第三十九讲：函数的极值最值与导数

第三十九讲 函数的极值、最值与导数一、引言1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点．2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题．3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法．二、考点梳理1．函数的极值：一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点：（1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ．2．函数极值的判断方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．注意：函数在某点处的导数值等于零，该点不一定是函数的极值点，必须检验函数在该点两侧的符号是否相异，即可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件．3．函数的最大值与最小值：在闭区间[],a b 上连续的函数()f x ，在[],a b 是必有最大值与最小值，但在开区间(),a b 上连续的函数不一定有最值．4．极值与最值的区别与联系：①“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．②从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个；④极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．三、典型例题选讲例1 求()31443f x x x =-+的极值，并画出()f x 的草图． 分析：首先求()f x '，再求方程()0f x '=的根，然后检验()f x '在根两边的符号． 解：因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+． 令()'0f x =解得2x =或2x =-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：)因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(2)3f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-． 函数()31443f x x x =-+的图像如图１所示：归纳小结：(1)本题考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力；（2）通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略.（3）求可导函数()f x 的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数()f x '；②求方程()0f x '=的根；③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么()f x 在这个根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．例2（2009安徽）设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图像可能是（ ）解：()(32)y x a x a b '=---，由0y '=得2,3a b x a x +==， ∴当x a =时，y 取极大值0，当23a b x +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ． 另解：当x b <时0y <，当x b >时，0y >．选C ．归纳小结：（1）本题考查了函数图象与导数极值的基本知识，考查了数形结合思想和分析推理能力．（2）函数的极值是()'0f x =的充分条件，可以利用填表的方式或穿轴法判断是极大值还是极小值．（3）在图形问题中特殊值法是一种常用的方法，要不断练习把握．例3（2008广东）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-解:令'3ax y ae =+，则30ax ae +=有大于零的根，所以3ax ae =-. ∴0a <，则13ln x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∵0x >，∴3ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即31a -<，解得3a <-. 故选B ．归纳小结：（1）本题考查函数的极值与方程的根的关系，考查了转化思想和分析、计算能力．（2）函数的极值点是方程()'0f x =的根，但要注意方程()'0f x =的根不一定是函数的极值点，如果要判断是否为函数的极值点还需要验证该点两侧导数的符号是否异号．例4 已知函数()3239f x x x x a =-+++， (1)求()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析：第(1)问属于程序化问题，第(2)问是函数在闭区间的最值问题，只需要求出函数的极值和端点值并进行比较即可解：(1)()2'369f x x x =-++．令()'0f x <，解得1x <-或3x >． 所以函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，()3,+∞.(2)因为()22f a -=+，()222f a =+，()15f a -=-+.所以()2f 和()1f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有2220a +=，解得2a =-．故()32392f x x x x =-++-，因此()113927f -=+--=-. 即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为7-．归纳小结：(1)本题考查了利用导数在解决最值问题中的应用问题，考查分析问题、解决问题的能力；(2)求函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值和最小值的步骤：①求函数()f x 在开区间(),a b 内的极值；②求函数()f x 在区间端点的函数值()f a 和()f b ；③将函数()f x 将各极值与()f a 、()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．对于函数()f x 在开区间(),a b 上的最大值和最小值的步骤：①求函数()f x 在开区间(),a b 内的极值；②将函数()f x 将各极值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 定义在开区间(),a b 上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点． 例5（2007全国Ⅰ）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求,a b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．分析：函数()f x 是实数域上的可导函数，因此可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点1x =，2x =所确定的相等关系式，运用待定系数法求值．解：（1）2()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以298c c +<，解得1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 归纳小结：（1）本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化．考查了转化思想及灵活解题的能力；（2）已知函数在点0x 处有极值和函数值()00y f x =，求参数值的问题，是一类常见的关于函数极值的应用问题．解这类问题采用待定系数法，解关于参数的方程组()()000'0f x f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即可； （3）在讨论函数的单调性时，一定要先明确定义域，在定义域范围内研究单调区间． 例 6 已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点()1,0，()2,0，如图所示，求：（1）0x 的值；（2）a ，b ，c 的值．分析：因为函数()f x 点0x 处取得极大值，因此观察()f x '在1，2左右两侧的符号就可以判断出极大值点．在根据极值点处导数为0和0()5f x =，利用待定系数法求参数a ，b ，c ．解法一：（1）由图象可知，在(),1-∞上()0f x '>，在()1,2上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，故()f x 在(,1)-∞，(2,)+∞上递增，在()1,2上递减．因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x =．(2)2()32f x ax bx c '=++，由(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-=解法二：(1)同解法一.(2)设2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m '=--=-+又2()32f x ax bx c '=++，所以3,,232m a b m c m ==-=， ∴323()232m f x x mx mx =-+． 由(1)5f =，得32532m m m -+=，解出6m =， 所以2,9,12a b c ==-=.归纳与小结：（１）本题考查了函数()f x 和()'f x 图象之间的联系，同时考查了数形结合思想和识图、用图的能力以及根据导数知识灵活解题的能力；（２）根据函数()f x 的图象中的单调性和极值可以判断出()'f x 在不同区间的符号和极值点；根据函数()'f x 的图象在不同区间的符号及与x 轴的交点，可以判断出()f x 的单调性和极值点．并能画出草图．例7（2009年湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．（1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）当640m =米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？分析：本题是工程费用最优问题，首先应建立y 关于x 的函数关系式，再根据解析形式利用导数方法寻找最优解．解：（1）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m n x+=-，即=. 所以()25612(2m m y f x n n x x x x=+=+(+)(=256(-1)+2562256x m x =+-. （2）由（1）知，2332222561'()(512).22m m f x mx x x x =-+=- 令'()0f x =，得32512x =，所以64x =.当064x <<时()'0f x <，()f x 在区间()0,64内为减函数；当64640x <<时，()'0f x >，()f x 在区间()64,640内为增函数.所以()f x 在64x =处取得最小值，此时，64011964m n x =-=-=． 故需新建9个桥墩才能使y 最小．归纳小结：（1）本题考查函数建模，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力和转化解题能力．（2）利用导数解决实际问题的最优问题的一般步骤：①如果涉及到解析几何问题，要根据实际意义和问题条件，合理建立坐标系；②分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；③如果()y f x =的形式是高次函数或对数、指数函数或商式形式，则求函数的导数()'f x ，并解方程()'0f x =；④因为只有唯一极值，通过说明该点处两侧的单调性，得到最大者或最小值．(3)在解决实际最优化问题中,要确定函数关系中自变量的定义区间，同时还要注意将不符合实际意义的值舍去．例8（2008四川）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． （1）求a ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．分析：第（1）问实际是解以a 为未知数的方程()'30f =的根．第（2）问在已知a 值的基础上解不等式()'0f x >和()'0f x <．第（3）问中图象有３个交点，实际上是平行于x 轴的动直线y b =在曲线()y f x =的两个极值点之间移动，因此此小题是求函数的极值问题．解：（1）因为()'2101a f x x x =+-+， 所以()'361004a f =+-=. 因此16a =. （2）由（1）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞.∴()()2'2431x x f x x -+=+.当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >；当()1,3x ∈时，()'0f x <.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3.（3）由（2）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =.所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =与()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<时成立.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--．归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与单调性运用等知识，考查了数形结合思想和计算推理能力．（2）一般来说，直线y a =和曲线()y f x =的交点问题可以转化到图象上理解，即直线y a =在曲线的极值点之间移动，但要注意函数值在极值点左右的极限值，否则容易出现错误．例9 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求24a b -的最大值；（2）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解：（1）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，()12x x <，则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（2）由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处穿过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++， 且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 归纳小结:（1）本题考查了函数的极值与切线方程，方程的根，图象与极值点的关系等知识，考查了数形结合思想和运算推理能力．（2）本题解题的关键是：①函数在区间(),a b 上有极值点等价与方程()'0f x =在(),a b 内有根；②函数()f x 在某点处两侧的符号相反，则该点一定不是极值点．四、本专题总结1．导数作为研究函数的一种重要工具，在学习时应引起充分重视，这部分知识点不多，但涉及的题型比较多．（1）理解函数极值与最值的概念，函数极值刻画的是函数的局部性质，而函数的最值刻画的是函数的整体性质；（2）注意比较极值与最值的概念以及它们之间的联系，可导函数在极值点两侧导函数的符号相反，极大值不一定是最大值，极大值可能小于极小值，连续可导函数闭区间上的最值就是端点值与极值中的最大值、最小值；（3）可导函数有极值是该点处的导数值等于零的充分不必要条件；（4）要熟练掌握求解函数极值与最值的方法．2．在复习函数的极值与最值时，要以导数为工具，联系函数的性质，如单调性等．这部分内容在高考中的问题设置多数以综合问题形式出现，因此在解决问题中，要逐步体会数形结合思想、转化与整合思想、函数与方程（不等式）思想、分类讨论思想等，不断提高分析推理、灵活计算、等价变形等数学能力．。