运筹学2
运筹学第2章
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学2-DEA算法
决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策 实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率 。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效 率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入 和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够 处理多投入、多产出的复杂系 统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银 行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率， 优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医 院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率 进行评价，发现医院在某些科室的资源 配置和医疗服务质量方面存在不足，提 出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效 率评价，发现部分科室在人力资源和设备 资源配置方面存在不足，影响了医疗服务 质量。医院针对这些问题，优化了资源配 置，加强了医护人员的培训和管理，提高 了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措 施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方 面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等 措施，提高了整体生产效率。
运筹学2对偶问题
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
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在例2.1中，原问题的最优解X＝（24.24，0，46.96） 对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0，0） 最优值z=w=5712.12
分析：
1. y1=10.6说明在现有的资源限量的条件下，增加 一个单位第一种资源可以给企业带来10.6元的利润； 如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加10.6元。
1
1
3
5 x
x
2
2
8 10
x 1 0 , x 2 0
【解】这是一个对称形式的线性规划，它的对偶问题求最
小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5 y1 7 y2 y3 4 y1 2 y2 3y3 3 yi 0, i 1,2,3
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
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若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再 写对偶问题。也可直接按表2－1中的对应关系写出非对称 形式的对偶问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
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14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
北邮阶段作业运筹学2
1.矩阵对策中，如果最优解要求一个局中人采取纯策略，则另一局中人也必须采取纯策略。
A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B1.矩阵对策中，当局势达到平衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失。
A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A1.动态规划的基本方程是将一个多阶段决策问题转化为一系列具有递推关系的单阶段的决策问题。
A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A1.一个动态规划问题若能用网络表达时,节点代表各阶段的状态值,各条弧代表了可行方案的选择。
A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:A1.在允许缺货发生短缺的存储模型中，订货批量的确定应使由于存储量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。
A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答[B;] 标准答A;案: 案:1.二人有限零和对策中“有限”的含义是指 ( )。
A.甲方的策略有限，而乙方的策略无限B.乙方的策略有限，而甲方的策略无限C.甲、乙两方的策略都是有限的D.甲、乙两方的策略都是无限的知识点: 阶段作业二学生答案: [C;]标准答案:C1.下面关于网络图中的虚工序的描述，正确的是（）。
A.虚工序是技术上的等待，因而它不耗费人力、物力，只耗费时间B.虚工序与实工序一样，包括技术上的等待，因而它既耗费人力、物力，又耗费时间C.虚工序所描述的是一类实际上不存在的工序，只是为了作图的需要D.虚工序是表示前后两道工序之间的逻辑关系，因而它既不耗费人力、物力，又不耗费时间知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:D1.完全决定动态规划问题第k + 1阶段的状态x k+1的是（）。
A.阶段数kB.决策d kC.状态x kD.状态x k与决策d k知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:D;1.对动态规划问题的描述，下列错误的结论是（）。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学2
例如
1 0 A= ⋮ 0
0 1 ⋮ 0
⋯ 0 a1m +1 ⋯ a1n ⋯ 0 a2 m + 1 ⋯ a2 n ⋯ 1 anm +1 ⋯ ann
此时，问题的约束条件可以改写成 此时，
x1 = b1 − a1m +1 xm +1 − ⋯ − a1n xn x = b −a 2 2 2 m + 1 xm + 1 − ⋯ − a2 n xn ⋮ xm = bm − amm +1 xm +1 − ⋯ − amn xn
n
zj
于是 那么
z = z0 + z = z0 +
如果某一个 σ j > 0 , 则引入变量 x j 为进基变量 目标函数值会上升， 起了判断作用. 目标函数值会上升，可见 σ j 起了判断作用 检验数. 因此我们称 σ j 为检验数 定理1 最优解判别定理 最优解判别定理) 定理 (最优解判别定理 为对应于基矩阵B的基 若 x(0) = (b1 ,⋯, bm ,0,⋯,0)T为对应于基矩阵 的基 ′ ′ 本可行解， 本可行解，且对于一切 j = m + 1,⋯ , n 有 σ j ≤ 0 (0) 为最优解. 则 x 为最优解
x1
从初始基可行解X 开始迭代， 从初始基可行解 (0)开始迭代，依次得到 X(1),X(2),X(3)，这相当于图中的目标函数平移 点开始， 时，从O点开始，首先碰到 ，然后碰到 ， 点开始 首先碰到A，然后碰到B， 最后达到C. 最后达到 .
第一章 线性规划及单纯形法
第四节 单纯形法的计算步骤
一 一般线性规划问题的单纯形法 1 初始基本可行解的确定 单纯形法需要从一个初始基本可行解开始运 为了确定初始基本可行解， 算，为了确定初始基本可行解，首先要找出 初始基本可行基. 初始基本可行基 (1) 如果线性规划等式约束中能直接观察到存 在m个线性无关的单位向量，经过重新排序 个线性无关的单位向量，经过重新排序, 就可以得到一个可行基 可行基. 就可以得到一个可行基
运筹学第2章单纯形法
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
运筹学讲义2
第二讲 运输问题11111,2,, ..1,2,, 0mnij iji j nij i j m ij j i ij MinZ w x x a i m s tx b j n x =====⎧==⎪⎪⎪⎨==⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑产地约束销量约束定理1 运输问题的数学模型必有最优解。
运输问题基变量的个数为m +n －1 。
对于运输问题的基可行解，m ×n 个变量中至多只能有m +n －1个变量取正值，而其他的变量为零 一、基本概念1）数字格 2）空格 3）闭回路结论1： 运输问题的一个可行解是基可行解的充要条件是： 1）数字格的个数为m+n-1个2） m+n-1个数字格不构成闭回路（从数字格出发） 结论2： 对每一个空格处，有且仅有一条闭回路。
例：判断下表给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解二、表上作业法（1）初始方案的确定：最小元素法；伏格尔法 （2）最优性检验：闭回路法；位势法 （3）闭回路内改进方案 (1.1)最小元素法(就近供应)就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地(1.2)伏格尔法销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地(2.1)闭回路法计算检验数∑∑-=σ偶奇ij ij ijc c注：1)数字格检验数均为0 2)空格检验数销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③(2.2)位势法求检验数j i cv u =+对数字格而言计算）行势、列势的定义与注：:13）行势、列势可不唯一，但检验数是一致的。
σ),()2=σ+-=ij j i ij ij v u c 数字格检验数的计算：空格销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③（3）闭回路内改进方案销地741058101391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③121-11012（06年，第三题，20分）下表是一运输问题的表格，其中右上角数字是单位运价，方框内是运量。
运筹学讲义_2运输问题
结束
换基
图 2.1.1
由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些 有利条件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。
下面主要讨论运输问题的一些性质基本可行解、检验数以及基的转换等问题。
§1.2 运输问题数学模型解的性质
定理 2.1.1 产销平衡运输问题（2.1.2）必有可行解，也必有最优解.
示产地 Ai 的产量； d j 表示销地 B j 的销量； Cij 表示把物资从产地 Ai
位运价。如果
运往销地 B j 的单
m
n
åSi = åd j
i=1
j =1
则称该运输问题为产销平衡的运输问题；否则，称为产销不平衡的运输问题。
表 2.1.3
销
产
地
地
B1
A1
C 11
A2
┋
Am
销量
C 21
┋
C m1
平衡的运输问题其约束条件为：
mn
åå min f =
Cij xij
i =1 j =1
（2.1.1）
å ì n
ï
x ij
= Si (i = 1,2,Lm)
ï j=1
å ïï n
s.t í
x ij
= d j ( j = 1,2,Ln)
ï i=1
ï ï
x ij
³
0(i
= 1,2,Lm;
j
= 1,2,Ln)
im + n -1 jm + n-1
为对应的基矩阵，
则
x = it jt
det Bt det B
(t =1, 2 , … , m+n-1)
运筹学第2章 对偶理论
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
运筹学2
运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课。
它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。
该学科是一应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。
而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。
因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业密切相关.物流(Logistics)是指物品从供应地向接受地的实体流动过程在现代物流中，物流管理（Logistics Management）是指在社会在生产过程中，根据物质资料实体流动的规律，应用管理的基本原理和方法，对物流活动进行计划、组织、指挥、协调、控制和监督，使各项物流活动实现最佳的协调与配合，以降低物流成本，提高物流效率和经济效益随着我国社会经济的快速发展国民经济和贸易呈现迅猛发展的态势。
现代综合物流管理中，对采购、包装、流通加工、储存保管、配送、装卸和运输等物流活动诸要素的管理，对人、财、物、设备、方法和信息等物流系统诸要素的管理对物流经济管理、物流质量管理和物流工程经济管理等物流活动中具体职能的管理都要用到数学知识。
运筹学在现代物流企业的实际应用是一个非常具有意义的课题，借助运筹学的主要研究内容和方法，建立了大致的知识框架体系，它不是枯燥乏味的理论，而是非常实用的学科，生活中几乎处处都有运筹学，特别是对物流工作更是意义深远，能帮助物流企业解决许多实际的问题。
运筹学是运用系统化的方法，经由建立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，做出综合的合理安排，以达到较经济、有效地使用人力、物力、财力等资源.运筹学与物流学从一开始，两者就密切地联系在一起，相互渗透和交叉发展。
运筹学第2章线性规划的对偶问题
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
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15
第二步：确定目标函数取最优值的 方向。确定取极值方向的方法：令s 取不同值，作出n条（至少两条）等 值线，即可判断出方向。 第三步：求最优解。（使目标函数 取最大或最小值的解）
16
例2
max z=x1+x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2
最优解
6
可行域
令x3 = x3 =x3/ – x3// x3 无符号限制, xj 无非负约束，令 xj =xj/ – xj//
9
Max z/= – x1/ + x2 +4 x3/ –4 x3// s.t. – 3x2+4 x3/ –4 x3// +x4 =9 – x1/+ 2x2 –x5 = 6 5x2+2 x3/ –2 x3// +x6 =16 x1/, x2 , x3/ , x3// , x4 , x5 , x6 ≥ 0
x1
-1 0 -1 -1 1
x1+ x2≤5
18
线性规划的图解法 例4
max s.t. z=2x1+x2 x1+ x2 ≥3 x1 - x2≤3 x1 ≥0, x2≥0
x2
3
g
x1 0
3
19
min s.t.
z=2x1+x2 x1+ x2 ≥3 x1 - x2≤3 x1 ≥0, x2≥0
x2
3
g
x1 0
1 1 2 2 n 11 1 12 2 1n n
n
st .
b ≥0
i
a x +a x +...+ a x =b a x + a x +...+ a x =b ⋮ a x + a x +...+ a x =b x , x ,..., x ≥0
4
-8 0
6
x1
x1+ x2 =4 x1+ x2 =0
17
线性规划的图解法 例3
min s.t. z=-x1+x2 -2x1+ x2≤2 x1 - 2x2≤2 x1+ x2≤5 x1 ≥0, x2≥0
D g 2 1 1 2 A 3 4
x2
-2x1+ x2≤2
C 可行域
B 最优解 5
x1 - 2x2≤2
10
补充几个名词：
可行解：满足所有约束条件的决策变量 可行域：全体可行解组成的集合 最优解：使目标函数达到最大或最小的 可行解。 最优值：最优解的目标函数值。
11
第二节 线性规划问题的图解法
一、图解法的步骤（适应于求解两个 决策变量的线性规划问题）
12
例1
max s.t. z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
4
C = (c , c ,⋯, c );X=
1 2 n
（三）标准型的矩阵形式
max st . z =CX
AX =b X ≥0
a11a12 ...a1n a a ...a A = ( P1, P2 , ⋯ , Pn ) = 21 22 2 n ......... am1am 2 ...amn
,
3
（二）标准型的向量形式
max z = ∑c x
n j =1 j n j =1 j
∑
st .
p x =b
j j
x≥0
其中，C为价值向量；X 为决策变量向量；Pj为xj 的系数列向量；b为资源 向量
a1 j x1 b1 0 x b 0 a2 j 2 ; P = ;b = 2 ; 0 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ xn bm anj 0
回顾（ 回顾（第二章线性规划及单纯形法 第一节 线性规划问题及数学模型 ）
总结： 总结、 线性规划的三大要素：决策变量、 约束条件、 约束条件、目标函数 二、线性规划模型及其建立的步骤
1
三、线性规划模型的标准型
标准型为：
max
z =cx +c x +...+c x
1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 1 m2 2 mn n 2 n
m
2
（一）标准型的简写形式
max st .
z = ∑c x
n
j =1
j
j
n ∑ j =1 j
a x =b (i =1,2, ⋯, m) x ≥0 ( j =1,2, ⋯, n)
ij j i
8
目标函数令z=-z/
-3x2 + 4x3 ≤9 – x1 + 2x2 ≥ 6
Max z / =x1 -x2+-4 x3 -3x2 + 4x3+x4=9
约束条件“≤”，加上一非负松弛变量
– x1 + 2x2-x5=6 5x2+2 x3+x6=16
约束条件“≥”，减去一非负剩余变量
5x2+2 x3≤16 x1 ≤ 0, 令x1= -x1/ ≥0,
3
20
二、线性规划求解结果
唯 唯一最优解 一
无穷多最优解 无界解 无可行解
21
三、图解法的启示
可行域为有界或无界凸多边形 若有最优解则一定在顶点上达到
22
5
（四）标准型的集合形式
max z = {CX AX = b, X ≥ 0
}
6
四、线性规划模型的标准化步骤
（一）目标函数最大化 （二）约束条件等式化 （三）决策变量非负化
7
例 将下列LP标准化
min z =-x1 +x2 -4 x3 3x2 – 4x3 ≥ –9 s.t. – x1 + 2x2 ≥6 5x2+2 x3≤16 x1 ≤ 0, x2≥0, x3 无符号限制
x2 6
4
-8 0
目标函数等值线
6
x1
x1+3x2 =6 x1+ 3x2 =0
13
步骤 第一步：确定满足约束条件 的点的集合（其中每个点都 是可行解，所有可行解组成 的集合，为可行解集）每个 约束条件所限定的点集为一 个半平面，各半平面的交集 即为可行解集。
14
各半平面的判定方法（1）将各s、t 令为等式，作出直线 （2）在两个半平面内任选一点，检 验是否满足s·t