最新湘教版中考数学知识点梳理 第1讲 实数
湘教版初中数学知识点总复习资料
教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲一元一次不等式(组)3.定义用不等号连接,含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1的,左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例:若230mmx++>是关于x的一元一次不等式,则m的值为-1.4.解法(1)步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1.失分点警示系数化为1时,注意系数的正负性,若系数是负数,则不等式改变方向.(2)解集在数轴上表示:x≥a x>a x≤a x<a知识点三:一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.(1)在表示解集时“≥”,“≤”表示含有,要用实心圆点表示;“<”,“>”表示不包含要用空心圆点表示.(2)已知不等式(组)的解集情况,求字母系数时,一般先视字母系数为常数,再逆用不等式(组)解集的定义,反推出含字母的方程,最后求出字母的值.如:已知不等式(a-1)x<1-a 的解集是x>-1,则a的取值范围是a<1.6.解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a<b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小,小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大,小小取不了知识点四:列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1)一般步骤:审题;设未知数;找出不等式关系;列不等式;解不等式;验检是否有意义.(2)应用不等式解决问题的情况:a.关键词:含有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“不高于(≤)”、“不大(小)于”、“超过(>)”、“不足(<)”等;b.隐含不等关系:如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题,一般还需根据整数解,得出最佳方案注意:列不等式解决实际问题中,设未知数时,不应带“至少”、“最多”等字眼,与方程中设未知数一致.第三单元函数第9讲平面直角坐标系与函数知识点一:平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1)定义:在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.(2)几何意义:坐标平面内任意一点M与有序实数对(x,y)的关系是一一对应.点的坐标先读横坐标(x轴),再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征(如图所示):点P(x,y)在第一象限⇔x>0,y>0;点P(x,y)在第二象限⇔x<0,y>0;点P(x,y)在第三象限⇔x<0,y<0;点P(x,y)在第四象限⇔x>0,y<0.(2)坐标轴上点的坐标特征:①在横轴上⇔y=0;②在纵轴上⇔x=0;③原点⇔x=0,y=0.(3)各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等;②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4)点P(a,b)的对称点的坐标特征:①关于x轴对称的点P1的坐标为(a,-b);②关于y轴对称的点P2的坐标为(-a,b);③关于原点对称的点P3的坐标为(-a,-b).(5)点M(x,y)平移的坐标特征:(1)坐标轴上的点不属于任何象限.(2)平面直角坐标系中图形的平移,图形上所有点的坐标变化情况相同.(3)平面直角坐标系中求图形面积时,先观察所求图形是否为规则图形,若是,再进一步寻找求这个图形面积的因素,若找不到,就要借助割补法,割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线,从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.xy第四象限(+,-)第三象限(-,-)第二象限(-,+)第一象限(+,+)–1–2–3123–1–2–3123OM (x,y)M1(x+a,y) M2(x+a,y+b)3.坐标点的距离问题(1)点M(a,b)到x轴,y轴的距离:到x轴的距离为|b|;)到y轴的距离为|a|.(2)平行于x轴,y轴直线上的两点间的距离:点M1(x1,0),M2(x2,0)之间的距离为|x1-x2|,点M1(x1,y),M2(x2,y)间的距离为|x1-x2|;点M1(0,y1),M2(0,y2)间的距离为|y1-y2|,点M1(x,y1),M2(x,y2)间的距离为|y1-y2|.平行于x轴的直线上的点纵坐标相等;平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二:函数4.函数的相关概念(1)常量、变量:在一个变化过程中,数值始终不变的量叫做常量,数值发生变化的量叫做变量.(2)函数:在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称x是自变量,y是x的函数.函数的表示方法有:列表法、图像法、解析法.(3)函数自变量的取值范围:一般原则为:整式为全体实数;分式的分母不为零;二次根式的被开方数为非负数;使实际问题有意义.失分点警示函数解析式,同时有几个代数式,函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例:函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象(1)分析实际问题判断函数图象的方法:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找对应点;②找特殊点:即交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:判断出函数的增减性,图象的倾斜方向.(2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法:①设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧:①当函数图象从左到右呈“上升”(“下降”)状态时,函数y随x的增大而增大(减小);②函数值变化越大,图象越陡峭;③当函数y值始终是同一个常数,那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一:一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1)概念:一般来说,形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数.特别地,当b =0时,称为正比例函数.(2)图象形状:一次函数y=kx+b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0)的直线.特别地,正比例函数y=kx的图象是一条恒经过点(0,0)的直线.例:当k=1时,函数y=kx+k-1是正比例函数,2.一次函数的性质k,b符号K>0,b>0K>0,b<0K>0,b=0 k<0,b>0k<0,b<0k<0,b=0(1)一次函数y=kx+b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置.(2)比较两个一次函数函数值的大小:性质法,借助函数的图象,也可以运用数值代入法.例:已知函数y=-2x+b,函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”).大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标:求一次函数与x轴的交点,只需令y=0,解出x即可;求与y轴的交点,只需令x=0,求出y即可.故一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点是()-bk,0,与y轴的交点是(0,b);(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象恒过点(0,0).例:一次函数y=x+2与x轴交点的坐标是(-2,0),与y轴交点的坐标是(0,2).知识点二:确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件(1)常用方法:待定系数法,其一般步骤为:①设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0);②代:将已知点的坐标代入函数表达式,解方程或方程组;③解:求出k与b的值,得到函数表达式.(2)常见类型:①已知两点确定表达式;②已知两对函数对应值确定表达式;③平移转化型:如已知函数是由y=2x平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件,而确定正比例函数的表达式,只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标,可快速解题. 如:已知一次函数经过点(0,2),则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律:①一次函数图象平移前后k不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位,则b值增大h;若向下平移h单位,则b值减小h.例:将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度,所得图象的函数关系式为y=-2x+2.知识点三:一次函数与方程(组)、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象与x轴交点的横坐标.例:(1)已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为(1,0).(2)一次函数y=-3x+12中,当x>4时,y的值为负数.7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式(1)函数y=kx+b的函数值y>0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集(2)函数y=kx+b的函数值y<0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集知识点四:一次函数的实际应用9.一般步骤(1)设出实际问题中的变量;(2)建立一次函数关系式;(3)利用待定系数法求出一次函数关系式;(4)确定自变量的取值范围;(5)利用一次函数的性质求相应的值,对所求的值进行检验,是否符合实际意义;(6)做答. 一次函数本身并没有最值,但在实际问题中,自变量的取值往往有一定的限制,其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路:确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型(1)求一次函数的解析式.(2)利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1)定义:形如y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:①y=kx;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0)例:函数y=3x m+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交;(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.例:若(a,b)在反比例函数kyx=的图象上,则(-a,-b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x.知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1)意义:从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2)常见的面积类型:失分点警示已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0.例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;②也要注意系数k的几何意义.例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE>S△BOD.知识点三:反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;(2设出函数表达式;(3)依题意求解函数表达式;(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质知识点一:二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.例:如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠0.2.解析式(1)三种解析式:①一般式:y=ax2+bx+c;②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k); ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2)待定系数法:巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式;若已知顶点坐标或对称轴方程与最值,可设顶点式;若已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.知识点二:二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线知识点四:命题与证明9.命题与证明(1)概念:对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题,正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题.(2)命题的结构:由题设和结论两部分组成,命题常写成"如果p,那么q"的形式,其中p是题设,q是结论.(3)证明:从一个命题的题设出发,通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时,只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.例:下列命题是假命题的有(③)①相等的角不一定是对顶角;②同角的补角相等;③如果某命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题;④若某个命题是定理,则该命题一定是真命题.第15讲一般三角形及其性质一、知识清单梳理知识点一:三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类(1)按角的关系分类(2)按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示:在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时,必须考虑三角形三边关系.例:等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.3.角的关系(1)内角和定理:①三角形的内角和等180°;②推论:直角三角形的两锐角互余.(2)外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时,若所给条件含比例,倍分关系等,列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质(1)角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.(2)当同一个三角形中出现两条高,求长度时,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线(1)角平线上的点到角两边的距离相等(2)三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)中线(1)将三角形的面积等分(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边,且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=12(∠C-∠B);如图②,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则有∠O=12∠A+90°;如图③,BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线,则∠O=12∠A,∠O’=12∠O;如图④,BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线,则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题,会起到事半功倍的效果.知识点二:三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等. (3)全等三角形的周长等、面积等. 失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等)SAS (两边和它们的夹角对应相等)ASA (两角和它们的夹角对应相等)AAS (两角和其中一个角的对边对应相等)失分点警示如图,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等(HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2)全等三角形中的辅助线的作法:①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS 可得△ACD ≌△EBD ,则AC=BE.在△ABE 中,AB+BE >AE ,即AB+AC >2AD. ③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.例:如图,在△ABC 中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形知识点一:等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1)性质①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB =AC ∠B =∠C ; ②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD 是对称轴. (2)判定①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形;②等角对等边:即若∠B =∠C ,则△ABC 是等腰三角形.(1)三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立. 如:如左图,已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点,则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示:当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°,则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. 2.等边三角形(1)性质:①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于60°.即AB =BC =AC ,∠BAC =∠B =∠C =60°; ②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2)判定①定义:三边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB =AC ,且∠B =60°,则△ABC 是等边三角形.(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. (2)等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD=1/2AB. 例:△ABC 中,∠B=60°,AB=AC ,BC=3,则△ABC 的周长为9.知识点二:角平分线和垂直平分线3.角平分线(1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若∠1 =∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.例:如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=6.4.垂直平分线图形(1)性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB.(2)判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点三:直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=30°则AC=12AB;(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=12AB.(4)勾股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2 .(1)直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高),可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2)已知两边,利用勾股定理求长度,若斜边不明确,应分类讨论.(3)在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C=90°,则△ABC是Rt△;(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则△ABC是Rt△.第17讲相似三角形知识点一:比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a cb d=,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质:a cb d=⇔ ad=bc;(b、d≠0)(2)合比性质:a cb d=⇔a bb±=c dd±;(b、d≠0)(3)等比性质:a cb d==…=mn=k(b+d+…+n≠0)⇔......a c mb d n++++++=k.(b、d、···、n≠0)已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例:若35ab=,则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解.例:如图,已知D,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE=2,CE=3,要使DE∥AB,那么BC:CD应等于53. (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.即如图所示,若AB∥CD,则OA OBOD OC=.(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB==5-12≈0.618,例:把长为10cm的线段进行黄金分21P COBAPCO BADABC abcDABC abcFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA分割那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.割,那么较长线段长为5(5-1)cm.知识点二:相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路:①条件中若有平行线,可用平行线找出相等的角而判定;②条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例;③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等;④条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.如图,若∠A=∠D,AC ABDF DE=,则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若AB AC BCDE DF EF==,则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边成比例.(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为2,则△ABC与△DEF的面积之比为9:4.(2) 如图,DE∥BC,AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,则AF:AG=1:2.7.相似三角形的基本模型(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,可以迅速找到解题思路,事半功倍.(2)证明等积式或者比例式的一般方法:经常把等积式化为比例式,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一:锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A=∠A的对边斜边=ac余弦: cos A=∠A的邻边斜边=bc正切: tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二:解直角三角形FEDCBAFEDCBAFEDCBA。
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节:实数(附答案解析)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节:实数★解读课标★--------------熟悉课标要求,精准把握考点1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小;了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值;2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数与绝对值的方法,知道|a|的含义;3.会用科学记数法表示数;4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念.会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根,会用平方运算求百以内整数的平方根;5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);能运用有理数的运算解决简单的问题.★中考预测★--------------统计考题频次,把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主,也是考查重点,年年考查,是广大考生的得分点,分值为14~28分。
2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查,也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查,且考查形式多样,为避免丢分,学生应扎实掌握。
★聚焦考点★--------------直击中考考点,落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。
(有限小数与无限循环小数都是有理数。
)2.正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称分数。
3.正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和零统称为非负整数,负整数和零统称为非正整数。
4.正数和负数表示相反意义的量。
【注意】0既不是正数,也不是负数。
数轴 1.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定都是有理数。
3.数轴上,右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧,表第1页共44页。
实数课件初中数学湘教版八年级上册
学习目标
1. 了解有理数的运算律在实数范围仍然适用; 2.会估计一个无理数的范围.
※ 新课导入
把数从有理数扩充到实数以后,实数也可以进行加、减、 乘、除、乘方运算,而且非负数可以进行开平方运算,任 意实数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时,有理数的运算法则、运算律等,对 于实数仍然成立.
※ 新知探究 填空: 设a,b,c是任意实数,则 (1)a+b= b+a (加法交换律); (2)(a+b) +c= a+(b+c) (加法结合律); (3)a+0=0+a= a ; (4)a+(-a)=(-a)+a= 0 ;
对于实数,我们可以得出:
每个正实数有且只有两个平方根,它们互为相反 数.0的平方根是0. 在实数范围内,负实数没有平方根. 在实数范围内,每个实数a有且只有一个立方根.
前面所学的有关数、式、方程(组)的性质、法 则和解法,对于实数仍然成立.
例2 计算下列各式的值:
(1) 3+ 5 - 5; (2)2 3 - 3 3.
(2)3 2 2 3 3 2
= 23 2 32 3
=13 2 12 3
=4 2 3
=4 2 3.
例3 用计算器计算: 2 5(精确到小数点后面第二位).
解: 按键:
2✕
5=
显示:3.16227766 精确到小数点后面第二位得:3.16.
2 5 ≈ 3.16. 在实数运算中,如果遇到无理数,并且需要求出结果的近似 值时,可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数, 再进行计算.
3.3 实数 第1课时 实数及其分类
学习目标
1. 了解实数的意义,并能将实数按要求进行准确的 分类; 2. 了解实数和数轴上的点一一对应,能用数轴上的 点表示无理数; 3. 知道实数的相反数和绝对值的意义.
中考数学知识点总结(最新最全)
中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征。
2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如2、34;特定结构的不限环无限小数,如 1.101001000100001……;特定意义的数,如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a 的相反数是 -a ; (2)a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数:(1)实数a (a ≠0)的倒数是a1;(2)a 和b 互为倒数⇔1=ab ;(3)注意0没有倒数3、绝对值:(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n 次方根(1)平方根,算术平方根:设a ≥0,称a ±叫a 的平方根,a 叫a 的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:3a 叫实数a 的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
中考数学第1讲 实数(含答案)
第1讲 实数【回顾与思考】(1)实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数①实数: 和 统称实数, 和数轴上的点是一一对应....的。
(即:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
) ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式,其中p 和q 是整数且最大公约数是1。
③无理数:无限 叫无理数,常见的有三类:① ;② ;③ ;④对实数进行分类,应先 ,后 。
(2)数轴:规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时,要注童上述规定的三要素缺一个不可)。
和数轴上的点是一一对应....的。
(即:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
)(3)相反数: 实数的相反数是一对数(只有 的两个数,叫做互为相反数,零的相反数是 ). 从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于 对称.(4)绝对值①从数轴上看,一个数的绝对值就是 的距离。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是 ,一个负数的绝对值是 ,零的绝对值是 。
(5)倒数: 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数,叫做互为倒数);零 倒数.(6)平方根:如果 ,即 ,那么这个数x 叫做做a 的平方根(也叫二次方根)。
一个正数有 平方根,且互为相反数;0的平方根是 ;负数 平方根。
(7)算术平方根:如果 ,即 ,那么这个正数x 叫做a 的算.术.平方根,即x a =;特别规定0的算术平方根是 。
即00=。
(8)立方根:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根),一个正数的立方根是 ;0的立方根是 ;负数的立方根是 。
2022版中考数学总复习 第1讲 实数(含解析) 湘教版
第1讲实数考标要求考查角度1理解有理数、无理数和实数的概念,会用数轴上的点表示有理数.2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求一个数的相反数、倒数与绝对值.3.理解平方根、算术平方根、立方根的概念,会求一个数的算术平方根、平方根、立方根.4.理解科学记数法、近似数与有效数字的概念,能按要求用四舍五入法求一个数的近似值,能正确识别一个数的有效数字的个数,会用科学记数法表示一个数.5.熟练掌握实数的运算,会用各种方法比较两个实数的大小实数是中学数学重要的基础知识,中考多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现,主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.另外,命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力知识梳理一、实数的分类二、实数的有关概念及性质1.数轴1规定了______、________、____________的直线叫做数轴;2实数与数轴上的点是一一对应的.2.相反数1实数a的相反数是____,零的相反数是零;2a与b互为相反数a+b=____3.倒数1实数aa≠0的倒数是____;2a与b互为倒数______4.绝对值1数轴上表示数a的点与原点的______,叫做数a的绝对值,记作|a|2|a|=错误!5.平方根、算术平方根、立方根1平方根①定义:如果一个数的平方等于a,即2=a,那么这个数叫做a的平方根也叫二次方根,数a的平方根记作______.②一个正数有两个平方根,它们互为________;0的平方根是0;负数没有平方根.2算术平方根①如果一个正数的平方等于a,即2=a,那么这个正数叫做a的算术平方根,a的算术平方根记作____.零的算术平方根是零,即错误!=0②算术平方根都是非负数,即错误!≥0a≥0.③错误!2=aa≥0,错误!=|a|=错误!3立方根①定义:如果一个数的立方等于a,即3=a,那么这个数叫做a的立方根也叫三次方根,数a的立方根记作______.②任何数都有唯一一个立方根,一个数的立方根的符号与这个数的符号相同.6.科学记数法、近似数、有效数字1科学记数法把一个数N表示成______1≤a<10,n是整数的形式叫做科学记数法.当N≥1时,n 等于原数N的整数位数减1;当N<1时,n是一个负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数含整数位上的零.2近似数与有效数字一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从______第1个不为0的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.三、非负数的性质1.常见的三种非负数|a|≥0,a2≥0,错误!≥0a≥0.2.非负数的性质1非负数的最小值是零;2任意几个非负数的和仍为非负数;3几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0四、实数的运算1.运算律1加法交换律:a+b=______2加法结合律:a+b+c=________3乘法交换律:ab=____4乘法结合律:abc=______5乘法分配律:ab+c=__________2.运算顺序1先算乘方,再算乘除,最后算加减;2同级运算,按照从____至____的顺序进行;3如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.3.零指数幂和负整数指数幂1零指数幂的意义为:a0=____a≠0;2负整数指数幂的意义为:a-0003 C2 C3 2012年6月1日109 ,n在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是A.m>0 B.n<0 C.mn<0 D.m-n>06.计算:|-5|+错误!-32考点一、实数的分类【例1】 2022云南写出一个大于2且小于4的无理数:__________解析:设这个无理数为错误!,∵22=4,42=16,则4<a<16,∴只要这个无理数的底数满足4~16即可,如错误!,错误!等.答案:错误!,错误!等答案不唯一方法总结本题在一定范围内确定一个无理数,首先明确无理数的意义,再确定这个无理数左右两边最接近的整数,从而确定这个无理数.触类旁通1在实数5,错误!,错误!,错误!中,无理数是A.5 B.错误! C.错误! D.错误!考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】 12022湖南娄底2 012的倒数是A.错误! B.-错误! C.2 012 D.-2 01222022湖南株洲-9的相反数是A.9 B.-9 C.错误! D.-错误!32022湖南娄底写出一个的值,使|-1|=-1成立,你写出的的值是__________.解析:12 012的倒数为错误!2只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0,∴-9的相反数是93∵|-1|=-1,∴-1≥0,≥1,故答案不唯一,只要≥1即可.答案:1A 2A 3答案不唯一,如2等.方法总结1求一个数的倒数,直接用1除以这个数;求一个数的相反数,直接在这个数的前面加上负号,0除外,有时需要化简得出.2.解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想.3.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是0和正数即非负数;倒数是它本身的数是±1触类旁通2下列各数中,相反数等于5的数是A.-5 B.5 C.-错误! D.错误!考点三、平方根、算术平方根与立方根【例3】 1-22的算术平方根是A.2 B.±2 C.-2 D.错误!2实数27的立方根是__________.解析:1-22的算术平方根,即错误!=|-2|=2;227的立方根是错误!=3答案:1A 23方法总结1对于算术平方根,要注意:1一个正数只有一个算术平方根,它是一个正数;20的算术平方根是0;3负数没有算术平方根;4算术平方根错误!具有双重非负性:①被开方数a是非负数,即a≥0;②算术平方根错误!本身是非负数,即错误!≥0 2.错误!3=a,错误!=A.触类旁通34的平方根是A.2 B.±2 C.16 D.±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】 2022湖南常德我国南海海域的面积约为350 000 km2,该面积用科学记数法应表示为__________m2解析:用科学记数法表示的数必须满足a×10n1≤|a|<10,n为整数的形式,则3 500 000=×106答案:×106方法总结1用科学记数法表示数,当原数的绝对值大于或等于1时,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数.2.取一个数精确到某一位的近似数时,应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入,而之后的数不予考虑.3.用科学记数法表示的近似数,乘号前面的数即a的有效数字即为该近似数的有效数字;而这个近似数精确到哪一位,应将用科学记数法表示的数还原成原来的数,再看最后一个有效数字处于哪一个数位上.触类旁通4某种细胞的直径是5×10-4毫米,这个数是A.毫米 B.毫米C. 5毫米 D. 05毫米考点五、非负数性质的应用【例5】若实数,满足错误!+3-2=0,则代数式-2的值为__________.解析:因为错误!≥0,3-2≥0,而错误!+3-2=0,所以-2=0,3-=0,解得=2,=3,则-2=2×3-22=2答案:2方法总结常见的非负数的形式有三种:|a|,错误!a≥0,a2,若它们的和为零,则每一个式子都为0触类旁通5若|m-3|+n+22=0,则m+2n的值为A.-4 B.-1 C.0 D.4考点六、实数的运算【例6】计算:12-1+错误!co 30°+|-5|-π-2 01102-12 011-错误!-3+错误!0+|3错误!-8in 60°|1分析:2-1=错误!,co 30°=错误!,|-5|=5,π-2 0110=1解:原式=错误!+错误!×错误!+5-1=错误!+错误!+5-1=62分析:错误!-3=2-1-3=23=8,错误!0=1,in 60°=错误!解:原式=-1-8+1+错误!=-8+错误!点拨:1根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算,即a-0 C3 C1066 C5米5米5米3a]表示一个实数m的整数部分,例如错误!=0,[]=3,按此规定[错误!+1]的值为__________.7.2022湖南娄底计算:|-2|+-30-错误!=__________1.下列各数中,最小的数是A.0 B.1 C.-1 D.-错误!2.若|a|=3,则a的值是A.-3 B.3 C.错误! D.±33.下列计算正确的是A.-8-8=0 B.错误!×-2=1 C.--10=1 D.|-2|=-24.如图,数轴上A,B两点对应的实数分别为1和错误!,若点A关于点B的对称点为C,则点C所表示的实数是A.2错误!-1 B.1+错误! C.2+错误! D.2错误!+15.1实数错误!的倒数是____.2写出一个比-4大的负无理数__________.6.若将三个数-错误!,错误!,错误!表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________.7.定义一种运算☆,其规则为a☆b=错误!+错误!,根据这个规则,计算2☆3的值是__________.8.如图,物体从点A出发,按照A→B第1步→C第2步→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动,则第2 012步到达点________处.9.计算:|-2|+-12 012-π-40参考答案【知识梳理】一、正整数正无理数二、11原点正方向单位长度2.1-a20 31错误!2ab=14.1距离2a0 -a5.1①±错误!a≥0②相反数2①错误!3①错误!6.1a×10n2左边四、11b+a2a+b+c3ba4abc5ab+ac2.2左右311 2错误!小于0,n大于0,则mn<0,m-n<06.解:|-5|+错误!-32=5+4-9=0探究考点方法触类旁通因为5是整数,错误!是分数,错误!=2是整数.触类旁通因为5的相反数是-5,-错误!的相反数是错误!,错误!的相反数是-错误!触类旁通触类旁通因为=5×10-2,=5×10-3, 5=5×10-4, 05=5×10-5,故选C触类旁通因为|m-3|≥0,且n+22≥0,又因为|m-3|+n+22=0,所以m-3=0且n +2==3,n=-2,所以m+2n=3+2×-2=-1触类旁通因为根据正数大于0,0大于负数,正数大于负数,解答即可.品鉴经典考题1.D2.C 因为科学记数法的形式为a×10n,用科学记数法表示较大的数,其规律为1≤a <10,n是比原数的整数位数小1的正整数,万=32 900,所以万用科学记数法表示为×104 3.B 根据题意,若输入错误!,则输出的数为错误!2-1=7-1=64.-55.1 ∵|3a-1|≥0,b2≥0,且|3a-1|+b2=0,∴3a-1=0,b=0,∴a=错误!,b=0,∴a b=错误!0=16.4 ∵错误!<错误!<错误!,即3<错误!<4,∴4<错误!+1<5,∴[错误!+1]=47.1 原式=2+1-2=1研习预测试题1.D 因为正数和0都大于负数,错误!>1,两个负数比较大小,绝对值大的反而小,所以-错误!最小.2.D 绝对值为3的数有+3和-3两个,且互为相反数.3.B -8-8=-16,错误!×-2=1,--10=-1,|-2|=24.A 因为数轴上A,B两点对应的实数分别为1和错误!,所以OA=1,OB=错误!所以AB=OB-OA=错误!-1由题意可知,BC=AB=错误!-1所以OC=OB+BC=错误!+错误!-1=2错误!-15.12 2-4+错误!答案不唯一因为-错误!<0,错误!>3,1<错误!<3因为2☆3=错误!+错误!=错误!+错误!=错误!8.A由题意知,每隔8步物体到达同一点,因为2 012÷8=251余4,所以第2 012步到达A点.9.解:原式=2+1-1=2。
湘教版数学八年级上册 3.3 实数
3.3实数第1课时 实数的概念1.从感性上认可无理数的存在,并通过探索说出无理数的特征,弄清有理数与无理数的本质区别,了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类,知道实数与数轴上的点的一一对应关系.2.让学生经历数系扩展的过程,体会数系的扩展源于社会实际,又为社会实际服务的辩证关系 .3.培养学生勇于发现真理的科学精神,渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点.【教学重点】无理数、实数的概念和实数的分类.【教学难点】无理数与有理数的本质区别,实数与数轴上的点的一一对应关系.一、情景导入,初步认知我们在前面学过无理数,什么样的数是无理数呢?举例说明?【教学说明】复习相关内容,为本节课的教学作准备.二、思考探究,获取新知1.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?2、0、1、414、9、π、-32、32、0.1010010001… (相邻两个1之间逐次增加一个0)【教学说明】学生自己回忆有理数、无理数的分类,为引入实数的概念及分类作好铺垫.【归纳结论】有理数和无理数统称为实数.2.根据实数的概念,你能对实数分类吗?【归纳结论】实数以概念可分为:【教学说明】通过对实数进行分类,让学生进一步领会分类的思想,培养学生从多角度思考问题,为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.3.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示,那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢?思考:如何用数轴上的点表示无理数8和-8?我们已经知道,一个面积为8的正方形的边长是8,因此我们以原点为圆心,以正方形的边长为半径画弧,与正半轴的交点M就表示8,与负半轴的交点N就表示-8,如图所示:这样,我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数8和-8.事实上,每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.【归纳结论】每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来,数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.即:实数和数轴上的点一一对应.4.实数从正负性又如何分类呢?【归纳结论】实数分为正实数、零、负实数.5.有理数中有互为相反数的两个有理数,那么实数中有没有互为相反数的两个实数呢?举例说明.6.对于实数a的绝对值,又是什么样的呢?【归纳结论】设a表示一个实数,则:【教学说明】使学生通过类比的方式得到实数的相关知识,加深对实数的理解.三、运用新知,深化理解1.教材P118例1.2.判断下列说法是否正确(1)无限小数都是无理数(2)有理数都是有限小数(3)无理数都是无限小数(4)带根号的数都是无理数答案:四个全是错的.3.实数x 满足x+x 2=0,则x 是( C )A.非零实数B.非负数C.零和负数D.负数4.当x 时,式子102+x 有意义.答案:≥-55.如图,在数轴上表示实数14的点可能是( C )A.点MB.点NC.点PD.点Q6.下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?π、-3.1415926、113355、39、321、38、0、27、3π、0.5、3.14159、-0.020*******、13、22、3625、0.10010001… 答案:略.7.求-364 、3-π的相反数和绝对值解:-364的相反数是364,绝对值是364;3-π的相反数是π-3,绝对值是π-3.【教学说明】巩固提高.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第1、2 题.本次教学,我坚持从兴趣入手,从差异入手,做到了在细致处求真、求创意,真正地使学生表明自己的看法,阐述自己的观点,大胆表现自我,张扬个性,体现出他们这个年龄应有的特点,因此,我认为这节课不仅很好地实现了知识与技能目标,对于过程与方法和情感态度与价值观两个目标的实现也非常到位,是比较成功的.第2课时实数的运算1.了解有理数的运算在实数范围内仍然适用,能用有理数估计一个无理数的大致范围.2.理解有效数字的概念,会根据要求进行近似值的运算.3.能利用计算器比较实数的大小,进行实数的四则运算.4.通过用不同的方法比较两个无理数的大小,理解估算的意义、培养数感和估算能力.5.养成学生的合作互助意识,提高学生的交流和表达能力.【教学重点】在实数范围内会运用有理数运算.【教学难点】用有理数估算一个无理数的大致范围.一、情景导入,初步认知1.在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么?2.比较两个有理数的大小有哪些方法?3.你能借用有理数范围内的规定举例说明无理数的绝对值、无理数的倒数、两个无理数互为相反数吗?【教学说明】复习相关内容,为本节课的教学作准备.二、思考探究,获取新知1.做一做:填空设a,b,c是任意实数,则(1)a+b= (加法交换律);(2)(a+b)+c= (加法结合律);(3)a+0=0+a= ;(4)a+(-a)=(-a)+a= ;(5)ab= (乘法交换律);(6)(ab)c= (乘法结合律);(7)1·a=a·1= ;(8)a(b+c)= (乘法对于加法的分配律);(9)实数的减法运算规定a-b=a+ ;(10)对于每一个非零实数a,存在一个实数b,满足a ·b=b·a=1,我们把b叫作a的;(11)实数的除法运算(除数b≠0),规定a÷b=a·;(12)实数有一条重要性质,如果a≠0,b≠0,那么ab 0.【教学说明】学生合作交流、探讨,并求出答案. 让一名同学上黑板展示,并讲解该题的解题过程.2.两个实数是如何比较大小的呢?【教学说明】结合有理数的比较,采用类比的方式得到比较实数大小的方法.3.有理数的相关运算在实数范围内是否适用?为什么?【归纳结论】对比有理数,对于实数,我们可以得出:每个正实数有且只有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;在实数范围内,负实数没有平方根;在实数范围内,每个实数a有且只有一个立方根.4.动脑筋:不用计算器,比较5与2哪个大?与3比较呢?【分析】因为(5)2=5,22=4,且5>4,所以5>2; 因为32=9,且5<9,所以5<3.【教学说明】教师适当引导,学生相互交流,找到解题办法.三、运用新知,深化理解1.教材P120例2、例3.2.要使二次根式1 x 有意义,字母x 的取值必须满足的条件是( A )A.x ≥1B.x ≤1C.x>1D.x<13.不用计算器,计算:(1)26+36-46解:原式=6(2)27+37-7解:原式=(2+3-1)7=47(3)32+52-72-22解:原式=-2(4)323-345+341+325 解:原式=336.已知实数x ,y 满足|x-5|+y+4=0,求代数式(x+y )2016的值.解:依题意当x=5,y=-4时,解得(x+y )2016=(5-4)2016=17.你还会比较2+3与π的大小吗? 解:用计算器求得2+3≈3.14626437,而 π≈3.141592654,因此2+3>π.8.已知5的整数部分是a ,小数部分是b ,求a-b1的值. 【分析】由于22=4<5<32=9,估计5的大小,可得a 、b 的值,将ab 的值代入代数式可得答案.解:∵22=4<5<32=9,∴2<5<3,∴a=2,b=5-2,∴原式=-5.【教学说明】结合有理数的运算,采用类比的方式得到实数的运算与有理数的运算是一样的.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第4、5、6、10 题.本节经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系.根据新课标精神,对学生的评价不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等等.对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.因此,注意对运算技能要求作恰当的定位,特别是在开始运算的第一课时,不要提高要求.。
知识精讲初三数学第一章实数及其运算湘教版
初三数学第一章实数及其运算湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容:第一章实数及其运算[教学目标]1. 理解这一部分内容的有关概念。
2. 掌握实数的混合运算,并能解决相关的实际问题。
二. 重点、难点: 1. 教学重点:实数的有关概念及应用,实数的运算。
2. 教学难点:(1)绝对值的意义及用绝对值来解题。
(2)实数的混合运算。
3. 主要考查的知识点:(1)实数的相关概念,要求对概念理解深刻。
(2)会利用数轴解决数形结合问题,会用各种方法比较数的大小。
(3)绝对值主要是对绝对值意义的考查。
(4)实数的运算,要求能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方及混合运算。
(5)会按精确度和有效数字确定一个数的近似值,并能用科学记数法表示该数的近似值。
【典型例题】1. 实数的分类:实数有理数整数正整数负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎧⎨⎩⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪ 实数还可以分为:正实数、0、负实数。
注意:πππ是无理数,但有时近似地用这个有理数代替,、等是无3.1424理数,而不是分数。
例1. 下列各数是正数还是负数?是有理数还是无理数?-----71012801601211211123143333,,,,,,…,,,,.... πsin tan 6045o o ,-解:正数有:,,…,,10120121121112360..sin πo负数有:,,,,,------781631433453.. tan o 有理数有:,,,,,,,------7101801631433453... tan o 无理数有:,…,,20121121112360.sin πo2. 实数中的几个概念: (1)数轴 a. 规定了原点、正方向和单位长度的直线,叫做数轴。
b. 数轴的引用使数与直线上的点联系起来,这是数与形的初步结合,数、形结合是数学的一个重要方法。
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七年级上第一章有理数考点一、实数的概念及分类 (3分)1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数,如sin60o 等 第二章代数式考点一、整式的有关概念 (3分)1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如b a 2314-,这种表示就是错误的,应写成b a 2313-。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如c b a 235-是6次单项式。
考点二、多项式 (11分)1、多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。
注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。
2、同类项所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号。
4、整式的运算法则整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。
第三章 一元一次方程考点一、一元一次方程的概念 (6分)1、方程含有未知数的等式叫做方程。
实数的相关概念中考考点梳理
实数的相关概念中考考点梳理全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:实数是数学中最基础的概念之一,它包括有理数和无理数两类。
在数学的学习中,实数的相关概念是非常重要的。
在中考中,实数相关的考点也是比较多的。
下面我们来看看实数相关概念中中考的考点梳理。
1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数,包括整数、分数和循环小数。
无理数是不能表示为有理数的数,如π和根号2等。
在中考中,同学们需要了解实数的分类,并能够判断一个数是有理数还是无理数。
2. 实数的运算实数的运算是中考数学的重要内容之一。
同学们需要掌握实数的加减乘除运算规则,包括有理数和无理数的运算。
在中考中,常见的考点有实数的加法、减法、乘法、除法运算,以及混合运算等。
3. 实数的大小比较在实数的概念中,同学们也需要学会对实数进行大小比较。
无论是有理数还是无理数,都可以通过大小比较符号进行比较,如大于等于、小于等于、大于、小于等等。
在中考中,通常会出现实数的大小比较题目,同学们需要根据实数的性质进行判断。
4. 实数的分数表示实数可以表示为分数的形式,分数是有理数的一种形式。
在中考中,同学们需要能够将实数表示为分数的形式,并且能够进行化简和计算。
分数的化简和运算是中考数学的常见考点之一,同学们需要多进行练习,掌握分数的性质和运算规则。
5. 实数的应用问题实数的概念在中考中不仅仅是为了考察同学们的概念掌握程度,还可以通过应用题目考察同学们对实数的应用能力。
实数在现实生活中有着广泛的应用,比如长度、重量、体积等问题都可以通过实数进行表示和计算。
在中考中,同学们可能会遇到一些实际问题,需要用实数进行求解,这就需要同学们将实数的概念运用到实际问题中去。
实数的相关概念在中考数学中占据着重要的地位,同学们需要充分理解实数的分类、运算、大小比较、分数表示以及应用问题等知识点。
通过不断的练习和巩固,可以帮助同学们提高实数相关概念的理解和运用能力,从而在中考中取得更好的成绩。
中考数学(湘教版全国通用)复习课件:第1课时 实数的有关概念
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第1课时┃ 实数的有关概念
探究四 非负数的性质的运用
命题角度: 根据非负数的性质求值.
例4 (1)[2012·长沙] 若实数a,b满足|3a-1|+b2=0, 则ab的值为_____1___.
解析
依题意a=13,b=0,∴ab=130=1.
依题意a=13,b=0,∴ab=130=1.
第1课时 实数的有关概念
第1课时┃ 实数的有关概念
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考点1 实数的概念及分类
1. 按定义分类:
实数
有理数
整数
分数
正整数 零
负整数
正分数 有限小数或 负分数 无限循环小数
无理数
正 负无 无理 理数 数无限不循环小数
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第1课时┃ 实数的有关概念
2. 按正负分类:
正有理数
正实数
正整数 正分数
实数
正无理数 零
负有理数
负实数
负整数 负分数
负无理数
[注意] 0既不是正数,也不是负数,但0是自然数.
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第1课时┃ 实数的有关概念
考点2 实数的有关概念 1. 数轴的三个要素是__原__点____、_正__方__向___、_单___位__长__度___.
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第1课时┃ 实数的有关概念
(2)[2014·岳阳] 实数2的倒数是( D )
A. -12
B. ±12
C. 2
1 D.2
解析
∵2×12=1,∴实数2的倒数是12.故选D.
(3)[2014·株洲] 下列各数中,绝对值最大的数是( A )
数学:第1章《实数》总复习素材(湘教版八年级上)
数学:第1章《实数》总复习素材(湘教版八年级上)第一部分:基础知识1、平方根:①、概念:若x²=a,则x是a的一个平方根。
(x²=a则x=±a)②、性质:正数a的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
③、表示:正数a的平方根表示为±a。
2、算术平方根:①、概念:正数a正的平方根叫做a的算术平方根。
②、性质:正数a的算术平方根只有一个;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。
③、表示:正数a的算术平方根表示为a3、立方根:①、概念:若b³=a,则b是a的一个立方根(b³=a则b=3a);②、性质:正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根是0;③、表示:数a的立方根表示为3a。
4、a在a≥0时才有意义,在a<0时没有意义。
5、记住:2=1.414 3=1.732 5=2.2366、公式:(a)²=a(a≥0), 2a=∣a∣= (3a)³=a 33a=a 3-a=-3a7、实数的分类:实数分为有理数和无理数;实数分为正实数、零、负实数。
8、实数和数轴上的点一一对应。
9、有效数字:一个近似数,从左边第一个不为0的数字起直到右边最后一个数字止,其中所有的数字就叫有效数字。
10、对称点的坐标:点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y); 关于y轴对称的点的坐标是(-x,y);关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).11、倒数:乘积为1的两个数;相反数:和为0的两个数。
第二部分:习题1、64的平方根是,算术平方根是,立方根是。
2、16的平方根是,8的相反数的立方根是。
3、立方根等于它本身的数有。
a-才有意义。
4、当a 时,1(-= ,-102-=5、计算:(2)²= ,2)236427-= ,(3-8)³= 3-83)(=6、-2的相反数是 ,绝对值是 。
7、已知一个数的绝对值是5,则这个数是 。
湖南中考数学复习资料(湘教版)
中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征。
2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如2、34;特定结构的不限环无限小数,如1.101001000100001……;特定意义的数,如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a 的相反数是 -a ; (2)a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数:(1)实数a (a ≠0)的倒数是a1;(2)a 和b 互为倒数⇔1=ab ;(3)注意0没有倒数3、绝对值:(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00,πφa a a a a a(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n次方根(1)平方根,算术平方根:设a≥0,称a叫a的平方根,a叫a的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:3a叫实数a的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
湘教版八年级数学上册 3.3.1实数(1)
如: √2·√12 =1,则 √2 的倒数是√12
3.绝对值:数轴上一个数表示的点离开原点的 距离叫这个数的绝对值.
正实数的绝对值是它的本身;负实数的绝对值是 它的相反数;0的绝对值是0.
如:︱√2︱ =√2 ,︳- √2︳=√2
实数和数轴上的点一一对应. 实数分为正实数、零、负实数
议一议:如果在数轴上表示,正实数、零、 负实数应该在数轴的原点的哪侧呢?
三、实数的性质
问题四:有理数中的相反数、绝对值、倒数等 概念对实数是否仍然适用? 1、相反数:只有符号不同的两个数叫互为相反 数,零的相反数是零.
实数a的相反数记作-a.
如: √2 的相反数是- √2 .
π
π
2 ,绝对值是 2 。
(4)π-3.15的相反数是 3.15-π,绝对值是 3.15-π 。
(5)点A在数轴上表示的数为3√5,点B在数轴上对应
的数为-√5 ,则A、B两点的距离是 4√5 。
2、对于实数a,b,给出以下判断:
(1)若 a = b ,则 √a = √b ; (2)若 a < b ,则a<b; (3)若a=-b,则(-a)2=b2.
解:∵ a+√2b=(1- √2 )2
即:a+ √ 2 b=1-2√ 2=3-2√ 2
则 a=3,b=-2
∴
ab=3-2=
1 9
1.叙述实数的概念和分类; 2.数轴上的点代表的数和实数的关系是什么? 3.类比有理数,实数有哪些性质?
作业:P118练习 P121 A 1、2
a, 当a>0时 设a表示一个实数,则:︳a ︳= 0, 当a=0时
湘教版解读-第一讲实数的有关概念及运算
邮编:224361 电子邮箱:XX第一讲实数的有关概念及运算【课改热点】中考要求・1.了解实数分类及其有关的概念,2.掌握实数各种运算,灵活运用运算律、公式进行计算和化简,体验实数的实际意义,探索数与式的规律。
命题趋势・数与式(即实数与代数式)是初屮代数的重要内容之一,又是最基本的知识,在中考中所涉及的考点大多是大都是基础知识和基本技能,考查的分值平均约占到16%左右,主要题型是填空、选择、计算、阅读理解、归纳猜想等。
试题反映出的考点和注意点具体有:1.实数有关概念的理解和认识;2.实数有关计算、化简和求值;3•探索数、形中所蕴涵的关系和规律,考查合情猜想能力;4•以实际问题为背景,体会数学与现实生活的紧密联系,增强数学应用意识,提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
考点一:实数的分类:知暑点;有理数和无理数统称为实数。
有理数分为正有理数、0和负有理数。
在“(75) : , 3. 14, (73)3, (73)2, sin 60; , cos 60b ” 这六个数中,无理数的个数有A、1个【解析】直接运用概念进行辨析。
3・14是有理数,又(J5) : 1, (J3)33逅,1 , sin60:— , C0S60:一,所以(乃)〔sin60::是无理数,3 2 (乃):,2(J3)2, C0S60::是有理数。
【解答】选A。
方法规律判断一个数是有理数还是无理数,关键是正确理解它们的定义,如“无理数”它的本质属性是“无限不循环小数”不要被实数的表1. (2008年黄石)在实数J9中,无理数有(面所迷惑,要看它的实质。
【变式练习11B. 2个考点2实数的有关概念知识点:1.数轴:我们把规定了原点、正方向和均匀的单位长度的一条直线叫数轴.点、正方向 和单位长度是数轴的三要素.数轴上的点和实数是一一对应的.2. 相反数:实数a 的相反数记作一 零的相反数是零.互为相反数的两个数的和为 零,反过 来,和为零的两个数互为相反数.互为相反数的两个数所表示的点在数轴上关于原点对称.3•倒数:积为1的两个实数互为倒数,零没有倒数.4.绝对值:一个数 a 的绝对值记作 a,非负数的绝对值是它本身,非正数的绝对值是它的相反数.即:a (a 0)a (a 0) o例2(1) (2008湖北孝感)2008的相反数是(1⑵(2008年山东临沂) 1—的倒数是(2的绝对值是2【解答】: 3解题方法"D A ;( 2) A ; ( 3) A倒数、绝对本题组直接应用相反数、倒数、绝对值的概念寻找蘇糕轟趨湖韓相反数、• ■・ • • •• •••• • • ■ • • ••• ■倒数、绝对值等实数的有关概 念。
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第一单元数与式第1课时实数
命题点 1 实数的相关概念8年7考
1. (2023广东1题3分)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学
专著《九章算术》中.如果把收入5元记作+5元,那么支出5元
记作( A )
A. -5元
B. 0元
C. +5元
D. +10元
第1课时 实 数
2. (2022广东1题3分)|-2|=( B )
1
A. -2
分类 常用正负数表示两种具有_相__反__意__义__的量,如“+5” 表示向东5米,则“-5”表示_向__西__5_米__
第1课时 实 数
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表示方法及三要素: 数轴
性质: _实__数__与数轴上的点是一一对应的
实数的相
a(a>0) 即|a|具有非负性
关概念
|a|= 0(a=0) 注:绝对值最小的实数
平方根为0 4.平方根等于它本身的数是0;算
立方根 实数a的立方 术平方根等于它本身的数是0,1; 根为_3_a__ 立方根等于它本身的数是0,±1
第1课时 实 数
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数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的点表
示的数总比左边的点表示的数_大__
类别比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小, 实数的大 绝对值大的反而小
3.π及化简后含有π的数:如__3__,_π_+__1_等(负面清单)
4.有规律的无限不循环小数:如0.101 001…(相邻两个1
之间依次多一个0)等
1、2、3答案不唯一
第1课时 实 数
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按大小分:正数、0、负数(既不是正数也不是负数的 实数的 数是__0_;非负数包括_正__数__和__0_)
算 = __4__(口诀:倒底数,反指数)
湘教版八年级数学第3章《实数》知识清单
实数知识点总结3.1平方根知识点1 平方根及其性质1、定义如果有一个数x,使得x²=a,那么我们把x叫作a的一个平方根,或者二次方根.这就是说,若x²=a,则x是a的一个平方根。
表示方法:一个非负数a的平方根记作±√a,读作“正、负根号a”,其中a叫作被开方数。
例:49的平方根是±7,表示方法:±√49 = ±7 .2.平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根。
3.开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫作开平方。
常用平方数(熟记)12=1 22=4 32=9 42=16 52=2562=36 72=49 82=64 92=81 102=100112=121 122=144 132=169 142=196 152=225162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 302=900 402=1600 502=2500 602=3600 702=4900 802=6400 152=225 252=625 352=1225 452=2025 552=3025 652=4225 752=5625 852=7225 952=9025知识点2 算术平方根及其性质1.定义:正数a的正平方根叫作a的算术平方根.规定:0的算术平方根是0.表示方法:非负数a的算术平方根记作√a,读作“根号a”.特别解读:√a(1)算术平方根√a具有双重非负性:①根号内的数a是非负数,即a≥0;②算术平方根√a是非负数,即√a≥0(2)算术平方根是它本身的数只有0和1 .2.性质:(1)正数的算术平方根是一个正数;(2)0的算术平方根是0;(3)负数没有算术平方根.(4)根号内的数越大,对应的算术平方根也越大.提分必记特别提醒◆求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算.◆任何一个数的平方都是非负数,所以求算术平方根时,根号内的数必须是非负数.3.平方根与算术平方根的区别与联系:总结:根号求根一定坑,先算根号是关键.算术平方根与平方根区别:数量和符号.知识点3无理数定义:无限不循环小数叫作无理数判断标准:小数位数无限,小数部分的数字不循环2.三种常见形式(1)开方开不尽的数,如√3, √5,…;(2)含有π的一类数,如2π,π+1,…;3.无理数与有理数的区别;(1)有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数;2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1的分数),而无理数不能写成分数的形式。
中考数学必背知识点(完整版)
中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点:一、实数的,分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成q p 的,形式,其中p 、q 是互质的,整数,这是有理数的,重要特征。
2、无理数:初中遇到的,无理数有三种:开不尽的,方根,如2、34;特定结构的,不限环无限小数,如1.101001000100001……;特定意义的,数,如π、45sin °等。
3、判断一个实数的,数性不能仅凭表面上的,感觉,往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的,几个概念1、相反数:只有符号不同的,两个数叫做互为相反数。
(1)实数a 的,相反数是 -a ; (2)a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数:(1)实数a (a ≠0)的,倒数是a1;(2)a 和b 互为倒数⇔1=ab ;(3)注意0没有倒数 3、绝对值:(1)一个数a 的,绝对值有以下三种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a(2)实数的,绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的,绝对值,就是数轴上表示这个数的,点到原点的,距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的,实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n 次方根(1)平方根,算术平方根:设a ≥0,称a ±叫a 的,平方根,a 叫a 的,算术平方根。
(2)正数的,平方根有两个,它们互为相反数;0的,平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:3a 叫实数a 的,立方根。
(4)一个正数有一个正的,立方根;0的,立方根是0;一个负数有一个负的,立方根。
三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的,直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的,三要素。
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知识点五:实数的运算
9.
常见运算
乘 方
几个相同因数的积; 负数的偶(奇)次方为正(负)
例:
(1)计算:1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.
失分点警示:类似“的算术平方根”计算错误.例:相互对比填一填:16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.
(3)失分点警示:开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2,=-3,它们都属于有理数.
知识点二:实数的相关概念
2.数轴
(1)三要素:原点、正方向、单位长度
(2)特征:实数与数轴上的点一一对应;数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
例:
数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.
3.相反数
(1)概念:只有符号不同的两个数
-a(a<0).b-a(a<b)
(3)非负性:|a|≥0,若|a|+b2=0,则a=b=0.
(1)若|x|=a(a≥0),则x=±a.
(2)对绝对值等于它本身的数是非负数.
例:5的绝对值是5;|-2|=2;绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒数
(1)概念:乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)
(2)代数意义:ab=1a,b互为倒数
例:
-2的倒数是-1/2;倒数等于它本身的数有±1.
知识点三:科学记数法、近似数
6.科学记数法
(1)形式:a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数
(2)确定n的方法:对于数位较多的大数,n等于原数的整数为减去1;对于小数,写成a×10-n,1≤|a|<10,n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)
例:
21000用科学记数法表示为2.1×104;
19万用科学记数法表示为1.9×105;0.0007用科学记数法表示为7×10-4.
7.近似数
(1)定义:一个与实际数值很接近的数.
(2)精确度:由四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
例:
3.14159精确到百分位是3.14;精确到0.001是3.142.
零次幂
a0=_1_(a≠0)
负指数幂
a-p=1/ap(a≠0,p为整数)
平方根、
算术平方根
若x2=a(a≥0),则x= .其中 是算术平方根.
立方根
若x3=a,则x= .
10.混合运算
先乘方、开方,再乘除,最后加减;同级运算,从左
向右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、
中括号、大括号一次进行.计算时,可以结合运算律,
知识点四:实数的大小比较
8.实数的大小比较
(1)数轴比较法:数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)性质比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小,绝b=0a=b;a-b<0a<b.
(4)平方法:a>b≥0a2>b2.
例:
把1,-2,0,-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1>0>-2>-2.3_.
第一部分 教材知识梳理·系统复习
第一单元数与式
第1讲实数
知识点一:实数的概念及分类
关键点拨及对应举例
1.实数
(1)按定义分(2)按正、负性分
正有理数
有理数0有限小数或正实数
负有理数无限循环小数实数0
实数
正无理数负实数
无理数无限不循环小数
负无理数
(1)0既不属于正数,也不属于负数.
(2)无理数的几种常见形式判断:①含π的式子;②构造型:如3.010010001…(每两个1之间多个0)就是一个无限不循环小数;③开方开不尽的数:如,;④三角函数型:如sin60°,tan25°.
(2)代数意义:a、b互为相反数a+b=0
(3)几何意义:数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等
a的相反数为-a,特别的0的绝对值是0.
例:3的相反数是-3,-1的相反数是1.
4.绝对值
(1)几何意义:数轴上表示的点到原点的距离
(2)运算性质:|a|= a (a≥0);|a-b|= a-b(a≥b)