多人合作对策与分配问题

{A} {B} {C} {A,B} {A,C} {B,C} {A,B,C}
14 0 0 13 0 0 150 90 130 100 160 110 150 220
0 100 0 0
相应的，表中第三行为成本节省对策<W,V>的特征函 数值V(S)，由下式得出
V (S ) C (i) C (S )
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1、合理分配（Imputation）
作为一个对策的解X，即在对策中对N隔局中人得失的合 理分配，至少应满足两个条件： （1） xi V ({i}) （2） xi V ( N )
i 1 n
iN
（个人合理性）
i N （集体合理性）
条件（1）称为：“个人合理性”（Individual Rationality），表示局中人i所分配值xi不小于特征函数 中规定他至少能得到的值V(i)。 条件（2）称为“集体合理性”条件（Group Rationality），表示对于一个对策解，所有局中人分配 得失之和应等于所有局中人联合起来形成一个大联盟时 得到的收益值，也就是这局对策中的最大收益值V(N)。
I (V ) X ( x1 , x2 , x3 ) | x1 0, x2 0, x3 0, x1 x2 x3 1 而 就是其中两合理分配。 1 1 1 1 5 1 X 1 ( , , ), X 2 ( , , ) 2 3 6 3 12 4
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四、常用解法
稳集法
核法
Shaply值法
值法
多目标规划方法
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1、稳集
稳集的基本思想 是选择这样一个合理分配的集合作为对策的解，而不在 这集合内的任何合理分配总能被这个集合中某个合理分 配所支配，且这个集合内的合理分配互相不被支配。 定义：对于一个对策，存在一组合理分配 S (V ) I (V ) 满足 （1） X ,Y S(V ) ，则X，Y互相不被支配。 （2）对任合理分配 Z S (V )，则必有 X S (V )且X Z 则称这样一组合理分配S(V)为此对策的稳集。 稳集被看作多人结盟对策的一种形式。
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2、支配（Domination）
定义：对于两个合理分配X，Y，若对于某一联盟S，有 （1） xi yi
iS
iS
（2） xi V ( S ) 则称合理分配X通过联盟S支配Y，记为 X Y 解释：
S
条件（1）表示对于联盟S来讲，X优于Y。
条件（2）表示联盟S有足够的能力保证它的局中人I通 iS 过合作能获得合理分配 xi , 定义：在对策中，只要存在某一联盟S，且X通过S支 配Y，则也称X支配Y，记为 X Y
（若 W (S ) K V (S ) ai ，则 V ( S ) 1 W ( S ) ai ;
iS
传递性（Transitivity）：
k
iS
k
1 0 ） k
~ ~ 若 N ,W ~ N ,V 且 N ,U s N ,W 则 N ,U s N ,V s 由W ( S ) KV ( S ) a( S ), U ( S ) W ( S ) b( S )可推得
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2、特征函数 （1）V(S)表示当若干局中人联合成一个结盟S时, 在这局对策中能获得的最大收益值,即当形成结盟S, 只要S内每一个局中人共同策略,选择相应策略结盟 S能保证获得,而与联盟外局人采用什么策略无关。 若S=,V()=0。 （2）超可加性 若一个多人对策的特征函数具有下列性质,即 对任意结盟S,T N,S∩T= ,满足 V(S∪T)≥V(S)+V(T). 称这个多人对策具有超可加性。如果特征函 数不满足超可加性，对策中的结盟是不稳定的。
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例1 ：（爵士乐队对策，A Jazz Band Gounce）
一位歌手（S），一位钢琴家（P）和一位鼓手（D） 组成一个小乐队在俱乐部同台演出能得到演出费1000元， 若歌手和钢琴家一起演出能得800元。而只有钢琴家和鼓 手一起演出能得到650元，钢琴独奏表演能得300元，钢 琴家没有其它收入。然而，歌手和鼓手在地铁中表演能挣 500元，歌手独奏可以从The Terasses 挣200元，而鼓 手单独什么也挣不到。 问题：如何在这三人爵士乐队中合理分配共同演出费 1000元？
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1、局中人与结盟 （1） N＝{1,2,…,n}表示局中人集合。 （2）结盟S，表示一个联盟，即一局多人对 策中，一部份局中人联合成一体像一 个“局中人”一样选择策略，这种联合 称为结盟。显然结盟S是局中人集合N 的子集，SN。 （3）2n是局中人可能形成结盟的个数。
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3、等价性与标准化(valence and normalization) S-等价是在一组n人对策中的一种等价关系，并具 有下列性质。
s 弹性（Reflexivity）： N ,V ~ N ,V (k 1, ai 0,Vi s N ,V ，则 N ,V ~ N ,W
W ( S ) K V ( S ) a i
iS
s 则称<N,V>对于<N,W>是S-等价，记为 N ,W ~ N ,V ， K可理解为汇率。当ai>0时，可理解为对W对策中每个局 中人应分得的红利，而当ai<0时，可认为是W对策的局中 人应交的费用，该对策中的收益值依汇率K而变化，同时又 涉及局中人的红利或应交费。
很容易验证此对策是具有超可加性的。
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例2:（产品对策A Production Game）
从M1、M2、M3、M4四种原材料中各取一个单位 能生产1个单位的某种产品，这个产品的价格要比它的 原材料成本高出1000元，现有三个人，他们拥有这四 种材料情况如下表:
原材料
人
1 2
100 Ａ 30 50 20 C
电站 140 B
这三个镇可相互联合建设，试问如何在这三个 小镇合理分摊这笔建设费？
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例3：成本分摊问题（A Cost Game）
这个问题的合作对策对<N,C>，N={A,B,C}，成本 分摊对策的特征函数V(S)如下表第二行：
S＝
V(S) ＝ C(S) ＝
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2、支配（Domination）
多人结盟对策求解问题实际是在合理分配集I(V)满足
x y
i 1 1
n
n
i
V (N )
对所有局中人不可能存在一个合理分配优于另一个 合理分配，即有 xi yi , i 1,2,, n
但是对于某一个联盟S，只要满足 xi yi , iS 成立（这是可能的），则对S联盟而言可认为X分配优于Y 分配，即得出支配概念
M1
1/2 1/2
M2
1/2 0
M3
0 1
M4
0 0
3
0
1/2
0
1
问：若这三人联合起来生产这种产品，他们之间该如 何分配所得利润？
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例2:（产品对策A Production Game） 将此问题转化为三人对策，其特征函数如下：
S V(S)

0
{1} {2} {3} 0 0 0
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二、多人结盟对策的基本概念 多人结盟对策：局中人多于二人时的对策称为多 人对策。这种对策中如果局中人可以和其它局中 人联合成一体统一行动与其它局中人对抗，这种 对策称为多人结盟对策。 这种对策有三个基本要素:
局中人N＝{1,2,…,n}； 结盟S； 特征函数V（S）。
一般可用<N,V>表示一个多人结盟对策。
U ( S ) KV ( S ) (a( S ) b( S )), 其中a( S ) ai
iS
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3、等价性与标准化(valence and normalization) （2）标准型 0-标准型：一个多人对策<N,V>，若满足V({i})=0， i∈N ，则称该对策为0-标准型。 0-1标准型：对策<N,V>是0-标准型，且满足V(N)=1， 则称该对策为0-1标准型。 （α，β）型：对策<N,V>，若满足V({i})=α，i∈N, 且V({N})= β, α、β是实数，称此对策为（α，β）型， 显然（0，1）标准型是（α，β）型之特殊情况。 定理：每一个必要结盟得超可加性对策均能S-等价于一 个0-1标准型对策<N,W>，且这个S-等价是唯一的。
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例1 ：（爵士乐队对策，A Jazz Band Gounce）
这个问题可归为一个三人合作对策，它的特征 函数V（S）为：
结盟S {S,P,D} {S,P} {S, D} {P,D} V(S) 1000 800 500 650 {S} 200 {P} 300 {D} 0
iS
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S 2N
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例3：成本分摊问题（A Cost Game）
Ａ 100 13 0
15 0 15 0 Ｃ 130
90
Ｂ 140 16 0
Ａ 0
1 0 0
2 2 0 Ｃ 0
Ｂ 0 1 1 0
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3、等价性与标准化(valence and normalization) （1）S-等价 设<N,V>和<N,W>是两个n人对策，假设存在实数 a1,a2,……，an，及k>0，并对所有S N，且S≠Φ，满足