理学三重积分华南理工大学高数模版

得截面Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
Dz
Dz
其结果为z的函数F (z);

c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
c1
x
o
y
例 计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域 .
解 截面法(先二后一法)
解 积分域用柱坐标表示为
y
r4
: 0 z 4 r sin , 0 r 4, 0 2
O
4x
原式 r r drddz
2
d 0
4 r 2dr
0
4r sin
dz
512 .
0
3
例 计算 z x2 y2dv,其中Ω由半圆柱面
x2 y2 2x 0( y 0)及平面y 0, z 0, z a 0
所围成. 解 积分域用柱坐标表示为
z
zzaa
: 0 z a, 0 r 2cos ,
0
2
原式 zr r dr ddz
2 d 0
2cos r 2dr
0
a
zdz
0
8a2. 9
O
x
y
x2 y2 2x 0
y
r 2cos
O
2x
面上的投影P的极坐标为 r, , 则这样的三个数
r, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 r , 0 2 ,
z
z
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin ,z z
o
x
• M(x, y,z)
r
y
•
P(r, )
柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面;
1dy 1 y (1 y)e(1 yz)2 (1 y z)dz
0
0
1
1
(1 y)dy
1 y e(1 yz)2d[(1 y z)2 ]
20
0
1 4e
截面法
截面法的一般步骤
(1)把积分区域向某轴(如z轴) 投影,
得投影区间[c1,c2 ];
(2)对z [c1,c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
f (i ,i , i )vi (i 1,2 , n),③并作和
n
④
f (i ,i , i )vi .如当各小闭区域直径中的最大值
i 1
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x, y, z)在闭区域Ω上的三重积分.
记为 f ( x, y, z)dv
Ω
n
即
Ω
f ( x, y, z)dv
1
dx
1 x3 y4dy
1
0
0
20
z
O
y
x
三重积分
例 求 I
1
dx
1 x
dz
1 xz
(1
y)e(1 yz)2dy
0
0
0
z
解 e y2的原函数不是初等函数,
1 x yz1
一定要交换积分次序.
应先x对积分
1O
1y
I [ 1 yz (1 y)e(1 yz)2 dx]d x 0
Dyz
3 三重积分的概念与计算
三重积分的概念 三重积分的计算
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
① 设f ( x, y, z)是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1, v2 , vn
②其在中每个vi表v示i上第任i个取小一闭点区(域i ,,i也,表i ),示作它乘的积体积.
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y),
过点 ( x, y) D 作直线, 从 z1 穿入, 从 z2 穿出． a O
b x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y)
y
y y2( x)
x2 2 y2
Dxy
O
x
y
z 2 x2
1
1 x2
2 x2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
例 计算三重积分 I x3 y4 cos zdxdydz,
其中V是长方体 V
V
( x,
y, z) 0
x
1,
0
y
1,
0
z
2
.
解
I [ 2 x3 y4 cos zdz]d 0 Dxy
y y1(x)
例 化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2 y2 得交线投影区域 2 x2
D : x2 y2 1
z z x2 2y2
2x2
I [
f (x, y, z)dz]d
f ( r cos, r sin , z) rdrddz
d
r2 () dr
z2 (r,) f (r cos , r sin , z)rdz
r1 ()
z1 ( r ,)
注 通常是先积z、再积 r、后积 .
例 计算 x2 y2 dv,其中Ω由柱面 x2 y2 16
及平面y z 4, z 0 所围成.
lim 0
i 1
f (i ,i , i )vi
体积元素
当f ( x, y, z)) 0时， f ( x, y, z)dv的物理意义表示
以f ( x, y, z)为体面密度的非均匀立体的质量.
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
02
24
2、在柱面坐标系下计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
投影法
F ( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y )
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d
D
D z1 ( x, y )
• •M(x, y,z)
r 为常数
以z轴为中心轴的圆柱面；
O •
y
为常数
P(r , )
x
过z轴的半平面.
如图, 在柱面坐标系中,
z
若以三坐标面分割空间区域 ,
得小柱体 V (红色部分). 即
r
V rd dr dz
柱面坐标系中的体积元素为 o
r d
dz
dr
y
dv r drddz
x
d
f ( x, y, z)dxdydz