MATLAB在复变函数与积分变换的应用

本科毕业论文题目：MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2009级班姓名：指导教师：职称：副教授完成日期：2013年05月10日MATLAB在复变函数与积分变换的应用摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换目录1 引言 (1)2 复常数的运算 (1)2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算及积分计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace换变换及其逆变换 (8)7 复变函数图形绘制 (9)参考文献 (10)1 引言复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要.在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令，或者可以建立一个M 文件，输入较大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因.本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来，把复杂的计算交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担，缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量.2 复常数的运算2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为： real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1)i745+ (2) 523i e π (3) 5737++i i解：在编辑器中建立M 文件001.m 如下： format ratX=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]re=real(X) im=imag(X) ab=abs(X) an=angle(X) co=conj(X) 运行结果如下：Z = 5/4 + 7i 305/329 + 2565/899i 7765/1343 - 561/1490i re = 5/4 305/329 7765/1343 im = 7 2565/899 -561/1490 ab = 2055/289 3 4305/743 an = 283/203 142/113 -82/1261co = 5/4-7i 305/329- 2565/899i 7765/1343+561/1490i2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根在MATLAB 中，两个复数之间的乘法、除法可以使用“*”、“/”来实现，求复方程的解使用solve(’f(x)=0’)来实现.例2 (1) a=i 512+ b=i 53+i i423+ 计算a*b.(2) 3x +5=0求所有根. 解:在命令窗口中输入如下： >> a=2/(1+5i); >> b=3/5i+3i/(2+4i); >> c=a*b c=-0.0692 - 0.2538i >> solve('x^3+5=0') ans=-5^(1/3) 5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 + 1/2) -5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 - 1/2)3 泰勒级数的展开定理1 （泰勒展开定理） 设)(x f 在区域D 内解析，D x ∈0,R 为0x 到D 的边界上各点的最短距离⇒当R x x <-0时，∑∞=-=00)()(n n n x x c x f 为)(x f 在0x 处的泰勒级数. 其中：n c =!1n ()f n ()0x n =0，1，2，………用函数taylor 来实现泰勒级数的展开，taylortool 可以进行泰勒级数逼近分析.例3 求函数x e x f -=)(在x=0的泰勒展开式的6次幂多项式和16次幂多项式，并分别进行泰勒级数逼近分析. 解：在命令窗口中输入： >> clear >> syms x >> f=exp(-x); >> T1=taylor(f,7) T1 =x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1>> T2=taylor(f,17) T2 =x^16/20922789888000 - x^15/1307674368000 + x^14/87178291200 - x^13/6227020800 + x^12/479001600 - x^11/39916800 + x^10/3628800 - x^9/362880 + x^8/40320 - x^7/5040 + x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1然后运用taylortool 命令进行泰勒级数逼近分析，图（1）为6次幂多项式泰勒级数逼近分析，图（2）为16次幂多项式泰勒级数逼近分析.-6-4-2246010*******Taylor Series ApproximationTN(x) =x6/720 - x5/120 + x 4/24 - x 3/6 + x 2/2 - x + 1图（1）-6-4-2246010*******Taylor Series ApproximationTN(x) =x 16/20922789888000 - x 15/1307674368000 + x 14/87178291200 -...+ 1图（2）由上图可知，泰勒级数展开的项数越多，函数值越接近原函数，4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 4.1 留数计算及积分计算定义1 设f(x)在0<x -a <R 解析，即a 是f(x)的孤立奇点，则称积分值iπ21⎰cdx x f )(为f(x)关于点a 的留数，记作Res[f(x),a].其中c 为在0<x -a <R内包含在点a 的任何一条正向简单闭曲线.定理2 设函数f(x)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1,z 2,z 3......,z n 处处解析，c 是D 内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，那么⎰cdx x f )(=i π2∑=nk s 1Re [f(x),z k ]在MATLAB 中可用如下方法：假设以知奇点a 和m 重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a 的一级极点的留数Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a 的m 级极点的留数例4 求积分⎰-cxx x e2)1(dx,C 为正向圆周：x =4.解：可知x=0为2)1(-x x e x 的一级极点,x=1为2)1(-x x e x的二级极点 在编辑器中建立M 文件002.m 如下： syms xf=exp(x)/x*(x-1)^2 a1=limit(f*x,x,0)a2=limit(diff(f*(x-1)^2,x,1)/prod(1:1),x,1) 结果如下： a1 =1 a2 =0 所以⎰-cxx x e2)1(dx=2πi{Res[f(x),0]+Res[f(x),1]}=)01(2+i π=i π24.2 有理函数的部分分式展开在MATLAB 的函数语言中有数值函数residue()来求取有理函数的部分分式展开表示，该函数的调用格式为：[R,P,K]=residue(B,A): %回车R 为留数 %回车P 为极点%回车K 为两个多项式的比值B(s)/A(s)的部分分式展开的直接项)()()()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-= 向量B 是分子的系数、向量A 是分母系数，向量R 是返回的留数，向量P 是返回的极点，向量K 由)(/)(s A s B 的商的多项式系数组成，若)()(A length B length <，则K 为空向量，否则，1)()()(+-=A length B length K length .如果存在m 级极点则有)1()(-+==m j P j P ，展开式包括以下形式：mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++- 例5 试求函数23)(3--=z z zz f 的部分分式展开解：在命令窗口中输入如下: >> B=[1,0]; >> A=[1,0,-3,-2]; >> [R,P,K]=residue(B,A); >> [B,A1]=rat(R); >> [B,A1,P] ans =2.0000 9.0000 2.0000 -2.0000 9.0000 -1.00001.0000 3.0000 -1.0000 结果为:=)(x f 2)1(31)1(92)2(92+++--z z z5 Fourier 变换及其逆变换我们平常所用到的积分变换,就是把函数)(x f 乘上一个确定的二元函数),(s x k ,然后计算积分,即⎰=ba dx s x k x f s F ),()()(这样变成另一个函数)(s F .定理3 若f(t)在()+∞∞-,上满足： （1）在任何的有限区间上满足Dirichlet 条件；（2）在无限区间()+∞∞-,上绝对可积（即⎰+∞∞-dt t f )(收敛）：则有ωττωωτd d f e e x j i ⎰⎰+∞∞-+∞∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)(21π=[]⎪⎩⎪⎨⎧-++（在间断点上）在连续点上)0()0(21)()(x f x f x f定义2 如果函数f(t)满足定理3，由⎰⎰+∞∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)(21)(ωττωωτd d f x f e e x i i π (1) 设 ⎰+∞∞--=ττωωτd f F ej )()( (2)则 ⎰+∞∞=-)(21)(ωωωd F t f e tj π(3) (2)式称为)(t f 的傅里叶变换，记为 [])()(t f F ℘=ω()ωF 称为)(t f 的象函数，并且这样的积分运算称为取)(t f 的Fourier 变换，式(3)称作)(ωF 的傅里叶逆变换式，记为 [])()(1ωF t f -℘=使用fourier 函数来实现Fourier 变换,格式为fourier(f),逆变换可用ifourier(F)来实现.例6 求钟形脉冲函数224)(t ex f -=的频谱函数,然后绘制频谱图.解：在命令窗口中输入如下： >> syms t w >> f=4*exp(-2*t^2); >> F=fourier(f) F =(2*2^(1/2)*pi^(1/2))/exp(w^2/8)>> ezplot(F,[-6,6])所得频谱图（2）所示-6-4-20246012345w (2 21/2 π1/2)/exp(w 2/8)图（2）6 Laplace 变换及其逆变换定义3 如果函数)(t f 当0≥t 时有定义，并且广义积分⎰+∞-0)(dt t f e st(4) 在s 的某一区域内收敛，则由（4）式所确定的参数为s 的函数⎰+∞-=0)()(dt t f s F e st叫做函数)(t f 的Laplace 变换.使用laplace 函数来实现Laplace 变换，使用ilaplace 函数来实现拉普拉斯逆变换.例7 证明Laplace 变换的时移性质{}{})()()(L 000t f L e t t u t t f st -=--.其中，f 为任意的一个函数，u 是阶跃函数，L 表示的是Laplace 变换.解：在命令窗口中输入:>> syms t s>> syms t0 positive>> ft=heaviside(t-t0)*sym('f(t-t0)');>> FS=laplace(ft,t,s);>> FS_t=ilaplace(FS,s,t);>> ftft =f(t - t0)*heaviside(t - t0)>> FSFS =laplace(f(t), t, s)/exp(s*t0)>> FS_tFS_t =f(t - t0)*heaviside(t - t0)从运算过程中可以看出，ft=)()(00t t u t t f --,FS 为ft 函数对应的Laplace 变换的结果{}{})()()(L 000t f L e t t u t t f st -=--.最后,FS_t 的结果为FS 函数的Laplace 逆变换,结果为ft=)()(00t t u t t f --.7 复变函数图形绘制设()()(),,,,y x iv y x u z f w iy x z +==+=有所学知识可知绘制复变函数的图形，需要四维空间才能满足.为了避免这一困难，借用两张复平面：z 平面与w 平面点集间的对应关系来来描述复变函数.例8 做圆周z =5在映射53z z +=ω下的象. 解：在编辑器中建立M 文件003.m 如下：syms x y z tt=-pi:0.001:pix=5*cos(t)y=5*sin(t)z=x+i*yw=z+5./zsubplot(2,1,1)plot(z)title(’z=5*cos(t)+i*5*sin(t)’)axis equalsubplot(2,1,2)plot(w)title(’w=3*z+5./z ’)axis equal运行结果如图(3)所示：-15-10-5051015-4-224z=5*cos(t)+i*5*sin(t)-40-30-20-10010203040-10-5510w=3*z+5./z图（3）参考文献：[1]葛美宝.利用MATLAB 促进《复变函数与积分变换》的教学改革[J].科技信息，2009，314（30）：36-40.[2]霍新霞,张世唯.复变函数与积分变换课程教学探究[J].科教文汇(上旬刊），2012，223（11）：86-87.[3]曹海涛,张伟杰.工科“复变函数与积分变换”教学改革[J].中国电力教育，2013，260（01）：80-89.[4]温录亮.工科复变函数与积分变换课程的教学改革探究[J].济南职业学院学报，2011，87（04）：65-67.[5]陈静,贠书杰.MATLAB软件在高等数学教学中的应用[J].河南机电高等专科学校学报，2008,64（5）：64-66．[6]周德强.MATLAB在《工程数学》教学中的应用[J].现代计算机（专业版），2007，263（07）：37-39．[7]金琦,宋明福,董玉才.军队学历教育院校《复变函数与积分变换》教学方法与手段改革的探索[C].//中国教育技术协会实践教学委员会、上海高职电子信息类职业教学指导委员会.2011年全国电子信息技术与应用学术会议论文集.上海：美国科研出版社,2011:3.[8]孟品超,汤新昌,姜志侠.浅析《复变函数与积分变换》课程的建设[J].教育教学论坛，2012，72（31）：281-282.[9]孙妍,刘向丽.复变函数与积分变换课程一体化改革之浅见[J].中国科教创新导刊，2011，613（29）：95.[10]S.K.Sen,Gholam Ali Shaykhian.MatLab tutorial for scientific and engineering computations[J]. 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Computational Mathematics and Mathematical Physics,2009,49(6):31-33.Application of MATLAB in Complex Variable Function andIntegral TransformAbstract:The theory of complex variable function and integral transform is strong,and it is a powerful tool in solving practical problems.The course has been deep into all branches of mathematics, such as differential equation, integral equation, probability theory and number theory.However,the course content is abstract,boring and difficult to learn.Here MATLAB is utilized to solve several problems in complex variable function and and integral transform,such as:the plural computing,the Taylor series expansion,residue,the expansion of rational functions,Fourier transform,Laplace transform and complex function graphing.This will not only improve and perfect the practical function of complex variable and integral transform method, also can train learners use MATLAB programming language, the professional course and learners to work later in the use of mathematical software for data processing are very helpful.Key word: matlab; complex variable function; integral transform。