数学模型论文

东北大学

研究生考试试卷

考试科目：数学模型

课程编号：

阅卷人：

考试日期：2011.12

姓名：王艳超2班

学号：1170380

注意事项

1．考前研究生将上述项目填写清楚

2．字迹要清楚，保持卷面清洁

3．交卷时请将本试卷和题签一起上交

东北大学研究生院

数学模型在人口预测中的应用

绪论

随着社会的发展和科技的进步，数学愈来愈向其它科技领域渗透，数学模型的研究愈来愈广泛和深入.物理和力学是数学应用的传统领域，其中有许多著名的数学模型.然而，以前数学在化学、生物等自然学科中应用的很少.近年来，情况发生了变化.

最近几个世纪以来世界的人口增加的很快，数学模型的方法在研究人口的预测的领域得到了越来越广泛的重视.有人预计到21世界的中叶，人类将超过100亿.地球上可供人类利用的资源是十分有限的，世界人口的迅速膨胀，特别是发展中国家过高的人孔增长率成为一个十分严峻的问题.另一方面，当前许多国家人口的年龄结构不合理，出现人口老龄化的趋势，产生了一系列新的社会问题.

面临这样的形势，人类必须进行自我控制，既要抑制人口增长的过快形势又要使人口的年龄结构有一个合理的分布.要实现此目标必须建立人口的预测和控制的数学模型，为正确的的人口政策提供科学的依据.

一 人口预测模型综述

人口预测是指以人口现状为基础，对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件，来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法.未来人口规模是土地利用规划中确定各类土地需求量控制性指标、调整土地利用结构，实现土地供需平衡，解决人地矛盾的重要依据.因此，探讨人口预测方法在土地利用规划中的合理应用，对土地利用规划和土地可持续发展有着十分重要的意义.

常用人口预测方法有人口自然增长法、线性回归法、移动平均法、指数平滑法、灰色预测法、系统动力学方法、人工神经网络预测法、马尔萨斯（Malthus ）模型、Logistic 人口预测模型、Leslie 人口预测模型预测、宋健人口预测模型、王广州系统仿真结构功能模型等.

除以上方法外，一些学者还利用SPSS 统计软件、资源环境容量、土地承载力、生命表法、Berta lanffy 模型、数学期望等对人口预测进行了一些研究.另外，由于预测方法种类繁多，运用组合预测的的方法也有研究.下面分别叙述之.

（一）人口自然增长法

自然增长法是土地利用规划中人口预测最常用的方法.自然增长法是以现有人口为基数，根据人口的年平均增长率，自然增长率和人口机械增长数来确定规划目标年的总人口数.常采用的公式有两种，即：

)1(R n N P += (1) G N P r n +=+)1( (2)

式中：P 为规划目标年的总人口数；N 为规划基础年的总人口数；R 为规划期人口年平均增长率；r 为规划期人口自然增长率；n 为规划年限；G 为人口机械增长数（迁入与迁出之间的差数）.利用以上两个公式预测时，关键是要指定各个参数的值，在以上参数值准确的前提下，自然增长法具有普遍的适用性.

（二）线性回归法

1.一元线性回归.用一元线性回归法预测的基本思想是:：按照两个变量X 、Y 的现有数据，把X 、Y 作为已知数，根据回归方程寻求合理的a 、b ，确定回归曲线.再把a 、b 作为已知数，去确定X 、Y 的未来演变.一元线性回归方程为：

b aX Y += （3）

一元回归模型在短时期内精度最好，但对于中长期外推预测，由于置信区间在扩大，误差较大，尤其在转折时期，函数形式发生变化，误差更大.一元线性回归一般适用于人口数据变动平稳、直线趋势较明显的预测.

2.多元线性回归.人类社会系统是由人口和其他多种要素组成，同时与各要素之间相互联系、相互影响和相互制约.因此可以根据人口与其他多种要素之间的定量关系，预测出未来不同发展阶段的人口.模型为：

x b x b x b n n ++++=...Y 22110b (4)

利用最小二乘法估计偏回归系数b 0、b 1、⋯b n .

多元回归分析方法通过研究人口数量的变化与有关经济社会变量的关系探讨人口变化的规律，预测人口的变化趋势.优点是考虑了人口发展与社会经济的密切关系，通过探索他们之间的关系来间接推算人口走势，比较符合实际.缺点是人口与社会经济变量之间的关系并非直接的关系，而且各变量之间又相互关联，选择最佳的指标、模型都比较困难.

（三）移动平均法

一次移动平均数.一次移动平均数计算公式：

N Y Y M t t t

/)...(Y 1n -t 1)1(+-+++= (5)

式中：M (1)t 为第t 周期的一次移动平均数；Y t 为第t 周期的人口数据；n 为计算移动平均数所选周期个数.一般而言，如果实际数据没有明显周期变化和趋势变化，则可用M (1)t 作为t+1周期预测值.

在实际应用移动平均法时，移动平均项数N 的选择十分关键，它取决于预测目标和实际数据的变化规律.如果N 值（周期）选择较大，则预测的结果较小，反之预测值较大.在选择’值的时候，要通过多个N 值进行试算比较而定，哪个N 值引起的预测误差小，就采用哪个.

（四）指数平滑法

一次指数平滑法的计算公式为：

S Y S t t t )1(1)1()1(--+=αα （6）

S t)1(为第t周期的一次指数平滑值；Y t为第t周期的实际人口值；α为平滑系数，式中：

0〈α〈1.

在指数平滑法中，预测成功的关键是α的选择.α的大小规定了在新预测值中新数

据和原预测值所占的比例.α值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就

愈小，反之亦然.

从其方法原理上可以看出，移动平均法和指数平滑法适用于历史人口数据较少，人口发展趋势与过去相同的情形下的人口预测.

（五）灰色预测法

灰色系统理论把受众多因素影响，而又无法确定那些复杂关系的量，称为灰色量.对灰色量进行预测，不必拼凑一堆数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的时间序列中寻找有用信息，建立和利用模型，发现和认识内在规律，并进行预测.在土地利用规划中通常采用最简单的灰色模型GM（1,1）来进行人口预测.

灰色预测最大的特点在于不必追求大量历史数据，也不苛求它的典型分布.而是对已掌握的部分信息进行合理的技术处理，通过建立模型，在更高的层次上，对系统动态过程进行科学的描述，甚至利用几个数据即可建模进行预测.因此当人口发展规律呈非线性、无规律可循或资料不全的情况下可用此方法进行预测.

（六）系统动力学方法

系统动力学的模型是按照系统动力学理论建立起来的数学模型，采用专用语言，借助计算机进行系统模拟，并通过运行得出由多项指标组合而成的预测值后，根据需要与可能选择最优的预测值和相应的实施方案.

系统动力学法是研究系统的动态行为和评价系统采用各种不同策略所产生的行动效果的行之有效的方法.它是预测人口长期趋势、确定人口政策的定性结合定量的最先进的模拟实验技术，但也有缺点和困难之处.①分析问题、收集资料、建立模型和求证的过程都要消耗一定的财力、物力和人力，还需要占用大量的计算机工作时间；②建模人的专业水平直接影响模型的质量和结果.由于人们往往对系统的基本结构缺乏足够的了解，在建模过程中对系统的结构作一些简单化的假设；③很难验证预测结果的真实性.因为建模者的主导思想和诸多变量都影响着预测结果，而这些影响因素的正确性经过实践才能得到验证.