最新中考数学专题复习-平方差公式及其应用(含解析)

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平方差公式的条件和结论

平方差公式的条件和结论嘿，咱们今天来好好聊聊平方差公式。

平方差公式啊，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松解决好多数学问题。

但要想用这把钥匙，得先搞清楚它开门的条件和得出的结论。

先来说说条件。

平方差公式适用的前提是两个二项式相乘，而且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

比如说，（a + b）（a - b），这里的 a 就是相同的那一项，b 和 -b 就是互为相反数的那两项。

我给大家讲个事儿啊。

有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵地问我：“老师，为啥非得是这样的形式啊？”我就跟他说：“你想象一下，咱们有两块地，一块大的是 a 长 b 宽，一块小的是 a 长-b 宽。

那把大的那块地减去小的那块地，剩下的不就是（a + b）（a - b）嘛。

”这同学一听，眼睛突然就亮了，好像一下子就明白了。

那平方差公式得出的结论是啥呢？就是 a² - b²。

简单来说，就是相同项的平方减去相反数项的平方。

在实际解题的时候，很多同学容易搞混或者用错。

比如说，有的同学看到（x - 2y）（x + 2y），会想当然地认为结果是 x² + 4y²，这可就大错特错啦！正确的应该是 x² - 4y²。

再比如，计算（3m + 4n）（3m - 4n），按照平方差公式，那就是9m² - 16n²。

这要是弄错了，后面的步骤可就全错咯。

咱们在运用平方差公式的时候，一定要仔细看清式子的形式，确定是不是符合条件，然后再得出正确的结论。

其实啊，数学就像一场有趣的冒险，平方差公式就是咱们在这场冒险中的得力工具。

只要掌握好它的条件和结论，咱们就能在数学的世界里勇往直前，解决一个又一个难题。

希望同学们都能熟练运用平方差公式，让数学学习变得轻松又有趣！。

中考数学知识点平方差与完全平方公式解析

中考数学知识点平方差与完全平方公式解析中考数学知识点平方差与完全平方公式解析掌握平方差公式和完全平方公式,并能熟练会运用公式进行计算可以达到事半功倍的效果。

下面是店铺精心整理的中考数学知识点平方差与完全平方公式解析，希望对你有帮助！一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b21、两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a)③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2注意事项1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的'平方减去相反项的平方。

3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

二、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或–a2+2ab-b2注意事项1.左边是一个二项式的完全平方。

2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。

3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4.不要漏下一次项。

5.切勿混淆公式。

6.运算结果中符号不要错误。

7.变式应用难，不易于掌握。

8.最重要的是做题小心谨慎。

平方差公式重点与难点分析[五篇模版]

平方差公式重点与难点分析[五篇模版]第一篇：平方差公式重点与难点分析平方差公式重点与难点分析北井头乡中武英芳这节课的重点是平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．这节课的难点是平方差公式的运用．对于平方美公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、总结、猜想，然后得出结论来突破．对于平方差公式的运用，教师可以选取典型的题目，而且，引导学生掌握一定的做题规律．对于平方差公式的几何背景的了解，可以让学生亲自动手，这样，更容易理解．《平方差公式》教材分析教材分析：（一）教材的地位与作用。

《平方差公式》是鲁教版义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级（下）第六章《整式的运算》第六节的内容。

平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。

本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。

它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。

（二）教学重难点、关键：1、重点：平方差公式的探索和应用。

2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。

3、关键：准确找到a，b。

目标分析：学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。

平方差公式与完全平方公式(解析版)(重点突围)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)

专题13 平方差公式与完全平方公式考点一运用平方差公式进行计算考点二平方差公式与几何图形考点三运用完全平方公式进行运算考点四求完全平方式中的字母系数考点五整式的混合运算——化简求值考点六通过对完全平方公式变形求值考点七完全平方公式在几何中的应用考点八运用完全平方式求代数式的最值问题考点一运用平方差公式进行计算例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（）（1）()()22a b a b +-（2）()()22a b b a +-（3）()()a b b a -+-（4）()()a b b a ---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．【详解】解：能用平方差公式计算的有()()22224a b b a b a +-=-；()()22a b b a a b ---=-，则能用平方差公式简便计算的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构()()a b a b +-是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：(32)(32)a b a b ---【答案】2249b a -【分析】根据平方差公式求解即可．【详解】解：(32)(32)a b a b ---22=49b a -【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：()()()()2222x y y x y x y x -+-+-，其中x ＝1，y ＝2；【答案】2255x y -，-15【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x ，y 求值即可．【详解】解：原式=()()222244x y y x --- =222244x y y x --+=2255x y -，当12x y =,=时，原式=225152⨯⨯-=520-=15-．【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-其中，a ＝－2，b ＝1．【答案】2129ab b +，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a 、b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解： ()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-()()2223141a b a =+--- 2224129141a ab b a =++--+2129ab b =+，当a=-2，b ＝1时，原式()212219124915=⨯-⨯+⨯=-+=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．考点二平方差公式与几何图形例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：；(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝22-a b(2)①9996②22-+-4129m m n【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；（2）应用平方差公式进行计算即可．（1）解：大的正方形边长为a，面积为2a，小正方形边长为b，面积为2b，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∵图1阴影部分面积＝22a b-，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∵（a+b）（a﹣b）＝22a b-，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝22-；a b（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝221002-＝10000﹣4＝9996；②（2m +n ﹣3）（2m ﹣n ﹣3）＝[（2m ﹣3）+n ）][（2m ﹣3）﹣n ]＝()2223m n --＝224129m m n +--．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键【变式训练】1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的为；面积为．（2）由（1）可以得到一个公式：．（3）利用你得到的公式计算：2202220232021-⨯．【答案】（1）22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）1【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）由（2）结论22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯＝1．【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是22a b -；图2的长为a +b ，宽为a ﹣b ，其面积（a +b ）（a ﹣b ）；故答案为：22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；；（3）由（2）题结果22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯()()220222022120221=-+-()222202220221=--22202220221=-+1=【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a ，b 的等式表示）(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知22412m n =+，2m ＋n ＝4，则2m －n 的值为______；②计算：()()2323x y x y +--+；(3)【拓展】计算：222222221009998974321-+-++-+-．【答案】(1)()()22a b a b a b +-=- (2)①3；②22469x y y -+-(3)5050【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出()()22224m n m n m n +=--，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；（3）利用平方差公式将2210099写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积，()()a b a b +-所以，得到乘法公式()()22a b a b a b +-=-故答案为()()22a b a b a b +-=-（2）解：①∵22412m n =+，2m ＋n ＝4，∵()()22224m n m n m n +=--23m n ∴-=故答案为：3②()()2323x y x y +--+=()()2223x y --22469x y y =-+- （3）222222221009998974321-+-+⋯+-+-=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）=199+195+…+7+3=5050．【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．考点三运用完全平方公式进行运算例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：()()22362x x x ---【答案】229x -+【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．【详解】解：()()22362x x x --- ()224129612x x x x =-+--224129612=-+-+x x x x229=-+x【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．【变式训练】1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：23()(2)(2)x y x y x y +--+，其中x =-1，y =2．【答案】2264x xy y -++，3．【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：23()(2)(2)x y x y x y +--+22223634x xy y x y =++-+ 2264x xy y =-++，当x =-1，y =2时，原式22(1)6(1)2423=--+⨯-⨯+⨯=．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法． 2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：(1)()()()()21322x x x x x ---++-；(2)()()()222x y z x y z x z --+--+．【答案】(1)23x x +-(2)244xz y --【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．（1）解：()()()()21322x x x x x ---++-2222134x x x x x =-+-++-23x x =+- （2）解：()()()222x y z x y z x z --+--+ ()()()222x z y x z y x z ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦ ()222242x z y x xz z =-----22222242x xz z y x xz z =-+---- 244xz y =--【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．考点四求完全平方式中的字母系数例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．【详解】解：∵22293x kx x kx ++=++是一个完全平方式，∵k ＝±2⨯3＝±6，故答案为：±6．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x 2﹣4x +m 是一个完全平方式，则m 的值为_____．【答案】4【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x 和-2，再根据完全平方公式求解即可．【详解】解：∵-4x =2×(-2)x ，∵这两个数是x 和-2，∵()224m =-=．故答案为：4．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若()22325x m x -++是关于x 的完全平方式，则m =______．【答案】8-或2【分析】根据完全平方式逆运用，可知22(5)1025x x x ±=±+，由此即可求得m 的值．【详解】解：22(5)1025x x x ±=±+，()2310m ∴-+=±，35m ，8m ∴=-或2m =，故答案为：8-或2．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．考点五整式的混合运算——化简求值例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦．其中x ＝2，y ＝-1．【答案】x ，2【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦()2222244443x xy y x y x xy x =+++-+-÷233x x =÷x =，当x ＝2，y ＝﹣1时，原式＝2．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．【变式训练】22222a ab b a b b b96962 ()() 22222--=+++÷-96962a ab b a b b b ()()2-=÷-624ab b b考点六通过对完全平方公式变形求值例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a ﹣b ＝5，ab ＝3，求代数式222a ab b ++的值．【答案】37【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．【详解】解：∵a ﹣b ＝5，ab ＝3，∵()22525a b -==，∵222a ab b ++ 2224a ab b ab =-++()24a b ab =-+2534=+⨯ 37=．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a +b =5，ab =4，(1)求a ²+b ²的值(2)求（a -b ）²的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．（1）解：∵5a b +=，4ab =，∵()225a b +=，∵22225a b ab ++=，∵22252252417a b ab +=-=-⨯=；（2）∵2217a b +=，4ab =，∵()222217249a b a b ab -=+-=-⨯=．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a +b ＝﹣4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．解：∵a +b ＝﹣4，ab ＝3，∵a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（﹣4）2﹣2×3＝10．已知a +b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2+b 2；(2)a 2﹣ab +b 2．【答案】(1)32(2)30【分析】（1）结合题意，()2222a b a b ab +=+-，代入即可得出答案；（2）由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，代入即可得出答案．（1）解：∵a +b ＝6，ab ＝2，∵()2222262232a b a b ab +=+-=-⨯=；（2）解：由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，∵222232230a ab b a b ab -+=+-=-=．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．考点七完全平方公式在几何中的应用例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b 的形状拼成一个正方形．(1)图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)求出图b 中阴影部分的面积_______．(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()2m n +，()2m n -，mn ．(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，5ab =，则()2a b -=_______．【答案】(1)m -n(2)()24m n mn +-或()2m n -(3)()()224m n mn m n +-=-(4)29【分析】（1）根据题意可得图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即可求解；（2）根据图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，即可求解；（3）由（2）写出等量关系，即可求解；（4）根据（3）中的结论可得()()224a b ab a b +-=-，再把7a b +=，5ab =代入，即可求解．（1）解：（1）图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即m -n ；（2）解：图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即()24m n mn +-；图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，所有其面积为()2m n -；故答案为：()24m n mn +-或()2m n -（3）解：由（2）得：()()224m n mn m n +-=-；（4）解：由（3）得：()()224a b ab a b +-=-当a +b =7，ab =5时， ()2274529a b -=-⨯=，故答案为：29【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．【变式训练】1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为(2)()a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡片________张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2019)(2021)20x x -+-=，求2020x -的值．【答案】(1)2222a b a b ab +=++（）；(2)3；(3)①ab 的值为7；②x -2020=±3【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出2()a b +，22a b +，ab 三者的关系；（2）计算（a +2b ）（a +b ）的结果为2232a ab b ++，因此需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张；（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a =x -2020，从而得到a +1=x -2019，a -1=x -2021，代入计算即可．（1）大正方形的面积可以表示为：2a b +（），或表示为：222a b ab ++；因此有2222a b a b ab +=++（）；（2）∵22232a b a b a ab b ++=++（)(），∵需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张，故答案为：3；（3）①∵222222,511a b a b ab a b a b +=+++=+=（），， ∵25=11+2ab ,∵ab =7，即ab 的值为7；②令a =x -2020，∵x -2019=[x -（2020-1）]=x -2020+1=a +1，x -2021=[x -（2020+1）]=x -2020-1=a -1，∵222019202120x x -+-=（）（），∵221120a a ++-=（）（），解得29a =．∵220209x -=（），2x A -=∴原式=4AB =-4x -=-⋅2()A B +192∴=+4AB ∴=-即(2021-故答案为：考点八运用完全平方式求代数式的最值问题例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出224x x ++的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为222242114(1)3x x x x x ++=++-+=++，因为2(1)0x +≥，所以2(1)33x ++≥，即224x x ++的最小值是3．问题：(1)小丽的求解过程正确吗？(2)你能否求出265x x -+的最小值？如果能，写出你的求解过程；(3)求289x x -+-的最大值．【答案】(1)小丽的求解过程正确；(2)265x x -+的最小值为4-，过程见解析(3)289x x -+-的最大值为7【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法即可求解．（1）小丽的求解过程正确；（2）我能出265x x -+的最小值为4-，265x x -+26995x x =-+-+()234x =-- ()230x -≥，()2344x ∴--≥-，∴265x x -+的最小值为4-；（3）解：∵289x x -+-()2816169x x =--++-()247x =--+()240x --≤∴()2477x --+≤， ∵289x x -+-的最大值为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用2222()a ab b a b ±+=+来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：22263696(3)6x x x x x ++=++-=+-，又2(3)0x +≥，2(3)66x ∴+-≥-，263x x ∴++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：245(x x x -+=______2)+______；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)-2；1(2)-2(3)2123x x ->-【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式变形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．（1）解：2x ﹣4x +5＝2x ﹣4x +4+1＝()221x -+．故答案为：﹣2，1．（2）22x +4x ＝2（2x +2x +1﹣1）＝()2212x +-，∵()221x +≥0，一、选择题1．（2022·山东烟台·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（）A ．()()22a b a b -+B ．()()22m n m n -+--C ．()()22a b a b -+-D ．()()22m n m n +--【答案】B【分析】平方差公式为()()22a b a b a b +-=-，据此对各选项加以分析判断即可．【详解】A ：()()22a b a b -+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算； B ：()()22m n m n -+--符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n +--无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键．2．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式264x kx ++是完全平方式，则k 等于（）A ．8±B ．8C ．16D ．16± 【答案】D【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】解：∵222648x kx x kx ++=++，∵kx =±2×8x ,解得k =±16．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．3．（2022·山东聊城·七年级期末）如果21m m -=，那么代数式()()222m m m ++-的值为（） A ．6B ．5C ．2D ．6-【答案】A【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将21m m -=变成2222m m -=，再整体代入计算即可求解．【详解】解：()()222m m m ++-A ．（a +2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2B ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2C ．a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2【答案】C 【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=22a b -，而新形成的矩形是长为a +b ，宽为a -b ，根据两者相等，即可验证平方差公式．【详解】解：由题意得：22()()a b a b a b -=+-．故选：C ．【点睛】此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．二、填空题6．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）化简：()()22x y x y -+=______．【答案】224x y -【分析】根据平方差公式计算，即可求解．【详解】解：()()22224x y x y x y -+=-．故答案为：224x y -【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-是解题的关键．7．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）已知a +b ＝3，a －b ＝5，则22a b -＝__________．【答案】15【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵3a b +=，5a b -=，∵()()223515a b a a b b =+-=⨯=－．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．()21a-≥∴+的最小值为a b故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．10．（2022【详解】解：(2019x-()()()()()()2222019202220192022201922022x x x x x x --=-∴++-⎡---⎤⎣⎦()22120192022x x =-+--⨯ ()223=-- 7=，故答案为：7．【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．三、解答题11．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）计算：(1)()()223x y x y +-；(2)2200198202-⨯ （运用乘法公式计算）．【答案】(1)2226x xy y +-(2)4【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；（2）用平方差公式进行简便计算即可．（1）解：()()223x y x y +-222436x xy xy y =+--2226x xy y =+-；（2）解：2200198202-⨯()()220022002002=--+()2222002002=--222002004=-+ 4=．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．12．（2022·四川·渠县琅琊中学七年级期中）先化简，再求值：根据以上规律：202220212020222+++.....+2+1=（2－1）（202220212020222+++......+2+1）=202321－．【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．15．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为1S ，图2中阴影部分面积为2S ，请用含a 、b 的代数式表示：1S =______，2S =______； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；(3)运用（2）中得到的公式，计算：2202220212023-⨯．【答案】(1)22a b -，()()a b a b +-(2)()()22a b a b a b +-=-(3)1【分析】（1）结合图形写出此题结果；（2）结合（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-；（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022-1），再运用平方差公式进行计算．（1）解：由题意得，221S a b =-，2()()S a b a b =+-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（3）解：2202220212023-⨯()()220222022120221=--⨯+22202220221=-+=1．【点睛】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．16．（2022·全国·九年级专题练习）利用完全平方公式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2和（a －b ）2＝a 2－2ab +b 2的特点可以解决很多数学问题．解决下列问题：(1)分解因式：267m m --；(2)当x 、y 为何值时，多项式2x 2+y 2－8x +6y +20有最小值？并求出这个最小值；(3)已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2＝8a +6b －25，求∵ABC 周长的最大值．【答案】(1)()()17m m +-(2)2x = ，3y =-；3(3)13【分析】（1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a 、b ，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c 的最大值，可解得答案；（1）267m m --=26997m m -+--()2316m =--=()()3434m m -+--=()()17m m +-（2）。

初中数学知识归纳平方差公式与配方法

初中数学知识归纳平方差公式与配方法初中数学知识归纳——平方差公式与配方法通过数学的学习，我们可以发现在解决一些特定的问题时，存在一些常见而有用的方法和公式。

在初中数学中，平方差公式与配方法就是其中的两个重要内容。

下面将对这两个内容进行详细的归纳和讲解。

一、平方差公式平方差公式是指将一个二次式乘开，然后进行合并同类项的方法，它的公式如下：(a+b)(a-b) = a² - b²平方差公式的应用非常广泛，可以用来化简和计算各种数学表达式和算式。

下面通过一些具体的例子来说明平方差公式的使用方法。

例1：计算 (5 + 3)(5 - 3)解：根据平方差公式，(5 + 3)(5 - 3) = 5² - 3² = 25 - 9 = 16例2：计算 (2x + 3)(2x - 3)解：将 (2x + 3)(2x - 3) 展开，得到 4x² - 9通过这些例子我们可以发现，利用平方差公式可以将一个二次式乘开，并且合并同类项，从而得到一个简化的表达式。

二、配方法配方法是一种常用的解决一元二次方程的方法。

当我们遇到无法直接因式分解的二次方程时，可以尝试使用配方法进行求解。

下面来详细讲解一下配方法的步骤和原理。

步骤一：将一元二次方程写成标准形式，即形如 ax² + bx + c = 0 的形式。

步骤二：计算二次项系数 a，并记为 a。

步骤三：计算常数项 c，并记为 c。

步骤四：计算常数项 c 的负数，并记为 -c。

步骤五：找到一个数 m，使得 m * a = -c。

步骤六：将一元二次方程重新组合成 (x + m)²的形式。

步骤七：展开 (x + m)²，并合并同类项。

步骤八：得到一个一次方程，解出方程，即可得到一元二次方程的解。

通过一个具体的例子来说明配方法的应用。

例：解方程 x² + 4x + 4 = 0解：根据步骤一，方程已经是标准形式。

初中数学专题1.1 巧用平方差公式

1.1 巧用平方差公式我们把公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2称为乘法公式中的平方差公式；反过来a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )称之为因式分解中的平方差公式．在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形，平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程（组）的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面都有广泛的运用．例1 已知712—1可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是( )．A ．41B ．43C ．47D ．49【解】用平方差公式作因式分解：712－1＝(76＋1)(76－1)＝(72＋1) (74－72＋1) (73＋1) (73－1)＝50(74－72＋1)(7＋1)(72－7＋1)(7－1)(72 ＋7＋1)＝43·48·50·57(74－72＋1)，而74－72＋1＝48·49＋1不能被41，49，47整除，故答案选B ．【注】也可以用立方差公式分解76－1，如果先用立方差公式，那么76－1＝ (72－1)( 74 ＋72＋1)＝48(74＋72＋1)，而74＋72＋1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74＋72 ＋1＝74＋2·72＋1－72＝(72＋1)2－72＝(72＋7＋1) (72—7＋1).例2已知对任意大于2的正整数n ，n 5－5n 3 ＋4n 都是正整数m 的倍数，求m 的最大值．【解】 n 5 －5n 3＋ 4n ＝n (n 4－5n 2＋4)＝n (n 2－4)(n 2 －1)＝n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)．因为n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5 !的倍数，又当n ＝3时，原式＝120，故m 的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数（其中一个为4的倍数），1个3的倍数，顺便提一句，也可以利用组合数公式来证明连续n 个正整数的乘积是n ！的倍数，这是因为由!)1()2)(1(n n m m m m C n m +-⋅⋅⋅--=可知连续的n 正整数乘积n m C n n m m m m !)1()2)(1(=+-⋅⋅⋅--，从而结论成立，例3计算:)419)(417)(415)(413)(211()4110)(418)(416)(414)(212(4444444444++++++++++ 【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用414+x 来代替，再进行因式分解后找出规律．【解】因为2222244214141x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212122x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121412122x x 所以，原式＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛41221412194129412741254123222222· 122222241219412174127412541234121-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝221.例4若a 是非负整数，则a 4 －3a 2＋9是合数还是素数？【解】由于a 4－3a 2＋9＝(a 2＋3)2－(3a )2＝(a 2－3a ＋3) (a 2＋3a ＋3)，下面对a 讨论：当a ＝0时，原式＝9，是一个合数；当a ＝1时，原式＝7，是一个素数；当a ＝2时，原式＝13，是一个素数；当a ＞2时，因a 2－3a ＋3与a 2 ＋3a ＋3都是大于1的整数，故原式是一个合数．综上所述，当a ＝0或a ＞2时，a 4 －3a 2＋9是合数；当a ＝1或2时，a 4－3a 2 ＋9是素数.【注】在将原式分解成(a 2－3a ＋3)(a 2＋3a ＋3)后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证a 2－3a ＋3与a 2＋3a ＋3都大于1才能是合数．通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a 2－b 2的形式，然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5 求证：若n 是正整数，则存在无穷多个正整数k ，使得n 4＋k 是合数．【证明】令k ＝4a 4（a 为正整数），则n 4 ＋k ＝n 4＋4a 2n 2＋4a 4－4a 2n 2＝(n 2＋2a 2)2－(2an )2＝ (n 2＋2an ＋2a 2)(n 2－2an ＋2a 2).当a ≥2时，n 2＋ 2an ＋2a 2与n 2－2an ＋2a 2都是大于1的正整数，因为a 有无穷多个，故存在无穷多个k ，使得n 4＋k 是合数，【注】本题的关键在于构造k ＝4a 4，这用到了本章节例题3的代数形式．例6 对于不超过50的正整数n ，满足：恰有一对非负整数（a ，b ），使得a 2－b 2＝n ，试求满足条件的n 的数目.【解】由于n ＝(a ＋b )(a －b )，且a ＋b 与a －b 同奇偶，所以n ≠2(mod 4).(1)当n 为奇素数时，仅有一对()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 满足条件； (2)当n 为奇合数时，不妨设n ＝uv （u ≥v ＞1，u ，v 为奇数），那么至少有2组非负整数解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 或⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2,2v u v u ，不满足题意，因此奇数中满足题意的共有： 1,3,5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47共计15个；(3)当4|n 时，如果4n 为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意．因此偶数中满足条件的为4，8，12，20，28，44共6个．综上所述，一共有21个正整数n 满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键．例7试求关于m ，n 的不定方程m 2－1＝p 2（n 2－1）的所有正整数解，其中p 为素数．【解】因为(m －1)(m ＋1)＝p 2(n 2－1)，下面按照p 作分类讨论：(1)若p 为奇素数，则p 2| m －1或p 2 | m ＋1．若p 2|m －1，设m ＝kp 2＋1(k 为非负整数），则n 2＝k 2p 2＋2k ＋1，但是k 2p 2＜k 2p 2＋2k ＋1≤(kp ＋1)2从而k ＝0，进而m ＝n ＝1;若p 2|m ＋1，设m ＝kp 2－1(k 为正整数)，则n 2＝k 2p 2－2k ＋1，但是(kp －1)2＜k 2p 2－2k ＋1＜k 2p 2矛盾！(2)若p 为2，则2|m －1，2|m ＋1，设m ＝2k －1(k 为正整数)，那么n 2＝k (k －1)＋1＝k 2－k ＋1但是(k －1)2＜k 2－k ＋1≤k 2，故k ＝1，进而m ＝1，由此可得n ＝1综上所述，m ＝n ＝1【注】本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式，并且利用了两个相邻平方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.11.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222201111311211 2.已知：2122+=-b a ，2122-=-c b ，求222222444a c c b b a c b a ---++的值3.证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数p 及怎样的正整数n 、k ，都不能表示成p ＋n 2k 的形式4.证明：对每个正整数n ，均存在正整数m ，使得：()121++=+m m n5.试确定实数a 、b 、c 的值，使得对任何正整数n ，∑-=++-+++=10323231n k ck bk ak ck bk ak n恒成立.练习1.11.原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201111201111211211 2011100620112012201120105654454334322321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2.因为()()()][21222222222222222444a c c b b a a c c b b a c b a -+-+-=---++，又因为,21,212222-=-+=-c b b a 两式相加得a 2－c 2＝2，从而原式＝()()52212121222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++ 3.若p ＋n 2k ＝m 2，则由平方差公式可得(m －n k )(m ＋n k )＝p ，由于p 为质数，则必有⎩⎨⎧=+=-pn m n m k k 1，从而p ＝2n k ＋1，m ＝n k ＋1。

平方差公式知识讲解

平方差公式知识讲解a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式对于初中和高中等级的数学非常重要，在解决各种代数方程、因式分解和证明等问题时经常被使用。

下面，我将详细讲解平方差公式的用法和推导过程。

首先，我们来讲解平方差公式的用法。

例如，我们希望将一个二次多项式x²-4分解为两个因式的乘积。

根据平方差公式，我们可以将这个式子进行变形：x²-4=(x+2)(x-2)通过平方差公式，我们将二次多项式x²-4分解为(x+2)(x-2)的形式，这样便可以更简单地进行计算和分析。

除了因式分解，平方差公式还可以用于解决各种代数方程。

通过利用平方差公式，我们可以将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程，从而更容易求解。

接下来，我们来详细推导平方差公式。

我们先从右侧的等式(a+b)(a-b)入手进行推导：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²通过上述推导，我们得到了平方差公式。

此外，我们还可以通过几何方法来理解平方差公式。

考虑一个正方形的对角线，将其分为两段，其中一段的长度为a，另一段的长度为b。

根据勾股定理，这个正方形的面积可以表示为a²+b²。

然而，我们也可以将这个正方形的面积另外表示为一个矩形和一个小正方形的面积之和。

其中，矩形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)。

因此，我们可以得到(a+b)(a-b)=a²-b²。

通过几何的解释，我们可以更加直观地理解平方差公式的原理和作用。

总结起来，平方差公式是解决代数方程、因式分解和证明等数学问题中非常有用的工具。

通过平方差公式，我们可以将一个多项式分解为两个因式的乘积，并且可以通过平方差公式将一个复杂的方程转化为一个更简单的二次方程。

通过几何的解释，我们可以直观地理解平方差公式的原理和意义。

专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-

专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。

注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。

②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。

特别需要注意“-”的处理。

类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。

平方差公式经典题型

平方差公式经典题型
嘿，朋友！今天咱就来聊聊平方差公式，这可是数学里超经典的哦！平方差公式就是：(a+b)(a-b)=a²-b²。

比如说吧，计算53×47，咱就可以把 53 看成 50+3，把 47 看成 50-3，那这式子不就变成(50+3)×(50-3)=50²-3²，你想想，这样算起来是不是一下子简单多啦！就不用硬着头皮去一项一项乘啦！
再比如看到98×102，哇，是不是感觉有点头疼？但咱用平方差公式呀，把 98 看成 100-2，102 看成 100+2，那就是×(100+2)=100²-2²，这不就搞定啦！
平方差公式真的超好用的呀，你学会了吗？反正我是觉得它超棒的！以后遇到这种题，就大胆用起来，保证让你算得又快又准呢！。

湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧

平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。

(附答案)《平方差公式》典型例题

《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --；（2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+；（4）)831)(318(3223x y x xy x +-．（5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算：（1）1999×2001；（2）31393240⨯．例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解：（1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+=xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)12141.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力。

中考数学专题复习平方差公式及其应用(含解析)

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣D. （a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣D. （﹣x﹣9）（x﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________ ．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+ x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n ．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）•（x+ ）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99 ．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264 ，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b）D. （b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a) B. C. (a＋b)(a －2b) D. (2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3）B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a）D. （a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2 ，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2 ，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b-a. 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b）B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D. （-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9）D. （﹣x﹣9）（x﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D. [（x﹣2y）+1][（x ﹣2y）﹣1]【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]，故选C．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的特点进行计算即可．13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x）B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a） D. （﹣x+y）（x﹣y）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x﹣y）（﹣y﹣x）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2﹣y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 ，正确，不符合题意；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ，错误，符合题意；C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4 ，正确，不符合题意；D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．故选B．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．15.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y【答案】A【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，求出代数式.二、填空题16.分解因式：________·【答案】(x+3)(x-3)【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。

七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

平方差公式ppt

将平方差公式应用于求导过程中
在积分中的应用
将平方差公式应用于积分过程中
在级数中的应用
将平方差公式应用于级数展开式中
05
平方差公式的练习题
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：通过简单的题目，熟悉平方差公式的应用，如两数之和与两数差的乘积等于两数平方的差等。
举例：$(5+3)(5-3)=5^{2}-3^{2};(10+4)(10-4)=10^{2}-4^{2}$
利用数论知识证明
总结词
数论与代数的结合
详细描述
利用数论知识证明平方差公式的方法是通过引入整数 a 和 b，将等式左边表示成 (a + b)(a - b) 的形式，然后利用整数的性质展开括号并化简，从而证明等式成立。
03
平方差公式的应用
在代数中的应用
1 2
求解一元二次方程
当未知数的最高次数为2时，可以使用平方差公式求解方程。
在数论中的应用
整数的平方差
两个整数的平方差可以用平方差公式表示，这个公式在整数的因数分解和分拆问题中有重要应用。
同余方程
在数论中，平方差公式可以用于求解一些同余方程，如ax^2+by^2=c(a,b,c 为整数)的解的求解方法中就涉及平方差公式的应用。
04
平方差公式的扩展
一般的化简形式
01
02
03
代数表达式
将一个数用代数表达式表示出来
变量替换
将一个变量替换成另一个变量
移项
将一个数移到等号左边或右边
与其他数学公式的结合
与和差公式的结合
将和差公式与平方差公式结合使用
与平方法则的结合
将平方法则与平方差公式结合使用

平方差公式与完全平方公式试题(含答案)

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

平方差公式的运用

平方差公式的运用第一篇：平方差公式的运用浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。

关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。

可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。

有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的运用例1.(2x+3)(2x-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。

(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9例2．(-3a-2b)(3a-2b)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。

计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。

解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号(-3a-2b)(3a-2b)(-3a-2b)(3a-2b)=(-2b-3a)(-2b+3a)=-(3a+2b)(3a-2b)=-(9a2-4b2)22=(-2b)-(3a)例3、(2x+y+z)(2x+y-z)=4b2-9a=-9a+4b分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。

平方差公式几何解释

平方差公式几何解释
平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

要点诠释：
在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。

抓住公式的几个变形形式利于理解公式。

但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)
（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)
（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)
（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)
（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)。

平方差公式的应用课件

平方差公式的应用ppt课件
目
CONTENCT
录
• 平方差公式简介 • 平方差公式的应用场景 • 平方差公式的应用实例 • 平方差公式的应用练习题 • 总结与展望
01
平方差公式简介
公式定义
平方差公式
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
公式描述
表示两个数的平方差等于它们的和与差的乘积。
THANK YOU
感谢聆听
学习平方差公式不仅是为了应对考试，更是为了培养数学思维和应用能力，为未来的叉融合，拓展自己的知识面和应用能力，以更好地适应未来的发展需求。
在学习平方差公式的过程中，我们需要注重实践和应用，通过解决实际问题来加深对公式的理解和掌握。
面积和周长的计算
详细描述
在几何图形中，平方差公式可以用于计算图形的面积和周长。例如，在矩形、平行四边形等图形中，可以利用平方差公式来计算面积和周长。
日常生活实例
总结词
日常生活中的数学应用
详细描述
平方差公式在日常生活中有着广泛的应用，如房屋装修、购物、金融投资等方面。通过运用平方差公式，可以更好地理解和解决日常生活中的数学问题。
日常生活练习题
总结词：将平方差公式的应用与日常生活相结合，提高解决实际问题的能力。
利用平方差公式解决购物时遇到的数学问题，例如：计算商品打折后的价格。
利用平方差公式解决房屋装修时的面积问题，例如：计算墙纸需要购买的面积。
利用平方差公式解决旅行中的行程安排问题，例如：计算两地之间的距离和时间。
面积计算
在几何图形中，平方差公式常用于计算某些图形的面积，例如直角三角形中的两个直角边长分别为 a 和 b，则其面积可以用 $0.5ab$ 来表示。

八年级平方差公式的几何意义与运用

八年级平方差公式的几何意义与运用
平方差公式是指两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积。

对于任意两个实数a和b，平方差公式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
这个公式在几何学中有一些重要的应用和几何意义。

1. 矩形面积：假设矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积可以表示为a*b。

而根据平方差公式，a*b可以表示为(a + b)(a - b)。

这意味着矩形的面积可以表示为矩形两边的和与差的乘积。

2. 平方差形状：平方差公式的几何意义可以帮助我们理解平方差的形状。

当a和b相等时，平方差公式可以简化为a^2 - a^2 = 0。

这意味着当两个数相等时，它们的平方差为0，即它们位于同一个点上。

当a和b之间的差距增大时，它们的平方差也会增大。

3. 四边形面积：平方差公式还可以应用于计算四边形的面积。

如果我们将四边形划分为两个三角形，其中一个三角形的两条边长分别为a和b，另一个三角形的两条边长分别为a和-b。

根据平方差公式，两个三角形的面积分别为(1/2)*a*b和(1/2)*a*(-b)，它们的和为(1/2)*a*b + (1/2)*a*(-b) = (1/2)*a*(b - b) = (1/2)*a*0 = 0。

这意味着四边形的面积可以表示为两个三角形面积的和，而这两个三角形的面积恰好相等并且互为相反数。

总结起来，平方差公式的几何意义与运用包括表示矩形面积、理解平方差的形状以及计算四边形的面积。

初三数学中考复习：平方差公式大全

以下是⽆忧考为⼤家整理的关于初三数学中考复习：平⽅差公式⼤全的⽂章，供⼤家学习参考。

表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平⽅差，这个公式就叫做乘法的平⽅差公式公式运⽤可⽤于某些分母含有根号的分式： 1/（3-4倍根号2）化简： 1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23 [解⽅程] x^2-y^2=1991 [思路分析] 利⽤平⽅差公式求解 [解题过程] x^2-y^2=1991 (x+y)(x-y)=1991 因为1991可以分成1×1991，11×181 所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995 如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995 或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85 有时应注意加减的过程。

常见错误平⽅差公式中常见错误有： ①学⽣难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”） ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应⽤难以掌握。

三⾓平⽅差公式三⾓函数公式中，有⼀组公式被称为三⾓平⽅差公式： (sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B) (cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B) 这组公式是化积公式的⼀种，由于酷似平⽅差公式⽽得名，主要⽤于解三⾓形。

注意事项 1、公式的左边是个两项式的积，有⼀项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平⽅差，相同项的平⽅减去相反项的平⽅。