Matlab在力学中的应用

Matlab在力学中的应用

【摘要】倘若是在传统的手算方法里解超静定的结构工作是非常的繁琐麻烦，甚至是有时候是不可能的，所以我们运用结构一般的有限元编程方法，通过两个实例的对比方法，就能够直观的展示Matlab 在结构力学分析中的应用，Matlab 具有极高的性能，方法具有普遍的实用性和适用性，可以实现弯矩图自动绘制，这将大大的提高工作效率，减少工程师的负担，并且计算精准。

【关键字】Matlab ；结构有限元弯矩图；精准；

一、前言

Matlab可能很多人都会好奇，这是一个什么东西。其实它是由美国的一家公司推出的新型的计算系统，主要用于材料力学，数学等学科的科学计算，还有一些其他的高科技用途。他将许多的数学运算做了简化，特别是那些复杂的线性代数运算。有巨大的数学贡献。也给高级计算机语言的研究提供了窗口和可能。Matlab的成功运用让太多的数学计算就变得简单。但是Matlab是一个新的技术，所以我们对Matlab还是有很多的研究空间。

二、MATLAB-PDEtool介绍

MATLAB-PDEtool提供了一个功能强大的并且是使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtool包括3个步骤：

定义一个PDE的问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE系数。MATLAB-PDEtool能够求解的PDE型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。当使用GUI时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。数值的求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。在GUI中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。图形化显示结果。通常用于的就是在表现有限元计算结果的图形有：比如说变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。

三、MATLAB在麦克斯韦速率分布中的应用

而在气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。那么这是因为公式比较复杂抽象，数学推导证明比较繁琐。如果借助Matlab 那就可以比较方便地解决这些问题。其中用到Gamma函数,传统方法是查数学用表得到结果。如果应用Matlab的符号计算功能, 只需要简单几行语句就可以解决这些问题。用到相关函数有：符号变量创建函数syms，求微分函数diff，求积分函数int，符号化简函数simple，字符串转化函数eval。

四、引入Matlab软件辅助计算

MATLAB是美国Mathworks公司开发的大型数学软件，因为其强大的数值计算功能和简易的操作，广泛地应用于工程领域的各个方面，也是高校学生学习多门课程的工具。而《理论力学》课程一般安排在本科第三学期，在学习过程中适当引入计算机手段，可以激发我们的学习兴趣，又能帮助我们掌握MATLAB 这一工具。

在现有的计算实例中，主要是利用Matlab软件解决计算力学以及非线性力学问题，一般较少用其解决静力学和运动学问题，实际上非线性力学问题已经超出本科生要求。亟需探索一条符合应用型本科院校具体情况的方法。

从内容上看，《理论力学》主要讲授重点包括静力学、运动学和动力学三个部分。这三个部分即相互独立有有着紧密的关系，十分注重基本概念的理解和力学建模能力的培养。这也是《理论力学》课程的学习目标。为了实现计算机辅助计算的目的，我们在具体学习实践中，牢牢把握住以下三个原则：

1、分清主次，以基础知识为纲

机械类专业学习力学的目的是要解决机械运动的问题，要求掌握和机械运动相关的受力分析和运动分析。在学习过程中，要注意基本概念、公式的物理意义的理解，而不是解题过程中的数学技巧或编程计算。例如在计算任意力系平衡时，传统的算法比较重视平衡方程的选择，因为合理选择平衡方程可以减少手工计算量。事实上这些技巧有些比较灵活，对于工科学生来说需要花费一定的精力，不可避免地影响了学生对基本概念理解。而在使用数学软件后，可以更加注重方程的普遍意义，有助于建立知识体系，有效地提高学生对基本概念的理解。

2、适当引入数学软件，简化学习过程

正是由于《理论力学》对数学技巧的要求过高，有时甚至会使学生颠倒理论和习题、基本原理和技巧的关系，忽视对基本理论的学习。所以适当引入数学软件，可以减轻学生的负担，例如在动力学分析中，运动微分方程是重点内容，却没有讲授运动微分方程组的求解问题，大部分问题是在特殊情况下，利用质点系普遍定理进行求解。适当使用MATLAB软件求解微分方程的数值解，或使用SimMechanics模块进行直观分析，可以将抽象的微分方程转化为具体的实践，使学生有一种参与感，直接促进了学生对运动微分方程的理解。

在高等教育不断改革的今天，压缩专业课学时，扩展学生的知识面已经成为高校教育的共识。在力学学习方面，国外知名大学很早就开始引入矢量、张量作为分析工具，而我国在这方面的应用还较少。其后果就是学生在学习过程中缺少主动利用计算机工具的意识。

五、Matlab软件在静力学、运动学和动力学中的应用

静力学是《理论力学》的基础，但在实际学习过程中，由于静力学和大学物理中的力学部分有一定的重叠部分，我们习惯凭借大学物理甚至中学物理的知识

计算题目，例如在受力分析中，求解出大量的中间变量，却不能正确列出平衡方程，这说明学生还没有树立工程的思维。而使用软件分析问题，迫使我们正确进行受力分析，按照“取分离体、分析主动力、分析约束力”的思路进行求解。使得学生很快掌握各种力系的受力分析。运动学分析和动力学分析是理论力学中的重点和难点，例如点的合成运动中，由于不能正确判断绝对运动、相对运动和牵连运动，往往出现理解错误。MATLAB软件中的SimMechanics软件包专门用于动态机械系统的建模、仿真和综合，适合学习中需要的运动学分析和动力学分析。利用SimMechanics的分析过程介绍理论力学的基本知识，取得了较好的效果。例如四杆机构是常用的机械装置，教材中有很多篇幅都是介绍四杆机构及其衍变机构的规律，若某四杆机构相关参数如图2所示，已知杆AB的角速度，求杆CD的角速度以及CD杆随AB杆角速度的变化规律。

六、基于MATLAB的理想气体定容比热容的回归分析

比热容是气体重要的热力学性质之一，在工程热力学和化工热力学的计算中，常常需要用到各种理想气体的定容热容，并通常使用某种数值计算公式进行计算为了在工程应用中能更准确地进行热力学计算，本文用MATLAB对理想气体的定容比热容计算公式进行回归分析。

按计算公式计算出的定容比热容值与查表值相比，分析提供的计算公式的最大误差为12. 26%，平均误差9.92%，且计算值均大于查表值，表明该计算公式不能很好地从数理统计方面对原始数据进行合理的描述；文献[4]和[6]的最大误差竟分别高达129.9%和45.44%，误差分别为63.81%和44.61%，疑是公式引用有误(例如公式中“-”误为“+”)，但因为文献[4]和[6]不仅没有勘误表，也未注明所引用公式的出处，还不能下此结论。考虑到上述文献所具有较大的影响力，为避免以讹传讹并提高回归计算公式的数理统计效果，有必要对理想气体的定容比热容重新进行数据回归分析，以得到更精确的数值及计算公式。

在Matlab的优化工具箱中有求解非线性最小二乘问题的函数Lsqnonlin():[x,resnorm,residual,exitflag,output,lanbda,jacobian]=Lsqnonlin(‘fun’, x0,LB，UB,options,p1,p2,…)在这个函数中，输入变量中只有‘fun’和是不可缺省的，fun是给出向量函数的m-文件的文件名。

七、结束语

说一千道一万总而言之就是Matlab既是强大的数学软件，同时还是一种简洁、高效的科技编程语言，这一点早已经在结构力学有限元计算中得到了充分的体现。Matlab最突出的特点就是它那神奇的处理矩阵的各种运算，而大量的矩阵运算正是结构有限元计算非常需要的。此外，利用Matlab的绘图功能，还可直接绘出结构的内力图。希望在作业当中Matlab能够为我国的技术研究带来新台阶。