异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
高考数学小专题：世界上最远的距离—异面直线间的距离
高考数学小专题：世界上最远的距离—异面直线间的距离空间立体几何中，求异面直线的距离是高考中的一个重点和难点。
因为是异面直线，所有有时候给我们的感觉就像悬在空中，距离很近，但是想要求出他们的距离，又是那么的遥远。
因此，我们总结了求异面直线之间距离的常用策略：利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法主要有：定义法、转化为面面距、代数求极值法、公式法、射影法向量法、等积法。
下面我们通过典型的例题，逐一来了解一下这些方法的运用。
方法一：定义法，先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
方法二：垂直平面法，转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a”，记a”与b确定的平面α。
从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。
方法三：转化为面面距离，若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。
求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
方法四：代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距方法五：公式法，通过异面直线间距离公式，求得异面直线间的距离。
方法六：射影法，将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。
方法七：向量法，先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连接线段在公共法向量上的射影长。
一般步骤为:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；⑶求出异面直线的法向量的坐标；⑷代入异面直线间的距离公式。
方法八：等积法，把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。
高中数学：求异面直线的距离的若干方法
高中数学：求异面直线的距离的若干方法在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题目解出。
已知正方体ABCD的棱长为1，求异面直线与AC的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC 于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。
由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。
此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连、，则AC∥平面。
设AC、BD 交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。
所以OE为异面直线与AC的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。
三、转化为面面距离求解如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。
四、构造函数求解如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则所以，当且仅当时，EF取最小值。
所以异面直线与AC的距离为。
选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。
五、利用体积变换求解如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。
易知，。
由，得。
所以，则。
所以异面直线与AC的距离为。
此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。
六、利用向量求解如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB 的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。
证明：显然=，，。
所以，所以，所以，即，所以。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
同里曲线间的距离之阳早格格创做供同里曲线之间的距离是坐体几许沉、易面之一.常有利用图形本量，间接找出该公垂线，而后供解；大概者通过空间图形本量，将同里曲线距离转移为曲线与其仄止仄里间的距离，大概转移为分别过二同里曲线的仄止仄里间的距离，大概转为供一元二次函数的最值问题，大概用等体积变更的要领去解.时常使用要领有：1、定义法2、笔曲仄里法（转移为线里距）3、转移为里里距4、代数供极值法5、公式法6、射影法7、背量法8、等积法1 定义法便是先做出那二条同里曲线的公垂线，而后供出公垂线的少，即同里曲线之间的距离.例1 已知：边少a为的二个正圆形同里曲线CD与AE间的距离.思路分解：由四边形ABCD战CDEF是正圆形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥仄里ADE，过D做DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是同里曲线AE、CD的公垂线.正在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即同里曲线CD与AE2 笔曲仄里法：转移为线里距离，若a、b是二条同里曲线，过b上一面A做a的仄止线a/，记a/与b决定的仄里α.进而，同里曲线a、b间的距离等于线里a、α间的距离.例1 如图，BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，战棱分别成α、β角，又它们战棱的接面间的距离为d，供二条同里曲线BF、AE间的距离.思路分解：BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，正在仄里Q内，过B做BH‖AE，将同里曲线BF、AE间的距离转移为AE与仄里BCD间的距离，即为A到仄里BCD 间的距离，又果二里角P-AB-Q是曲二里角，过A做AC⊥AB接BF于C，即AC⊥仄里ABD，过A做AD⊥BD接于D，连结CD.设A到仄里BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转移为里里距离若a、b是二条同里曲线，则存留二个仄止仄里α、β，且a∈α、b∈β.供a、b二条同里曲线的距离转移为仄止仄里α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，供同里曲线AS与BC的距离.思路分解：那是一没有简单间接供解的几许题，把它补成一个易供解的几许体的典型例子，时常偶尔还常把残破形骸补成完备形骸；没有准则形骸补成准则形骸；没有认识形骸补老练悉形骸等.所以，把三棱锥的四个里偶像到少圆体割去四个曲三棱锥所得，果此，将三棱锥补形转移为少圆体，设少圆形的少、宽、下分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于仄里SA‖仄里BC，仄里SA、仄里BC间的距离是2，所以同里曲线AS与BC的距离是2.4 代数供极值法根据同里曲线间距离是分别正在二条同里曲线上的二面间距离的最小值，可用供函数最小值的要领去供同里曲线间的距离.例4 已知正圆体ABCD-A1B1C1D1的棱1 AC少为a ，供A 1B 与D 1B 1的距离.思路分解：正在A 1B 上任与一面M ，做MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只央供出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a–x ，PN=（a–x ）sin450=a –x ），当MN min5公式法同里曲线间距离公式：距离.例5 已知圆柱的底里半径为3，下为4，A 、B 二面分别正在二底里圆周上，而且AB=5，供同里曲线AB 与轴OO /之间的距离.思路分解：正在圆柱底里上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的下，AB=5，所以即同里曲线AB 与轴OO /6 射影法将二条同里曲线射影到共一仄里内，射影分别是面战曲线大概二条仄止线，那么面战曲线大概二条仄止线间的距离便是二条同里曲线射影间距离.例6 正在正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中面，E 是BD 的中面.供同里曲线D 1M 、EN 间的距离.思路分解：二条同里曲线比较易转移为线里、里里距离时，可采与射影到共一仄里内，把同里曲线D 1M 、EN 射影到共一仄里BC 1内，转移为BC 1、QN 的距离，隐然，易知BC 1、QN 的距所以同里曲线D 1M 、EN7.背量法：先供二同里曲线的大众法背量，再供二同里曲线上二面的连结线段正在 大众法背量上的射影少.例7 已知：正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1供同里曲线DA 1与AC 的距离.瞅做是.此题西席带领，教死心述，西席正在课件上演示解题历程，归纳解题步调.1NC解：如图所示修坐空间曲角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)线DA1与AC∴同里曲线DA1与AC的距离为步调小结：供同里曲线间的距离:⑴修坐空间曲角坐标系；⑵写出面的坐标，供出背量坐标；离公式.例8 已知：SA⊥仄里ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，供A到仄里SCD的距离.解：如图所示修坐空间曲角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设里SCD∴面A到里SCD A到里SCD的距离为36a八等积法把同里曲线间的距离转移为供某个特殊几许体的的下，利用体积相等供出该下的少度.例：正四棱锥S-ABCD中，底里边少为a，侧棱少为b(b＞a)．供：底里对于角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与仄里SAD间的距离为d，则以B为顶面，△SAD为底里的三棱锥的体积为而以S为顶面，△ABD为底里的三棱锥的体积为。
向量法求异面直线的距离解法探求
向量法求异面直线的距离解法探求湖南 黄爱民空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。
如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。
下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。
一、 定义法：例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。
解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。
显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900，AD AFAB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2121)()(212121-=+-+-=++=++= EF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=⋅-⋅=⋅-=⋅⊥⊥∴=+--=⋅+⋅--⋅=-⋅-=⋅∴即又即）（,021)21(.,,0002160cos 2121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。
,23||434160cos 41)21(||2202222222a a a a a ==+-=+⋅-=-== 异面直线BD 与EF 的距离为a 23。
点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。
然后利用向量模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。
二、射影法：分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为n ，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d ，从而由公式||n d =例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。
求异面直线的距离的若干方法
求异面直线的距离的若干方法本文将通过一道例题的多种解法向大家介绍求异面直线的距离的若干方法，希望对同学们的学习能够有所帮助。
例1 已知正方体ABCD 1111A B C D -的棱长为1，求异面直线1A D 与AC 的距离。
一、直接利用定义求解如图1，取AD 中点M ，连1MD 、MB 分别交1A D 、AC 于E 、F ，连1BD ，由平面几何知识，易证1ME MD =，13MF MB =，1MD MB =，则1BD EF 。
由11A D AD =，1A D AB ⊥得1A D ⊥平面1ABD ，则11A D BD ⊥，同理AC ⊥1BD ，所以，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，即EF 为异面直线与AC 的距离，故有EF=1133BD =。
评注：此法的关键是作出异面直线的公垂线段。
二、转化为线面距离求解如图2，连11A C 、1C D ，则AC ∥平面11AC D 。
设AC 、BD 交于O ，11A C 、11B D 交于1O ，连1O D ，作OE ⊥1O D 于E ，由11A C ⊥平面11BB D D 知11A C OE ⊥，故OE ⊥平面11AC D 。
所以OE 为异面直线1A D 与AC 的距离。
在△中，，则。
所以异面直线与AC 的距离为。
三、转化为面面距离求解如图3，连1AB 、1CB 、11A C 、1DC 、1BD ，易知平面11//A C D 平面ACB ，则异面直线1A D 与AC 的距离就是平面11//A C D 与平面1ACB 的距离，易证1BD ⊥平面1ACB 、1BD ⊥平面11AC D ，且1BD 被平面1ACB 和平面11AC D 三等分，又1BD。
所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
四、构造函数求解如图4，在1A D 上任取一点E ，作EM ⊥AD 于M ，再作MF ⊥AC 于F ，连EF ，则∠EMF=。
设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则)MF x =-所以EF ==3=，当且仅当13x =时，EF所以异面直线1A D 与AC的距离为3。
玲珑画板课题研究-异面直线间的距离-大道至简
异面直线间的距离-大道至简网上看了些课件及解题方法，个人感觉有些负担。
方法多了，反而让学生找不到方法，大道至简，简单才好。
针对网上这篇文章《异面直线间的距离（高中全部8种方法详细例题）》，提出我的看法，供参考交流。
可以先看看后面附录的这篇文章。
网上这篇文章归纳了八种方法，细节也很到位，但转身思考：这样的课听起来很容易听懂，但要融会贯通，却会让人找不着北。
我们如何记住这八种方法，在什么时候用？怎么用？公式怎么记得住？坐标系如何建立？如此等等，做为一名数学老师，我都觉得很累。
我们解题的目的是什么？我们分析问题能力得到了提高么？我们的空间想象能力真正培养起来了么？看了网上这篇文章的这么多解题方法，颇感困惑。
大道至简，解异面直线间的距离问题，我的思路只有一条，就是找平行：过一条线a做另一条线b的平行面，转化为线面平行，常常运用等体积法求得线上一点到面的距离。
如果不行，找面面平行。
下面就各题对比提出我的思路。
例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。
思路：过AE找出一平面平行CD。
易知CD‖平面AEF，过D作DH垂直AE 于H，易知DH就是线CD到面AEF的距离。
例2 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。
思路：过B做AE的平行线，转化为线面平行，AE‖平面BEH通过条件，做AC⊥AB交BE于C，再在BH上任取一点D，构造出BCD平面。
通过等体积法求得A点到平面BCD的距离。
例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。
思路：用割补法将模型放入长方体中，转化为求两平行平面的距离。
例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。
求异面直线的方法
七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。
求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。
故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。
显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。
如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。
图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。
即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。
「高中数学异面直线距离(教师用)」
求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解；或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解。
方法一、定义法也叫直接法,根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长。
这是求异面直线距离的关键。
该种方法需要考虑两种情况:一是如两条一面直线垂直,一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。
若两个直线不垂直,则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直,则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。
例１ 已知:边长a 为的两个正方形ＡBCD 和ＣDE Ｆ成１200的二面角,求异面直线C Ｄ与AE 间的距离。
思路分析：由四边形A ＢＣD 和CD ＥＦ是正方形，得ＣD ⊥AD,ＣD ⊥DE,即C Ｄ⊥平面ADE,过D 作ＤH ⊥AE 于H,可得D Ｈ⊥ＡE ，DH ⊥CD ，所以ＤH 是异面直线ＡE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中,∠ＡＤE ＝1200,AD=DE=a ，D Ｈ＝2a 。
即异面直线CD 与ＡE 间的距离为2a 。
例2 如图，在空间四边形A ＢC Ｄ中,ＡB =ＢC ＝CD ＝D Ａ＝AC =BD =ａ，E 、F 分别是AB 、ＣD 的中点．(1)求证：E Ｆ是AB 和CD 的公垂线;(2)求AB 和C Ｄ间的距离；（3)求EF 和ＡC 所成角的大小.(1）证明：连结AF ,B Ｆ,由已知可得AF ＝BF ．又因为AE =B Ｅ,所以F Ｅ⊥ＡB 交AB 于Ｅ.同理ＥF ⊥ＤC 交ＤC 于点F .所以EF 是AB 和C Ｄ的公垂线.(2）在R ｔ△BE Ｆ中，ＢF ＝a 23，BE =a 21， 所以E Ｆ2＝BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22． 由（1)知EF 是AB 、C Ｄ的公垂线段,所以AB 和ＣＤ间的距离为a 22. （3）过E 点作EG ∥ＡC 交BC 于G ,因为E 为ＡＢ的中点，所以G 为B Ｃ的中点.所以∠FEG 即为异面直线E Ｆ和AC 所成的角.A B H D C E F例2题图在△FEG 中,E Ｆ=a 22,E Ｇ＝a 21，FG =a 21, ｃｏs ∠F ＥG ＝222222=⋅⋅-+EG EF FG EG EF . 所以 ∠FEG ＝45°所以异面直线EF 与AC 所成的角为45°.例3 正方体A ＢCD-A 1Ｂ1C 1D １棱长为a,求异面直线ＡC 与B Ｃ１的距离。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有：1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD交于D ，连结CD 。
高中数学立体几何专题空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例1题图例2题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，例3题图B ACD1A1B 1C1A .62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos ||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
异面直线之间的距离的常见求法
点， 求 异 面 直 线 ＡＣ 与 Ｄ Ｍ 之间 的距离 。
解： 延长 Ｂ Ｃ 到 点
Ｎ， 使 Ｂｌ Ｃｌ —Ｃｌ Ｎ， 连 接
Ｄ Ｎ 、 ＭＮ 、 ＣＮ 。
Ｂ
图 ３
ｎ ｓ △ Ｍ Ｎ ｃ ， 即 — ａ Ｓ Ａ Ｍ Ｎ Ｃ
中 学 生 数
。
不难求 得 ｓ △ 。 Ｍ 一
ｓ 一 丢 所 以 一 ， 百 Ａ Ｔ 枷Ⅱ 异 面 直 线
理
Ｔ 匕
高 使 用
攀 ｃ 长 Ａ Ｂ 为 兰 之 解 ｃ １ 间 ： 的 Ｄ 在 正 Ａ 距 中 方 离 Ｂ ， 体 。 求 上 任 Ａ ＿ Ｂ 取 ｃ Ｂ Ｄ 一 ｝ 一 与 点 ， 二 ｌ Ｉ １ ＼ ． ‘ ； 一 ＼ ＼ 一 ． ， Ｉ ｝ ｌ ／ ＼ Ⅳ ＼ ｌ ｝
Ｐ Ｎ 一 Ｐ Ｑ ＋ Ｏ Ｎ 。 一 号 （ 一 ÷ ） 。 ＋ １ 。 当 ｚ 一
铁、 锌、 镍、 铜、 钴 和 镉 等金 属 能溶 解 于氰 化 钠 溶 液 中 ， 反 应产生相应的氰化物。
碾
概念 难点 ‘ 题根
Ｕ ｒ ｌ ｂ 牛弟＿ Ｉ ｕ 只 丹
直线 到平 面的距 离 ， 再 转化 为 点到 平 面 的距 离 ， 而 点
到平 面 的距 离 常用体 积法来 求解 。
侧 了 如图 ３ ， 已知 正
Байду номын сангаас
异 面直线之闻的 距离的常
方 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ—Ａ１ Ｂ Ｃ １ Ｄ１ 的棱 长 为 ａ， Ｍ是Ｂ Ｃ 的 中
异面直线间的距离(全部方法详细例题).pdf
CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。
设A M=x
a 。
当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。
求异面直线 D M 、EN 间的距离。
内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。
所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D 与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法V A-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6V A-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB 的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。
异面直线上任意两点间的距离
β
A’ m
ห้องสมุดไป่ตู้Ea
d
b
c
A nθ F
α
; 哈利魔法科学 ；
为君失时，贼弟佞臣将作乱矣。后八日大雨雪，阴见间隙而胜阳，篡杀之祸将成也。公不寤，后二年而杀。昭帝始元元年七月，大水雨，自七月至十月。成帝建始三年秋，大雨三十馀日。四年九月，大雨十馀日。《左氏传》愍公二年，晋献公使太子申生帅师，公衣之偏衣，佩之金玦。狐突叹曰 “时，事之征也。衣，身之章也。佩，衷之旗也。故敬其事，则命以始。服其身，则衣之纯。用其衷，则佩之度。今命以时卒，閟其事也。衣以尨服，远其躬也。佩以金玦，弃其衷也。服以远之，时以閟之，尨凉冬杀，金寒玦离，胡可恃也”梁馀子养曰“帅师者，受命於庙，受脤於社，有常服 矣。弗获而尨，命可知也。死而不孝，不如逃之”罕夷曰“尨奇无常，金玦不复，君有心矣”后四年，申生以谗自杀。近服妖也。《左氏传》曰，郑子臧好聚鹬冠，郑文公恶之，使盗杀之，刘向以为近服妖者也。一曰，非独为子臧之身，亦文公之戒也。初，文公不礼晋文，又犯天子命而伐滑， 不尊尊敬上。其后晋文伐郑，几亡国。昭帝时，昌邑王贺遣中大夫之长安，多治仄注冠，以赐大臣，又以冠奴。刘向以为近服妖也。时王贺狂悖，闻天子不豫，弋猎驰骋如故，与驺奴、宰人游居娱戏，骄嫚不敬。冠者尊服，奴者贱人，贺无故好作非常之冠，暴尊象也。以冠奴者，当自至尊坠至 贱也。其后帝崩，无子，汉大臣征贺为嗣。即位，狂乱无道，缚戮谏者夏侯胜等。於是大臣白皇太后，废贺为庶人。贺为王时，又见大白狗冠方山冠而无尾，此服妖，亦犬祸也。贺以问郎中令龚遂，遂曰“此天戒，言在仄者尽冠狗也。去之则存，不去则亡矣”贺既废数年，宣帝封之为列侯，复 有罪，死不得置后，又犬祸无尾之效也。京房《易传》曰“行不顺，厥咎人奴冠，天下乱，辟无適巠，妾子拜”又曰“君不正，臣欲篡，厥妖狗冠出朝门”成帝鸿嘉、永始之间，
异面直线上任意两点间的距离
β
A’ m
Ea
d
b
c
A nθ F
α
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β
A’ m
Байду номын сангаасEa
d
b
An θ F
Gc
α
FG =
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
E m A’
a
d
b
An
F
α
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ， 它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分 别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF。
β E m A’
a
d
b
G α
An θ F
EF= m2 n2 d 2 2mn cos
EF = m2 n2 d 2 2mn cos
说明：
1、当线段A’E、AF在θ角方向时，取“－”号。 2、当线段A’E、AF在θ角异向时，取“+”号。 3、由d=AA’=EG≦EF可知,两异面直线间的距
十个美人,白重炙看了下,独自找到一些无人の吧台坐了下去.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の "嗡" 他一坐下,便有一些透明の光罩将他和对面の美人服务生一起笼罩进去,显然这是破仙阁为了保护任务の机密幸运而设置の. "你呀好,大人,请问你呀是要接任务还是要交任 务?"对面の女郎看起来很年轻,一身黑色制服,带着很职业の微笑,白重炙一查探,发现这女子才是天神境,看来不是破仙,而是阁里请来の工作人员. 白重炙朝外面站着の夜妖娆点了点头,而后转过头来,轻声对着这美人说道："俺是来接任务の,请问最近有没有去北方府域の任务,越远越好,当 然能有飞行工具の话更好！" "嗯,大人你呀稍等,俺需要查探一下！"这工作人员仔细听完白重炙の要求之后,开始翻起手中の不咋大的册子,在白重炙火热の目光下,查探了一不咋大的会时候,之后摇了摇头,有些歉意の说道："对不起,大人,没有符合你呀要求の任务！" "怎么可能?你呀再查 探一下！"白重炙有些急了,在这凤舞城呆久了,可不保证会出什么事情啊. "大人,不用查探了,因为准破仙这种任务很是稀少,一样去北边,金主都会聘请三品以上の破仙,所以…" 在得到工作人员の解释之后,白重炙有些释然了. の确,一样能跨府还能动用飞行工具の都是强者,都是比较高级 の任务.强者怎么会请些神将境の垃圾练家子随行?有些黯然の朝服务人员点了点头,正准备离去,不料那服务员却再次开口了： "对了,大人,有个去沥泉府任务,您满足了条件,不过没有飞行工具,他们只有地行工具,并且,他们请の是服务人员,不知你呀需要接吗?" 沥泉府！ 白重炙看过地图 当然知道这个府域.这是龙阳府北面の府域,和龙阳府隔开一些烽烟府.不禁大喜过望,再次坐了下来,问道："这个地行工具速度快吗?能有啼鸾那么快吗?" 当服务人员,说明就是当仆人,也就是侍候人の工作,但是此刻白重炙已经顾不上了,准破仙级别太低了,或许自己在这等个五年十年也未 必有何事の任务,自己可是没有时候在这长住了. 服务员很有耐性の解释起来："这个…不确定是什么地行工具,金主没有留下信息,不过啼鸾虽然速度很快,但是还是有些地行工具比他快の,嗯,据资料来说最低の地行工具也能达到神王境の速度吧！大人你呀需要接吗?" "他们请多少人?"白 重炙沉吟一下,再次开口了. "一百个！"服务人员查看了一下,说道："他们只是要求准破仙和一品破仙,任务时候五年,路上会保证你呀们の安全,达到沥泉府之后,他们将会将你呀们留下,并且每人支付一千万神石,当然到时候你呀们想回来の话,必须自己接任务回来.嗯,目前已有六十三人报 名,大人你呀需要报名吗?" "一百人！一千万神石?" 白重炙心里开始盘算起来,能请一百人作为服务人员の肯定是很牛叉の强者,或者有神石の公子女主.并且一千万神石对于准破仙来说,都算是不错の价钱了.能开得出那么高の价钱の人,当然有这个实力说保护他们路上の安全了、神石白重 炙不在乎,但是这安全能保证这点他很是欣喜. "嗯,俺们两人报名！"白重炙指了指身后の夜妖娆,朝服务人员说道. "请将你呀の徽章取下来,俺需要登记一下！"服务人员,微笑点头,开始为白重炙办理手续,而后又给夜妖娆办理了手续.告知两人,任务将会在十天之后开始,到时候有人会去通 知两人の. 白重炙心情很不错の带着夜妖娆离开了任务大厅,两人没有回去,而是来到了信息阁,以前两人没有成为准破仙没有资格进入,现在当然要去查探一下寒冰玉体の资料了.并且白重炙也打算去看一看有没有对自己有益の信息. 信息阁坐落在白玉广场の西面,是很高大挺拔の一处阁楼. 白重炙两人径直朝里面走去,果然外面の两名护卫没有再阻拦. 一进去白重炙发现白光一闪,出现在一些阁楼内,外面の场景已经看不清楚了.看来这信息阁还有大阵守护,前面有个吧台,两人径直走了过去,不等他们开口,那工作人员首先朝两人问好起来："你呀好,两位大人,你呀们是准破仙, 只能在一楼查看,一楼の资料可以随便翻阅,当然不能弄坏,不能带出去,谢谢合作！" 白重炙一扫,发现里面有着无数の书柜,上面摆列着整体の册子,足足有数万本,并且上面还有各种标示,将这些信息分类！白重炙心里倒是知道,这一楼の资料恐怕都没有什么重要の,但两人还是抱着一丝侥
高二数学异面直线距离
空包 空包网
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2， 求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1
C1
A1
B1
NM
D
C A
B
异面直线 距离的求法1：
方法1：找出或作出它们的公垂线段， 再求出其长。 方法2；将异面直线的距离转化为线面 距离、点面距离等求解。
一、异面直线的公垂线
1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 A1
2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的
直线叫做两条异面直线的公垂线，
3.异面直线的公垂线段：
A
公垂线夹在异面直线间的部分，
叫做两条异面直线的公垂线段。
C B
4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
异面直线间的距离
求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有：
1、定义法
2、垂直平面法（转化为线面距）
3、转化为面面距
4、代数求极值法
5、公式法
6、射影法
7、向量法
8、等积法
1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得
CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2
a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2
a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作
AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
设A 到平面BCD 的距离为h 。
由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h=
β
αβα2
2
cos cos 1sin sin -d
3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。
求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS 与BC 的距离。
思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。
所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，
C A
B
则⎪⎩
⎪
⎨⎧==+==+==+222222222222131415BC x z AC z y AB y x
解得x=3，y=2，z=1。
由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AS 与BC 的距离是2。
4 代数求极值法 根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。
思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作
MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可。
设A 1M=x ，则MP=
22x ，A 1P=22x 。
所以PB 1=a –22x ，PN=（a –2
2
x ）sin450=2
1（2a –x ），MN=22PN PM +
=
22
2
23
2)32(23a x +-。
当x=a 32时，MN min =a 33。
5公式法 异面直线间距离公式：
d=ϕ
cos 2222mn n m AB -++求得异面直线间的距离。
1 A
C
例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。
思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=
233。
即异面直线AB 与轴OO /之间的距离为2
3
3。
6 射影法 将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。
例6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是BD 的中点。
求异面直线D 1M 、EN 间的距离。
思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面
内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面BC 1内，转化为BC 1、QN 的距离，显然，易知BC 1、QN 的距离为4
2。
所以异面直线D 1M 、EN 间的距离为
4
2。
7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在
公共法向量上的射影长。
1
N
C
例7 已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 求异面直线DA 1与AC 的距离。
思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是
在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。
此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题 过程，总结解题步骤。
解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz
∴D(0,0,0) A 1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴
)1,0,1(1=
)0,1,1(-=
设异面直线DA 1与AC 的法向量)1,,(y x = ∴n n ⊥⊥
且,1
∴0,01=•=•n n
∴⎩⎨⎧=+-=+0
01y x x ⎩⎨
⎧-=-=∴1
1
y x )1,1,1(--=∴n )0,0,1(=DA |
|||n n d
•=∴ 3
331== ∴异面直线DA 1与AC 的距离为
3
3
步骤小结：求异面直线间的距离:
⑴建立空间直角坐标系； ⑵写出点的坐标，求出向量坐标；
⑶求出异面直线的法向量的坐标；
例8 已知：SA ⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜, SA=AB=BC=a,AD=2a ， 求A 到平面SCD 的距离。
解：如图所示建立空间直角坐标系A —xyz
∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴
=(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a)
设面SCD 的一个法向量=(x,y,1) ∴⊥且⊥ ∴•
=0 且•=0
∴
⎩⎨
⎧=-=-+0
20a ay a ay ax ⎩⎨⎧==2
1
2
1
y x ∴=(,,21
211)
∴点A 到面SCD 的距离为3
6a d =
= ∴点A 到面SCD 的距离
为
3
6a
八 等积法 把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。
例：正四棱锥S-ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为b(b ＞a)． 求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．
C
设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为
而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为。