理学三重积分华南理工大学高数模版

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大学物理三重积分

电磁波的传播与散射研究
总结词
电磁波在传播过程中会受到介质的影响而发生散射、折射等现象，通过研究电磁波的传播与散射特性，可以应用于雷达、通信等领域。
详细描述
电磁波在传播过程中会遇到各种介质，如大气、水、土壤等，这些介质对电磁波的传播特性产生影响。通过三重积分，可以计算电磁波在介质中的传播路径、散射系数、吸收系数等参数，进而研究电磁波在不同介质中的传播规律。这对于雷达、通信、遥感等领域具有重要意义，可以帮助人们更好地了解电磁波与介质相互作用机制，提高相关设备的性能和稳定性。
三重积分与物理规律的关系
守恒定律
三重积分常常与守恒定律相关联，例如质量守恒、电荷守恒、能量守恒等。通过三重积分可以验证这些守恒定律的正确性。
场方程
在描述物理场的性质时，三重积分可以用来求解场方程，例如泊松方程和拉普拉斯方程。
动力学方程
在描述物体的运动规律时，三重积分可以用来求解动力学方程，例如牛顿第二定律和动量守恒定律。
星体运动轨迹的研究
总结词
星体的运动轨迹受到多种因素的影响，如引力、太阳辐射压等，通过研究星体的运动轨迹，可以深入了解天体的运动规律和宇宙的结构。
详细描述
星体的运动轨迹是一个复杂的问题，受到多种因素的影响，如万有引力、太阳辐射压等。通过三重积分，可以计算星体在各种力作用下的运动轨迹，进而研究天体的运动规律和宇宙的结构。这对于天文学、宇宙学等领域具有重要意义，可以帮助人们更好地了解宇宙的演化历史和天体的运动规律。
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大学物理三重积分
目录
• 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的物理意义 • 三重积分的实际应用案例

《scut三重积分》课件

估值定理
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化为球坐标的r、θ、φ的积分。通过确定各变量的积分上下限，利用微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积函数与球坐标的对应关系，以及不同变量间的几何意义。同时，还需考虑球坐标系中各变量的取值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。

[理学]三重积分习题课ppt课件

2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：

华南理工大学大二理学专业高等数学试卷合集及答案

高等数学〔下〕试题集t在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面},,1x y -应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，11,2x =-=，由于切点在曲面上()221121122z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ ()()21210,210y z x y z +--=---=473y z+==-和平面:4223x y z ∏--=则〔 B 〕、L 与∏平行，但L 不在∏内、L 不与∏垂直，L 不与∏平行 23z xy +=在点()1,2,0处的法线方程是直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和2112:123x y z L -+-==，12,L L 所确定的平面方程。

()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的{}21,2,3S =-，因为12//S S ，所以12//L L设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以2022000A B C D A D B C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩所求方程为210x y --+=二。

多元函数[](){}221.201042,116,18.z x y gradz ==+9点的梯度[]()()44222.2010(,)21,1,1,1.f x y x y x xy y =+-----的极值点是[]()()2010:(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.f x y f f x y=3. 证明处连续与存在但在处不可微()()()()()0:10(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim (0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim (,)0,0.x y x y x x y x y f f x y f x f f f xf f f f x f y f x y →→∆→∆→∆→===∆-==∆⎡⎤∆-∆+∆解因为所以处连续.=0,同理所以与存在因为,所以在处不可微[]()2010,cos ,sin ,u x y x r y r u ux y r y xθθθ==∂∂-∂∂4. 设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.cos ,sin arctan ,sin cos cos ,sin ,,.yx r y r r xr r x y x r y r u u u x y y x θθθθθθθθθθ====∂∂∂∂===-=∂∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂解:由得到从而于是5.[2021]00009916x x y y xy →→→→-+==-6.[2021] ()()()23322222200110,1x x y y y xyu du dx dy dx xyxy====-==+=++处7.[2021] 设22,y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂。

华南理工大学微积分(Word)

一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分）基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算基本计算方法：1）在直角坐标下的计算方法：x 型区域、y 型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个r 。

其他知识点：改变积分的次序二重积分的应用：曲面():,z f x y ∑=的面积为D，其中D为∑在xoy 面上的投影区域。

例1：()()2222,:,,00Dy x d D y R x x y R y R σ-≤++≤≥>⎰⎰解：原式()()02232000sin cos R xRR dx y x dy d r dr πθθθ+-=-+-⎰⎰⎰⎰()33032001sin 233R R R x dx d r dr πθθ-⎛⎫=++- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 44414428R R R ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 例2：交换下列二次积分的次序()()()21133201,,x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰132y -二、三重积分（引例：求空间立体的质量）基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算基本计算方法：1）投影法；2）切片法；3）柱面坐标下计算法；4）球面坐标下计算法例3：计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，式中Ω为由12z z ⎧≥⎪⎨≤≤⎪⎩所确定的圆台体。

解：方法一、用截面法：2423111544z zdv z dz πππΩ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 方法二、用球面坐标： 1202,0,4cos cos πθπϕρϕϕ≤≤≤≤≤≤ 223cos 44133cos 4sin sin sin cos 2cos 4cos zdv d d d d πππϕϕϕϕθϕρϕϕρπϕϕϕΩ⎛⎫==-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4222111152242cos 8cos 484ππππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-=--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。

高数三重积分知识点与例题精讲(二)

三重积分(2)
一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结思考题
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二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
M(x, y,z)
o

x
r
y

P(r,)
如图，三坐标面分别为
r 为常数圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面；平面．
M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
o

r P(r, )
y
x r cos ,

r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
练习题: 计算三重积分
其中为由柱面 x2 y2 2x 及平面
o

y

d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .

例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
x2 y2 z2，与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标

华理高数全部复习资料之重积分-推荐下载

其中是 D 的面积。
（5）对称区域上奇偶函数的积分性质
设 f (x, y) 在有界闭区域 D 上可积，（i）若 D 关于 x 轴对称，则

D
f
其中 D* {(x, y) | (x, y) D , y 0} 。
（ii）若 D 关于 y 轴对称，则
(
x
,
y
)
dxdy

f (x, y) d f ( , )
D
f (x, y) d f (x, y) d
D
（ii）若 m f (x, y) M ，是 D 的面积，则有
（4）积分中值定理
D
m f (x, y) d M
D
设 f (x, y) 为有界闭区域 D 上的连续函数，则存在 ( , ) D ，使得
D
（i）极点在区域 D 外。区域 D 在极坐标下可表示为
，1 ( ) r 2 ( ) 其中函数1 ( ) 、2 ( ) 在区间[ , ]上连续，则
D
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

高数讲义第三节三重积分(二)

Dxy : 0 2 , 0 a
x2 y2 z2 z ,
4
o
y
: 0 2 , 0 a, z a, x
Dxy
I ( x2 y2 )dxdydz 02 d 0ad a 2dz
2 0a 3(a )d
a5. 10
解由锥面和球面围成，采用球面坐标，
: 0 2 , 0 2, 2 z 4，
例 5 计算 I zdxdydz，其中是抛物面
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
Dxy {(x, y) | x2 y2 4}
{(, ) | 0 2 , 0 1}
z1 x2 y2 2, z2 4,
3
z2 2
4 2
d
2
3
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，点 M 到原点的距离记为 r ,
有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为，
点 M 在xoy 面上的投影为P ( x, y)
自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 z
OP 的角度记为
则三元有序数组( r, , )
例 5 计算I zdxdydz，其中是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2 ,
z 4
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
z4
o
y
x
Dxy {(x, y) | x2 y2 4} {(, ) | 0 2 , 0 2}
z1 x2 y2 2, z2 4,
y
sin
,
z z.
o
• P(, )

三重积分-高等数学PPT

dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40

大学物理三重积分

22
例 7 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中

由曲面 y 1 x2 z2 ， x2 z2 1， y 1所
围成. 解如图,
将投影到zox平面得
Dxz : x2 z2 1
先对y积分，再求Dxz上的二重积分
23
原式
y
1
x 2 dxdz

坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
解法1：坐标轴投影法
zdxdydz

1
0 zdz dxdy, Dz
z
1
Dz {( x, y) | x y 1 z}
1

Dz
dxdy

(1 2

z)(1

z)
o
1
x
y
1
原式
1 z 1 (1 z)2 dz
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中，
如果用平行于坐标面的平面来划分 ,
则 v xyz. 即dv dxdydz
三重积分可记为 f ( x, y, z)dxdydz.

其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
4
二、三重积分的计算（只限于叙述方法）
直角坐标柱面坐标
密度函数为是空间有界闭区域上的有界函数将闭区域任意分成n个小闭区域表示第i个小闭区域也表示它的体积并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时这和式的极限存在则称此极限为函数在闭区域上的三重积分记为来划分用平行于坐标面的平面如果在直角坐标系中积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz叫做体积元素其中dvdxdydzdv坐标面投影法先一后二法只限于叙述方法xoy面上的投影为闭区域穿出z1S1来自z z1( x, y)

[PPT模板]高数三重积分

曲面面积公式为：
A 1 ( x )2 ( x )2 dydz
D yz
y z
(３)．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为：
A 1 ( y )2 ( y )2 dzdx
Dzx
z x
9
例3 求半径为a的球的表面积。
z a
解取z a2 x2 y2 , z 0
例6 求位于两圆r =2sin 和r = 4sin 之间的均匀
薄片的质心(如图)。 y
解因为闭区域D对称于
4
__
y轴,所以质心G(x, y)
D 2
必位于y轴上, 于是
x

0,
y

1 A

D
yd。
o
x
由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两
圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积
之差，即A=3。
10
取区域D1：x2+y2b2(0<b<a)为积分区域，求出相应于D1上的球面面积A1后，再令b→a取A1的极限即可得到半球的面积。
y
b
o
ax
A1
D1

a
dxdy
a2 x2 y2
a
2
b
rdrd a d
D1 a2 r2
0
0
rdr a2 r2
n
n
I x yi2mi , I y xi2mi
i 1
i 1
Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量。
24
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y) 处具有连续面密度

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得截面Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
Dz
Dz
其结果为z的函数F (z);

c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
c1
x
o
y
例计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域 .
解截面法(先二后一法)
解积分域用柱坐标表示为
y
r4
: 0 z 4 r sin , 0 r 4, 0 2
O
4x
原式 r r drddz
2
d 0
4 r 2dr
0
4r sin
dz
512 .
0
3
例计算 z x2 y2dv,其中Ω由半圆柱面
x2 y2 2x 0( y 0)及平面y 0, z 0, z a 0
所围成. 解积分域用柱坐标表示为
z
zzaa
: 0 z a, 0 r 2cos ,
0
2
原式 zr r dr ddz
2 d 0
2cos r 2dr
0
a
zdz
0
8a2. 9
O
x
y
x2 y2 2x 0
y
r 2cos
O
2x
面上的投影P的极坐标为 r, , 则这样的三个数
r, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 r , 0 2 ,
z
z
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin ,z z
o
x
• M(x, y,z)
r
y
•
P(r, )
柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面;
1dy 1 y (1 y)e(1 yz)2 (1 y z)dz
0
0
1
1
(1 y)dy
1 y e(1 yz)2d[(1 y z)2 ]
20
0
1 4e
截面法
截面法的一般步骤
(1)把积分区域向某轴(如z轴) 投影,
得投影区间[c1,c2 ];
(2)对z [c1,c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
f (i ,i , i )vi (i 1,2 , n),③并作和
n
④
f (i ,i , i )vi .如当各小闭区域直径中的最大值
i 1
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x, y, z)在闭区域Ω上的三重积分.
记为 f ( x, y, z)dv
Ω
n
即
Ω
f ( x, y, z)dv
1
dx
1 x3 y4dy
1
0
0
20
z
O
y
x
三重积分
例求 I
1
dx
1 x
dz
1 xz
(1
y)e(1 yz)2dy
0
0
0
z
解 e y2的原函数不是初等函数,
1 x yz1
一定要交换积分次序.
应先x对积分
1O
1y
I [ 1 yz (1 y)e(1 yz)2 dx]d x 0
Dyz
3 三重积分的概念与计算
三重积分的概念三重积分的计算
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
① 设f ( x, y, z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1, v2 , vn
②其在中每个vi表v示i上第任i个取小一闭点区(域i ,,i也,表i ),示作它乘的积体积.
如图, 闭区域在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y),
过点 ( x, y) D 作直线, 从 z1 穿入, 从 z2 穿出． a O
b x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y)
y
y y2( x)
x2 2 y2
Dxy
O
x
y
z 2 x2
1
1 x2
2 x2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
例计算三重积分 I x3 y4 cos zdxdydz,
其中V是长方体 V
V
( x,
y, z) 0
x
1,
0
y
1,
0
z
2
.
解
I [ 2 x3 y4 cos zdz]d 0 Dxy
y y1(x)
例化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2 y2 得交线投影区域 2 x2
D : x2 y2 1
z z x2 2y2
2x2
I [
f (x, y, z)dz]d
f ( r cos, r sin , z) rdrddz
d
r2 () dr
z2 (r,) f (r cos , r sin , z)rdz
r1 ()
z1 ( r ,)
注通常是先积z、再积 r、后积 .
例计算 x2 y2 dv,其中Ω由柱面 x2 y2 16
及平面y z 4, z 0 所围成.
lim 0
i 1
f (i ,i , i )vi
体积元素
当f ( x, y, z)) 0时， f ( x, y, z)dv的物理意义表示
以f ( x, y, z)为体面密度的非均匀立体的质量.
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
02
24
2、在柱面坐标系下计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
投影法
F ( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y )
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d
D
D z1 ( x, y )
• •M(x, y,z)
r 为常数
以z轴为中心轴的圆柱面；
O •
y
为常数
P(r , )
x
过z轴的半平面.
如图, 在柱面坐标系中,
z
若以三坐标面分割空间区域 ,
得小柱体 V (红色部分). 即
r
V rd dr dz
柱面坐标系中的体积元素为 o
r d
dz
dr
y
dv r drddz
x
d
f ( x, y, z)dxdydz

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