考数学(理科)校测试题(一)
当a=0时,则 ,其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的．
本题选择C选项.
6．D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量 ， 满足 ，
物理题
数学题
总计
男同学
女同学
总计
（1）在犯错误的概率不超过 的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？
（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为 分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为 分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；
（3）现从选择做物理题的 名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
∴平方得 ，即 ，
A． B． C． D．
12．已知 上的奇函数 满足 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知抛物线 的焦点为 是抛物线上一点，过点 向抛物线 的准线引垂线，垂足为 ，若 为等边三角形，则 ______．
14．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数 ，其中 的各位数字中， ， ，3，4， 出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，则启动一次出现的数字 中恰有两个0的概率为__．
2．D
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位 的运算性质化简，求出 的坐标得答案．
【详解】
，
在复平面内对应点的坐标为 ，
在第四象限．
故选：D．
【点评】
2020届江西省南昌市第二中学高三下学期高考模拟检测(一)数学(文)试题(解析版)
【解析】如图,设 交平面 于 .因为 ,由球的对称性有 底面 .
又 , .故 . ,
因为 ,所以 .
又 .故 .
故 .当且仅当 时取等号.
故选：B
11．已知 , 分别是双曲线 ： 的左,右焦点,动点 在双曲线的左支上,点 为圆 ： 上一动点,则 的最小值为（）
A．7B．8C． D．
【答案】A
第II卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．函数 的图象在 处的切线与直线 互相垂直,则 _____．
【答案】1.
【解析】 函数 的图象在 处的切线与直线 垂直,
函数 的图象在 的切线斜率
本题正确结果：
14．如图在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点, ,若 则 =---------.
此时正六棱柱容器中水的体积为 ,
若将铁球从容器中取出,则水面高度 ,
则水面下降 .故答案为: .
16．在数列 中, , , 是数列 的前 项和,则 为.
【答案】
【解析】：由
得 ,即 ,所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列,所以 ,由 , .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
温度 （单位： ）
21
23
24
27
29
32
死亡数 （单位：株）
6
11
20
27
57
77
经计算： , , , , , , ,其中 , 分别为试验数据中的温度和死亡株数, .
【答案】
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷(文科)(7月份) (解析版)
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷（文科）（7月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．1375．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y2325302616（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以∁R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．3解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．9解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b＝时，等号成立．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，侧面积S侧＝2πr•h，若侧面积是底面积的3倍，即2πr•h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x轴靠近，排除C；故选：D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．3解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f（1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4•a6，即＝a1•（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m ，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x，其中＝，＝x）解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．已知点M为椭圆上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S△NAB＝•2•＝•2|n|＝≤＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a﹣4ln2．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。
精品解析：江西省南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学(文科)试题(解析版)
南昌二中2020届高三线上教学质量检测数学（文）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21|3}A x x =-≥，(){}2lg 6B xy x x ==--∣，则()RA B =（ ）A. (1,3)-B. ∅C. (2,3)D. (2,1)--【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合A ，再求定义域得集合B ，最后根据补集与交集定义得结果. 【详解】{|21|3}{|213A x x x x =-≥=-≥或213}(,1][2,)x -<-=-∞-+∞(){}{}22lg 660(,2)(3,)B x y x x x x x ==--=-->=-∞-+∞∣∣()R(1,2)A B B =-∅==故选：B【点睛】本题考查补集与交集、解含绝对值不等式、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.复数(sin 2cos )(sin 2cos )z iθθθθ=-++是纯虚数，则sin cos =θθ（ ）A. 52-B. 25-C.25D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据z 为纯虚数，求得tan 2θ=，由此求得sin cos θθ.【详解】由于z 是纯虚数，所以sin 2cos 0tan 2sin 2cos 0θθθθθ-=⎧⇒=⎨+≠⎩， 所以2222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1215θθθθθθθθ====+++.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查纯虚数的知识，属于基础题.3.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值m n=A.13B.12C. 2D. 3【答案】A 【解析】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出,m n 的值，然后可得所求． 详解：由题意得，甲组数据为：24,29,30,42m +；乙组数据为：25,20,31,33,42n +． ∴甲、乙两组数据的中位数分别为59,312m+， 且甲、乙两组数的平均数分别为2429(30)4212525(20)313342151,4455m m n nx x 甲乙+++++++++++====． 由题意得5931212515145mm n +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得39m n =⎧⎨=⎩， ∴3193m n ==． 故选A ．点睛：茎叶图的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图和平均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生的数据分析能力和运算能力．4.在等差数列{}n a 中，381327a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则15S =（ ） A. 134 B. 135C. 136D. 137【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得8a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得15S 的值. 【详解】由等差中项的性质可得38138327a a a a ++==，则89a =，因此，()11581581515215159135 22a a aSa+⨯====⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5.已知0a>，0b>，直线1l：(1)10a x y-+-=，2l：210x by++=，且12l l⊥，则21a b+的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由12l l⊥，可求得21a b+=，再由()2121424b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为12l l⊥，所以()11120a b-⨯+⨯=，即21a b+=，因为0a>，0b>，所以()212144222428b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即11,24a b==时等号成立，所以21a b+的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A. 0B.33C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S ＝tan 3π+tan 23π+tan 33π+…+tan 20163π+tan 20173π的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【详解】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S ＝tan3π+tan 23π+tan 33π+…+tan 20163π+tan 20173π的值， 由于tan(31)3k π++tan (32)3k π++tan (33)3k π+＝0，k ∈Z ， 且2017＝3×672+1，所以S ＝（tan 3π+tan 23π+tan 33π）+…+（tan 20143π+tan 20153π+tan 20163π）+ tan 20173π＝0+0+…+0+ tan 20173π＝tan 3π故选：C ．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，也考查正切函数求值的应用问题，属于基础题．7.圆柱的底面半径为r ，侧面积是底面积的4倍.O 是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P ，则使||PO r ≤的概率为（ ） A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆柱的底面半径与高的关系，再根据圆柱体积公式、球体积公式求概率. 【详解】设圆柱的高为h ，因为侧面积是底面积的4倍，所以2242rh r h r ππ=⨯∴=因此||PO r ≤的概率为33224423323πr πrπr h πr r ==⨯ 故选：C【点睛】本题考查几何概型概率、圆柱体积公式与侧面积公式、球体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.下列四个命题中，正确的有（ ）①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对x ∀∈R ，均有210x x ++>”； ③命题“p g ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件；④若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x=-有极值0，则2a =，9b =或1a =，3b =. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，(1)0,(1)0,f f '-=-= 解得a=2,b=9或a=1,b=3,经检验，当a=1,b=3时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥恒成立，此时()f x 没有极值点，故④错误。
2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(文科)(三)(有解析)
2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(文科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−2<2x −1<5}，B ={x ∈N|−1<x <8}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {1,2，3，4}2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份x 2 3 4 5 6 销售额y(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程y ̂=0.75x +a ̂，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( )A. 19.5万元B. 19.25万元C. 19.15万元D. 19.05万元4. 设a =log 30.5，b =log 0.20.3，c =20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a5. 已知a >0，x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤3y ≥a(x −3)，若z =2x +y 的最小值为1，则a 等于( )A. 14B. 12C. 1D. 26. 下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n( )A. 50B. 53C. 59D. 627. 若函数f(x)对一切x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，若f(−3)=a ，用a 表示f(12)= ______ ．A. 1B. 1C. 1D. 18.已知▵ABC中，AB=2，B=π4，C=π6，AD为BC边的中线，P为AD的中点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 0B. 1C. 3D. 49.函数y=lncosx在(−π2,π2)上的图象大致为()A. B.C. D.10.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 111011.已知斜率为3的直线l与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，若点P(6,2)是AB的中点，则双曲线C的离心率等于()A. √2B. √3C. 2D. 2√212.已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)，若不等式f(ax2+ax+1)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A. [0,4)B. (−4,0]C. (0,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(cos60°,sin60°)，b⃗ =(cos15°,sin15°)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.某学校要对如图所示的5个区域进行绿化(种花)，现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有______种不同的种花方法．15.已知体积为3√3的正三棱柱ABC−A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=√3，则此球的表面积等于______ ．16.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，求(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立的实数k的取值范围．18.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2√3，∠DAC=30°，M为PB中点．(1)证明：AM//平面PCD；(2)若三棱锥M−PCD的体积为√3，求M到平面PCD的距离．619.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与不参与总计男大学生30女大学生50总计45100(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；(2)能否有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.设抛物线E：y2=2px(p>0)上的点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|=5x0．4(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)如图，直线l：y=k(x+2)与抛物线E交于A，B两点，点A 关于x轴的对称点是C，求证：直线BC恒过一定点．+klnx,k≠0．21.已知函数f(x)=1x(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)单调区间和极值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有解，求实数k的取值范围．22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，长度单位相同，直线l 的参数方程为：{x =t −1y =t +1(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2√2sin(θ−π4). (Ⅰ)判断曲线C 的形状，简述理由；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于M ，N ，O 是坐标原点，求三角形MON 的面积．23. 已知函数f(x)=|x +1|−2|x −1|．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)求函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的面积S ．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：由题意得A ={x|−12<x <3}，B ={0,1，2，3，4，5，6，7}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z=4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．由题意求出x ，y 代入到回归直线方程，即可求解a ，代入x =7即可结论． 解：由题意，x =2+3+4+5+65=4，y =15.1+16.3+17+17.2+18.45=16.8，将样本中心点代入回归直线方程ŷ=0.75x +a ̂，可得：a ̂=13.8． 当x =7时，可得y =0.75×7+13.8=19.05． 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log 30.5<log 31=0，∴a <0，∵log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=1，∴0<b <1， ∵20.3>20=1，∴c >1， ∴a <b <c ， 故选：A ．5.答案：B解析：解：先根据约束条件画出可行域，如图示： z =2x +y ，将最大值转化为y 轴上的截距的最大值， 当直线z =2x +y 经过点B 时，z 最小， 由{x =12x +y =1得：{x =1y =−1，代入直线y =a(x −3)得，a =12； 故选：B ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z 的最优解，然后确定a 的值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题． 方法一根据正整数n 被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n 的最小值． 方法二按程序框图知n 的初值，代入循环结构求得n 的值． 解：方法一：正整数n 被3除余2，得n =3k +2，k ∈N ；被8除余5，得n =8l +5，l ∈N ； 被7除余4，得n =7m +4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53． 方法二：按此歌诀得算法如图，按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得n =1229−168−168−168−168−168−168−168=53， 即输出n 值为53． 故选B ．7.答案：B解析：解：∵函数f(x)对一切x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，令x =y =0，可得f(0)=0． 再令y =−x ，可得0=f(x)+f(−x)，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数． 由题意可得f(12)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3)=−4f(−3)=−4a ， 故答案为：−4a ．由题意得到函数f(x)为奇函数，从而求得可得f(12)=4f(3)=−4f(−3)的值．本题主要考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求函数的值，属于中档题．8.答案：B解析： 【试题解析】本题考查正弦定理，向量的数量积的应用，考查计算能力．属于基础题．利用正弦定理求得AC 的长，然后利用向量的数量积可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)，求解即可．解：由正弦定理得AC sinB =AB sinC ，∵AB =2，B =π4，C =π6，∴AC =2sinπ4sin π6=2√2，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=1，故选B ． 9.答案：A解析：本题考查函数图象的应用，属于基础题．利研究函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得出结论．解：由所以，所以函数是偶函数，排除B，D，又函数在(0,π2)上单调递减，排除C．故选A．10.答案：A解析：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a3=3，∴1+2d=3，解得d=1，∴a n=1+(n−1)=n，∴1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴数列{1a n a n+1}的前10项和=(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)=1−111=1011．故选：A．11.答案：A解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则代入双曲线方程，相减可得−(x1−x2)(x1+x2)a =(y1−y2)(y1+y2)b，∵点P(6,2)是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴y1−y2x1−x2=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=√2．故选A．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．12.答案：A解析：根据函数的单调性得到ax2+ax+1>0恒成立，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．解：∵f(x)=2+1+x)，∴f(x)的定义域是R，f(x)在R递增，若不等式f(ax2+ax+1)>0=f(0)恒成立，则ax2+ax+1>0恒成立，a=0时，1>0恒成立，a≠0时，只需{a>0Δ=a2−4a<0，解得：0<a<4，综上，a∈[0,4)，故选A．13.答案：√22解析：解：∵a⃗=(cos60°,sin60°)，b⃗ =(cos15°,sin15°)，∴a⃗⋅b⃗ =cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°−15°)=cos45°=√2．2．故答案为：√22根据向量的数量积的坐标运算，以及两角差的余弦公式计算可得．本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及两角差的余弦公式，属于基础题．14.答案：72解析：解：根据题意，分4步进行分析：①，对于区域3，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②，对于区域2，与区域3相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法， ③，对于区域1，与区域3、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法， ④，对于区域5，若其颜色与区域3的相同，区域4有2种颜色可选， 若其颜色与区域3的不同，区域4有1种颜色可选，区域4有1种颜色可选， 则区域4、5共有2+1=3种着色方法； 则一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法； 故答案为：72根据题意，分4步进行分析：依次分析各个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列、组合的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色．15.答案：52π3解析：解：由题意可知：√34⋅3⋅AA 1=3√3，∴AA 1=4正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：√33；所以外接球的半径为：√13+4=√133．所以外接球的表面积为：4π(√133)2=52π3．故答案为：52π3．正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．16.答案：(0,√22)解析： 【试题解析】本题主要考查的是椭圆的离心率的范围的求法，属于基础题． 利用椭圆的几何性质求解，进而即可得结果． 解：设椭圆方程为，焦距为2 c ，设M(x,y)，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以M的轨迹方程为x2+y2=c2，其中F1F2为圆直径，由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部，设P为椭圆上任一点，则OP>c恒成立，而OP≥b，所以b>c，所以c2<b2=a2−c2，所以a2>2c2，所以(ca )2<12，又，所以0<e<√22．17.答案：解：(1)由S n=2a n−2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，所以：a na n−1=2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：a n=2⋅2n−1=2n．(2)已知：b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，由于(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立，所以(n−8)(n+1)2≥k对任意的n∈N∗恒成立．设c n=(n−8)(n+1)2，则当n=3或4时，c n取最小值为−10．所以：k≤−10．解析：(1)首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和及恒成立问题的应用．18.答案：(本小题满分12分)解：取PC的中点为N，连结MN，DN(1)∵M是PB的中点，∴MN//BC,MN=12BC∵AD//BC，且BC=2AD，∴NM//AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM//平面PCD(6分)(2)∵M是PB的中点，∴V三棱锥M−PCD =12V三棱锥B−PCD=√36∵V三棱锥B−PCD=V三棱锥P−BCD=13⋅S△BCD⋅PA=13×12×2√3×1×PA=√33PA=√33所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 又∵PA=1,AD=√3，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则V三棱锥M−PCD =13⋅S△PCD⋅ℎ=13×1×ℎ=√36，∴ℎ=√32，故M到平面PCD的距离为√32(12分)解析：(1)取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD//BC，通过证明NM//AD，推出AM//ND，即可证明AM//平面PCD．(2)利用三棱锥M−PCD的体积为√36，转化求解V B−PCD，设点M到平面PCD的距离为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．19.答案：解：(1)表格如下参与不参与总计男大学生302050女大学生153550总计4555100(2)K2=100×(30×35−15×20)245×55×50×50=10011≈9.09>7.879，所以有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：(Ⅰ)解：∵|MF|=x0+p2=54x0，∴x0=2p.即M(2p,4)．把M(2p,4)代入抛物线方程得4p2=16，解得p=2．∴抛物线Γ的方程为y2=4x．(Ⅱ)证明：由题意，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x1,−y1)(x1≠x2).由直线代入抛物线方程，消y整理得ky2−4y+8k=0，则y1y2=8．直线BC：y+y1=y2+y1x2−x1(x−x1)=4y2−y1(x−x1)，所以y=4y2−y1(x−x1y2y1−y124)−，所以y=4y2−y1(x−2)．∴直线BC恒过定点(2,0)．解析：(Ⅰ)根据抛物线的性质得出x0+p2=54x0，得出M的坐标，代入抛物线方程求出p即可；(Ⅱ)直线方程与抛物线方程联立，求出直线BC方程，即可得出结论．本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=1x+klnx的定义域为(0,+∞)．f′(x)=−1x2+kx．当k=1时，f′(x)=−1x2+1x=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=1，无极大值．f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(Ⅱ)因为关于x的方程f(x)=k有解，令g(x)=f(x)−k，则问题等价于函数g(x)存在零点，所以g′(x)=−1x +kx=kx−1x，令g′(x)=0，得x=1k．当k<0时，g′(x)<0对(0,+∞)成立，函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，而g(1)=1−k>0，g(e1−1k)=1e1−1k+k(1−1k)−k=1e1−1k−1<1e−1<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以g(1k )=k−k+kln1k=−klnk为函数g(x)的最小值，当g(1k)>0时，即0<k<1时，函数g(x)没有零点，当g(1k )≤0时，即k≥1时，注意到g(e)=1e+k−k>0，所以函数g(x)存在零点．综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)=k有解．法二：因为关于x的方程f(x)=k有解，所以问题等价于方程1+kx(lnx−1)=0有解，令g(x)=kx(lnx−1)+1，所以g′(x)=klnx，令g′(x)=0，得x=1当k<0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最大值，而g(1)=k(−1)+1>0．g(e1−1k)=1+ke1−1k(1−1k−1)=1−e1−1k<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最小值，而g(1)=k(−1)+1=1−k．当g(1)=k(−1)+1=1−k>0时，即0<k<1时，函数g(x)不存在零点．当g(1)=k(−1)+1=1−k≤0，即k≥1时，g(e)=ke(lne−1)+1=1>0所以函数g(x)存在零点．综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)=k有解．法三：因为关于x的方程f(x)=k有解，所以问题等价于方程1k=x(1−lnx)有解，设函数g(x)=x(1−lnx)，所以g′(x)=−lnx．令g′(x)=0，得x=1，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最大值，而g(1)=1，又当x>1时，1−lnx<0，所以x(1−lnx)<1−lnx，所以函数g(x)的值域为(−∞,1]，所以当1k∈(−∞,1]时，关于x的方程f(x)=k有解，所以k ∈(−∞,0)∪[1，+∞)．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)令g(x)=f(x)−k ，则问题等价于函数g(x)存在零点，根据函数的单调性解出即可；(法二)问题等价于方程1+kx(lnx −1)=0有解，令g(x)=kx(lnx −1)+1，根据函数的单调性解出即可；(法三)问题等价于方程1k =x(1−lnx)有解，设函数g(x)=x(1−lnx)，根据函数的单调性解出即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)ρ=2√2sin(θ−π4)即为ρ=2√2(√22sinθ−√22cosθ) =2sinθ−2cosθ，即ρ2=2ρsinθ−2ρcosθ，即有x 2+y 2+2x −2y =0，即为(x +1)2+(y −1)2=2， 则曲线C 的形状为以(−1,1)为圆心，√2为半径的圆； (Ⅱ)将直线l 的参数方程为：{x =t −1y =t +1(t 为参数)，代入圆(x +1)2+(y −1)2=2，可得2t 2=2， 解得t =±1，可得M(0,2)，N(−2,0)，则三角形MON 的面积为S =12×2×2=2．解析：(Ⅰ)运用两角差的正弦公式和ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，即可得到曲线C 的普通方程，即可判断形状；(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入圆的普通方程，可得M ，N 的坐标，再由三角形的面积公式计算即可得到．本题考查极坐标方程和普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．23.答案：解：(1)x ≥1时：x +1−2(x −1)≥1，解得：1≤x ≤2，−1<x <1时：x +1+2(x −1)≥1， 解得：23≤x <1，x≤−1时：−(x+1)+2(x−1)≥1，解得：x≥4，不合题意，综上，不等式的解集是[23,2]；(2)f(x)={−x+3,x≥33x−1,−1<x<1x−3,x≤−1，如图示：显然A(1,2)，B(13,0)，C(3,0)，故S△ABC=12×83×2=83．解析：(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)画出函数的图象，从而求出三角形的面积即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，是一道中档题．．。
2020年南昌市二中高三数学(文)5月高考模拟试卷附答案解析
2020年南昌市二中高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或22．若复数2i2a z -=，a R ∈在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ） A ．2B ．2C ．1D ．223．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．10-D ．10 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64B ．32C ．16D ．45．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．126．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．[]1,10x ∈x 4913253109．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．212．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.16. 设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题（共60分） 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c，且sin sin sin a b cC B A+-=-． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．四、选做题（10分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程； （2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.数学文科试卷参考答案一、单选题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2 【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项. 2．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B. 3．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．20-D ．2【答案】A【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <,∴ 1.m =-故选A ． 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．12【答案】C【解析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+. 【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断.【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式[]1,10x ∈x 49132531021,2x x n =+=()221+1=43,3x x x n =++=2187,4x x x n =+=+=87x +8763x +≥7x ≥可得输出的不小于的概率为，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【解析】求出0x ≤时()x f x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围． 【详解】当0x ≤时，()x f x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增；当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-，由0x >时，()()1fx f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y gx k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e =-． 由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．故选：A ． x 631071103-=【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【答案】D 【解析】1cos 3131()sin sin cos 222x f x x x x ωωωω+=+-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+Q , 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω>Q 5012k ∴<≤ ；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612U ，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ）A．4 B．2C ．1 D．【答案】C【解析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C H MH AD C D =，1111HH C HDD C D=，即1MH HH =.再将2PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH⊥平面11CC D D . 因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D =. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C H DD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，MN ≥.所以12PM MN PM MH +≥+≥.即PM 的最小值为1 故选：C 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A1B．12C．32+ D【答案】C【解析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB ，列方程即可求出离心率． 【详解】 如图：由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠，又12F B F B =，所以1221BF F BF F ∠=∠，又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F V V ，所以2212||AF AB F F =⋅，即2(22)||2c a AB c -=⋅，所以22()||c a AB c-=，由角平分线定理知，2112||AF AB BF F F =，则112211||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c---=⋅==-+-，故22230310c ac a e e e -+=⇒-+=⇒=．故选：C ． 二、填空题 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____【答案】90 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a 和5a 的值，并求出1a 和公差d 的值，再利用等差数列前n 项和公式可求出数列{}n a 的前9项之和。
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={12,a 2+4a,a −2}，且−3∈A ，则a =( )A. −1B. −3或−1C. 3D. −32. 复数z =1−2i 1+i+i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 1D. √223. 双曲线x 2m−y 23+m =1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A. 12B. 1或3C. 1+√22D. √2−124. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2+a 3=3，则a 4=( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. −56B. −16C. 16D. 566. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.7.若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是()A. (−1,2)B.C. (−2,1)D.8.已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A. 514B. 914C. 59D. 499.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)10.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π,2π)内有零点，则ω的取值范围是()A. (14,58)∪(54,+∞) B. (0,14]∪[58,1)C. (18,14)∪(58,54) D. (18,14)∪(58,+∞)11.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面B1CD1到平面A1BD的距离是()A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=36，则公差d为______ ．14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为______元．15.如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=√63，AB=6，BD=√6，则ADsin∠BAD=______ ．16.已知函数f(x)=x|x2−3|，若存在实数m，m∈(0,√5]，使得当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围是[0,am]，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC =√3b−csinB−sinA．(1)求角A的大小；(2)若等差数列{a n}的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{4a n a n+1}的前n项和S n．18.某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷)2040506080y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =1，AA 1=2，点D 是侧棱AA 1的中点． (1)证明：DC 1⊥平面BCD ； (2)求三棱锥B 1−BCD 的体积．20. 已知抛物线的方程为y 2=−8x ，设过点N(2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +2ax+1+bx(a ∈R,b ∈R)．(1)当a =0时，若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b =0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f(x)≤a2(x +1)恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ，(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)，分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−2m|−|x|，m∈N∗，且f(x)<4恒成立．(1)解关于x的不等式f(x)>1−3x；(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证：4α+1β≥18．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了元素与集合的关系及元素的性质，属于基础题．由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a，再根据集合中元素的互异性确定a的值即可．解：由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1或−3，当a=−1时，A={12,−3,−3}，不符合元素的互异性，舍去；当a=−3时，A={12,−3,−5}，符合题意，即a=−3．故选D．2.答案：D解析：解：∵z=1−2i1+i +i=(1−2i)⋅(1−i)(1+i)(1−i)+i=−12−32i+i=−12−12i，∴|z|=√22．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的焦点且c=2，可知m+3+m=4，进而得出m的值．解：∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，∴m+3+m=c2=4．。
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=2−i ，z 2=12−i ，则|z 1z 2|=( ) A. 52 B. 5 C. 254 D. 252. 设集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {0}C. {−1,0，1}D. [−1,1]3. 已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则不等式f(x)>2的解集为( ) A. (1,2)⋃(3,+∞)B. (√10,+∞)C. (1,2)⋃(√10,+∞)D. (1,2)5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A. 3B. −3C. 7D. −76. 已知▵ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，sinA =2cos2C ，则角A 等于( )A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 13 B. −2√63 C. √63 D. 2√238. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29. 函数f(x)=e x x 的图象大致为( )A. B. C. D.10. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( ) A. 23 B. 2√33 C. 43 D. 4√3311. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳，19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为(参考数据sin37∘=35)A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米 12. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞)B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=3，则|PF 2|的值为______．16. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6，E 为PD中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC // α，则PM PA =________.四边形EMBN 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足____________.(从①S 10=5(a 10+1))；②a 1,a 2,a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点．(Ⅰ)求证：平面EAC⊥平面PBC；(Ⅱ)若PB=2，求三棱锥P−ACE的体积．20.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x24+y22=1，其左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为(1,0).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求抛物线E的极坐标方程；(Ⅱ)过点A(3,2)倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|=2|AM|，求tanα．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查复数的模，属于基础题．根据复数模的性质可得结果．解：|z 1z 2|=|z 1||z 2|=√22+(−1)2⋅√(12)2+(−1)2=√5×√52=52． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A ={x ∈Z|x 2⩽1}={−1,0,1}，B ={−1,0,1,2}，∴A ∩B ={−1,0，1}，故选C ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解：空间内两条不同的直线a ，b ，若，⇒与b 没有公共点，若“a 与b 没有公共点，不能推出“a // b ”因为a ，b 可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件，故选A ．4.答案：C解析：本题考查分段函数，不等式求解．根据已知函数解析式分段求解f(x)>2即可． 解：函数则不等式f(x)>2即为{2e x−1>2x <2或，解得1<x <2，或x >√10即原不等式的解集为．故选C ． 5.答案：D解析：解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D ．由已知结合函数的对称性可得f(x +2)=f(−x +2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求． 本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．6.答案：B解析：本题考查了正弦定理及二倍角公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由正弦定理可得，sinA =2sinC ，进而利用二倍角公式求出sinC =12，则可得sin A ，结合A 的范围，可得角A 的大小．解：由正弦定理，得a sinA =c sinC ，又a =2c ，则sinA =2sinC ，∵sin A =2cos 2C ，。
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分1236.01. 已知集合A={x|x2-x-2>0}，B={x|0<x<3}，则A∩B 等于（）C.4. 己知角的顶点在坐标原点，始边为A. -B. -5. 已知抛物线y2=8 x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l ，有以下结论：① l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100 名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）2.3.A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2= （）D. （2，3）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b2已知函数，命题，若p 为假命题，则实数 a 的取值范围是D.x 轴非负半轴，终边过点P（2,－1），则cos2 等于（）A. 样本中男生人数少于女生人数C. 样本中 D 层次身高的男生多于女生B. 样本中 B 层次身高人数最多D. 样本中 E 层次身高的女生有3人）10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐 含着一个有趣的数学问题 --“将军饮马”问题， 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， 先到 河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤1，若将军从点 A （ 2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. -1 B. 2 C. 2 D.11. 已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为 1），则该四 棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知双曲线 E ： - =1（ a > 0，b >0）的焦距为 2c ，圆 C 1：（ x-c ）2+y 2=r 2（ r >0）与圆 C 2： x 2+、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0分）与 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则 ?（ ） =14. 已知实 x ，y 满足 ，则 2x+y 的最小值是 _____15. 已知函数 f （x ）对于任意实数 x 都有 f （ -x ） = f （ x ），且当 x ≥0时，f （x ）=e x -sinx ，若实数 a满 足 f （log 2a ）< f （ 1），则 a 的取值范围是 ．8.已知函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（ A >0， 所示，若将 f （ x ）图象上的所有点向左平移 象，则函数 g （ x ）的单调递增区间是（A. [k π- ，k π- ] （k ∈Z ）B. [k π- ， k π ] （ k ∈Z ）C. [k π- ，k π ] （k ∈Z ）D. π， π （ ∈）9. 已知正实数 a ，b ，c 满足 log a 2=2，log 3b= ，c 6= ，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b < cB. a < c < bC. c < b < aD. b < a < cy-m ）2=4r 2（m ∈R ）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（A. B. C.13. 已知平面向量16. 已知平行四边形 ABCD 中， AB=AC ，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为 ______ ．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0分）17. 已知数列 { a n }是公差不为零的等差数列， a 1=1，且存在实数 λ满足 2a n+1=λa n +4， n ∈N +． （ 1）求 λ的值及通项 a n ；（ 2）求数列 { a } 的前 n 项和 S n ．矩形 ABCD 中，AB=3，BC=1，E 、F 是边 DC 的三等分点．现将 △DAE 、△CBF 分别沿 19. 已知椭圆 C ： =1（a >b >0），点 M 是C 长轴上的一个动点， 过点 M 的直线 l 与 C 交于 P ，Q 两点，与 y 轴交于点 N ，弦 PQ 的中点为 R ．当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时， N ， P重合， |PM |=2． （ 1）求椭圆 C 的方程；（2）当 M ，N 均与原点 O 不重合时， 过点 N 且垂直于 OR 的直线 l ′与 x 轴交于点 H ．求证： 为定值．18. 如图，1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG=1，求证： DG ∥平面CBF ；2）求多面体 CDABFE 的体积．20. 某品牌餐饮公司准备在10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额y加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他 5 个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35 万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于 2 个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．21. 已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当时，证明：x3>f（x）．x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos-2θ=0，点P的极坐标是（，参考数据及公式：x i y i=125，=55 ，线性回归方程22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，，以坐标原点为极点，直线l 的参数方程为t 为参数）1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l的距离；2）若直线l 与曲线C交于M，N两点，求△PMN 的面积．23. 已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为 1 ，求的最小值.答案与解析1. 答案： D解析： 解： A={ x|x <-1，或 x >2} ； ∴A ∩B=（ 2， 3）． 故选： D ．可求出集合 A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2. 答案： D解析： 解：因为复数 z=a-bi ， 所以 |z|= ， 故|z|2=a 2+b 2， 故选： D ．根据复数 z=a-bi ，先求出 |z|，然后再求出 |z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对 |z|2 的正确理解．本题属于基础题．3. 答案： C解析： 解：因为 p 为假命题，所以￢ p 为真命题， 即不存在 x 0∈R ，使 f （ x 0） =0 ， 故 △=1-4 a 2< 0， 解得： ， 故选： C ．直接利用命题 p 为假命题，即不存在 x 0∈R ，使 f （x 0）=0，根据这个条件得出实数 a 的取值范围． 本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4. 答案： C解析： 解：由题得点 P 到原点的距离为= ，故选： C ．先求出点 P 到原点的距离为 ，再利用三角函数的坐标定义求出 cos α，再利用二倍角的余弦求 cos2α 的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 计算能力．5. 答案： B解析： 解：因为抛物线 y 2=8x ， 所以抛物线的准线方程为 x=-2， 因为 P 在 y 轴上的投影为点 E ， 所以|PE|即为点 P 到 x=-2的距离减去 2， 因为点 P 在该抛物线上， 故点 P 到 x=-2的距离等于 |PF|，cos 所以cos2α =2co 2s α-1=2所以，|PE|=|PF |-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6. 答案：A解析：解：①，由题意得= ，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得= = = ，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r ，顶角最大，其余弦为=- < 0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7. 答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40 ，女生人数为100-40=60 ，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中 B 层次的比例最大，女生中 B 层次的比例最大，所以样本中 B 层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中 D 层次身高的男生有8人，女生 D 层次的有60×15%=9，所以样本中 D 层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3 人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8. 答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得解得ω=2，将点代入函数f（x）=Asin（2x+φ），即，因为| φ<|，所以φ=，故函数f（x）= Asin（2x+ ），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z ），故当x∈[ ]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9. 答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c 都是正数；∴a<c<b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6< c6< b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c 的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3 的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），解得要使从点 A 到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3 的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD ，在四个侧面中，有∠PBA= ∠PCD = ∠CPB =90°，△PAD 是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r ，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM ⊥C1C2，故Rt△OMC 1∽Rt△C2OC1，于是= ，即，故c= r ，∴a= r ，∴双曲线的离心率e= = = ．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r 的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，| |=2，| |=1，得?（）= =4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2 x+ z，当直线经过点 A 时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4 ．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x 都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sinx，即f′（x）=e x-cosx>0，即f（x）为增函数，则f（log 2a）< f （1），等价为f（|log2a|）< f（1），即|log 2a|< 1，即-1< log 2a< 1，即实数 a 的取值范围是故答案为：，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD 中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2 x，∠BAC =θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB 中，由余弦定理得32=4x2+x2-2?2x?x?cos θ，∴x2= ，∴ = ，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC =2? ?2x?2xsin θ=4x2sin θ=4? ?sin θ当且仅当tan θ=时取“ =”，∴平面四边形ABCD 面积的最大值为 3 ．故答案为： 3 ．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17. 答案：解：（1）设等差数列{ a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ =2代入① 可得：a n+1-a n=2，即d=2 ，又因为a1=1，所以a n=2n-1．2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1 ），所以：，===2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a }的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n 项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18. 答案：证明：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM ⊥AE，且DM= ．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN= ．因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE，CN⊥面ABFE ，所以DM ∥CN，且DM=CN．因为AM=AGcos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG 是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA =45°，而∠FBA=45°，则MG ∥FB，故面DMG ∥面CBF ，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM ∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC 为平行四边形，故DC=MN= =2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．所以V= +3× （）×1= ．解析：（1）分别取AE，BF 的中点M，N，连接DM ，CN，MG，MN，先证明DM ∥CN，再证明面DMG ∥面CBF，即证DG∥面CBF ．（2）连接BE，DF ，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF ．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19. 答案： （1）解： ∵当 M 为 C 的右焦点，且 l 的倾斜角为，又 a 2=b 2+c 2，解得 b=1， c= ，∴椭圆 C 的方程为 ；（ 2）证明：设直线 l ：y=kx+m （k ≠0）， P （x 1，y 1）， Q （ x 2， y 2），将 y=kx+m 代入 得：（ 1+4k 2） x 2+8kmx+4m 2-4=0，∴R （1）根据题意得到关于 a ，b ，c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；2）设直线 l ：y=kx+m （ k ≠0），P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2），联立直线和椭圆的方程得到 R （本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．将 =3， =9 代入，得 a=9-（ -3） =12，故所求线性回归方程为 =-x+12．（ 2）根据题意， m （12-m ）≥35，解得： 5≤m ≤7，又 m ∈Z +，所以 m 的所有可能取值为 5， （3）设其他 5个地区分别为 A ，B ，C ，D ，E ，他们选择结果共有 25 种，具体如下： AA ， AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB EE ， 其中他们在同一个地区的有 5 种，所以他们选取的地区相同的概率 P= 解（1）利用最小二乘法求线性回归方程；，N ，P 重合， |PM |=2．∴直线 l ′的方程为 y=4 kx+m ，点 H 的坐标为（ -，0）， 又∵点 M （ ，0）， ∴为定值．点 H 的坐标为（），再求 为定值．）， 解析： 20.答案： 解（ 1）由题可得，=3， =9，设所求线性回归方程为 = x+a ， 则==-1， ，6，7． AB ，AC ， EC ．ED ，），则 ．2）解不等式 m （12-m ）≥35得一个地区开设加盟店个数 m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力．属中档题．21. 答案： 解：（ 1）f （ x ）的定义域为（ 0，+∞）．由已知， f ′（ x ） = = ，①当 a ≥0时， f ′（ x ）≥0恒成立，此时 f （x ）在（ 0，+∞）．上单调递增；②当 a < 0时，令 f ′（ x ）> 0恒，得 x ，所以 f （ x ）在（ 0， - ）上单调递增，在（ - ）上单调递减．综上所述，当 a ≥0时， f （x ）的单调增区间为（ 0，+∞），无单调递减区间；当 a < 0时， f （x ）的单调递增区间为（ 0，- ），单调递减区间为（ - ）．（ 2）考虑到 x >0 时 x-1≥lnx ，欲证 x 3>ln x+ ，只要证明-1，令 g （x ）= ， x >0， 则 g ′（ x ）= ，令则 g ′（ x ）=0，可得 x 0= ， 且当 x ∈（0，x 0）时 g ′（x ）<0，当 x ∈（x 0，+∞）时 g ′（ x ）>0， 所以 g （ x ）在∈（0，x 0）上单调递减，在 x ∈（x 0，+∞）上单调递增，因为 ，所以 ，所以 g （x ） ≥g （ x 0）> 0，即 x 3>（ x-1）+ 只恒成立，所以 x 3>ln x+ 恒成立，即 x 3>f （x ）解析： （1）对 a 分 a ≥0和 a < 0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x >0 时，x-1≥lnx ，欲证： x 3> ln x+ 只需证明-1，再构造函数 g （x ）= ，x >0，利用导数求函数的最小值 g （ x 0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 22.答案： 解（ 1）由 消去 t ，得到 y= ，则 ρ sin θ=ρ cos ，θ ∴θ=，所以直线 l 的极坐标方程为 θ=（ ρ∈R ）．所以 g （ x ） ≥g（ x ）点P（，）到直线l 的距离为d= ×sin （- ）（2）由，得，ρ2-ρ-2=0 所以ρ1+ρ2=1 ，ρ1ρ2=-2所以，|MN |=| 1ρ-ρ2|= =3则△PMN 的面积为．S△PMN= |MN| ×d= ×= ．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN 的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23. 答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b| ≤（|x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b= 时取“ =”，所以a2+4b2的最小值为解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。
【精品卷】2020年江西省南昌二中高三(6月份)高考数学校测试题(有答案解析)
2020年江西省南昌二中高三（6月份）高考数学校测试题一、单选题1．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x （小时）、货船距石塘的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为A ．6πB ．3π C ．4π D ．2π 3．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则A B =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1 C ．[]1,2D ．()3,2-4．已知关于,x y 的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．05．若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．2π B ．23π C ．2πD ．π7．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 BC D 8．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，则图中阴影部分BC 1M 在平面BCC 1B 1上的正投影是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ）A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>10．已知直线34y x =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 111．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∀∈都有()()12f t f t +=，且(]x 0,4∈时，()()´f x fx x>，则()2016f 、()42017f 、()22018f 的大小关系是（ ）A ．()()()42017220182016f f f <<B ．()()()42017220182016f f f >>C ．()()()22018201642017f f f <<D ．()()()22018201642017f f f >>12．已知正项等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且（3n ﹣1）2S n 2﹣n （3n ﹣1）S n T n ﹣2n 2T n 2＝0对任意的n ∈N *恒成立，则5282a b b +＝（ ）A ．49B ．1011 C ．8188D ．913二、填空题13．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点(,)3b π，则b =____.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 2=1（a >0）经过抛物线y 2=8x 的焦点，则该双曲线的离心率是____．15．在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为___________. 16．已知数列{}n a 的通项公式是12n na ，数列{}nb 的通项公式是31n b n =-，集合{}{}1212,,...,,,,...,,n n A a a a B b b b n N *==∈,将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ，则数列{}n c 的前45项和45S =_______．三、解答题17．为了落实习总书记在改革开放40周年庆祝大会上的讲话精神，实现“更高质量、更有效率”的可持续发展，继续深化改革，某工业基地对在生产同一产品的甲、乙两个厂区，选择了乙厂区进行改革试点，一段时间后，工业基地为了检查甲、乙两个厂区的生产情况，随机地从这两厂区生产的大量产品中各抽取100件作为样本，得到关于产品质量指标值的频数分布表（已知合格产品的质量指标值应在区间 2.552.70]（，内，否则为不合格产品）：（1）将频率视为概率，由表中的数据分析，若在某个时间段内甲、乙两个厂区均生产了2000件产品，则在此时间段内甲、乙两个厂区生产出的不合格产品分别为多少件？（2）根据样本数据写出下面22⨯列联表中a b c d ,,,的值，判断是否有85%的把握认为“该工业基地的产品质量与改革有关”，并说明理由.18．已知函数()2πsin ()sin [sin π)]2f x x x x x ωωωω=+-⋅-+（其中0ω>）的最小周期为2π.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x m +=在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，求实数m 的取值范围. 19．解下列不等式：（1）(1)(2)(3)0x x x x -+->; （2）()()2223210x x x x ---+<；（3）22320560x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩；（4）333x x -+（5）1121lg 1lg x x+>+-；（6）|2||3|5x x -++>； （7）5|23|11x x <++≤； （8）12230x x -+-<.20．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =Q 方程(()2211x y +-=，且圆心Q 在椭圆上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知直线1:1l y =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过直线1l 上一动点P 作与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为弦CD 中点，MAB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形．（1）证明：A 1C 1//平面ACD 1；（2）求异面直线CD 与AD 1所成角的大小； （3）已知三棱锥D 1﹣ACD 的体积为23，求AA 1的长． 22．已知函数()ln (1)1()f x x a x a a R =+-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：当1a =时，()0xe f x ->.23．在极坐标系中，直线:cos 3l ρθ=，P 为直线l 上一点，且点P 在极轴上方以OP 为一边作正三角形OPQ （逆时针方向），且OPQ △面积为（1）求点Q 的极坐标；（2）写出OPQ △外接圆的圆心C 的极坐标，并求OPQ △外接圆与极轴的相交弦长.参考答案1．A由题意可以得出各段过程中y 随x 变化而变化的趋势，即可得答案.由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y 随x 增大而增大；停留一段时间内，y 随x 增大而不变；解除故障到河口这段时间，y 随x 增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y 随x 增大而减少. 故选A本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题. 2．C根据条件求出a b ⋅，然后再根据数量积的定义求解可得两向量的夹角． ∵25a b -=， ∴()2222445a ba ab b -=-⋅+=，又1,2a b ==， ∴14425a b -⋅+⨯=， ∴1a b ⋅=．设向量,a b 的夹角为θ，则2cos θ||a b a b ⋅==⋅， 又0θπ≤≤， ∴θ 4π=．故选C ．求两向量的夹角时应先求出两向量的数量积，然后再根据公式求解，但在解题中要注意两向量夹角的取值范围，否则出现错误． 3．B解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得AB .由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.。
2020-2021学年江西省南昌二中、九江一中等高三(下)学期第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2020-2021学年江西省南昌二中、九江一中等高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，3）2．若z＝1﹣2i+i2021，则|z|＝（）A．0B．1C．D．23．设{a n}是等差数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．5B．6C．16D．324．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A．B．C．D．5．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40，60）之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．可求得a＝0.0056．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，过点P（6，4）向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（）7．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值是B．f（x）在上是递增的C．D．f（x）向右平移后为奇函数8．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A．87B．89C．91D．9310．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）A．21尺B．25尺C．29尺D．33尺11．已知椭圆C1与双曲线C2的焦点相同，离心率分别为e1，e2，且满足，F1，F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2＝120°，则双曲线C2的离心率为（）12．菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E﹣ABD的体积最大时，四面体E﹣ABD的外接球的面积为（）A．20πB．40πC．60πD．80π二、填空题（共4小题）.13．若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．14．单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3＝14，a1a2a3＝64，令b n＝log2a n，则的前10项和为．15．在△ABC中，O为中线AM上的中点，若AM＝2，则等于．16．已知f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，其中e是自然对数的底数，若f（lna）+f（a+1）＜0，则实数a的取值范围是．三、解答题：第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．高三学生小明这段时间比较焦虑，下表记录了小明高三阶段前5次模拟考试的数学成绩：第x次考试12345数学成绩y110115*********（1）由散点图可以推断小明的数学成绩y与第x次考试线性相关，请预测小明在第6次考试（高考）的数学成绩大约为多少分？（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解；第一种方法需要3个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.9，第二种方法需要2个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.85，若以最终解题正确的概率高低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？参考公式：b＝＝，a＝﹣b．18．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2．（1）若，求∠B；（2）若B＝2A，求b的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD与平面PDC均与底面ABCD垂直，E为BC的中点，若BC＝，PE＝3．（1）求证：面PAE⊥面PDB；（2）求点C与平面PAE的距离．20．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若f（x）有2个极值点，求实数a的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点B在直线y＝﹣1上，点M满足，．点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得△DPE 是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明△DPE的个数；若不存在，说明理由．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣3ρsinθ﹣12＝0．（1）当k＝2时，求出C1的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当k＝1时，P是曲线C1上一点，Q是曲线C2上一点，求PQ的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＜4的解集；（2）记f（x）的最小值为M，a，b，c为正实数且a+b+c＝3M，求证：．参考答案一、选择题：共12小题，共60分．1．已知集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，3）解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（0，2）．故选：B．2．若z＝1﹣2i+i2021，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2解：因为z＝1﹣2i+i2021＝1﹣2i+i＝1﹣i，所以|z|＝＝．故选：C．3．设{a n}是等差数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．5B．6C．16D．32解：{a n}是等差数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，∴a2+a3+a4＝（a1+a2+a3）+3d＝1+3d＝2，解得d＝，∴a6+a7+a8＝（a1+a2+a3）+15d＝1+15×＝6．故选：B．4．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（）A．B．C．D．解：有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，基本事件总数n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件个数m＝＝9．∴至少有1名女生的概率为P＝＝．故选：D．5．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40，60）之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．可求得a＝0.005解：由频率分布直方图得：对于A，得分在[40，60）之间有：100×[1﹣（0.030+0.020+0.010）×10]＝40人，故A 正确；对于B，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80）的概率为：（0.030+0.020）×10＝0.5，故B正确；对于D，（a+0.035+0.030+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.005，故D正确；对于C，[40，60）的频率为（0.005+0.035）×10＝0.4，[60，70）的频率为0.030×10＝0.3，∴这100名参赛者得分的中位数为：60+≈63.3，故C错误．故选：C．6．已知圆C：x2+y2﹣6x＝0，过点P（6，4）向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．解：因为圆C：x2+y2﹣6x＝0，所以（x﹣3）2+y2＝9，所以圆心为C（3，0），半径为R＝3，又点P（6，4），所以点P到圆心的距离为＝4，所以切线与直线PC的夹角的正弦值为，所以两切线的夹角的余弦值为1﹣2×（）2＝，故选：A．7．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值是B．f（x）在上是递增的C．D．f（x）向右平移后为奇函数解：∵函数＝2sin（2x﹣），故f（x）的最大值是2，故A 错误；当x∈（0，），2x∈（0，π），f（x）没有单调性，故B错误；∵f（+x）＝2sin（+2x﹣）＝2cos2x，f（﹣x）＝2sin（﹣2x﹣）＝2cos2x，故C正确；把f（x）的图象向右平移后为，得到的图象对应函数为y＝2sin（2x﹣﹣）＝2sin（2x﹣），是非奇非偶函数，故D错误，故选：C．8．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵，，∴a＞c，∵，ln＜0，∴c＞b，∴a＞c＞b，故选：A．9．执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A．87B．89C．91D．93解：由已知中的程序语句可知S的值等于正奇数数列1，3，5…的前k项和，其中k＝，k∈N*，当前k项和大于2021时退出循环，则S＝1+3+5+…+（2k﹣1）＝＝k2，当k＝44时，S＝1936，当k＝45时，S＝2025，退出循环，则输出的n的值为2×45﹣1＝89．故选：B．10．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）A．21尺B．25尺C．29尺D．33尺解：树可以近似的看成圆柱，如图所示，圆柱的侧面展图是矩形ABEF，由题意得，AB＝20尺，圆周长BE＝3尺，则葛藤绕圆柱7周后长为BD＝＝＝29尺．故选：C．11．已知椭圆C1与双曲线C2的焦点相同，离心率分别为e1，e2，且满足，F1，F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若∠F1PF2＝120°，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．2D．解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在x轴上，设椭圆的方程+＝1，双曲线的方程为：﹣＝1，由题意可得a22+b22＝a12﹣b12＝c2，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理cos∠F1PF2＝＝﹣，在双曲线中，r1﹣r2＝2a2，椭圆中，r1+r2＝2a1，所以⇒⇒4（a12﹣c2）＝（c2﹣a22），可得3a12+a22＝4c2，因为足，F1，所以＝5•，可得a12＝5a22，所以3×5a22+a22＝4c2，所以e2＝＝＝2，故选：C．12．菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°，将△CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E﹣ABD的体积最大时，四面体E﹣ABD的外接球的面积为（）A．20πB．40πC．60πD．80π解：当平面EBD⊥平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值，所以此时四面体E﹣ABD的体积最大．设三角形ABD的外接圆的圆心为O1，半径r＝＝＝2，设四面体E﹣ABD的外接球的球心为O，三角形EBD的外接圆的圆心为O2，可得OO1＝r﹣＝2﹣1＝1，所以R2＝r2+OO12＝4+1＝5，则四面体E﹣ABD的外接球的面积为S＝4πR2＝4π×5＝20π，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为﹣1．解：由约束条件作出可行域如图，由图可得A（0，﹣1），化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．14．单调递增的等比数列{a n}满足a1+a2+a3＝14，a1a2a3＝64，令b n＝log2a n，则的前10项和为．解：设单调递增的等比数列{a n}公比为q，∵a1+a2+a3＝14，a1a2a3＝64，∴+a2+a2q＝14，＝64，解得a2＝4，q＝2或，∵等比数列{a n}是单调递增，∴q＝2．∴a n＝a2×2n﹣2＝2n．∴b n＝log2a n＝n．∴＝＝﹣．则的前10项和＝1﹣+﹣+……+﹣＝1﹣＝．故答案为：．15．在△ABC中，O为中线AM上的中点，若AM＝2，则等于﹣2．解：由题意画出草图：由于点M为△ABC中边BC的中点，∴＝2，∴＝2＝﹣2||•||．∵O为中线AM上的中点，即A、O、M三点共线，AM＝2，∴＝﹣2||•||＝﹣2×1×1＝﹣2．故答案为：﹣2．16．已知f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，其中e是自然对数的底数，若f（lna）+f（a+1）＜0，则实数a的取值范围是（0，1）．解：f（x）＝（x﹣1）3﹣2x+2+e x﹣1﹣e1﹣x，则f′（x）＝3（x﹣1）2﹣2+e x﹣1+e1﹣x，f″（x）＝6（x﹣1）+e x﹣1﹣e1﹣x，f″′（x）＝6+e x﹣1+e1﹣x，∵e x﹣1＞0，e1﹣x＞0，∴f″′（x）＞0，f″（x）单调递增，而f″（1）＝0，故x＞1时，f″（x）＞0，x＜1时，f″（x）＜0，故f′（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，故f′（x）≥f′（1）＝0，故f（x）在R上单调递增，若f（lna）+f（a+1）＜0，则f（lna）＜﹣f（a+1），由﹣f（a+1）＝f（﹣a+1），得：f（lna）＜f（﹣a+1），故lna＜﹣a+1，即lna+a﹣1＜0，（a＞0），令h（a）＝lna+a﹣1（a＞0），则h′（a）＝+1＞0，故h（a）在（0，+∞）单调递增，a＝1时，h（a）＝0，故0＜a＜1时，h（a）＜0，a＞1时，h（a）＞0，故lna+a﹣1＜0的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．高三学生小明这段时间比较焦虑，下表记录了小明高三阶段前5次模拟考试的数学成绩：第x次考试12345数学成绩y110115*********（1）由散点图可以推断小明的数学成绩y与第x次考试线性相关，请预测小明在第6次考试（高考）的数学成绩大约为多少分？（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解；第一种方法需要3个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.9，第二种方法需要2个独立步骤：每个步骤解题正确的概率为0.85，若以最终解题正确的概率高低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？参考公式：b＝＝，a＝﹣b．解：（1）＝＝3，＝＝120，＝，＝120﹣7×3＝99，则线性回归方程为y＝7x+99．当x＝6时，y＝7×6+99＝141，预测第6次的数学成绩约为141分．（2）p1＝0.9×0.9×0.9＝0.729，p2＝0.85×0.85＝0.7225，因为p2＜p1，所以选择第一种方法．18．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2．（1）若，求∠B；（2）若B＝2A，求b的取值范围．解：（1）依题意得，bc cos A＝2，可得，，由余弦定理得4＝b2+c2﹣2bc cos A，得b2+c2＝8，而bc＝4，解得b＝c＝2，故△ABC为等边三角形，．（2）依题意，由正弦定理得，则b＝4cos A，由于是锐角三角形，则，得，可得cos A∈（，），可得b＝4cos A∈，则b的取值范围为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD与平面PDC均与底面ABCD垂直，E为BC的中点，若BC＝，PE＝3．（1）求证：面PAE⊥面PDB；（2）求点C与平面PAE的距离．【解答】（1）证明：平面PAD⊥底面ABCD，平面PDC⊥底面ABCD，则交线PD⊥底面ABCD，则PD⊥AE，底面ABCD为矩形，，则，∠BAE＝∠DBC，则BD⊥AE，BD⊂面PBD，PD⊂面PBD，PD∩BD＝D，则AE⊥面PBD，AE⊂面PAE，则面PAE⊥面PDB；（2）解：设C点到面PAE的距离为d，由，CD＝2，故，又PE＝3，则，，记AE与BD的交为M，则PM为△PAE的高，，，则，V C﹣PAE＝＝．因为V P﹣AEC＝V C﹣PAE，，求得．20．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若f（x）有2个极值点，求实数a的取值范围．解：（1）依题意得，，，，k＝f'（1）＝0，则切线方程为．（2）f（x）有2个极值点，则有2个零点（且左右异号），则在x＞0上有2解，令，x＞0，则，可知F'（x）在x＞0上单调递增，F'（1）＝0，则当x＞1时，F'（x）＞0，当0＜x＜1时，F'（x）＜0，故F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故最小值为F（1）＝1，则a＞1．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点B在直线y＝﹣1上，点M满足，．点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得△DPE 是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明△DPE的个数；若不存在，说明理由．解：（1）∵，∴，即，则，即M到A点的距离等于M到直线y＝﹣1的距离，故M是以A为焦点，以直线y＝﹣1为准线的抛物线，方程为x2＝4y；（2）由已知可知P（2，1），设D（x1，y1），E（x2，y2），由图可知，当直线PD的斜率不存在或垂直为0时，满足条件的△DPE不存在；当直线PD的斜率存在且不为0时，设直线PD的斜率为k，则直线PE的斜率为，则l PD：y﹣1＝k（x﹣2），联立抛物线方程x2＝4y，消y可得x2﹣4kx+8k﹣4＝0，则有x1＝4k﹣2，，同理可得，，由|PD|＝|PE|，可得，整理得，即，则有①，或②，将后，①即为②，故只需分析①即可．对于①，即k3﹣k2﹣k﹣1＝0，令f（k）＝k3﹣k2﹣k﹣1，f′（k）＝3k2﹣2k﹣1＝（3k+1）（k﹣1），当k＞1或时，f′（k）＞0，当时，f′（k）＜0，故f（k）的极大值为，极小值为f（1）＝13﹣12﹣1﹣1＝﹣3＜0，故f（k）＝k3﹣k2﹣k﹣1只有1个零点．综上，有1个△PDE，是以P为直角顶点的等腰直角三角形．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣3ρsinθ﹣12＝0．（1）当k＝2时，求出C1的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当k＝1时，P是曲线C1上一点，Q是曲线C2上一点，求PQ的最小值．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），当k＝2时，消t得x+2y＝2，（x≥0，y≥0），该曲线是以A（2，0），B（0，1）为端点的线段．（2）当k＝1时，曲线C1的的普通方程为椭圆：；曲线C2的的普通方程为直线：2x﹣3y﹣12＝0；可知直线与椭圆相离，则PQ的最小值为P到直线的距离最小值．则，当sin（t﹣φ）＝1时，有最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＜4的解集；（2）记f（x）的最小值为M，a，b，c为正实数且a+b+c＝3M，求证：．【解答】（1）解：依题意得f（x）＝，由f（x）＜4，可得，或，或，解得；（2）证明：由f（x）＝，可知f（x）的最小值为2．因为a+b+c＝6，则有，，，相加可得，，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
2020年江西南昌高三一模数学试卷(文科)
2020年江西南昌高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.己知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）．A. B. C. D.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）．A. B. C. D.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则，满足的关系式为（ ）．A.B.C.D.5.已知是等差数列，且，，则这个数列的前项和等于（ ）．A.B.C.D.6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.年至年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）．年份排放量A.二氧化硫排放量逐年下降B.年二氧化硫减排效果最为显著C.年至年二氧化硫减排量比年至年二氧化硫减排量的总和大D.年二氧化硫减排量比年二氧化硫减排量有所增加8.已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.函数的图象大致是（ ）．，A.B.C.D.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，则该正方形的边长为（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）．A.在点的运动过程中，存在B.在点的运动过程中，不存在C.四面体的体积为定值D.四面体的体积不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且在方向上的投影为，则等于 ．14.已知函数，则．15.己知， 则．16.如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则 ，.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，是在边上的一点，面积是面积的倍，．若，求的值．若，，求边的长．（1）18.如图，三棱柱中，是棱长为的正四面体．求证：．（2）求三棱锥的体积．（1）（2）19.某市年至年新能源汽车（单位：百台）的数据如下表：年份年份代号新能源汽车求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车台数．该市某公司计划投资台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为元，元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．（，）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）（2）20.已知函数，，（）．当时，求的极值．证明：函数有且只有一个零点．（1）12（2）21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，，它们的长短半轴长分别为，和，，若满足，，则称为的级相似椭圆，己知椭圆，为的级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为．求的方程．已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为、．证明：在处的切线方程为．是否存在一定点到直线的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）【答案】解析:由题可知：，，当时，则，符合当时，则，不符合当时，则，符合所以．故选．解析:∵，∴，∴，，设旋转后复数对应点，∴，，∴对应的复数为．故选．（1）（2）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为，（为参数）．求曲线和的极坐标方程．设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值．（1）（2）23.已知，，．求的最小值．证明：．B1.D2.解析:作出正三棱柱的图形，如图所示，则由正三棱柱的正视图可知，，，所以正三棱柱的侧面积为：．故选．解析:由题意可得，，，，∴观察得，故选项．解析:由题可知：数列是等差数列且，，则，又，，所以，B 3.D 4.B 5.由，且，所以．故选．解析:由题可知：，设，由点的纵坐标，则其横坐标，由，所以，可知是的充分条件，若，则，则或，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．故选．解析:由图表可知，以下结论，对于项，二氧化硫排放量逐年下降，故正确；对于项，年减排量为，减排效果最显著，故项正确；对于项，至年二氧化硫减排量为大于年至年二氧化硫减排量为，故项正确；对于项，年二氧化硫减排量，小于年二氧化硫减排量，故项错误；由题意可知，选项．解析:∵过原点作斜率为的直线交的右支于点，∴的直线方程为，A 6.D 7.B 8.设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又点在双曲线上，∴，又，∴化简可得，∴，∴，∴或（舍），∴．故选：．解析:∵，∴，，故排除，，∵，，∴，故排除．故选．解析:由题可知：，所以，由，A 9.，，D 10.则，，，，所以，则，所以．故选：．解析:由已知得，由在方向上的投影为，得，则．故答案为：．解析:由题可知：函数的定义域为，由，可知，∴是偶函数，且，又∵，则有．故答案为：．B 11.C 12.13.14.（1）（2）解析:，即．故答案为：．解析:设第个圆心为，半径为，且与的切点为，则直线的斜率为，所以①，又②，由①②可知：③，所以当时，则，又④，由③-④可知：，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：，．解析:，所以，所以．，所以，15. ;16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）所以，，所以，所以边．解析:如图，取的中点，连接交于点，则点为的重心，连接，设交于点．依题意点在底面的投影为的重心，即平面，所以，因为是正三角形，所，则 平面，则，所以．由是棱长为的正四面体，所，，，因为，，得，所以．解析:依题意知，，，，（1）证明见解析．（2）．18.（1）关于的线性回归方程，预测年该市新能源汽车大约有台．（2）当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．19.（2）（1）（2），，则关于的线性回归方程，令得：，故预测年该市新能源汽车大约有台．设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，每天的利润为元，则，即，，所以当时，取最大值．故当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．解析:，，则在递增，在递减，在上递增，所以，．，①当时，，只有一个零点，符合题意．②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，令，（），显然单调递减，有，即，则只有一个零点，符合题意．（1），．（2）证明见解析．20.极大值极小值极大值极小值（1）12（2）③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，（），由②构造函数知，，则只有一个零点，符合题意．综上所述，时，函数有且只有一个零点．解析:由题意知，，，则，，而，解得，，故椭圆，椭圆．联立椭圆与直线方程，，点在椭圆上，有，所以，即直线与椭圆相切，所以过点的切线方程为．由①知，过点的切线方程为，设，则，即，两条切线都经过点，则满足方程组，那么点和点都在直线上，（1）．12（2）证明见解析．存在一定点到直线的距离为定值．21.（1）（2）（1）（2）则直线的方程为，即，假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，则，，故存在一定点到直线的距离为定值．解析:曲线的极坐标方程为，的极坐标方程为．令，则，，则，即，∴，，故．解析:，当且仅当，即，时，的最小值为．要证明，（1），．（2）．22.（1）．（2）证明见解析．23.由，，也即证．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．。
江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(一)数学(文)试题含答案
南昌二中2020届高三校测（一)文科数学试卷命 题：高三数学备课组第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合}10|{≤<∈=x R x A ，B={—1,0,1}，则=⋂B A C U)(A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1} 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-=A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4- 3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为A ．32B ．2C ．52D ．35．已知数列}{na 为等比数列，nS 是它的前n 项和，若2312aa a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S=A ．35B ．33C ．31D ．29 6．已知向量(3,0)a =，(,2)b x =-，且(2)a a b ⊥-,则a b =A ．23-B ．23C ．32-D ．327．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法,则输出n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．358．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60, 另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>9．下列图象可以作为函数()2xf x xa=+的图象的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知P ，A ，B ,C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===,90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是A 3B ．1C ．12D 311．已知1F ，2F 分别是双曲线C :22143x y -=的左，右焦点,动点A 在双曲线的左支上，点B为圆E ：()2231x y ++=上一动点,则2AB AF +的最小值为A ．7B ．8C ．63D ．23312．若函数()()1,{21,x x e x af x x x a -+⋅≤=-->有最大值,则实数a 的取值范围是A ．211,22e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭B ．21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)2-+∞ D ．2112,22e ⎛⎤--- ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．函数xy axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____．14．如图在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为边CD 的中点，13DF DA =，若4AE BF ⋅=-则cos DAB ∠= .15．如图,在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球,现向容器内注水,使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm 。
2020届江西省南昌二中高三校测数学(文)试题(三)(解析版)
2020届江西省南昌二中高三校测试数学（文）题（三）一、单选题1．已知集合4{|log 1}M x x =<，{}2M N =，则集合N 可以是（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{2，3，4}【答案】C【解析】先利用对数函数的单调性化简集合M ，然后再根据交集的运算求解. 【详解】{|04}M x x =<<，{}2M N =，∴集合N 可以是{2，4}.故选：C 【点睛】本题主要考查交集的运算以及对数函数的单调性应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2．若复数z 的其共轭复数z 满足131zi i=++，则复数z 为（ ） A ．24i -- B ．24i -+C ．44i -D ．44i +【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案. 【详解】 解：由131zi i=++，得(13)(1)24z i i i =++=-+， 24z i ∴=--.故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ）A ．36.5B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解. 【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D . 【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 4．设52a -=，5log 2b =，3log 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：521log 2log 5b ==，321log 2log 3c ==，22log 5log 31>>，2210log 511log 3∴<<<， 则53log 2log 21<<， 又1135355log 2log log 1853>==， 531log 2log 213∴<<<， 又51232a -==， 故a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．25B．5C ．49D ．23【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,转化m 2+n 2为x ,y 的关系,利用目标函数的几何意义转化求解即可． 【详解】0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域如图阴影部分, 点(m +n ,m -n )在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,设x m n y m n =+⎧⎨=-⎩,即(,)x y 在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内, 且,22x y x ym n +-==, 所以()2222221222x y x y m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离, 即原点到直线2x -y -2=0的距离,所以距离的最小值为所以m 2+n 2的最小值为:21225⨯=, 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【答案】A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.7．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+．设()()sin g x f x x x =+-，若(10)2020g =，则()10g -=（ ）A ．2020-B ．2020C ．0D ．1010【答案】A【解析】利用抽象函数关系，判断函数()f x 是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】 解：有()()()f x y f x f y +=+，(00)(0)(0)(0)f f f f ∴+=+=，即(0)0f =，令y x =-，则有()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，即()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，若()()sin g x f x x x =+-，(10)2020g =，则(10)(10)sin10102020g f =+-=， 则(10)(10)sin1010(10)sin1010g f f -=--+=--+，两式相加得：02020(10)g =+-，得(10)2020g -=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，属于中档题．8．已知ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，则AD BC =（ ） A ．20 B ．102C ．10D ．103【答案】C【解析】先由正弦定理求得2220b c -=，再将,AD BC 均用,AB AC 表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论． 【详解】解：因为ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，21R ∴=且··2022b cb c R R-=； 故2220b c -=；∴2222111·()()()()10222AD BC AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线22:1x C y m -=(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．2(,0)(0,)22-B ．(，0)(0⋃C ．2(,(,)-∞+∞ D ．5(,(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2=2m =， 双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=， 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12222y y t =-，12224y y t t =--+ 221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-， 又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >， 所以直线l 的斜率22112k t =<， 又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是2(,0)(0,)22-， 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 12．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围． 【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题13．若向量1(tan15,)cos75a =，(1,sin 75)b =，则·a b =__．【答案】4【解析】进行数量积的坐标运算即可得出sin15cos15·cos15sin15a b =+，然后通分，根据二倍角的正弦公式和22sin cos1αα+=即可求出答案．【详解】解：22sin75sin15cos15sin15cos151·tan1541cos75cos15sin15sin15cos15sin302a b+=+=+===⋅．故答案为：4．【点睛】本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，22sin cos1x x+=，考查了计算能力，属于基础题．14．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分5块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．【答案】288【解析】根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有2412A=种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有3424A=种选法，则不同的摆放方式有1224288⨯=种．故答案为：288.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若2AB AC==，120BAC∠=︒，则此棱柱高为__．【答案】2【解析】设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为222R r-解． 【详解】解：设球的半径为R ，则2420S R ππ==球，5R ∴=．在ABC 中，由余弦定理知，22212cos12044222()122BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-=，23BC ∴=．由正弦定理知，ABC 的外接圆半径r 满足232sin120r =︒，2r ∴=．∴球心到平面ABC 的距离为22541d R r =-=-=．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．【点睛】本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．已知椭圆()22210x y m m+=>的焦点为1F ，2F ，若在长轴12A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，若使得12·0PF PF <的点M 的概率为，则m 的值为__． 【答案】2或12【解析】根据12·0PF PF =，得到P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可． 【详解】当12·0PF PF =时，点P 在圆222x y c +=上， 联立椭圆()22210x y m m+=>，222x y c +=，当1m 时，()222211m c x m -=-，解得x c=±，所以当x c=±12·0PF PF =. 若使得12·0PF PF <的点M，可得2c m =，解得23c =，2m =． 当01m <<时，解得y =3=， 得到2232c m =+，又因为221c m =-，解得12m =． 故答案为：2或12【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，所以2n S n =，①当1n =时，111a S ==，当2n 时，21(1)n S n -=-，②，①-②得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（首项符合通项）．故21n a n =-． （2）数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+，整理得13(3)3n nb b +-=-，即13133n n b b +-=-， 所以数列{}3n b -是以1133b -=为首项，13为公比的等比数列． 所以11113()333n n n b --=⨯=，故1(21)3n n c n =-⨯．211113(21)333n n T n =⨯+⨯+⋯+-⨯①，231111113(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②， ①-②得：2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋯+--⨯，整理得113n nn T +=-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若点M 为PC 的中点，4PA =，求点D 到平面MAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4217. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到//CE BF ，然后得到直线//CE 平面PAB ；（2） 取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB MQ ⊥，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法M ABD D MAB V V --=，得11 (33)ABD MAB MN S h S ∆∆=，即可求得结论．【详解】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =， 由，90BAD ABC ∠=∠=︒，得//BC AD ， 又12BC AD =， 所以//EF BC 且EF BC =，四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊂平面PAB ，故//CE 平面PAB ；（2）解：取AD 的中点O ，连接,OC OP ， 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，PO ∴⊥底面ABCD ，点M 为PC 的中点，M ∴在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．12MN PO ∴=， 取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， 则NQ AB ⊥，又MN AB ⊥，NQMN N =，AB ∴⊥平面MNQ ，AB MQ ∴⊥，4PA =，23PO ∴=，2AB =，由在Rt MNQ ∆中，132MN PO ==，2NQ =，222(3)7MQ =+=， 11··27722MABS AB MQ ∆∴==⨯⨯=，11··24422ABD S AB AD ∆==⨯⨯=， 设点D 到平面MAB 的距离为h ，由M ABD D MAB V V --=得11····33ABD MAB MN S h S ∆∆=，即1134733h ⨯⨯=⋅⋅ 421h ∴=， 即点D 到平面MAB 的距离为4217．【点睛】本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，其中，利用体积法是解决点面距离的常用方法，属于中档题．19．某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？（3）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）27.【解析】（1）利用平均数公式计算平均值即可；（2）填写列联表，计算2K，对照附表得出结论；（3）利用古典概型的概率公式，计算即可．【详解】解：（1）家长所打分数的平均值为139 (5468720824916108) 805X=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）填写列联表如下：计算2280(1882430)10.8277.87942384832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）总共基本事件为2721C =种，有小雯同学的选法为1116·6C C =种， 故所求的概率值为62217P ==． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 21．设函数()()ln 0k x f x x x k x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2312g x x k x =-+，求证：方程()()f x g x =有唯一零点. 【答案】（1）函数()y f x =在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）证明见解析；【解析】（1）当1k =时，()2x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=，即可得出其单调区间（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，则()()()1x x k F x x--'=-，然后分1k =，1k >，01k <<三种情况讨论即可.【详解】（1）当1k =时，()2ln f x x x =-，所以()12f x x x'=-，即()2x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=，当0x <<0f x，函数()f x 单调递减；当2x >时，0f x，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，()()()1x x k F x x--'=-①当1k =时，()0F x '≤，当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数. 因为()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ②当1k >时，当01x <<或x k >时，()0F x '<；当1x k <<时，()0F x '>， 所以()F x 在0,1和(),k +∞上单调递减，在()1,k 上单调递增. 因为()1102F k =+>，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在()1,22k +内有唯一零点；③当01k <<时，当0x k <<或1x >时，()0F x '<；当1k x <<时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,k 和1,上单调递减，在(),1k 上单调递增.因为()()22ln 02kF k k k =+->，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在(),22k k +内有唯一零点. 综上可得方程()()f x g x =有唯一零点.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=即可得到曲线的极坐标方程； （2）把()3R πθρ=∈代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长. 【详解】（1）将22(1)(1)3x y -++=改称为222210x y x y +-+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）将3πθ=代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，21)480∆=+=->，所以方程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为12ρρ-==【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题. 23．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 【答案】（1）53[,]22-；（2）2a =-.【解析】（1）将1a =代入()f x 中，然后根据()4f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出()f x 的图象与x 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为6得到关于a 的方程，再求出a 的值.【详解】解：（1）当1a =时，21,1()123,2121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-++=-<<⎨⎪---⎩.()4f x ，∴2141x x +⎧⎨⎩或21x -<<或2142x x --⎧⎨-⎩， ∴312x 或21x -<<或522x --，∴5322x -， ∴不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当1a <-时，(1)(12),2()(1)21,21(1)(21),1a x a x f x a x a x a x a x -++--⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-⎩，当1a <-时，令()0f x =，则121a x a -=+或211a x a+=-， 又由(1)(12)(1)21y a x a y a x a =-++-⎧⎨=-++⎩，得3y =， ()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，∴1211236211a a a a +-⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭， 解得2a =-或12a =（舍).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。
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2020届江西省南昌二中高三高考校测（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4-【答案】B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 【考点】等比数列的通项公式及性质． 6．已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则⋅=a b （ ）A ．-B ．C ．32-D ．32【答案】D【解析】先由题意，求出()232,4a bx -=-，再由向量垂直的坐标表示列出方程求出x =，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为向量()3,0a =，(),2b x =-， 则()232,4a b x -=-；又()2a a b ⊥-，则()20aa b ⋅-=，)2040x +⨯=，解得x ；所以()33·3022a b =⨯+⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．75【答案】B【解析】利用循环结构依次推理计算即得结果. 【详解】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的n ，m ，s 的值，即可得出跳出循环时输出n 的值.解：输入20n =，80m =，100s ≠，21n =，79m =，100s ≠， 22n =，78m =，100s ≠， 23n =，77m =，100s ≠， 24n =，76m =，100s ≠， 25n =，75m =，100s ，输出25n =， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，属于基础题.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【答案】A【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题． 9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x=,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A ．3B ．1C ．12D ．3 【答案】B【解析】画图分析可知O 到面ABC 的距离为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可. 【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:143x y C -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆22:(3)1E x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，求得圆E 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值. 【详解】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==1(F ，2F ，0)，圆E 半径为1r =，(0,3)-E ，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE -=-(当且仅当A ，E ，B 共线 且B 在A ，E 之间时取等号)，21111433AB AF AE AF AF AE EF +-++=+++37==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e---【答案】A【解析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x a f x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21Ma --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1【解析】求出导函数，根据0x =处的导数值为1，即可求得参数的值. 【详解】因为x y axe =，故可得()xy eax a ='+，又x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直， 故01x y a ='==.故答案为：1. 【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，属基础题.14．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边CD 的中点，13DF DA →→=，若·4AE BF →→=-，则cos DAB ∠=___________.【答案】14【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13DF DA →→=，∴12AD DE AD AB AE →→→→→=+=+，23BF AF AB AD AB →→→→→=-=-，∴2212212()()23323AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⋅=+⋅-=--⋅222123434cos 323BAD =⨯-⨯-⨯⨯⨯∠ 688cos 4BAD =--∠=-，所以1cos 4DAB ∠=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15．如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm .【答案】43π 【解析】由题意可求球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为32883234433243h ππ-==，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，水面高度为3此时正六棱柱容器中水的体积为2134643323288323V ππ=⨯⨯=-， 若将铁球从容器中取出，则水面高度3234433243h ππ==，则水面下降4443(43)33ππ=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.16．在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，则n S 为___________. 【答案】13(1)3n- 【解析】将122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+化为1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和. 【详解】解：由11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，可得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--⋅+，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项､2为公差的等差数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS -==--.故答案为：13(1)3n-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和求和公式，构造等比数列是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且()f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（2. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()f A =，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度（单位：C ︒）21 23 24 27 29 32死亡数y （单位：株）61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i i i x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930i i y y =-=∑，()621ˆ236.64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）回归方程0.2303ˆ0.06xy e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）190.【解析】（1）根据公式，结合已知数据，分别求得ˆˆ,ba ，则问题得解； （2）根据相关指数的计算公式，结合已知数据，求得2R ，再进行比较即可； （3）将35x =代入回归方程，即可求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得，()()()121557ˆ 6.6384nii i nii xx y y bxx ==--==≈-∑∑∴ˆa=33−6.63⨯26=−139.4， ∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆy=6.6x −139.4． (Ⅱ) （i ）线性回归方程ˆy=6.6x −138.6对应的相关指数为： ()()6221621ˆ236.641110.06020.93983930ii i i i i yyR y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye =比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好． （ii ）由（i ）知，当温度35C x ︒=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆye e ⨯==≈⨯≈， 即当温度为35︒C 时该批紫甘薯死亡株数为190. 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解、相关指数的求解，以及用回归直线方程进行估算，属综合中档题.19．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面是边长为4的正方形，14AA =，且1AA ⊥面ABCD ，点P 为1DD 的中点，点Q 在BC 上，3BQ QC =，1DD 与面ABCD 所成角的正切值为2.（1）证明：//PQ 面11A ABB ；（2）求证：1AB ⊥面PBC ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6.【解析】（1）取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出//PQ BE ，故而//PQ 面11A ABB ；（2）由1AA ⊥面ABCD 可得1AA BC ⊥，由相似三角形可得1AB BE ⊥，故而1AB ⊥平面PEBC ，求出1B 到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积. 【详解】（1）证明：取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H .1AA ⊥面ABCD ，11//AA D H ，1D H ∴⊥面ABCD .1D DA ∴∠为1DD 与面ABCD 所成角. ∴12AA DH=，又14AA =， 2DH ∴=.112A D ∴=.111()32PE A D AD ∴=+=， 334BQ BC == 又//,//EP AD EP BQ ，∴四边形PQBE 为平行四边形，//PQ BE ∴，又PQ ⊂/面11A ABB ，BE ⊂面11A ABB ， //PQ ∴面11A ABB .（2）1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，1ABAA A =，BC ∴⊥面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥.在梯形11A ABB 中，Rt BAE Rt ∆≅△11AA B ，111190B AE AEB B AE AB A ∴∠+∠=∠+∠=︒，1AB BE ∴⊥，又BEBC B =，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，1AB ∴⊥面PEBC .设1AB BE M ⋂=，2AE =，4AB =，25BM ∴=，112A B =，14AA =，125AB ∴=，·4525AE AB AM BE ∴===， 1165B M AB AM ∴=-=， 又334BQ BC ==， ∴11111165·3256332Q PBB B PBQ PBQ V V S B M --∆===⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1，O 为坐标原点.（1）过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求MON △的面积； （2）设P 为曲线C 上任意一点，点()2,0N ，是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22（2）直线l 存在，其方程为1x =，定值为2.【解析】（1）利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程，由题意可得直线MN 的方程为1y x =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON △的面积；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，并设点()00,P x y ，求出以PN 为直径的圆的方程，将x a =代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得，曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等， 所以曲线C 的方程为：24y x =.过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，则124y y +=，124y y ⋅=-，则1212MAN S y y =-==△；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设点()00,P x y ， 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=， 将直线x a =代入，得()()20020y y y a a x -+--=，则()()()()2000424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y ， 则340y y y +=，()()3402y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数2()ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间.[,](,)m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()'g x ，分类讨论()'g x 的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】（1）2()ln 2f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x'-++=+-=，令()0f x '=，得112x =，212x -=（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）2()ln 2cos g x x x x x =+--，当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 因为1()22f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)1cos10g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭， 所以存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10g x =.当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又22102g πππ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为(1)1cos10g =->，所以()0>g x ，故不存在零点.当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，1(2)24sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=. 当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2ln 0224g ππππ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，(2)ln 2cos 20g =->，(3)ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一2(2,3)x ∈，使得()20g x =.当[3,)x ∈+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，0(2,3)x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．第 1 页 共 6 页 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。