高一数学 必修四 平面向量基本定理 学案
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学教学案设计平面向量基本定理高一数学教学案----《平面向量基本定理》★★★教学目标（考纲点击）教学目标（1）知识与技能：了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单的问题，通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一。
（2）过程与方法：通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。
（3）情感、态度与价值观：通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生独立思考及勇于探求的精神，培养学生观察能力、抽象概括能力，激发学习兴趣。
★★★教学重点：平面向量基本定理的应用★★★教学难点：定理的发现和形成过程★★★突破难点的关键:在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解，让学生真正理解,记准、记熟、用活,做到需要时能顺手拈来。
★★★教学方法针对本节课的教学目标和学生的实际情况，本节课我采用“前置复习、提出问题，自主探究与合作探究相结合，当堂达标”的教学模式。
采用“精讲解，重点拨，多练习”的教学方法。
通过设计有梯度的问题激励学生，培养学生克服困难的毅力和信心。
★★★教学手段：为了激发学生的学习兴趣，突出重点，突破难点，提高教学效率，我采用了多媒体辅助教学，同时配备微课使用。
★★★学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。
★★★学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此，在教学中要不断指导学生学会学习。
由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且对向量的物理背景有初步的了解，我引导学生采用问题探究式学法。
让学生借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动探索，积极交流，从而建立新的认知结构。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案
2.3.1.平面向量基本定理学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一.平面向量基本定理思考1.如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2.如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案. 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理.(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直思考 1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案. 存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一.对基底概念的理解例1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案.D解析.选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二.向量的夹角例2.已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解.如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案.90°解析.由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三.平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解.∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解.取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解.OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是(..)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案.C解析.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于(..) A.30° B.60° C.120° D.150°答案.D解析.由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 答案.－15.－12解析.∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案.a ＋b .2a ＋c解析.由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解.连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(..)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案.B解析.B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(..)A.60°B.120°C.30°D.150°答案.A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(..)A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案.C解析.如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为(..) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案.B解析.因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于(..) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案.D解析.∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为(..) A.165 B.125 C.85 D.45 答案.C解析.∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于(..)A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案.C解析.如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析.若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案.60°解析.作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案.43解析.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解.(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0， 所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解.如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解.方法一.如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二.如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三.如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案.90°解析.由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明.若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)解.由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高中数学必修四《平面向量的基本定理》-教学设计
《平面向量的基本定理》【课程标准】向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种桥梁，有着极其丰富的实际背景。
本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
【课程标准分析】本部分内容是在学习了向量共线定理的基础上研究平面向量的问题，先推导出平面向量基本定理，之后再研究平面内的向量如何用坐标表示。
本节课在平面向量一章中地位重要，是平面向量坐标表示的理论基础；是数形结合思想的重要体现之一，是讨论存在唯一性问题的一个范例。
平面向量的基本定理是中学数学的核心知识，对今后数学的深入学习有重要的意义。
所以本节课是一堂原理课教学。
如果学生不掌握好，便不能深入理解向量坐标的由来，以及和点的坐标的本质区别。
【教学目标】（一）知识与技能了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理选定基底，分解平面中的任意向量。
逐步掌握由图形语言到符号语言的数形结合的数学思想。
（二）过程与方法通过观看微课、课前练习、课堂讨论的教学活动，让学生经历发现与总结出平面向量基本定理的过程，形成分析、抽象、概括数学知识的体会，形成由特殊到一般的思维方法的体会。
（三）情感态度与价值观通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生独立思考及勇于探求的精神，培养学生合作讨论的兴趣，激发学习数学的兴趣。
建立学习数学的自信心，体会数学在生活中无处不在的价值。
【学情分析】基本定理是在学生学过向量的概念和线性运算，在学生接触了物理学中矢量的分解和合成后，深入进一步学习向量知识的第一节内容。
我校为省示范高中，高一学生有一定的知识基础，有一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
会较易接受理解基本定理的存在性问题，而在向量分解的系数21λλ，在什么情况下是唯一存在，在什么情况下是不唯一存在的问题上较难理解。
在系数21λλ，的意义上认识不深刻，对后续的向量的坐标的定义上产生概念性混淆，扰乱整个向量的知识体系，从而打击学习向量的兴趣和自信。
高中数学必修四《平面向量基本定理》教学设计
2.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因。
二、教学目标1、知识与技能了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.2、过程与方法初步掌握应用向量解决问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.3、情感态度与价值观通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生的观察能力、抽象概括能力、合作交流能力.三、重点难点教学重点: 平面向量基本定理.教学难点: 平面向量基本定理的运用.四、教学设计（一）导入新课引入1：已知向量12,e e 为两个已知向量，向量121242,2a e e b e e =+=+， 则a与b 什么位置关系？因为2a b =，由向量共线定理知a 与b 共线.引入2：在∆ABC 中，点D,E,F 分别为边AB,BC,CA 的中点，直线BF 与CD 交于点O, 求证：直线AE 过点O.（二）探究新知如下图，向量12,e e 为已知向量思考：(1) 向量,b c 怎样用向量12,e e 来表示?(2) 任意向量a 怎样用向量12,e e 来表示? (3) 任意向量a 能用向量b,d 来表示吗?活动: 教师引导学生作图，根据向量的加减法运算及向量三角形、平OD BEF行四边形法则可得（1）12-32b e e =+，12c -2-e e =+（6）； （2）对于向量a 又该如何用12,e e 表示呢？向量12,e e 前的系数该是多少呢？设OC =a ，过向量a 的终点C 分别作平行于向量12,e e 的直线，与格线分别交于点M 、N ；由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ11e ,ON =λ22e .由于ONOMOC +=,所以a =λ11e +λ22e .也就是说,任一向量a 都可以表示成a =λ11e +λ22e 的形式，任意向量a 都可以转化为向量12,e e 的线性组合形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量12,e e 表示出来.当12,e e 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.（3）引导学生发现向量b,d 共线，若向量a 能用向量b,d 来表示，则向量a 与向量b,d 共线，而图中向量a 与向量b,d 不共线，故向量a 不能用向量b,d 来表示.由以上探究我们得到:平面向量基本定理 如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base).定理探究：(1) 向量12,e e 可以共线吗？唯一吗？(2) 若a与e或2e平行的非零向量，怎样表示？若a是零向量呢？1(3) 实数λ1，λ2的值唯一吗？探究结果:(1)向量,e e不可以共线（由两个向量共线的条件可知12,e e不可以12为零向量），向量,e e不唯一，即同一平面内基底由无数多组；12(2) 若a与e平行，则λ2为零，若a与2e平行，则λ1为零，若a为1零向量，则λ1=λ2=0；(3) 实数λ1，λ2的值唯一。
高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
平面向量基本定理学案
2.3.1平面向量基本定理２.３.２平面向量的正交分解及坐标表示学习目的：1.了解平面向量基本定理，了解基底的含义.2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.3.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．重点:平面向量基本定理难点:两向量夹角的定义及定理的运用自学设计:一. 两向量的夹角与垂直1.夹角:已知两个 a 和b ,作OA =a ,OB =b ,则 =θ,叫做向量a 与b 的夹角.记作,a b (1)范围:向量a 与b 的夹角的范围是 .(2)当00θ=时a 与b .(3)当0180θ=时a 与b .2.垂直:如果向量a 与b 的夹角是 ,则称a 与b 垂直,记作 .在等边ABC ∆中, ,AB BC = .二. 平面向量基本定理1.定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数1,2λλ，使a = (称为平面向量的线性表示) .2.基底: 的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内 向量的一组基底.由定义,平面向量的基底唯一吗?３．把一个向量分解成两个 的向量,叫做把向量正交分解.4.平面向量的坐标:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴y 轴方向相同的两个 i ,j 作为基底,对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a = ,则把有序数对 叫做向量a 的坐标.课堂达标:(A 组)1.关于基底的说法正确的序号是(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.(2)基底中的向量可以是零向量.(3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.O θA B ba2.若i =(1,0), j =(0,1),且a =2i +j ,则a 的坐标为( )A.(2,0)B.(2,1)C.(1,0)D.(0,1)3.如图所示,D 是BC 边的中点,试用基底,AB AC AD 表示课堂达标:(Ｂ组)已知四边形OADB 是以向量OA =a ,OB =b 为邻边的平行四边形,C 为对角线的交点.又11,33BM BC CN CD == ,试用a ,b 表示,.OM ON。
平面向量基本定理学案
平面向量基本定理预习学案一、学习目标1、 了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题。
2、 通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。
二、学习重点、难点重点：平面向量基本定理的应用 难点：对平面向量基本定理的理解 三、问题探究1、 当基底确定后，平面内任一向量的表示是唯一的，为什么？2、 同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？四、知识梳理1、 平面向量基本定理：2、 我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为2211e a e a +叫做3、 已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为=OP ，这个等式叫做直线的向量参数方程式。
课堂效果自测有向量的基底的是（）所在平面上表示其他所行四边形向量组中可作为这个平两对角线的交点，下列是平行四边形设点ABCD O .1①AB AD 与 ②BC DA 与 ③DC CA 与 ④OB OD 与 A.①② B.①③ C.①④ D.③④2.如图，D,E,F 是三角形ABC 的边BC,CA,AB 的中点，且b CA a BC 2,2==，在给出的下列四个等式中，正确的是（ ）①b a AD 2+=②b a BE +=2 ③a b BF += ④CA BC AB CF BE AD ++=++A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②③④3.在平行四边形ABCD 中，NC AN b AD a AB 3,,===，点M 为BC 中点，则MN ={}NPMP MN b a b AC a AB AB AP CA CN BC BM AB CA BC ABC P V M ,,,,41,41,41,,,,.4基底下的分解式：，试写出下列向量在此，选择基底，如果上的点，且三边分别是三角形如图，已知=====A BCDE F AP NCMB平面向量基本定理讲授学案一、知识回顾：1.向量的平行四边形法则2.平行向量基本定理 二、知识讲解引例：如教材中图2-34,设1e ,2e 是两个不平行的向量,用向量1e ,2e 表示图中向量？平面向量基本定理如果1e ,2e 是一平面内的两个 的向量,那么该平面内的 向量a ,存在 的一对实数21,a a 使a = .把不共线向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 反思小结三、例题分析例1?M MD MC MB MA b a b AD a AB ABCD 、、、表示、，用 ，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形== C.,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M ABCD 表示，试用已知的中点分别是中，拓展：在平行四边形==MC NBA D小结：例2四、课堂小结五、课后作业1. 课后练习A 1、22. 预习向量的正交分解与向量的直角坐标运算{}.)1(:,.上一定在并且，满足上式的点的分解式为，使关于基底，存在实数上任一点求证：对直线外一点是上任意两点，点是直线，已知：l P OB t OA t OP OB OA t P l l O l B A +-= ABOP1.1.0.1.(),),,(,,=+=-=+-=++=n m D n m C n m B n m A n m c b a c b a b n a m c 需满足的条件是，有公共的起点设终点在一条直线上要使的拓展：已知。
【新导学案】高中数学人教版必修四：231《平面向量的基本定理》.doc
2. 3. 1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】1、知道平面向量基木定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重占聊占】1.教車重兀平面向量基本定理2.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】：通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺梨.【知识链接】（一）复习回顾1.实数与向量的积：实数入与向量刁的积是一个向量，记作：x a（1）| _________ 5 |= ；____________________________ （2）入＞0时入方与方方向 ___ ；入＜0时入力与力方向；入=0时入2.运算定律结合律：入（卩方）= ______ ；分配律：（入+p）N= _____ , ^（a+b）= _________ .3•向量共线定理向量方与非零向量万共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入, 使 .（二）阅读教材，提出疑惑：如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量？【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：____________________________________________________________________ 探究：⑴ 我们把不共线向量6、°叫做一表示这一平面内所有向量的______________________ ；（2）_______________________ 基底不惟一，关键是；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e】、£.2的条件下进行分解；⑷ 基底给定时，分解形式_________ .即X,入2是被石唯一确定的数量（二）例•题讲解■ • - » •例1己知向量引，e2求作向量2.5勺+3e2 .例2、如图占B0的两条对角线交于点M,且AB=a. AD=b ,用万，方表示胚4, MB ,D C例3己知AB£p的两条对角线AC与BD交于E, O是任意一点，求证:OA + OB-^OC + OD=4OE例4 （1）如图，OA, 0B 不共线，AP=xAB（t 04,方表示0?.（2）设刃、西不共线，.点P在O、A、B所在的平面内，且OP = （l-t）OA + tOB（te R）.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e r3e2f b= 2ei+3e2,其中引，血不共线,向量c=2e l-9e2f问是否存在这样的实数2、"，使2 =航+加与c共线.【学习反思】【拓展提升】1.设°、02是同一平面内的两个向量，则有（）A.®、02—定平行B©、02的模相等C.同一平面内的任一向量a都有。
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 必修4
2．3.1 平面向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．2．过程与方法由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．●重点难点重点：平面向量基本定理及其意义．难点：平面向量基本定理的应用.(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量基本定理教学教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．2．关于应用平面向量基本定理的教学教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入平面向量基本定理，并引导学生初步理解定理及其作用.⇒引导学生结合向量共线等知识，理解基底概念及向量的正交分解的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生进一步正确理解平面向量基本定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用基底表示向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点)2.了解基底的含义．3.会用任意一组基底表示指定的向量．4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(重点)平面向量基本定理【问题导思】已知▱ABCD 的对角线交点为O ，AB →＝a ，AD →＝b ，如何用a ，b 表示AO →？ 【提示】 AO →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(a ＋b)＝12a ＋12b.(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的正交分解【问题导思】一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？ 【提示】 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a ＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行判断． 【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定． (3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．下列两个命题(1)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a ，b ，c ，d ∈R)，则a ＝c ，b ＝d. (2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．其中正确的是________．【解析】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立． (2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来． 【答案】 (2)用基底表示向量图2－3－1如图2－3－1所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【思路探究】 OM →＝OB →＋BM →，ON →＝OC →＋CN →，MN →＝ON →－OM →，再将各量转化为OA →，OB →. 【自主解答】 BA →＝OA →－OB →＝a －b. ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b.又OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b. 1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 图2－3－2(2013·南通高一检测)如图2－3－2，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.【解】 如图所示，连结CN ，则四边形ANCD 是平行四边形，即DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12(－12AB →)＝14a －b.平面向量基本定理的应用图2－3－3如图2－3－3，已知在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点(靠近B 点)，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ， (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【思路探究】 (1)由题意可知A 是BC 的中点，利用平行四边形法则求OC →，利用三角形法则求DC →；(2)利用C ，D ，E 三点共线，结合共线向量定理求解． 【自主解答】 (1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa－2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b. ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m(－2a ＋53b)，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m)b＝0.∵a ，b 不共线且为非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题． 图2－3－4如图2－3－4，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD.求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】 ∵M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD ， ∴MB →＝12AB →，BN →＝13BD →，∴MN →＝MB →＋BN →＝12AB →＋13BD →＝12AB →＋13(AD →－AB →)＝16AB →＋13AD →，又MC →＝MB →＋BC →＝12AB →＋AD →＝3(16AB →＋13AD →)＝3MN →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M ，N ，C 三点共线.用待定系数法确定向量的表示 图2－3－5(14分)如图2－3－5，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值． 【思路点拨】 可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择BM →与CN →作为基向量较好． 【规范解答】 设BM →＝e1，CN →＝e2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2. 4分 ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe1－3λe2， BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2. 故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 8分 而BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →.即AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2. 14分基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量． 1．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．2．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0. (3)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．1．下列关于基底的说法正确的是________．(填序号) ①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． 【解析】 作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．【答案】 ①③2．已知向量e1，e2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，则x －y 的值为________．【解析】 ∵(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝6－3＝3.【答案】 3 图2－3－63．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12b －14(a ＋b)＝－14a ＋14b.【答案】 －14a ＋14b4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，求λ的值．【解】 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， 若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.一、填空题1．若O 是▱ABCD 的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________． ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，AD →与AB →是有公共点的不共线向量，CA →与DC →也是有公共点的不共线向量．【答案】 ①③ 2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________． ①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2. 【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线． 【答案】 ③ 图2－3－73．如图2－3－7，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________.【解析】 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a.【答案】 b ＋12a4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则nm ＝________.【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 25．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为________．【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m(OB →－OP →)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB →1＋m .【答案】 OP →＝OA →＋mOB→1＋m6．如图2－3－8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，若CE →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 图2－3－8【解析】 由E 是AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)＝－12AC →＋14CB →＝－12AC →＋14(AB →－AC →)＝14AB →－34AC →，则r ＋s ＝－12.【答案】 －127．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BD →＝DC →，AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，则2AD →＋3BF →＋3CE →＝________.【解析】 由BD →＝DC →，易知AD →＝12(AB →＋AC →)，所以2AD →＝AB →＋AC →，再由AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，可知3BF →＝BA →，3CE →＝CA →，所以2AD →＋3BF →＋3CE →＝0. 【答案】 08．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝(λ＋μ2)b －(λ2＋μ)a，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 43二、解答题9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a ＝－e1＋3e2，b ＝4e1＋2e2，c ＝－3e1＋12e2，试用b ，c 为基底表示向量a. 【解】 设a ＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R 则， －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c.10．平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 的中点，设AB →＝b ，AD →＝d ，AM →＝m ，AN →＝n.(1)以b ，d 为基底，表示MN →； (2)以m ，n 为基底，表示AB →. 【解】 如图所示．(1)MN →＝AN →－AM →＝(AB →＋BN →)－(AD →＋DM →)＝(b ＋12d)－(d ＋12b)＝12b －12d.(2)m ＝AD →＋DM →＝d ＋12AB →，①n ＝AB →＋BN →＝AB →＋12d ，所以2n ＝2AB →＋d ，② 由①②消去d ，得AB →＝43n －23m.图2－3－911．如图2－3－9所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP →＝4PM →.【证明】 记BM →＝e1，CN →＝e2，所以AC →＝－3e2，CM →＝－e1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe2－λe1，BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2， 所以BA →＝BP →＋PA →＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →.(教师用书独具)用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．【思路探究】 令△ABC 的中线AD 与中线BE 交于点G1，中线AD 与CF 交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点．【自主解答】 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线．令AC →＝a ，BC →＝b ，则AB →＝CB →－CA →＝AC →－BC →＝a －b ，AD →＝AC →＋CD →＝a －12b ，BE →＝BC →＋CE →＝－12a＋b.令AD 与BE 交于点G1，并假设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则有AG1→＝λa－λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb.∴AG1→＝AB →＋BG1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1.由此可得λ＝μ＝23，∴AG1→＝23AD →.再令AD 与CF 相交于G2，同样的方法可得AG2→＝23AD.∴G1与G2重合，即AD ，BE ，CF 相交于同一点． ∴三角形三条中线交于一点．向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示惟一，如证AG1→＝AG2→，则得G1，G2重合．在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点.AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.求证：B ，E ，F 三点共线．【证明】 因为D 是BC 的中点，所以有AD →＝12(a ＋b)．又因为AE →＝23AD →＝13(a ＋b)，AF →＝12AC →＝12b ， 所以BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a)． 所以BE →＝23BF →. 又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。
平面向量基本定理学案
必修4 2．3．1 平面向量基本定理【学习目标】1.能举例说明平面向量基本定理，能理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；２.能够在具体问题中适当地选取基底，使其它向量都能够用该基底来表达；３.通过实际作图体会平面向量基底的不唯一性，体会数学中辩证唯物主义思想，初步 掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；【学习重点】平面向量基本定理．【难点提示】平面向量基本定理的理解与灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材9394P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题： 1.向量的数乘的定义及其规定 、 、 、 ；2.向量数乘的运算律 、 、 ；3.平行向量与共线向量的区别与联系 ；4.向量共线定理 ；5.如图已知两个不共线的单位向量a 、b ，请作出向量 2a 、3b 、23a b +、2a b -，感悟向量a 、b 、23a b +、2a b -有怎样的关系？它们在同一平面吗？6.在初中，“角”的概念是 ，aｂ 图2.3.1-1两条直线间有角相关的概念吗？那么，我们现在研究的向量中任意两个向量之间有角度的问题吗？以上5、6提出的问题就是本节课我们要探究的问题！二、学习探究 1.平面向量基本定理●思考阅读 请同学们对“学习准备”中的问题5进行发挥发散思维，大胆探究： 若向量C 是向量a 、b 所在平面中的任意一个向量，则向量C 能表示为C a b λμ=+，其中λμ、是待定的实数？若能，请作图与解释！继续探究：若将“学习准备”中的单位向量等换成向量 21,e e 和a ，其中21,e e 是同一平面内的两个任意不共线向量， a 是同一平面的任意向量（如图2.3.1-2），那么我们可否用 21,e e 这两个向量将a 表示出来？即：12(,)a e e R λμλη=+∈若能，请作图验证、或用相关知识阐述你判定的正确性！若不能，也请说明理由．请同学们深入思考或展开讨论上面提出的问题，或阅读教材P93-94页再归纳结论. 归纳概括 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，___________一对实数λ1，λ2使_______ _____．我们把不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组_________.快乐体验 1.给出下面三种说法，其中正确的说法是（ ）（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量是不可作为基底的向量.A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）2.已知21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A.1e 和1e +2e ； B.1e -22e 和2e -21e ；C.1e -22e 和42e -21e ；D.1e +2e 和1e -2e .同学们通过探究与体验后，对向量共线条件有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？ 挖掘拓展 （1）你能用几种语言来描述平面向量基本定理？为什么叫“基本定理”？（2）“基本定理”的本质是什么？生活中有现实意义吗？（3）该定理中有没有“关键词”？有没有容易混淆与出错的地方？（链接1）（4）你怎样理解“基底”这个概念、及概念中的“所有向量”？ （5）一平面内平面向量的基底是否只有一对？平面向量基底21,e e是任意不共线的两个 向量？还是只能是预先指定的不变的两个不共线向量？基底21,e e 向量除有不共线的要求，还与它们的位置有无关系呢？（6）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2 是否相同？ （7）若a =0，则21,λλ分别等于多少时，可使22110e e λλ+=？2.向量的夹角 在“学习准备”的6问中提到“角”、以及两直线的角的相关问题.从前图2.3.1-2面的学习中我们不难想到，在向量中，任意两个向量除了共线与不共线的问题、模的大小问题，向量还有一个重要元素就是“方向”，既然有方向，两者之间就有角度的问题，特别是不共线向量的位置关系更需要角度来刻画.请同学们在同一平面中任作一些向量进行观察，并思考看如何定义向量之间的夹角呢？范围确定在什么范围最恰当？请同学们深入思考或展开讨论这里提出的问题，或阅读教材P94页再归纳结论. 归纳概括 已知两个 向量a 和b ，如图2.3.1-3，作OA a =，OB b =，则(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做向量a 和b 的夹角.挖掘拓展 1.概念中，为什么要指明是两个“非零向量”？ 2.为什么要将两个向量的夹角限制为0180θ≤≤？ 3.三个重要的特殊位置，即：两个非零向量a 和b 同向、反向、垂直时的夹角分别为 、 、 .（链接2）三、典例赏析 例1. 如图2.3.1-4，已知向量21,e e ，求作向量-2．51e +32e ．（本例是教材P94页例1，请同学们先独立完成后在看教材的解答.解:解后反思 该题的题型怎样？你的作法与教材一致吗？还有其它作法吗？ 变式练习例 2. 如图2.3.1-5三角形ABC 中，若D ，E ，F 依次是则以1,CB e =2CA e =为基底时，用21,e e 表示 解：解后反思 该题题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键点、难点在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.3.1-6，已知OA 和OB 是不共线向量，()R t AB t AP ∈=，试用OA 和OB 表示OP .解:四、学习反思 1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：平面向量基本定理是什么？能够成为平面内一组基底的两向量有怎样的要求？向量夹角的概念是怎样的？都理解与掌握了吗？ 图1e 图2.3.1-42.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价 1.已知向量212e e a -= ，212e e b +=，其中21,e e 不共线，则b a +与2126e e c -= 的关系 （ ）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2.已知向量21,e e 不共线，实数x 、y 满足(3x-4y) 1e +(2x-3y) 2e =2136e e +，则x-y 的值等于( )A ．3B ．-3C ．0D ．23.若21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）A .122e e -和122e e + ；B .1e 与23e ；C .1223e e +和1246e e -- ；D .12e e +与1e . ４.已知b a ,不共线，且b a c 21λλ+= (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= ． ５.已知λ1＞0，λ2＞0，21,e e 是一组基底，且2211e e a λλ+=，则a 与1e _____，a 与2e _________(填共线或不共线)． 6.若21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是 （ ）A .若实数21,λλ使02211 =+e e λλ，则021==λλB .空间任意向量都可以表示为2211e e a λλ+=，其中21,λλ∈RC .2211e e λλ+21,λλ∈R 不一定表示平面内一个向量D .对于这一平面内的任一向量a ，使2211e e a λλ+=的实数对21,λλ有无数对 7.设21,e e 是平面 的一组基底，如果 121232,4,AB e e BC e e CD =-=+=1289e e -，求证：A 、B 、D 三点共线证明：8.如图2.3.1-7，M 是ABC ∆内一点，且满足条件 230AM BM CM ++=,延长CM 交AB 与N ，令CM a =， 使用a 表示CN . 解:【学习链接】链接1.该定理中有几处关键词，如：“不共线向量”、“任意向量”、“有且只有”、“所有向量”等，同时这些也是易错点、易混点；链接2.学习向量夹角有何作用以及如何判定两个非零向量垂直？等，在后面的学习中会回答这些问题！图2.3.1-7 NBC A M。
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案23平面向量的基本定理及坐标表示231平面向量基本定理【学习目标】1 了解平面向量基本定理；2 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底表达【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ |=（2）λ>0时，λ 与方向；λ<0时，λ 与方向；λ= 0时，λ =2．运算定律：结合律：λ(μ )= ；分配律：(λ+μ) = ，λ( + )=3 向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3 +2 ，-2 ，2由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1 +λ2 的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：(1) 基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2) 基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数3 向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AB＝，叫向量、的夹角。
当= ，、同向；当= ，、反向；统称为向量平行，记作如果= ，与垂直，记作⊥。
对点练习：1设、是同一平面内的两个向量，则有( )A 、一定平行B 、的模相等同一平面内的任一向量都有＝λ +μ (λ、μ∈R)D若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ +u (λ、u∈R)2已知向量＝-2 ，＝2 + ，其中、不共线，则+ 与＝6 -2 的关系（）A不共线B共线相等D无法确定3已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1 +λ2 ，则与，与．(填共线或不共线)【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量᠄2 +3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）（2）- +3例2: 如图，，不共线，且，用，表示变式2 ：已知G为△AB的重心,设= , = ,试用、表示向量【堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1 设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量, 和在同一平面内且两两不共线, 有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是( )（）A．1B．2．3D2如图，正六边形ABDEF中，=A．B．．D．3在中，，，，为的中点，则____________ （用表示）【时作业】1、若、不共线，且λ +μ = （λ、μ ），则（）A．= , = B．=0, =0．=0, = D．= , =02．在△AB中，AD→＝14AB→，DE∥B，且DE与A相交于点E，是B的中点，A与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋A→(x，∈R)，则x＋等于()A．1 B12 14 D183．在如图所示的平行四边形ABD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3N，为B的中点，则N→＝________(用a，b表示)．4 如图ABD的两条对角线交于点，且= ，= ，用，表示，，和设与是两个不共线向量, =3 +4 , =-2 + ,若实数λ、μ满足λ +μ = - ,求λ、μ 的值6如图，在△AB中，AN→＝13N→，P是BN上一点，若AP→＝AB→＋211A→，求实数的值．7 如图所示，P是△AB内一点，且满足条AP→＋2BP→＋3P→＝0，设Q为P延长线与AB的交点，令P→＝p，用p表示Q→【延伸探究】已知ABD的两条对角线A与BD交于E ，是任意一点，求证：+ + + =4。
平面向量基本定理学案(学生版)
高一数学必修四
新授学案
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《平面向量的基本定理》学案
【学法指导】 1.认真阅读学习目标，明确学习目标。
（3）夹角：已知两个
a 和 b ，作 OA a , OB b ，则 AOB 叫做向量
A、 e1 —2 e 2 和 e1 +2 e 2 B 、 e1 与 3 e 2 C、2 e1 +3 e 2 和 - 4 e1 —6 e 2 D、 e1 + e 2 与 e1 2.在矩形 ABCD 中，O 为对角线交点， BC = 5e1 ， DC = 3e 2 ，则 OC 等于 （ ）
）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 1 C. （3e 2 5e1） 2
A. a
B.-4 b
C. c
D. a b
e2
装
课本 P92 第 11 题（画图解答）
讨论二 ：如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 AB = a ， AD = b ，用 a ，b 表示 MA ， MB ，
订
2.知识预学 .如果 e1 , e 2 是一平面内的两个 存在 的一对实数 a1 , a 2 使 a = 的向量,那么该平面内的 向量 a ,
，则称 a 与 b 垂直，记作
。
【小组讨论】
订
【学习目标】 1.了解平面向量基本定理及其意义。 2.了解两个平面向量夹角和垂直概念。 【固学预学】
讨论一 ：已知向量 e1 ， e 2
北师大版高中数学必修4同步学案：第2章 平面向量基本定理
3.2 平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)1.通过学习平面向量基本定理提升数学抽象素养．2.通过平面向量基本定理解决实际问题,培养直观想象素养.平面向量基本定理如果e 1,e 2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2(如图②所示),其中不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a ＝λ1e 1＋λ2e 2,a ＝μ1e 1＋μ2e 2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系？[提示] 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2,即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线,∴λ1－μ1＝0,μ2－λ2＝0, ∴λ1＝μ1,λ2＝μ2.1．设e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1,e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1,e 1＋e 2[答案] B2．设O 为平行四边形ABCD 的对称中心,AB →＝4e 1,BC →＝6e 2,则2e 1－3e 2等于( ) A.OA → B.OB → C.OC →D.OD →B [如图,OB →＝12DB →＝12(AB →－BC →)＝2e 1－3e 2.]3．已知向量a 与b 是一组基底,实数x,y 满足(3x －4y)a ＋(2x －3y)b ＝6a ＋3b,则x －y ＝________.3 [由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]4．已知向量a 与b 不共线,且AB →＝a ＋4b,BC →＝－a ＋9b,CD →＝3a －b,则共线的三点为________． A,B,D [BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋9b ＋3a －b ＝2a ＋8b,因为AB →＝a ＋4b,所以AB →＝12BD →,所以A,B,D 三点共线．]对向量基底的理解【例1】 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点,给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④B [①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →,则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →,则OD →与OB →共线． 由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一组基底,故①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.1．设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a,b 的线性组合,即e 1＋e 2＝________a ＋________b.23 －13 [由题意,设e 1＋e 2＝ma ＋nb. 因为a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2. 由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.]用基底表示向量【例2】 设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点,它们使BM →＝13BC →,CN →＝13CA →,AP →＝13AB →,若AB →＝a,AC →＝b,试用a,b 将MN →、NP →、PM →表示出来．[解] 如图,MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a. 同理可得NP →＝13a －23b.PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b.平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.2.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD,且AB ＝2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若AB →＝a,AD →＝b,试用a,b表示DC →,BC →,MN →.[解] 如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形．则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ；BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ；MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b.平面向量基本定理应用[探究问题]1．如果e 1,e 2是两个不共线的非零向量,则与e 1,e 2在同一平面内的任一向量a,能否用e 1,e 2表示？依据是什么？[提示] 能．依据是平面向量基本定理．2．如果e 1,e 2是共线向量,那么向量a 能否用e 1,e 2表示？为什么？[提示] 不一定．当a 与e 1,e 2中的一个非零向量共线时可以表示,否则不能表示． 3．基底给定时,向量分解形式唯一吗？ [提示] 向量分解形式唯一．【例3】 如图,在△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 上,且AN ＝2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP ∶PM 与BP ∶PN.[思路探究] 以BM →与CN →为基底利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线的应用．[解] 设BM →＝e 1,CN →＝e 2,则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1,BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线,∴存在实数λ,μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2, BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →,BP →＝35BN →,∴AP ∶PM ＝4∶1,BP ∶PN ＝3∶2.1．(变设问)在本例条件下,若CM →＝a,CN →＝b,试用a,b 表示CP →. [解] 由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2, 则NP →＝25NB →,CP →＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a.2．(变条件)若本例中的点N 为AC 的中点,其它条件不变,求AP ∶PM 与BP ∶PN. [解] 如图,设BM →＝e 1,CN →＝e 2,则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1,BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2, ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线,∴存在实数λ,μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2,BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.∴AP →＝23AM →,BP →＝23BN →,∴AP ∶PM ＝2,BP ∶PN ＝2.用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底.(2)将相关的向量用基底向量表示,将几何问题转化为向量问题. (3)利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解. (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线,故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的一组基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)平面向量的基底不是唯一的．( ) (3)零向量不可作为基底中的向量．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③D ．②③C [零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量,故②错,①③正确．]3．已知向量e 1,e 2不共线,实数x,y 满足(2x －3y)e 1＋(3x －4y)e 2＝6e 1＋3e 2,则x ＝________,y ＝________.－15 －12 [∵向量e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.]4.如图所示,平行四边形ABCD 中,点M 在AB 的延长线上,且BM ＝12AB,点N 在BC 上,且BN ＝13BC.求证：M,N,D 三点共线．[证明] 设AB →＝e 1,AD →＝e 2,则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2,BM →＝12AB →＝12e 1.∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1.又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →.∴向量MN →与MD →共线,又M 是公共点,故M,N,D 三点共线．。
高中数学2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4
2.3.1平面向量基本定理学习目标: 1. 理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．学习重点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题学习难点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题一．知识导学1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．2． 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是 ．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a 与b ．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.二．探究与发现【探究点一】 平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得：AB →＝_________，CD →＝_________，EF →＝_________，GH →＝_____________，HG →＝___________，a ＝______.(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？【探究点二】平面向量基本定理的证明(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)【探究点三】 向量的夹角(1)已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？(3)在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：a ．〈AB →，AC →〉＝ ；b ．〈AB →，CA →〉＝ ；c ．〈BA →，CA →〉＝ ；d ．〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b 为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．三、巩固训练1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.四．课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．。
北师大版数学高一-必修4学案 2.3平面向量基本定理
3.2 平面向量基本定理问题导学1．用基底表示向量活动与探究1 如图所示，在ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →．迁移与应用设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．用基底表示向量的方法技巧(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算； (2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化； (3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等； (4)充分利用首尾相接的各向量之和为0； (5)注意a ，b 不共线，则0＝0·a ＋0·b 是唯一的；(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解． 2．平面向量基本定理的应用活动与探究2平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ；BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2)证明：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分．迁移与应用如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b ．(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．利用平面向量基本定理解决几何问题：(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等． 当堂检测1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( )．A ．3B ．－3C ．0D ．22．已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )． A ．b ＋12a B ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列向量表达式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0． 其中正确的序号为________．5．已知O 是直线AB 外一点，存在实数x ，y 使得OC →＝xOA →＋yOB →，且x ＋y ＝1．求证：A ，B ，C 三点共线．课前预习导学 【预习导引】 a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流2 提示：可能不同．预习交流3 B 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 于是有⎩⎨⎧ c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d ).即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．迁移与应用 解：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →) ＝13a ＋13b .活动与探究2 解：(1)如题图， ∵OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )，∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )． 同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c )．(2)设线段EL 的中点为P 1， 则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )． 设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )．∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→.即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分． 迁移与应用(1)解：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE →，BF →有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线． 【当堂检测】 1．A 2．B 3．A 4．①②③④5．证明：由x ＋y ＝1，OC →＝xOA →＋yOB →， 得OC →＝xOA →＋(1－x )OB →，所以OC →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BC →＝xBA →. 所以A ，B ，C 三点共线．。
高中数学必修四学案 2.3.1 平面向量基本定理
§2.3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？[答案] 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ [答案] 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．梳理 (1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二 两向量的夹角与垂直思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ [答案] 存在夹角，不一样．思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ [答案] 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫梳理(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作OA做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(×)提示只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．(×)提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(×)提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.类型一对基底概念的理解例1(2017·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2[考点] 平面向量基本定理 [题点] 基底的判定 [答案] B[解析] 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1＋3e 2 [考点] 平面向量基本定理 [题点] 基底的判定 [答案] D[解析] 选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－12e 2，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合． 类型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.[考点] 平面向量基本定理 [题点] 用基底表示向量解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解 取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝43a ＋23b . 又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12⎝⎛⎭⎫43a ＋23b ＝23a ＋43b . 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[考点] 平面向量基本定理的应用 [题点] 利用平面向量基本定理求参数 [答案] 43[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.[考点] 平面向量的夹角求向量的夹角 [题点] 求向量的夹角解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练3 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [考点] 平面向量的夹角求向量的夹角 [题点] 求向量的夹角 [答案] C[解析] 如图，作向量AD →＝BC →，则∠BAD 是AB →与BC →的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°.1．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ [考点] 平面向量基本定理 [题点] 基底的判定 [答案] B2.如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④[考点] 平面向量基本定理[题点] 基底的判定[答案] B[解析] ②中DA →与BC →共线，④中OD →与OB →共线，①③中两向量不共线，故选B.3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.[考点] 平面向量基本定理的应用[题点] 利用平面向量基本定理求参数[答案] －15 －12[解析] ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[考点] 平面向量基本定理的应用[题点] 利用平面向量基本定理求参数[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →， 又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.5．在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.[考点] 平面向量基本定理[题点] 用基底表示向量解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)， 所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.。
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→AP＝13A→B，若→AB＝a，A→C＝b， 试用 a，b 将→MN、→NP、→PM表示出来． 解 →NP＝→AP－→AN＝13A→B－23A→C＝13a－23b， →MN＝→CN－→CM＝－13→AC－23→CB＝－13b－23(a－b) ＝－23a＋13b，→PM＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b)． 规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数 乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关 于 x，y 的方程组求解． 跟踪演练 1 如图，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，→OB＝b 为边的平行四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、b 表示O→M，O→N，M→N. 解 →BM＝13B→C＝16B→A ＝16(→OA－→OB)＝16(a－b)， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b. ∵C→N＝13→CD＝16→OD. ∴O→N＝O→C＋C→N＝12→OD＋16→OD ＝23→OD＝23(a＋b)， →MN＝→ON－→OM＝12a－16b. 要点二 向量的夹角问题 例 2 已知|a|＝|b|，且 a 与 b 的夹角为 120°，求 a＋b 与 a 的夹角，a－b 与 a 的夹角． 解 如图，作→OA＝a，→OB＝b，∠AOB＝120°，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，则→OC＝a＋b，B→A＝a－ b. ∵|a|＝|b|，∴平行四边形 OACB 为菱形． ∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°，
在 Rt△OCD 中，∵|O→C|＝2 3，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°， ∴|→OD|＝4，|→CD|＝2，故O→D＝4→OA， →OE＝2O→B，即 λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 10．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若D→E＝λ1→AB＋λ2→AC(λ1，λ2 为实数)， 则 λ1＋λ2 的值为________．
1 答案 2 解析 易知D→E＝12→AB＋23→BC＝12A→B＋23(→AC－→AB)＝－16→AB＋23→AC，
于点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用 a，b 表示向量O→C，D→C；
(2)若O→E＝λ→OA，求实数 λ 的值．
解 (1)∵A 为 BC 中点，
∴O→A＝12(→OB＋→OC)，O→C＝2a－b.
→DC＝→OC－→OD＝→OC－23O→B
2
5
＝2a－b－3b＝2a－3b.
(2)∵O→E＝λ→OA，∴C→E＝O→E－O→C＝λ→OA－→OC
解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，
→AG＝23A→D＝23(→AB＋→BD)
＝23×A→B＋12B→C
＝23→AB＋13→BC＝23A→B＋13(→AC－→AB)
＝13→AB＋13→AC＝13a＋13b.
1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这 两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向 量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，
将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
一、基础达标
1．若 e1，e2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) 1
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－2e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案 D
解析 选项 A、B、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底．
→BA与→OA的夹角即为→BA与→BC的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b 与 a 的夹角为 60°，a－b 与 a 的夹角为 30°. 规律方法 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定 夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”． 跟踪演练 2 如图，已知△ABC 是等边三角形． (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角． 解 (1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD， 则A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量A→B与B→C的夹角为 120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°. 要点三 平面向量基本定理的应用 例 3 如图，在△ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2NC.AM 与 BN 相交于点 P，求 AP∶ PM 的值． 解 设B→M＝e1，C→N＝e2，则→AM＝→AC＋→CM＝－3e2－e1， →BN＝→BC＋→CN＝2e1＋e2. ∵A，P，M 和 B，P，N 分别共线， ∴存在实数 λ，μ，使得→AP＝λA→M＝－λe1－3λe2， →BP＝μB→N＝2μe1＋μe2. 故B→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，
＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.
∵C→E与C→D共线，∴存在实数 m，使得→CE＝mC→D，
即(λ－2)a＋b＝m－2a＋53b， 即(λ＋2m－2)a＋1－53mb＝0.
λ＋2m－2＝0， ∵a，b 不共线，∴1－53m＝0，
4 解得 λ＝5.
1．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y 的值为( )
D．a<0，b<0
答案 C
解析 当点 P 落在第Ⅰ部分时，→OP按向量O→P1与O→P2分解时，一个与O→P1反向，一个与O→P2同向，故 a<0，b>0. 5．设向量 m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用 m，n 表示 p，则 p＝________.
答案 －74m＋183n
解析 设 p＝xm＋yn，则 3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识链接] 1．如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量→AB，→CD，→EF，→GH，→HG，a. 答 通过观察，可得： →AB＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，→EF＝4e1－4e2， →GH＝－2e1＋5e2，→HG＝2e1－5e2，a＝－2e1. 2．0 能不能作为基底？ 答 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底． 3．平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [预习导引] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对 实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作→OA＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向． (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
3．如图，已知A→B＝a，→AC＝b，→BD＝3→DC，用 a，b 表示→AD，则A→D 等于________．
答案 14a＋34b
解析 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋34→BC
＝A→B＋34(→AC－→AB)＝14A→B＋34→AC＝14a＋34b.
4．已知 G 为△ABC 的重心，设→AB＝a，A→C＝b.试用 a、b 表示向量A→G.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝35.
∴A→P＝45→AM，∴AP∶PM＝4∶1.
规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底
表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握．
跟踪演练 3 已知如图，△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将→OB分成 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交
1－λ＝μ2 ， ∴1－μ＝λ3 ，
λ＝35， 解得μ＝45.
∴A→E＝25a＋15b.
二、能力提升
8．M 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则M→A＋M→B＋M→C等于( )
A．6→ME
B．－6→MF
C．0
D．6＝M→A＋2→MD＝→MA＋→AM＝0.
A．3
B．－3 C．0
D．2
答案 A
2．已知 AD 为△ABC 的中线，则→AD等于( )
A.A→B＋A→C
B.A→B－A→C C.12A→B－12→AC D.12→AB＋12→AC
答案 D
解析 延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 CE，BE，则四边形 ABEC 是平行四边形，则
→AD＝12A→E＝12(→AB＋→AC)＝12A→B＋12A→C.