考研数学140分-必背公式大全

F (b) F (a) F ( ) 当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds 1 y2 dx,其中y tg
平均曲率：K . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s
M点的曲率：K lim d
y .
s0 s ds
(1 y2 )3
y J ( y,v)
y J (u, y)
微分法在几何上的 应用：
x (t)
空间曲线 y z
(t)在点M (x0 , (t)
y0
,
z0
)处的切线方程：x
x0 (t0 )
y y0 (t0 )
z z0 (t0 )
在点M处的法平面方程： (t0 )(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
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·倍角公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 2 cos2 1 1 2sin2 cos2 sin2
ctg 2 ctg 2 1 2ctg
tg 2
2tg 1 tg 2
sin 3 3sin 4sin3
cos 3 4 cos3 3cos
tg 3
3tg tg 3 1 3tg 2
·半角公式：
sin 1 cos cos 1 cos
2
2
2
2
tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin
当u u(x, y)，v v(x, y)时，
du u dx u dy dv v dx v dy
x y
x y
隐函数的求导公式：
隐函数F (x,
y)
0， dy dx
Fx Fy
， d 2 y dx 2
x
(
Fx Fy
)＋ y
(
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
若空间曲线方程为：GF
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
,
则切向量T
{
Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲1、面过F此(x点, y的, z)法向0上量一：点n M {(Fxx0(,
y0 , x0 ,
z0 y0
)，则： , z0 ), Fy (
c
a
b
sin .例：线速度：v
wr.
bx by bz
向量的混合积：[abc]
(a b)c
ax bx
ay by
az bz
a
b
c
cos
,为锐角时，
cx cy cz
代表平行六面体的体积。
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平面的方程： 1、点法式：A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0，其中n {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 ) 2、一般方程：Ax By Cz D 0
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)}
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
3、过此点的法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
AC 则： AC
B2 B2
0时， AA
0, 0,
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极值
AC B2 0时, 不确定
重积分及其应用：
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
曲面z f (x, y)的面积A
Fx f
(x, y)xd 3， Fy f
(x, y) yd 3， Fz fa
cos
i
sin
j，为l方向上的
l
单位向量。
f 是gradf (x, y)在l上的投影。 l
多元函数的极值及 其求法：
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设f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0，令：f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) C
(arctgx)
1
1 x
2
(arcctgx
)
1
1 x
2
基本积分表：
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
dx a2 x2
1 a
arctg
x a
C
dx 1 x a
x y
x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y
多元复合函数的求导法：
z f [u(t),v(t)] dz z u z v dt u t v t
z f [u(x, y),v(x, y)] z z u z v x u x v x
n
(uv)(n) Cnk u (nk )v(k )
k 0
u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v n(n 1)(n k 1) u v (nk) (k) uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应 用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )
直线：K 0;
半径为a的圆：K 1 . a
定积分的近似计算 ：
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b
矩形法： f
a
(x)
b
n
a
(
y0
y1
yn1 )
b
梯形法： f
a
(x)
b
n
a
[1 2
(
y0
yn
)
y1
yn1 ]
b
抛物线法： f
a
(x)
ba 3n
[(
y0
yn
)
2(
y2
y4
yn2
)
4(
y1
y3
yn1 )]
定积分应用相关公 式：
x Fz
y Fz
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F F
隐函数方程组：GF (( xx,,
y,u,v) y,u,v)
0 J 0
(F,G) (u, v)
u G
v G
Fu Gu
Fv Gv
u v
u 1 (F,G) v 1 (F,G)
x J (x,v)
x J (u, x)
u 1 (F,G) v 1 (F,G)
2 2
y2 b2
z2 c2
1
2、抛物面：x2 y2 z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
多元函数微分法及 应用
全微分：dz z dx z dy du u dx u dy u dz
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C dx ln(x
x2 a2
x2 a2 )C
In
2 0
sin n
xdx
2
0
cos n
xdx
n 1 n
In2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全
导数公式：
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(sec x) sec x tgx
(csc x) csc x ctgx
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln
a
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
D
1
z x
2
z y
2
dxdy
平面薄片的重心：x
Mx
x(x, y)d
D
, y
My
y(x, y)d
D
M (x, y)d
M (x, y)d
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y2 (x, y)d , 对于y轴I yHale Waihona Puke Baidu x2 (x, y)d
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力：F {Fx , Fy , Fz}，其中：
方向导数与梯度：
函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z
f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) f
i
f
j
x y
它与方向导数的关系是：f
grad
f
(x,
y)
e，其中e
3、截距世方程：x y z 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t,其中s
{m,
n,
x p};参数方程： y
x0 y0
mt nt
z z0 pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sin cos tg ctg
-sinα cosα -tgα -ctgα cosα sinα ctgα tgα cosα -sinα -ctgα -tgα sinα -cosα -tgα -ctgα -sinα -cosα tgα ctgα -cosα -sinα ctgα tgα -cosα sinα -ctgα -tgα -sinα cosα -tgα -ctgα sinα cosα tgα ctgα
2 1 cos sin 1 cos
2 1 cos sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c2 a2 b2 2abcosC
·反三角函数性质： arcsin x arccos x arctgx arcctgx
2
2
高阶导数公式—— 莱布尼兹（Leibniz）公式：
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
三角函数的有理式 积分：
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sin
x
2u 1 u2
， cos
x
1 1
u2 u2
， u
tg
x ， dx 2
2du 1 u2
一些初等函数：
两个重 要极限：
双曲正弦 : shx ex ex 2
双曲余弦 : chx ex ex 2
·和差角公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg
(
)
tg 1 tg
tg tg
ctg ( ) ctg ctg 1 ctg ctg
·和差化 积公式：
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2 cos sin
功：W F s 水压力：F p A
引力：F
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y
1
b
f (x)dx
ba a
均方根： 1
b
f 2 (t)dt
ba a
空间解析几何和向 量代数：
空间2点的距离：d M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos,是AB与u轴的夹角。
Pr
ju
(a1
ab a
a2 ) Pr ja1 Pr ja2 b cos axbx ayby
azbz
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
ax 2 ay 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
i c a b ax
j ay
k az
,
双曲正切 :
thx
shx chx
ex ex
ex ex
arshx ln(x x2 1）
archx ln(x x2 1)
arthx 1 ln 1 x 2 1 x
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )x e 2.718281828459045...
x
x
三角函数公式： ·诱导公式：
x2 a2 2a ln x a C
dx a2 x2
1 2a
ln
ax ax
C
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx cos 2
x
sec2
xdx
tgx
C
dx sin 2
x
csc2
xdx
ctgx
C
sec x tgxdx sec x C
csc x ctgxdx csc x C a xdx a x C