拓扑变换PPT

二、基本概念
• 在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改 变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图 形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
拓扑等价 B B
A
C
D A
C
D
二、基本概念
• 2.拓扑性质与拓扑等价
• 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。 比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它 们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一 样的。 • 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就 被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的 数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只 要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓 扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分
• 移除边是指从四面体网格中移除 一条边的变换，包括 3-2 和 4-4 的 变换以及其他能够移除四面体的 变换。所有包含这条边的面和四 面体都将被移除，并且由其他的 面和四面体来代替。图 2演示了一 次移除边的变换，该变换中，由 10 个新的四面体替换了原有的 7个 四面体。
三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分 • 爬山法定义一个目标函数，该函数能将每个可能 的网格映射为数值（或数值序列），这些数值或 数值序列用来描述网格的质量。目标函数通常是 平均单元质量或最差单元质量，如果稍微复杂点 就可以是各个单元的质量的序列，该序列按照从 差到优的顺序排列。如果局部单元通过拓扑变换 后，其质量得到提高，那么该拓扑变换被采用， 否则不被采用。当没有变换可是实现进一步的改 进（网格质量达到局部最优），或者进一步改进 消耗太多时间时，爬山过程就停止。
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三、拓扑变换的应用
• 1.密码学——基于指纹特征点拓扑结构变换的非对称加解密方法 • 指纹特征点拓扑结构变换加解密原理 • 借助指纹传感器等设备, 针对某一幅具体的指纹提取一组指纹特征点 拓扑结构的矩阵向量,如表1所示。 •
指纹特征点 (39,39) 端点 (153,132) (65,235) (180,287) 叉点
二、基本概念
• 3.拓扑映射与拓扑变换
• 作为点集的几何图形，如果在变换时，正逆两方面两图形都是单值而 又连续对应的，则这种对应称为拓扑映射。相应的几何变换称为拓扑 变换。 • 举例：设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮 可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上 有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。我们对橡皮进行拉伸、 压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属 性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。当 拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会 发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓 扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。 •
三、拓扑变换的应用
• 1.密码学 • 由李虹提出，发明专利：基于生物特征点拓扑结构的非对称加解密方 法。
• ①指纹的特征包括总体特征和细节特征。指纹特征点包括端点、叉点 等。
• ②数字指纹学运用拓扑数学理论, 把传统指纹学的特征点转化为数字 指纹特征点的拓扑构图, 从而进行指纹模式识别与指纹比对。某类指 纹特征点用不相交的线把它们连接起来 , 就构成了指纹的拓扑结构网 格。对指纹拓扑结构网络进行平移、旋转的拓扑变换满足拓扑等价。
表1 指纹特征点的拓扑结构数据
特征点拓扑结构数据 (195,67) (57,208) (57,246) (65,292) (95,100) (158,219) (115,253) (190,314) (127,117) (70,224) (194,254) (108,126) (184,225) (44,272)
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一、五个有趣的拓扑变换问题
• 4.在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换，把这个轮胎的 内表面翻到外面来？ 答案是可以的。首先，作出如下图所示的连续变换。 可以看到，一个表面有洞的轮胎本质上等于两个粘 在一起的纸圈！不过，注意纸圈 1 和纸圈 2 的地 位不太一样：一个是白色的面（即最初轮胎的内表 面）冲外，一个是阴影面（即最初轮胎的外表面） 冲外。现在，把纸圈 2 当成原来的纸圈 1 ，把纸 圈 1 当成原来的纸圈 2 ，倒着把它们变回轮胎形， 轮胎的内外表面也就颠倒过来了。
• 1.密码学——基于指纹特征点拓扑结构变换的非对称加解密方法 • 指纹特征点拓扑结构变换加解密原理 • 利用指纹特征端点的拓扑结构作为拓扑变换的原始结构 , 而同时利用 另一类的指纹特征点(比如叉点)构成的向量元素数目为加密密钥来实 现非对称加解密就是指纹特征点拓扑结构非对称变换加解密。这样实 现的加解密是对指纹特征点拓扑结构做线性变换 , 具有方法简单, 速 度快, 效率高的优势, 兼具生物识别技术, 抗抵赖性强, 适合电子商 务、政务等网络信息安全加解密。
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三、拓扑变换的应用
• 1.密码学——Байду номын сангаас于指纹特征点拓扑结构变换的非对称加解密方法
• ③方便算法研究起见, 以指纹的特征端点、叉点做拓扑结构变换。指纹特征点 和相应的拓扑结构图如下图所示:其中, 分别连接图(a)和图(b)的小圈点构成指 纹特征点拓扑结构，如图(c)和图(d)所示。
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三、拓扑变换的应用
三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分
• 移除边和移除面是提高四面体网格划分质量的两个有效步骤。 • 在爬山方法 （ hill-climbing method, presented by Jonathan Richard Shewchuk，University of California at Berkeley）中，利用局部拓扑变换 可以确定移除边和移除面的最优算法，从而优化网格质量。之所以是局 部拓扑变换，是因为只有少量的单元（通常少于20个）被移除或替换。
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这意味着，假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形，那么用两 手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我们可以不放开手指，把 圆环给解开来。 《Algorithmic and Computer Methods for ThreeManifolds 》一书里画了一张非常漂亮的示意图：
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一、五个有趣的拓扑变换问题
二、基本概念
• 1.拓扑的含义
• “拓扑（Topology）”一词来自希腊文，它的原意是“形状的研究” 。拓扑学是几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的 几何属性——拓扑属性。但是这种几何学又和通常的平面几何、立体 几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间 的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小 、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
更加有趣的是， 如果仅仅是手 腕上多了一块 手表，上述方 案就不能得逞 了。如右图所 示。
一、五个有趣的拓扑变换问题
• 2.能否把左图连续地变形为右图？ 答案是可以的，如下图所示：
• 3.左图所示的立体图形表面画有一个圆。能否通过连续变换，把这个 圆变到右图所示的位置？ 答案是可以的，如下图所示：
拓扑变换及其应用
Topological Transformation and Its Application
一、五个有趣的拓扑变换问题
• V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书中，第一章有五个非常经典的 “拓扑变换”谜题。游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的 ，可以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图 形本质结构的操作。 • 1.能否把左图连续地变形为右图？ 答案是可以的，如下图所示：
三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分 • 我们的目标是选择一种三角剖分，使 网格划分的质量最优。这一选择过程 是一个循环过程，通过尝试每一个可 能的k值，找到最优解。
(58, 43) (200, 166)
(178, 80) (162, 272)
(113, 113 )
(171, 129)
(151,162)
三、拓扑变换的应用
• 以指纹端点的拓扑结构数据作为拓扑结构变换的对象 , 用矩阵向量 G[1]表示, 即为指纹特征点拓扑变换的初始矩阵向量。则对指纹特征 点拓扑结构的变换可转化为对矩阵向量的一系列相关的变换。约定矩 阵向量的一次完整的运算(即指纹特征点拓扑结构的一次变换)为一轮 次运算。 • G[1]包含两个一维矩阵向量 X和Y;X由G[1]的横坐标构成, Y由相对应 的G[1] 的纵坐标构成;则指纹特征点的拓扑结构变换转化为对两个一 维矩阵向量X和Y的相关变换。 • 对矩阵进行平移变换和旋转变换，以增加拓扑结构变化的复杂度, 增 强加密效果。
一、五个有趣的拓扑变换问题
有趣的是，把轮胎的内表面翻出来之后，轮胎上的“经线” 和“纬线”也将会颠倒过来：
Wikimedia 上有一个巨帅无比的动画， 直接展示出了把一个圆环面的内表面 翻到外面来的过程。此动画看着非常 上瘾，小心一看就是 10 分钟！
一、五个有趣的拓扑变换问题
• 5.能否把左图连续地变形为右图？ 答案是可以的。首先，作出如下图所示的 连续变换，于是就变成了问题1中的图(a)， 再利用问题1的办法，即可变出我们想要的 形状来。