MATLAB在复变函数与积分变换的应用

本科毕业论文

题目：MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院：数学与计算机科学学院

班级：数学与应用数学2009级班

姓名：

指导教师：职称：副教授

完成日期：2013年05月10日

MATLAB在复变函数与积分变换的应用

摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.

本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.

关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换

目录

1 引言 (1)

2 复常数的运算 (1)

2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)

2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2)

3 泰勒级数的展开 (3)

4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4)

4.1 留数计算及积分计算 (4)

4.2 有理函数的部分分式展开 (5)

5 Fourier变换及其逆变换 (6)

6 Laplace换变换及其逆变换 (8)

7 复变函数图形绘制 (9)

参考文献 (10)

1 引言

复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要.

在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令，或者可以建立一个M 文件，输入较大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因.

本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来，把复杂的计算交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担，缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量.

2 复常数的运算

2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为： real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数

例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1)

i

745+ (2) 5

23i e π (3) 57

37

++i i

解：在编辑器中建立M 文件001.m 如下： format rat

X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]

re=real(X) im=imag(X) ab=abs(X) an=angle(X) co=conj(X) 运行结果如下：

Z = 5/4 + 7i 305/329 + 2565/899i 7765/1343 - 561/1490i re = 5/4 305/329 7765/1343 im = 7 2565/899 -561/1490 ab = 2055/289 3 4305/743 an = 283/203 142/113 -82/1261

co = 5/4-7i 305/329- 2565/899i 7765/1343+561/1490i

2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根

在MATLAB 中，两个复数之间的乘法、除法可以使用“*”、“/”来实现，求复方程的解使用solve(’f(x)=0’)来实现.

例2 (1) a=i 512+ b=i 53+i i

423+ 计算a*b.

(2) 3x +5=0求所有根. 解:在命令窗口中输入如下： >> a=2/(1+5i); >> b=3/5i+3i/(2+4i); >> c=a*b c=

-0.0692 - 0.2538i >> solve('x^3+5=0') ans=

-5^(1/3) 5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 + 1/2) -5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 - 1/2)

3 泰勒级数的展开

定理1 （泰勒展开定理） 设)(x f 在区域D 内解析，D x ∈0,R 为0x 到D 的边界上各点的最短距离⇒当R x x <-0时，∑∞

=-=00)()(n n n x x c x f 为)(x f 在0x 处的泰

勒级数. 其中：n c =

!

1n ()

f n ()0

x n =0，1，2，………

用函数taylor 来实现泰勒级数的展开，taylortool 可以进行泰勒级数逼近分析.

例3 求函数x e x f -=)(在x=0的泰勒展开式的6次幂多项式和16次幂多项式，并分别进行泰勒级数逼近分析. 解：在命令窗口中输入： >> clear >> syms x >> f=exp(-x); >> T1=taylor(f,7) T1 =

x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1

>> T2=taylor(f,17) T2 =

x^16/20922789888000 - x^15/1307674368000 + x^14/87178291200 - x^13/6227020800 + x^12/479001600 - x^11/39916800 + x^10/3628800 - x^9/362880 + x^8/40320 - x^7/5040 + x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1

然后运用taylortool 命令进行泰勒级数逼近分析，图（1）为6次幂多项式泰勒级数逼近分析，图（2）为16次幂多项式泰勒级数逼近分析.