线代1-5xin .
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§5 行列式的性质
记
D= a11 a12 L a1n , D =
T
a11 a12 M a1n
a21 L an1 a22 L an2 M M a2n L ann ,
a21 a22 L a2n M M M an1 an2 L ann
说明 转置行列式. 行列式 DT 称为 D的转置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式中行、列地位等同. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式中行、列地位等同 证明: 证明 记 D = det(aij ) 的转置行列式为 由定义 DT = ∑(−1)t b1p b2p Lbnp b b L bn 11 12 1
解
0 2 0 0 0 2
= 48
线性代数
第一章 行列式
7
3
1 −1
2
−5 1 例10 计算 D = 2 0 1 −5
3 −4 . 1 −1 3 −3
1 3 −1 2 1 3 −1 2 r −r c ↔c 解 D 1 2 − 1 −5 3 − 4 2 1 − 0 −8 4 −6 0 2 1 −1 0 2 1 −1 r4 + 5r1 0 16 − 2 7 −5 1 3 −3 1 3 −1 2 1 3 −1 2 1 3 −1 2 5 r4 + r3 0 2 1 −1 r2 ↔r3 0 2 1 −1 r3 + 4r2 0 2 1 −1 4 0 0 8 −10 0 −8 4 −6 r4 − 8r2 0 0 8 −10 5 0 16 − 2 7 0 0 −10 15 0 0 0 2 = 40.
1
第一章 行列式
性质2 性质2 证
互换行列式的两行( ),行列式变号. 互换行列式的两行(列),行列式变号. 行列式变号
b b L bn 11 12 1
a11
a12 L a1n
设行列式 D1 = b21 b22 L b2n , M M M
bn1 bn2 L bnn
a21 a22 L a2n , 是由行列式 D = M M M an1 an2 L ann
线性代数
第一章 行列式
2 3
1 2 2 9 6
0 0 3 2 0
0 0 1 3 2
0 0 2. 0 1
例13 计算 D = 1
7 8
解
2 1 D= ⋅ 2 3 0 = ( 4 − 3) ⋅ (9 + 8 − 2) = 15. 3 2 0 2 1
3 1 2
线性代数
第一章 行列式
13
4.(2)
2 1 4 1 5 0 6 2 1 3 −1 2 1 r + r2 3 −1 2 1 = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
b
c
d
a a +b a +b + c a 2a + b 3a + 2b + c a 3a + b 6a + 3b + c d a +b +c = a4 2a + b a
9
线性代数
第一章 行列式
注意 (1)若把几个运算写在一起，要注意各个运算的次序不能颠倒. 如 a b
c a c d b r2 − r 1 d
b11 L b1n D2 = det(bij ) = M M , bn1 L bnn
则 D= D D2. 1 结论
线性代数
第一章 行列式
11
证 对 D作运算 ri + krj , 把 D 化为下三角形行列式： 1 1
p11 D= M 1 O
0
= p11 p22 Lpkk
pk1 L pkk 对 D2作运算ci + kcj , 把 D2化为下三角形行列式： q11 0 = q11q22 Lqnn D2 = M O
(a + 3)2 (b + 3)2 c4 − c3 (c + 3)2 c3 − c2 c −c (d + 3)2 2 1 2 2 = 0. 2 2
b r + r2 a + c b + d 1 −d d r2 − r − a c d 1
线性代数
第一章 行列式
10
a11 L a1k M M
0
b L bn 11 1 M M bn1 L bnn
ak1 L akk 例12 证明 设 D = 证明:设 c11 L c1k M M cn1 L cnk
a11 L a1k D = det(aij ) = M M , 1 ak1 L akk
1 2 n
b21 b22 L b2n D = , M M M bn1 bn2 L bnn
T
= ∑(−1) ap11ap2 2 L pnn a
t
D 由定理2知， = ∑(−1)t ap 1ap 2 Lap n
1 2 n
则 bij = aji (i, j =1,2,L, n), 线性代数
所以
DT = D
t
= ∑(−1) a1p1 Laipj Lajpi Lanpn
t
其中 1LiLjLn 为自然排列， t 为排列 p1 Lpi Lpj Lpn 的逆序数. 设排列 p1 Lpj Lpi Lpn 的逆序数为 t1 ，则 (−1)t = −(−1)t , 故
1
D = −∑(−1) 1 a1p1 Laipj Lajpi Lanpn = −D 1
另一行（ 另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.. 对应的元素上去，行列式不变
a11 L a1i L a1j L a1n a21 L a2i L a2 j L a2n M M M M an1 L ani L anj L ann a11 L (a1i + ka j ) L a1j L a1n 1 a21 L (a2i + ka2 j ) L a2 j L a2n M M M M an1 L (ani + kanj ) L anj L ann
对 D的前 k 行作运算 ri + krj , 对后 n 列作运算 ci + kcj , 把 D 化 为下三角行列式
D= p11 M O pk1 L pkk c11 L c1k M M cn1 L cnk
qn1 L qnn
0
q11 M O qn1 L qnn
12
D = p11 p22 Lpkk q11q22 Lqnn= D D2. 1
a11 D= a12 L a21 a22 L ′ (a1i + a1i ) (a2i + a′i ) 2 L a1n L a2n ,
M M M M an1 an2 L (ani + a′ ) L ann ni
则 D 等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和：
a11 a12 L a1i L a1n a11 a21 a22 L a2i L a2n a21 D= + M M M M M an1 an2 L ani L ann an1 ′ a12 L a1i L a1n ′ a22 L a2i L a2n . M M M ′ an2 L ani L ann
a2 ab b 2 a 2 − b 2 b(aabb) b 2 − c1 − c3 5.(1). 2a a + b 2b 2(a − b) a − b 2b a+b c −c 1 1 1 2 3 0 1 1 0 a + b b b2 a − b b b2 c1 ÷ (a − b) c1 − 2c2 2 2 = (a−b)3 (a−b) 2 (a−b) 0 1 2b 1 2b c2 ÷(a −b) 0 0 1 0 0 1
t
证毕
2
线性代数
第一章 行列式
用 ri 表示行列式的第 i 行， 用ci 表示行列式的第 i 列. 两行， 交换 i, j 两行， 记作 ri ↔rj ； 交换 i, j 两列， 记作 ci ↔c j. 两列， 推论 性质3 性质3 如果行列式有两行（ 如果行列式有两行（列)完全相同，则此行列式等于零. 完全相同，则此行列式等于零. 行列式的某一行（ 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k,等
ci + kcj
行上， 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上，记作 ri + krj . 列上， 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作 ci + kcj. 线性代数 第一章 行列式
6
说明 任何 阶行列式总能利用性质将其化为上（下）三角行列式. 任何n阶行列式总能利用性质将其化为上（ 阶行列式总能利用性质将其化为上 三角行列式 例9. 计算
线性代数
第一章 行列式
8
a b c 例11. 计算 D = a a + b a +b + c a 2a + b 3a + 2b + c
a b c
d a +b + c + d 4a + 3b + 2c + d
d
a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
a +b +c a +b + c + d r4 − r3 a a + b 解 D a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d
3 1 1 1 1 3 1 1 D= 1 1 3 1 1 1 1 3 1 6 6 6 6 r + r2 + r3 + r4 1 3 1 1 r ÷ 6 1 1 1 6 D 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 r2 − r 0 1 6 r3 − r 0 1 r4 − r 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
r + r2 a + c 1
c a c −a
b+ d r −r a +c b+d 2 1 d −a −d b r + r2 c 1 d −b c −a d d −b
(2)不要忽视后一次运算是作用在前一次运算的结果上，如：
a c
a c
b r + r2 a + c b + d 1 d r2 − r c− a d −b c d 1
b 变换 i、j两行得到的， 即当 k ≠ i, j 时， kp = akp ; b 当 k = i, j 时， ip = ajp , bjp = aip , 因此
D = ∑(−1) b1p1 L ipi L jpj L npn = ∑(−1)t a1p1 Lajpi Laipj Lanpn b b b 1
乘此行列式. 于用数 k 乘此行列式. 或列） 第 i 行（或列）乘以 k, 记作 ri ×k（或 ci ×k ）. 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列 行列式中某一行（ 式符号外面。 式符号外面。 或列）提出公因子k, 第 i 行（或列）提出公因子 记作 ri ÷ k（或 ci ÷ k ）. 例7.
0 a 3a+b 6a +3b + c a b c d a r3 − r2 a a + b a + b + c a + b + c + d r2 − r 0 1 0 2a+b 3a +2b + c a 0 0 a 3a + b 6a + 3b + c 0 a b c d a b c r4 − r3 0 a a + b a + b + c r4 − r3 0 a a + b r3 − r2 0 0 0 0 a a 2a +b 0 0 0 0 0 a 3a +b
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
பைடு நூலகம்
1 = 1 1 1 5
1
1 0 1 1 + 0 0 1 5 0
1
1 1 0 0 0
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
1 1 1 1 5
= 0 + 60 = 60
线性代数
第一章 行列式
5
性质6 性质6 如
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到 把行列式的某一行（ 的各元素乘以同一数，
线性代数
第一章 行列式
14
a2 5.(3). 2 b c2
(a +1 2 ) (b +1 2 ) (c +1 2 )
(a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2
d 2 (d +1 2 (d + 2)2 ) a2 c4 − c3 b2 c3 − c2 c2 d2 2a +1 2 2b +1 2 2c +1 2 2d +1 2
线性代数
第一章 行列式
4
2 1
1 1 0 0 0
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
1 1 1 1 5
例8. 计算行列式 D = 1
1 1
解 将行列式的第一列拆开.
1+1 1+ 0 D = 1+ 0 1+ 0 1+ 0 1 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 1
1 1
1 1 0 0 0
4 0 D = 8 1 3 1 6 3 2 3 4 4
4 1 0 0 r3 ÷ 2 2 2 4 5 1
3 1 3 3
2 3 2 4
1 0 1 5
= 0.
线性代数
第一章 行列式
3
性质4 性质4 于零. 于零 性质5 性质5
行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等 行列式如果有两行（ 元素成比例， 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如 若行列式的某一行（ 的元素都是两数之和，
记
D= a11 a12 L a1n , D =
T
a11 a12 M a1n
a21 L an1 a22 L an2 M M a2n L ann ,
a21 a22 L a2n M M M an1 an2 L ann
说明 转置行列式. 行列式 DT 称为 D的转置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式中行、列地位等同. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式中行、列地位等同 证明: 证明 记 D = det(aij ) 的转置行列式为 由定义 DT = ∑(−1)t b1p b2p Lbnp b b L bn 11 12 1
解
0 2 0 0 0 2
= 48
线性代数
第一章 行列式
7
3
1 −1
2
−5 1 例10 计算 D = 2 0 1 −5
3 −4 . 1 −1 3 −3
1 3 −1 2 1 3 −1 2 r −r c ↔c 解 D 1 2 − 1 −5 3 − 4 2 1 − 0 −8 4 −6 0 2 1 −1 0 2 1 −1 r4 + 5r1 0 16 − 2 7 −5 1 3 −3 1 3 −1 2 1 3 −1 2 1 3 −1 2 5 r4 + r3 0 2 1 −1 r2 ↔r3 0 2 1 −1 r3 + 4r2 0 2 1 −1 4 0 0 8 −10 0 −8 4 −6 r4 − 8r2 0 0 8 −10 5 0 16 − 2 7 0 0 −10 15 0 0 0 2 = 40.
1
第一章 行列式
性质2 性质2 证
互换行列式的两行( ),行列式变号. 互换行列式的两行(列),行列式变号. 行列式变号
b b L bn 11 12 1
a11
a12 L a1n
设行列式 D1 = b21 b22 L b2n , M M M
bn1 bn2 L bnn
a21 a22 L a2n , 是由行列式 D = M M M an1 an2 L ann
线性代数
第一章 行列式
2 3
1 2 2 9 6
0 0 3 2 0
0 0 1 3 2
0 0 2. 0 1
例13 计算 D = 1
7 8
解
2 1 D= ⋅ 2 3 0 = ( 4 − 3) ⋅ (9 + 8 − 2) = 15. 3 2 0 2 1
3 1 2
线性代数
第一章 行列式
13
4.(2)
2 1 4 1 5 0 6 2 1 3 −1 2 1 r + r2 3 −1 2 1 = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
b
c
d
a a +b a +b + c a 2a + b 3a + 2b + c a 3a + b 6a + 3b + c d a +b +c = a4 2a + b a
9
线性代数
第一章 行列式
注意 (1)若把几个运算写在一起，要注意各个运算的次序不能颠倒. 如 a b
c a c d b r2 − r 1 d
b11 L b1n D2 = det(bij ) = M M , bn1 L bnn
则 D= D D2. 1 结论
线性代数
第一章 行列式
11
证 对 D作运算 ri + krj , 把 D 化为下三角形行列式： 1 1
p11 D= M 1 O
0
= p11 p22 Lpkk
pk1 L pkk 对 D2作运算ci + kcj , 把 D2化为下三角形行列式： q11 0 = q11q22 Lqnn D2 = M O
(a + 3)2 (b + 3)2 c4 − c3 (c + 3)2 c3 − c2 c −c (d + 3)2 2 1 2 2 = 0. 2 2
b r + r2 a + c b + d 1 −d d r2 − r − a c d 1
线性代数
第一章 行列式
10
a11 L a1k M M
0
b L bn 11 1 M M bn1 L bnn
ak1 L akk 例12 证明 设 D = 证明:设 c11 L c1k M M cn1 L cnk
a11 L a1k D = det(aij ) = M M , 1 ak1 L akk
1 2 n
b21 b22 L b2n D = , M M M bn1 bn2 L bnn
T
= ∑(−1) ap11ap2 2 L pnn a
t
D 由定理2知， = ∑(−1)t ap 1ap 2 Lap n
1 2 n
则 bij = aji (i, j =1,2,L, n), 线性代数
所以
DT = D
t
= ∑(−1) a1p1 Laipj Lajpi Lanpn
t
其中 1LiLjLn 为自然排列， t 为排列 p1 Lpi Lpj Lpn 的逆序数. 设排列 p1 Lpj Lpi Lpn 的逆序数为 t1 ，则 (−1)t = −(−1)t , 故
1
D = −∑(−1) 1 a1p1 Laipj Lajpi Lanpn = −D 1
另一行（ 另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.. 对应的元素上去，行列式不变
a11 L a1i L a1j L a1n a21 L a2i L a2 j L a2n M M M M an1 L ani L anj L ann a11 L (a1i + ka j ) L a1j L a1n 1 a21 L (a2i + ka2 j ) L a2 j L a2n M M M M an1 L (ani + kanj ) L anj L ann
对 D的前 k 行作运算 ri + krj , 对后 n 列作运算 ci + kcj , 把 D 化 为下三角行列式
D= p11 M O pk1 L pkk c11 L c1k M M cn1 L cnk
qn1 L qnn
0
q11 M O qn1 L qnn
12
D = p11 p22 Lpkk q11q22 Lqnn= D D2. 1
a11 D= a12 L a21 a22 L ′ (a1i + a1i ) (a2i + a′i ) 2 L a1n L a2n ,
M M M M an1 an2 L (ani + a′ ) L ann ni
则 D 等于下列两个行列式之和： 等于下列两个行列式之和：
a11 a12 L a1i L a1n a11 a21 a22 L a2i L a2n a21 D= + M M M M M an1 an2 L ani L ann an1 ′ a12 L a1i L a1n ′ a22 L a2i L a2n . M M M ′ an2 L ani L ann
a2 ab b 2 a 2 − b 2 b(aabb) b 2 − c1 − c3 5.(1). 2a a + b 2b 2(a − b) a − b 2b a+b c −c 1 1 1 2 3 0 1 1 0 a + b b b2 a − b b b2 c1 ÷ (a − b) c1 − 2c2 2 2 = (a−b)3 (a−b) 2 (a−b) 0 1 2b 1 2b c2 ÷(a −b) 0 0 1 0 0 1
t
证毕
2
线性代数
第一章 行列式
用 ri 表示行列式的第 i 行， 用ci 表示行列式的第 i 列. 两行， 交换 i, j 两行， 记作 ri ↔rj ； 交换 i, j 两列， 记作 ci ↔c j. 两列， 推论 性质3 性质3 如果行列式有两行（ 如果行列式有两行（列)完全相同，则此行列式等于零. 完全相同，则此行列式等于零. 行列式的某一行（ 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k,等
ci + kcj
行上， 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上，记作 ri + krj . 列上， 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作 ci + kcj. 线性代数 第一章 行列式
6
说明 任何 阶行列式总能利用性质将其化为上（下）三角行列式. 任何n阶行列式总能利用性质将其化为上（ 阶行列式总能利用性质将其化为上 三角行列式 例9. 计算
线性代数
第一章 行列式
8
a b c 例11. 计算 D = a a + b a +b + c a 2a + b 3a + 2b + c
a b c
d a +b + c + d 4a + 3b + 2c + d
d
a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
a +b +c a +b + c + d r4 − r3 a a + b 解 D a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d
3 1 1 1 1 3 1 1 D= 1 1 3 1 1 1 1 3 1 6 6 6 6 r + r2 + r3 + r4 1 3 1 1 r ÷ 6 1 1 1 6 D 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 r2 − r 0 1 6 r3 − r 0 1 r4 − r 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
r + r2 a + c 1
c a c −a
b+ d r −r a +c b+d 2 1 d −a −d b r + r2 c 1 d −b c −a d d −b
(2)不要忽视后一次运算是作用在前一次运算的结果上，如：
a c
a c
b r + r2 a + c b + d 1 d r2 − r c− a d −b c d 1
b 变换 i、j两行得到的， 即当 k ≠ i, j 时， kp = akp ; b 当 k = i, j 时， ip = ajp , bjp = aip , 因此
D = ∑(−1) b1p1 L ipi L jpj L npn = ∑(−1)t a1p1 Lajpi Laipj Lanpn b b b 1
乘此行列式. 于用数 k 乘此行列式. 或列） 第 i 行（或列）乘以 k, 记作 ri ×k（或 ci ×k ）. 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列 行列式中某一行（ 式符号外面。 式符号外面。 或列）提出公因子k, 第 i 行（或列）提出公因子 记作 ri ÷ k（或 ci ÷ k ）. 例7.
0 a 3a+b 6a +3b + c a b c d a r3 − r2 a a + b a + b + c a + b + c + d r2 − r 0 1 0 2a+b 3a +2b + c a 0 0 a 3a + b 6a + 3b + c 0 a b c d a b c r4 − r3 0 a a + b a + b + c r4 − r3 0 a a + b r3 − r2 0 0 0 0 a a 2a +b 0 0 0 0 0 a 3a +b
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
பைடு நூலகம்
1 = 1 1 1 5
1
1 0 1 1 + 0 0 1 5 0
1
1 1 0 0 0
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
1 1 1 1 5
= 0 + 60 = 60
线性代数
第一章 行列式
5
性质6 性质6 如
把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到 把行列式的某一行（ 的各元素乘以同一数，
线性代数
第一章 行列式
14
a2 5.(3). 2 b c2
(a +1 2 ) (b +1 2 ) (c +1 2 )
(a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2
d 2 (d +1 2 (d + 2)2 ) a2 c4 − c3 b2 c3 − c2 c2 d2 2a +1 2 2b +1 2 2c +1 2 2d +1 2
线性代数
第一章 行列式
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2 1
1 1 0 0 0
1 1 3 0 0
1 1 1 4 0
1 1 1 1 5
例8. 计算行列式 D = 1
1 1
解 将行列式的第一列拆开.
1+1 1+ 0 D = 1+ 0 1+ 0 1+ 0 1 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 1
1 1
1 1 0 0 0
4 0 D = 8 1 3 1 6 3 2 3 4 4
4 1 0 0 r3 ÷ 2 2 2 4 5 1
3 1 3 3
2 3 2 4
1 0 1 5
= 0.
线性代数
第一章 行列式
3
性质4 性质4 于零. 于零 性质5 性质5
行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等 行列式如果有两行（ 元素成比例， 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如 若行列式的某一行（ 的元素都是两数之和，