高一数学 必修四 平面向量基本定理 学案

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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
[知识链接] 1.如图所示,e1,e2 是两个不共线的向量,试用 e1,e2 表示向量→AB,→CD,→EF,→GH,→HG,a. 答 通过观察,可得: →AB=2e1+3e2,C→D=-e1+4e2,→EF=4e1-4e2, →GH=-2e1+5e2,→HG=2e1-5e2,a=-2e1. 2.0 能不能作为基底? 答 由于 0 与任何向量都是共线的,因此 0 不能作为基底. 3.平面向量的基底唯一吗? 答 不唯一,只要两个向量不共线,都可以作为平面的一组基底. [预习导引] 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对 实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角:已知两个非零向量 a 和 b,作→OA=a,O→B=b,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的夹角. ①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°,180°]. ②当 θ=0°时,a 与 b 同向. ③当 θ=180°时,a 与 b 反向. (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90°,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.
1-λ=μ2 , ∴1-μ=λ3 ,
λ=35, 解得μ=45.
∴A→E=25a+15b.
二、能力提升
8.M 为△ABC 的重心,点 D,E,F 分别为三边 BC,AB,AC 的中点,则M→A+M→B+M→C等于( )
Hale Waihona Puke Baidu
A.6→ME
B.-6→MF
C.0
D.6M→D
答案 C
解析 M→A+M→B+M→C=M→A+2→MD=→MA+→AM=0.
解 连接 AG 并延长,交 BC 于点 D,则 D 为 BC 的中点,
→AG=23A→D=23(→AB+→BD)
=23×A→B+12B→C
=23→AB+13→BC=23A→B+13(→AC-→AB)
=13→AB+13→AC=13a+13b.
1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这 两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向 量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,
于点 E,设O→A=a,O→B=b.
(1)用 a,b 表示向量O→C,D→C;
(2)若O→E=λ→OA,求实数 λ 的值.
解 (1)∵A 为 BC 中点,
∴O→A=12(→OB+→OC),O→C=2a-b.
→DC=→OC-→OD=→OC-23O→B
2
5
=2a-b-3b=2a-3b.
(2)∵O→E=λ→OA,∴C→E=O→E-O→C=λ→OA-→OC
1 答案 2 解析 易知D→E=12→AB+23→BC=12A→B+23(→AC-→AB)=-16→AB+23→AC,
将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.
一、基础达标
1.若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) 1
A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-2e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2
答案 D
解析 选项 A、B、C 中的向量都是共线向量,不能作为平面向量的基底.
9.如图,平面内有三个向量O→A、O→B、O→C.其中→OA与→OB的夹角为 120°,O→A与O→C的夹角为 30°,且|O→A|=|→OB
|=1,|→OC|=2 3,若O→C=λ→OA+μO→B(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________.
答案 6
解析 如图,以 OA、OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形 ODCE,则→OC=→OD+→OE.
D.a<0,b<0
答案 C
解析 当点 P 落在第Ⅰ部分时,→OP按向量O→P1与O→P2分解时,一个与O→P1反向,一个与O→P2同向,故 a<0,b>0. 5.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,若用 m,n 表示 p,则 p=________.
答案 -74m+183n
解析 设 p=xm+yn,则 3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,
要点一 用基底表示向量 例 1 如图所示,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,且→BM=13→BC,→CN=13C→A,
→AP=13A→B,若→AB=a,A→C=b, 试用 a,b 将→MN、→NP、→PM表示出来. 解 →NP=→AP-→AN=13A→B-23A→C=13a-23b, →MN=→CN-→CM=-13→AC-23→CB=-13b-23(a-b) =-23a+13b,→PM=-M→P=-(M→N+N→P)=13(a+b). 规律方法 (1)用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数 乘定义,解题时要注意解题途径的优化与组合. (2)将向量 c 用 a,b 表示,常采用待定系数法,其基本思路是设 c=xa+yb,其中 x,y∈R,然后得到关 于 x,y 的方程组求解. 跟踪演练 1 如图,四边形 OADB 是以向量O→A=a,→OB=b 为边的平行四边形.又 BM=13BC,CN=13CD,试用 a、b 表示O→M,O→N,M→N. 解 →BM=13B→C=16B→A =16(→OA-→OB)=16(a-b), ∴O→M=O→B+B→M=16a+56b. ∵C→N=13→CD=16→OD. ∴O→N=O→C+C→N=12→OD+16→OD =23→OD=23(a+b), →MN=→ON-→OM=12a-16b. 要点二 向量的夹角问题 例 2 已知|a|=|b|,且 a 与 b 的夹角为 120°,求 a+b 与 a 的夹角,a-b 与 a 的夹角. 解 如图,作→OA=a,→OB=b,∠AOB=120°,以O→A,O→B为邻边作平行四边形 OACB,则→OC=a+b,B→A=a- b. ∵|a|=|b|,∴平行四边形 OACB 为菱形. ∴O→C与O→A的夹角∠AOC=60°,
得2x+4y=3 -3x-2y=2
x=-74 ⇒ y=183
.
6.在△ABC 中,→AB=c,A→C=b.若点 D 满足B→D=2→DC,则A→D=____________.
21 答案 3b+3c 解析 A→D=A→B+B→D=A→B+23→BC =A→B+23(→AC-→AB)=13A→B+23→AC=23b+13c. 7.如图所示,在△ABC 中,点 M 为 AB 的中点,且→AN=12→NC,→BN与→CM相交于点 E,设→AB=a,A→C=b,试以 a, b 为基底表示→AE. 解 ∵A→N=13→AC=13b,→AM=12→AB=12a, 由 N,E,B 三点共线知存在实数 λ 满足→AE=λA→N+(1-λ)→AB=13λb+(1-λ)a. 由 C,E,M 三点共线知存在实数 μ 满足 →AE=μA→M+(1-μ)A→C=μ2 a+(1-μ)b.
→BA与→OA的夹角即为→BA与→BC的夹角∠ABC=30°. ∴a+b 与 a 的夹角为 60°,a-b 与 a 的夹角为 30°. 规律方法 求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,根据向量夹角的概念确定 夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”. 跟踪演练 2 如图,已知△ABC 是等边三角形. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角; (2)若 E 为 BC 的中点,求向量A→E与E→C的夹角. 解 (1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°. 如图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD, 则A→B=B→D, ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角. ∵∠DBC=120°, ∴向量A→B与B→C的夹角为 120°. (2)∵E 为 BC 的中点,∴AE⊥BC, ∴A→E与E→C的夹角为 90°. 要点三 平面向量基本定理的应用 例 3 如图,在△ABC 中,点 M 是边 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC.AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶ PM 的值. 解 设B→M=e1,C→N=e2,则→AM=→AC+→CM=-3e2-e1, →BN=→BC+→CN=2e1+e2. ∵A,P,M 和 B,P,N 分别共线, ∴存在实数 λ,μ,使得→AP=λA→M=-λe1-3λe2, →BP=μB→N=2μe1+μe2. 故B→A=B→P-A→P=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而B→A=B→C+C→A=2e1+3e2, 由平面向量基本定理,得λ+2μ=2,
2.下面三种说法中,正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向
量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案 B
3.若 a、b 不共线,且 λa+μb=0(λ,μ∈R),则( )
A.a=0,b=0
B.λ=μ=0
C.λ=0,b=0
D.a=0,μ=0
答案 B
4.如图所示,平面内的两条直线 OP1 和 OP2 将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界),若O→P=aO→P1
+bO→P2,且点 P 落在第Ⅰ部分,则实数 a,b 满足( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
3λ+μ=3,
λ=45, 解得μ=35.
∴A→P=45→AM,∴AP∶PM=4∶1.
规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.(2)用基底
表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用,熟练掌握.
跟踪演练 3 已知如图,△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AB=AC,D 是将→OB分成 2∶1 的一个分点,DC 和 OA 交
=λa-2a+b=(λ-2)a+b.
∵C→E与C→D共线,∴存在实数 m,使得→CE=mC→D,
即(λ-2)a+b=m-2a+53b, 即(λ+2m-2)a+1-53mb=0.
λ+2m-2=0, ∵a,b 不共线,∴1-53m=0,
4 解得 λ=5.
1.已知向量 e1,e2 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值为( )
在 Rt△OCD 中,∵|O→C|=2 3,
∠COD=30°,∠OCD=90°, ∴|→OD|=4,|→CD|=2,故O→D=4→OA, →OE=2O→B,即 λ=4,μ=2,∴λ+μ=6. 10.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC,若D→E=λ1→AB+λ2→AC(λ1,λ2 为实数), 则 λ1+λ2 的值为________.
A.3
B.-3 C.0
D.2
答案 A
2.已知 AD 为△ABC 的中线,则→AD等于( )
A.A→B+A→C
B.A→B-A→C C.12A→B-12→AC D.12→AB+12→AC
答案 D
解析 延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 CE,BE,则四边形 ABEC 是平行四边形,则
→AD=12A→E=12(→AB+→AC)=12A→B+12A→C.
3.如图,已知A→B=a,→AC=b,→BD=3→DC,用 a,b 表示→AD,则A→D 等于________.
答案 14a+34b
解析 A→D=A→B+B→D=A→B+34→BC
=A→B+34(→AC-→AB)=14A→B+34→AC=14a+34b.
4.已知 G 为△ABC 的重心,设→AB=a,A→C=b.试用 a、b 表示向量A→G.
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