第二课合式公式真值表等价置换定理
命题公式及其真值表
第二节 命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。
简单命题又称为命题常项或命题常元。
命题常项有确定的真值。
在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。
称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。
命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。
定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。
这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。
单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。
在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。
在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。
定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。
若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。
若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。
本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。
（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。
第二课合式公式真值表等价置换定理
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
数理逻辑--第2讲命题公式和真值表
离散数学命题公式和真值表第2讲命题常项犹如数学中常量（a,b,c ）命题变项犹如数学中变量（x,y,z ）确指的或具体的命题。
命题常项命题变项不确指的或抽象的命题。
命题常项与命题变项都用p,q,r…等表示。
对命题变项p而言，p只是一个标识，可以用任何一个具体的命题替代。
命题公式将命题常项（即1，0）和命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串。
(1)(2)单个命题常项和命题变项是命题公式，称为原子公式。
若A是命题公式，则(⎤A)也是命题公式。
(3)若A，B是命题公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)也是命题公式。
(4)由有限次地应用(2)~(3)形成的符号串是命题公式。
定义2.1（命题公式）注意1设A是公式，B为A中连续的一部分，若B也是公式，则称B为A的子公式。
2公式最外层的括号可以去掉。
注意3优先级规定（1）各联结词运算的优先级为：⎤，∧，∨，→，↔。
（2）对于同一级者一目，从右向左二目，从左到右（3）括号优先，从里到外。
注意根据运算优先级的规定不必要的括号也可以去掉。
如:（p∨q)∨(⎤r)可写为p∨q∨⎤r真值表公式的解释和赋值将公式中的每个命题变项都指定一个具体的命题，抽象的公式就具有了实际的意义，成了命题，具有了真值，这称为公式的解释。
对公式的解释相当于是将指定为真（假）命题的命题变项赋值1（0）。
真命题假命题赋值1赋值0命题变项定义2.2（公式的赋值）设p1 ，p2 ，…，p n是出现在公式A中的全部的命题变项，给p1，p2，…，p n各指定一个真值，称为对A的一个赋值。
定义2.2（公式的赋值）将n个命题变项按下标顺序或字典顺序排列后，赋值就相当于一长为n的0，1字符串。
思考含有n个命题变项的公式共有多少个不同的赋值？SAT（适定性问题）给一个命题公式，它是否存在一个成真赋值？1971年Cook证明：SAT问题是（第一个）NPC问题。
定义2.3（真值表）将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称做A的真值表。
主要内容公式类型等值演算与置换规则析取范式与合取范式,主析取.
p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
例. 对任何公式A，A∨┐A是重言式，A∧┐A是矛盾式.
这两个事实揭示人们通常的思维所遵循的逻辑排中律和矛 盾律. 对任何原子命题 p，p与┐p都是可满足式. 可以用真值表 验证重言式.
3
例. 用真值表证明(p∨q)∧┐p→q为重言式.
证 建立待证公式的真值表，由表的最后一列可以看出，原式 为重言式.
11
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB
(p ∧ q ∧ s) ∨(p ∧ r ∧ s) ((p ∧ s) ∧ q) ∨((p ∧ s) ∧ r) (p ∧ s) ∧(q ∨ r) 所以其开关设计图可简化
21
作业 1、习题一：19（1）（3）（5）（7），
20，21，23，25. 2、习题二：3，4（1）（2）.
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由于同一个命题公式可以有不同的表达形式，而不同的表达 式可以显示很不同的特征。但同一个命题公式的不同表达形 式对我们研究命题演算带来了一定的困难。对众多的命题公 式，可依它们之间的等值关系进行分类，使相互等值的公式 为一类. 现在的问题是，是否可以在各类公式中分别选出一个 公式作为各类的“代表”，而且使它们具有统一的规范形式 呢？回答是肯定的.
AB(AB)(AB)
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
真值表公式分类命题定律代入置换
合式公式
原子公式
定义：单个命题变元和命题常元称为原子命题公式， 简称原子公式。
合式公式
合式公式是由下列规则生成的公式： ①单个原子公式是合式公式。 ②若A是一个合式公式，则(lA)也是一个合式公式。 ③若A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和 (A B)都是合式公式。 ④只有有限次使用①、②和③生成的公式才是合式公 式。
下次课程
对偶、蕴涵和其他联结词
Thank you
AB(A→B)∧(B→A)(A∧B)∨(A∧B)
AB(AB) (13) 输出律：(A∧B)→CA→(B→C)。 (14) 归谬律：(A→B)∧(A→B)A。 上面这些定律，即是通常所说的布尔代数或逻
辑代数的重要组成部分，它们的正确性利用真
值表是不难给出证明的。
一个不确定的泛指的任意命题 定义： 以真(1)、假(0)为其变域的变元
注意：命题变元不是命题，只有用一个特定的命题取代才能确定它 的真值：真或假（对该命题变元指派真值）
命题公式
含有命题变元的断言称为命题公式 注意：不是所有由命题变元、联结词和括号所组成的字符串都能成 为命题公式。
和的区别与联系
区别：是逻辑联结词，属于目标语言中 的符号，它出现在命题公式中；不是逻 辑联结词，属于元语言中的符号，表示两 个命题公式的一种关系，不属于这两个公 式的任何一个公式中的符号。 联系：
定理： A B当且仅当AB是永真式。
等价公式的性质
① 自反性，即对任意公式A，有A A。
在公式中，对于命题变元指派真值的各种可能组合， 就确定了这个命题的各种真值情况，把它汇列成表， 就是命题公式的真值表 公式真值表构造方法：
1-4真值表与等价公式
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
10
2、等价公式－证明(真值表法)
例题 5 证明 PQ(PQ)(QP)
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
11
2、等价公式－汇总
下面的命题定理（表1-4.8）都可以用真值表 予以验证:
对合律 等幂律 结合律 交换律 分配律 吸收律 德·摩根律 同一律 零律 否定律
从真值表可见，上述两个命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同。
同理如： (PQ)(PQ)与PQ。
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－概念
定义：1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派， A和B的 真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。 记作AB。
PQ F F F T
(PQ) (PQ) T F F T
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
16
小结
真值表
完整性
等价公式
等价公式表1-4.8 等价置换
命题公式（合式公式）证明方法
列真值表法 利用等价公式
合式公式的定义
合式公式的定义合式公式是逻辑学中的一个重要概念，指用逻辑符号和命题变元构造而成的公式。
这些公式可以通过逻辑推理得到真或假的结果。
在逻辑学中，合式公式的定义基础是命题逻辑的语义，即命题的真假。
合式公式的定义首先，我们需要知道什么是命题变元。
命题变元是可以代表一个确定命题的符号，代表具有不同意义的不同字母，如P、Q、R、S等。
合式公式由命题变元和逻辑符号组成，逻辑符号包括否定、合取、析取、蕴含和双重蕴含等符号。
符合一定语法规则的合式公式也叫做公式，不符合语法规则的则是非法的。
例如，P∧Q是一个合式公式，表示“P和Q都为真时，命题为真。
”P∨Q也是一个合式公式，表示“P或Q 为真时，命题为真。
”同样，~P是一个合式公式，表示“P 为假时，命题为真。
”用逻辑符号构造出来的符号串如果符合语法定义规则，则有语义定义：它表示的是命题。
这个命题的真假是与符号串所包含的命题变元和逻辑符号有关，这些符号串的不同组合方式构成了不同的命题，从而形成了不同的合式公式。
以P、Q、R为命题变元，构造一些公式：P∧Q Q∨R (P∧Q)∨R ~(P∨Q) P→Q在逻辑学中，这些公式可以通过逻辑推理得到真或假的结果。
例如，当P为真，Q为假，R为真时，第三个公式为真，其他都为假。
这种逻辑推理的结果也被称为该公式的语义值。
Formal Deduction System的定义为了进一步理解合式公式的定义，我们需要了解形式演绎系统（Formal Deduction System），它是一种系统，可以用来推导命题公式的真假。
形式演绎系统包括符号集合、公理、推理规则。
符号集合由命题变元和逻辑符号组成，公理是前提，它可以由逻辑公理、定义、假设等构成；推理规则规定了如何从前提中推出结论。
严格执行公理和推理规则，我们可以通过形式演绎系统来证明合式公式的真假。
总结合式公式是一个重要的概念。
其定义基于逻辑符号和命题变元构造出来的公式，这些公式可以通过逻辑推理得到真或假的结果。
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式解析
PQR TTT TTF TFT TFF FTT FTF FFT FFF
Q∨R T T T F T T T F
P → (Q∨R) T T T F T T T T
P17(1) (C) (P ∨Q) (Q ∨P)
PQ TT TF FT FF
P ∨Q T T T F
Q ∨P T T T F
(P ∨Q) (Q ∨P) T T T T
命题符号化步骤： ❖(1)分成原子命题 ❖(2)用大写字母代替命题 ❖(3)按题意用联结词
自然语言的语句用Wff 形式化注意方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
FF T
T
F
T
T
T
❖ 可以看出，有一类公式不论命题变元作何种 指派，其真值永为真(假)，记为T(F)。
❖ 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决 定于分量的个数。一般说来，n个命题变元组 成的命题公式共有2n种真值情况。
练习 17页（1）a, c, e 18页（6）
P17 (1)求下列复合命题的真值表 (a) P → (Q∨R)
若设 P：你努力。 Q：你失败。 本命题可表示为：
┐P→Q
例题6 张三或李四都可以做这件事。
解 这个命题的意义是： 张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。 若设
P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这 事。 本命题可表示为：
P∧Q
例题7 （1）2是素数，这是假的。
（2） 2与4都是素数，这是不对的。 解 若设
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
真值表与等价公式
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
例1-11 构造下列命题的真值表。
（1） (p(p q) ) q
（2） (pq)q （3） (p q) r
解(1) p q
p→q
p∧(p→q)
(p∧ (p→q))→q
00
1
0
1
01
1
0
1
10
0
0
1
21
1
1
1
1
解（2） pq 00 01 10 11
p→q
1 1 0 1
解（3） pq r
000 001 010 011 100 101 110 111
p→q
1 1 1 1 0 0 1 1
¬(p→q)
0
0
1
0
¬r 1 0 1 0 1 0 1 0
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1若A在 它 的 所 有 解 释 真下 ，都 为 则 称 A为 永 真(也式称 为 重) 言
2若A在 它 的 所 有 解 释 假下 ，都 为 则 称 A为 永 假(也 式称 为 矛)盾
1
利用等价演算可以证明公式的等价，也可以 化简形式较复杂的命题公式。除此之外，还可以 利用等价演算判断命题公式的类型。若命题公式 A通过等价演算后A等价于1，则A必为重言式； 若A等价于0，则A必为矛盾式。
代数结构与数理逻辑-等价替换定理与代换定理
§4 前束范式
❖ 定义19.18(前束范式):pP(Y)为前束范式，
当且仅当它具有下面的形式： ❖ p=1x12x2…kxkq,其中i(i=1,…,k)是或，
且x1,x2,…xk是不同的，q是P(Y)中不带量词 的公式。称1x12x2…kxk为前束，称q为母 式。 ❖ 定义19.19:设pP(Y)，称与p语法等价的前 束范式为p的前束范式。
❖ 定理19.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1
┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现替 换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 ❖ 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法
❖ l=0,则p是原子公式或p=F,
❖ 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', ❖ 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 ❖ 对l >0,假设对一切l <k结论成立,
出q的证明序列,其中xvar(A0) ❖ 利用量词深度, ❖ 设d(pn)=r,引进新变量x'X∪C, ❖ 根据赋值概念讨论 ❖ 由于增加了新变量,必须构造新的谓词代数
P(Y') ❖ 构造P(Y)到P(Y')的半同态映射 ❖ 利用代换定理
❖作业：P257 27,21(1)(2),22,23,26
❖ (1)(X1)X2，(C1)C2，而且在X1上是 一对一的。
❖ (2)是{F,→}-同态映射。 ❖ (3)对任何pP1有(xp)=(x)(p)。
❖ 引 理 19 . 3 : 设 ( , ) : ( P1,X1∪C1)→ (P2,X2∪C2)是半同态映射，pP1，并且 假设xvar(p)。则(x)var((p))。
命题公式真值表
(4) (P Q) (P Q);
(5) (P Q) (P Q).
A
6
1-4 真值表与等价公式
解 (1) P Q 的真值表为:
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
P Q
T F T T
(2) P Q 的真值表为:
P
Q
PQ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A
7
1-4 真值表与等价公式
(3) (P Q) P 的真值表为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式;
(2)如果 A 是合式公式,那么 A是合式公式;
(3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B, A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)
所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串
是合式公式.
A
3
1-3 命题公式与翻译
A 中的 X 用Y 置换,所得公式 B 与公式 A 等价,即 A B .
例 4 证明: Q (P (P Q)) Q P
例 5 证明下列等价式
(1) (P Q) (P Q) P ;
(2) P (Q R) Q (P R) .
练习 证明 P (Q R) (P Q) R
A
14
1-4 真值表与等价公式
例 6 化简下列命题公式: (1) P (P (Q P)) (2) (P Q) (Q P)
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价公式
定义1-3.1 命题演算的合式公式(wff)，规定为：
(1)单个命题变元（常元）本身是一个合式公式。
(2)如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
(3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)， (A→B）和(A B)都是合式公式。 (4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)所得到 的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公 式。
P17(1) (C) (P ∨Q) P T T F F Q T F T F P ∨Q T T T F Q ∨P T T T F
(Q ∨P)
(P ∨Q) (Q ∨P)
T T T T
P17(1) (e) (P →(Q→R) )→((P→Q) →(P→R)) 设S (P →(Q→R) )→((P→Q) →(P→R))
离散数学
Discrete Mathematics
课程回顾
命题：命题的定义、真值、分类及其表示。 命题联结词： 否定、合取、析取、条件、双条件。
P Q ┐P P∧Q P∨Q P→Q P Q
T T
T F F T
F
F T
T
F F
T
T T
T
F T
T
F F
F F
T
F
F
T
T
第一章 命题逻辑第2讲
1—3 命题公式与翻译 1—4 真值表与等价公式 要求：理解合式公式及两个合式公式等价 的定义，熟悉真值表与命题定律，会证明 等价公式。 重点：合式公式的定义，两个合式公式等价 的定义，命题定律。 难点：推证等价公式。
例题4
给出┐(P∧Q） （┐P∨┐Q）的真值表。
解
P Q ┐P T T T F F T F F F F T T ┐Q F T F T P∧Q T F F F ┐(P∧Q) ┐P∨┐Q F T T T F T T T ┐(P∧Q） T T T T ┐P∨┐Q）
合式公式的判断方法
合式公式的判断方法在数学中，合式公式是指由已知命题经过逻辑联结词的运算得到的新命题。
合式公式的判断方法是数理逻辑中的一个重要内容，它对于逻辑推理和命题的真假判断起着至关重要的作用。
在判断合式公式时，我们需要掌握一些基本的方法和规则，下面将详细介绍合式公式的判断方法。
首先，我们需要了解合式公式的定义。
合式公式是由原子命题和逻辑联结词通过逻辑运算得到的命题。
原子命题是不能再分解的命题，它可以是一个简单的命题，也可以是一个复合命题。
逻辑联结词包括合取、析取、蕴含、等值、非等五种。
合取用符号“∧”表示，表示“且”的关系；析取用符号“∨”表示，表示“或”的关系；蕴含用符号“→”表示，表示“如果…，那么…”的关系；等值用符号“↔”表示，表示“当且仅当”的关系；非用符号“¬”表示，表示“非”的关系。
通过这些逻辑联结词的运算，我们可以得到各种形式的合式公式。
其次，我们需要掌握合式公式的判断规则。
判断合式公式的真假，需要根据逻辑运算的规则进行推理。
对于合取、析取、蕴含、等值和非等五种逻辑运算，我们需要分别运用它们的真值表进行判断。
例如，对于合取运算，只有当合取式中的所有原子命题都为真时，合取式才为真；对于析取运算，只有当析取式中的所有原子命题都为假时，析取式才为假；对于蕴含运算，只有当蕴含式的前件为真、后件为假时，蕴含式才为假；对于等值运算，只有当等值式的两个部分真假相同时，等值式才为真；对于非运算，只有当非式中的原子命题为真时，非式才为假。
通过运用这些判断规则，我们可以准确地判断合式公式的真假。
最后，我们需要注意合式公式的简化和转化。
在判断合式公式的过程中，有时候我们需要对合式公式进行简化和转化，以便更好地进行判断。
例如，我们可以利用蕴含的等价关系将复杂的蕴含式转化为析取式和非式的组合，然后再进行判断；我们还可以利用德摩根定律将复杂的析取式和合取式进行简化，以便更方便地进行判断。
在进行合式公式的判断时，我们需要灵活运用各种逻辑运算的规则，将复杂的合式公式简化为更简单的形式，然后再进行判断。
合式公式的代换
合式公式的代换合式公式这个概念，在数学和逻辑学里可有着相当重要的地位呢！咱先来说说啥是合式公式。
简单来讲，合式公式就是按照一定规则组合起来的有意义的表达式。
就拿数学里常见的等式来说，比如“2 + 3 = 5”，这就是一个简单又典型的合式公式。
那代换又是咋回事呢？打个比方，假如我们有个合式公式“x + 5 = 10”，我们把 x 代换成 5，就会发现等式成立了，这就是代换的一种体现。
我记得有一次给学生们讲合式公式的代换，那场景真是让人印象深刻。
当时，我在黑板上写下了一个合式公式“(x + 2)² = x² + 4x + 4”，然后我就问学生们：“如果 x 等于 3，那这个式子会变成啥样呢？”大多数学生都开始埋头苦算，可角落里有个平时挺调皮的小家伙，眼睛滴溜溜一转，就举起手来大声说：“老师，我知道！”我心里一咯噔，想着这孩子别是瞎蒙的。
结果他站起来，有条有理地说：“把 3 代进去，左边就是 (3 + 2)²，等于 25，右边就是 3² + 4×3 + 4 ，也算出来是 25 ，所以等式成立！” 这一番回答让全班同学都忍不住给他鼓掌，那场面别提多热闹了。
通过这件事我发现，只要能让学生们真正理解合式公式代换的原理，他们就能灵活运用，解决各种问题。
再比如说，在逻辑推理中，合式公式的代换也常常发挥关键作用。
比如“如果 A 成立，那么 B 成立”这样的合式公式，当我们给 A 和 B 赋予具体的条件时，通过代换就能判断整个逻辑是否合理。
在解决实际问题时，合式公式的代换更是用处多多。
比如在计算物体的运动轨迹、经济模型中的变量关系等等，都需要我们熟练掌握合式公式的代换来得出准确的结果。
总之，合式公式的代换就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多知识的大门，解决各种各样复杂的问题。
只要我们认真学习，多加练习，就能熟练运用这把钥匙，在知识的海洋里畅游无阻啦！。
2真值表等值式PPT课件
p0
（矛盾律）
0
（零律）
矛20盾21/式3/10
16
判断公式类型
(2) (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律）
1 重言式
(3) ((pq)(pq))r)
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
2021/3/10
5
真值表的作用: 求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同
公式间的关联，判断公式的类型。
2021/3/10
6
二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
AB (A∧B)∨(A∧B )
(14)假言易位
ABBA
(15)等价否定等值式 AB A B
(16)归谬论
(A B) ∧(A B) A
特别提示：牢记这16组等值式是继续学习的基础
2021/3/10
12
四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程
2. 等值演算的基础：
3
真值表2
(2) B＝(qp)qp
pq
qp
00
1
01
0
10
1
11
命题公式真值表
1-4 真值表与等价公式
1.真值表
定义1-4.1 在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能 组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成 表,就是命题公式的真值表.
例 2 构造下列命题公式的真值表: (1) P Q ; (3) ( P Q) P ; (5) ( P Q) (P Q) . (2) P Q ; (4) ( P Q) (P Q) ;
3.等价公式
定 义 1-4.2 给 定 两 个 命 题 公 式 A 和 B , 设
A 、 B 中的原子变元 , 如果给 P 1,P 2 ,… , P n 为出现于 A 与 B 的真值都相同, P 1,P 2 ,…, P n 任一组真值指派 ,
则称 A 和 B 是等价的(或逻辑相等),记作 A B .
1-4 真值表与等价公式
例 3 证明: P Q ( P Q) (Q P)
4.基本等价公式
对合律
(双否定)
P P
交换律
结合律
P Q Q P, P Q Q P
P (Q R) ( P Q) R , P (Q R) ( P Q) R P (Q R) ( P Q) ( P R) ,
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
合式公式等价关系
合式公式等价关系在咱们学习数学和逻辑的过程中，“合式公式等价关系”可是个相当重要的概念。
这玩意儿，乍一听好像挺复杂，其实就跟咱们日常生活里判断东西是不是一样好用差不多。
比如说，咱们去买水果，挑苹果的时候，红苹果和青苹果虽然颜色不一样，但都是苹果，都能吃，都有营养，这在某种程度上就可以理解为一种“等价”。
那回到“合式公式等价关系”，简单来说，就是两个合式公式，不管怎么看，在逻辑上它们表达的意思是完全一样的。
就像你从正面看一个房子和从侧面看一个房子，只要房子本身没变，那它还是那个房子。
给大家举个例子啊，就拿“p 且q”和“q 且p”这两个合式公式来说。
从表面上看，“p 且q”是先提到 p 再提到 q，而“q 且p”则是反过来先提q 后提 p。
但实际上，不管顺序怎么变，它们表达的都是 p 和 q 这两个条件同时成立的意思。
这就好比你先穿左脚的鞋再穿右脚的鞋，和先穿右脚的鞋再穿左脚的鞋，最终的结果都是把鞋穿好了。
再比如说，“非（非 p）”和“p”这两个合式公式也是等价的。
就好像你把一个东西包了两层纸，然后再把外面两层纸都撕掉，最后得到的还是原来那个东西。
在数学和逻辑的世界里，搞清楚合式公式的等价关系，那可太有用了。
比如说在解题的时候，有时候一个复杂的合式公式很难直接处理，但是如果我们能找到一个跟它等价但是形式更简单的合式公式，那问题不就一下子变得容易多了嘛。
我记得有一次，我给学生们出了一道逻辑题，题目里的合式公式特别复杂，把好多同学都给难住了。
有个聪明的小家伙，他仔细观察了一下那个复杂的合式公式，发现它和之前学过的一个比较简单的等价公式很像。
然后他就试着把那个复杂的公式转化成了简单的等价公式，一下子就把答案给算出来了。
当时我那个高兴啊，这孩子真的是把这知识给学透了。
总之，“合式公式等价关系”虽然听起来有点抽象，但只要咱们多琢磨琢磨，多联系实际，就能发现它其实就在我们身边，而且还能帮我们解决不少难题呢！大家加油，把这个概念掌握好，让我们在逻辑的海洋里畅游得更轻松愉快！。
真值表转换公式
真值表转换公式一、真值表的基本概念真值表是布尔代数中的一种重要工具，它用来展示逻辑运算的输入和输出之间的关系。
真值表的每一行都对应着逻辑运算的一个输入组合，而每一列则对应着逻辑运算的一个输出结果。
真值表的行数和列数取决于逻辑运算的输入变量和输出变量的个数。
1. 确定逻辑运算的输入和输出变量在使用真值表转换公式之前，首先需要确定逻辑运算的输入和输出变量。
输入变量是指参与逻辑运算的逻辑变量，而输出变量是指逻辑运算的结果。
2. 构建真值表根据输入变量的个数，可以列出所有可能的输入组合，并计算出对应的输出结果。
通过列出真值表，我们可以清晰地看到逻辑运算的输入和输出之间的关系。
3. 根据真值表转换公式根据真值表的结果，我们可以通过观察和推理，找到逻辑运算的公式。
转换公式是指将逻辑运算的真值表转换成逻辑表达式的过程。
通过转换公式，我们可以将逻辑运算从真值表的形式转换为公式的形式。
三、真值表转换公式的应用真值表转换公式在逻辑电路设计、逻辑推理和计算机科学等领域有着广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 逻辑电路设计在逻辑电路设计中，我们可以通过真值表转换公式来设计和优化逻辑电路。
通过观察和分析逻辑运算的真值表，我们可以找到最简化的逻辑表达式，从而设计出更高效和更可靠的逻辑电路。
2. 逻辑推理在逻辑推理中，真值表转换公式可以用来证明逻辑命题的等价性。
通过比较逻辑运算的真值表，我们可以判断逻辑命题之间是否等价，从而得出逻辑推理的结论。
3. 计算机科学在计算机科学中，真值表转换公式被广泛应用于逻辑编程、布尔函数和逻辑回路等领域。
通过真值表转换公式，我们可以进行逻辑运算的模拟和优化，从而提高计算机系统的性能和可靠性。
真值表转换公式是一种重要的逻辑工具，用于推导逻辑运算的公式。
通过真值表转换公式，我们可以将逻辑运算的真值表转换为逻辑表达式，从而应用于逻辑电路设计、逻辑推理和计算机科学等领域。
通过深入理解和应用真值表转换公式，我们可以更好地理解和应用布尔代数的原理和方法。
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2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
第3节 命题公式与翻译
由第2节的内容，我们知道，若P、Q是任意两个命题， 则 P，P ∨ Q，(P ∨ Q) (P ⇄ Q)等等都是复合命题。 1. 命题公式的定义 当P、Q是命题变元时，则上述各式为命题公式。 注意： • • 命题公式没有真假值； 并不是所有的由命题变元、联结词、和一些括号组成的字符 串都能成为命题公式。 例如： P ∨ （P Q）不是合法的命题公式 仅有举例说明是不够的，需要给出命题公式的规格化定义
例4： 1、只有你主修计算机科学或者不是新生，才能从校园 内访问因特网。 解：设P：你能从校园内访问因特网；Q：你是新生； R：你主修计算机科学。则原题译为： P (R ∨ Q) 2、除非你已满16周岁，否则只要你身高不足4英尺就不 能乘公园滑行铁道。 解：设P：你已满16周岁；Q：你身高不足4英尺； R：你能乘公园滑行铁道。 则原题译为： P (Q R )
• 界限 (4) 当且仅当能够有限次应用(1) 、 (2) 、 (3)所得到的包 含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。 例1. 合式公式((P (Q R))∧((P Q) ∧(P R)))的生成 过程： P Q R (Q R) (P Q) (P R) (P (Q R) ) ((P Q) ∧(P R))
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身是个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
真值表与翻译
例5：M：张三或李四中一个人去了。 设 P：张三去了。 Q：李四去了。 P T T F F Q T F T F M F T T F 可见：M的真值和 (P ⇄ Q)的完全相反。 所以：M 可翻译为： (P ⇄ Q ）
例6、 1、如果我上街，我就去书店，除非我很累。 2、李四生于1980或1981年，他是计算机学院的学生，而 且是优秀学生干部。 1、解：P：我上街 Q：我去书店 R：我很累 R （P Q） 2、解：P：李四生于1980年 Q：李四生于1981年 R：李四是计算机学院学生 S：李四是优秀学生干部 ((P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)) ∧ R ∧ S
例6、证明P (Q R) Q (P R) 证明： P (Q R) P ∨ (Q R) P ∨ ( Q ∨ R) Q ∨ ( P ∨ R) Q ( P ∨ R) Q (P R) 例7、证明( P Q )(Q ∨ R) P ∨ Q ∨ R 证明： ( P Q )(Q ∨ R) ( P ∨ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∧ Q ) ∨(Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ ( Q ∨Q ∨ R) (P ∨Q ∨ R) ∧ T 作业：P19. （7）a, b, c, g P ∨Q ∨ R (8)、 (9)
例4：用等价置换定理来化简下列命题公式 1. 证明：Q （P ∨(P ∧ Q)） Q P 因为：P P ∨(P ∧ Q) 所以，由等价置换定理可得 Q （P ∨(P ∧ Q)）Q P
等价置换例题
2. (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P 证明：由分配律知： (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P ∧ (Q ∨ Q) 又由否定律知： (Q ∨ Q) T 所以： P ∧(Q ∨ Q) P ∧ T 由同一律知： P ∧ T P 于是有：(P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P
3. 常用的等价式 （P15表1-4.8） 双重否定律： AA B A A B 蕴涵等值式： 等幂律： AAA ⇄ B A A A B)(BA) 等价等值式： (A 交换律：AB BA A B B) B (A (A B A) 结合律：(AB)C A(BC) 分配律：A(BC) (AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德·摩根律： (AB) A B (AB) A B 吸收律：A(AB) A A(AB) A (AB)C A(BC)
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
1 ∧ 2 ∧ 3 T 变换为（ ∧…… ∧ ） ∨ （ ∧…… ∧ ） 的形式 排除（ ∧…… ∧ ） 中Pi ∧ Pj的可能即可。A2, C1, D3, B4
4. 子公式与等价置换定理 子公式定义：如果X是合式公式 A的一部分，而且，X本身也是 一个合式公式，则称X为公式A 的子公式 等价置换定理：设X是合式公式A 的子公式，若：X Y，如果将 A中的X用Y来置换，所得到公式 B与公式A等价，即A B。
(P ∨ Q) ∧(R S) P、Q、R、S A：(P ∨ Q)， ∧ (R S) S) (R B：( P Q) ∧(R S) 等都是该公式的子公式。 因为： (P ∨ Q) ( P Q) 所以：AB
对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为T。我们称命题公式A为永真式。记为：A T 定义4 永假式（矛盾式） 对应于所有可能的真值指派，命题公式A的真值都 为F。我们称命题公式A为永假式。记为：A F
2、等价定理与常用等价式 定理：A和B是两个命题公式，A B当且仅当A 证明： （1）由A B 知，在所有可能的真值指派下，A、B的真值总是 相同的，从而，A ⇄ B是一个重言式。 （2）由A ⇄ B为重言式， 可知：在所有可能的真值指派下，A、 B的真值总是相同的，所以A B。 注意： “ 当且仅当 ” 注意： “ 当且仅当 ” 的证明需要分为 的证明需要分为 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 “ 当 ” 和 “ 仅当 ” 两个 部分 部分 B是一个重言式。
例5、求证：Q ∨ (( P Q) ∧ P) T 证明： Q ∨ (( P Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∨ Q) ∧ P) Q ∨ (( P ∧ P) ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( F ∨( Q ∧ P)) Q ∨ ( Q ∧ P) Q ∨( Q ∨ P ) (Q ∨ Q )∨ P T ∨ P T
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
(P P Q
Q)
P仅当 Q :
除非P，否则Q： P Q 定义一般翻译为双条件 作业 :P12. (5), (6), (7)
第4节：真值表与等价公式 （PFra bibliotek2定义）1、真值表 定义1 真值表 在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确 定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题 公式的真值表。 P Q PQ PQ 例1： 构造（P Q）和 T T T T （ P ∨ Q）的真值表 （P Q） （ P ∨ Q） 定义2 命题公式A、B等价 T F F F T F F T T F T T
兴趣题：用等价演算来解决下列问题
A、B、C、D四个进行百米赛跑，观众甲乙丙三人猜比赛名次， 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 说明这三个命 题公式都是永 结果是甲乙丙三人各猜对了一半，请您根据这些信息推断出 真式 ABCD四人的名次。 1. ( C1 ∧ B2)∨( C1 ∧ B2） 甲：C1 ∧ B2 2. ( C2 ∧ D3)∨( C2 ∧ D3） 乙：C2 ∧ D3 猜对一半 丙：A第二，D第四。 丙：A2 ∧ D4 3. ( A2 ∧ D4)∨ (A2 ∧ D4）