第2章 分类数据的检验

y 1 y
其中，y 0,1

即：0-1分布是二次考试有10道选择题，每题有五个选 项。一位完全没有准备的学生随机猜测每道题的 答案。试问可能回答正确的题数及其概率如何。 【解】结果见表2.1

可以看出，仅当π=0.5时，二项分布才是对称的。


对于固定的n，随着π趋近0或1，二项分布表现越加偏 斜。 对于固定的π ，随着n增加，二项分布更趋近钟形。
二项分布
当n很大时，二项分布趋近于均值 n, 2 n (1 ) 的正态分布(近似分布)。 原则上，要使二项分布趋近正态分布，要 求期望 n 和 n(1 ) 都不小于5。



当π较大时(如0.5)，n相对较小(如≥10)就可以 满足要求； 当π较小时(如0.1或0.9) ，则要求n取较大的值( 如≥50) ，即大样本要求。


二项分布的统计推断

似然比检验

利用似然函数构造似然比统计量，其中分子是 原假设成立时似然函数的极大值，分母是不限 定参数时似然函数的极大值，形式为：
2ln(l0 / l1 ) 在原假设成立条件下，该统计量服从df=1的大 样本卡方分布 可以利用统计软件计算似然函数的极大值
几种方法的比较
【例】试对前例进行假设检验，其原假设与 备择假设分别为 H0 : 0.5，H1 : 0.5 Wald检验的统计量：
z (0.9 0.5) / 0.9(0.1) /10 4.22

得分检验的统计量：
z (0.9 0.5) / 0.5(0.5) /10 2.53

在描述分析基础上，进行推断统计分析

参数估计 假设检验 什么是统计量 什么是抽样分布
二项分布 多项分布

统计推断要求知道统计量的抽样分布



属性数据的两种重要分布：

二项分布


属性数据常常来源于每次试验仅有两种试 验结果的n次独立重复试验，如成功与失败、 合格与不合格、男与女、等等 假设 代表一次试验成功的概率， Y 代表n 次试验中成功的次数，这时 Y 服从指标n以 及参数 的二项分布，即 Y ~ B(n, )
p 0
0 (1 0 ) / n
代入p和n求解得 1.96 (0.596， 0.982)
二项分布的统计推断

对二项参数的假设检验： Wald检验(最简单的方法)

是利用 极大似然(ML)估计值代替真实标准误表 达式中的未知参数而构造的统计量
z ( p 0 ) / p(1 p) / n 近似服从标准正态分布，z 2 近似服从df=1的卡 方分布 称为Wald统计量
多项分布



多项分布是二项分布的推广，其试验结果 的类别多于两种，记为 M (n, 1, 2 , 。 c) 令c代表结果的类别数，用 1, 2 , c表示每 种结果出现的概率，且 j 1 对于n次独立试验，具有 n1次观测落入第1 类， n2次观测落入第2类……的概率为：

单类别的计数服从二项分布 多类别的计数服从多项分布

n， 任何一个确定类别 j 计数 n 具有均值 j j 标准差 n j (1 。 j)
其他分布

超几何分布

设N件产品中有M件次品，从中无放回取n件时 所含次品数X是一个随机变量，其概率为：
m n m CM CN M P( X m) n CN
(1) p z /2 p(1 p) / n
(2)( p1 p2 ) z /2 p1 (1 p1 ) / n1 p2 (1 p2 ) / n2
二项分布的统计推断



需要强调的是，以上方法使用的前提是样 本量n要足够大，或者二项比例接近0.5； 否则区间估计的效果将非常差，特别是在 二项比例趋近1或0时； 这时，可以采用假设检验(得分检验)的方法 来进行参数估计，其效果要优于一般直接 采用区间估计的方法。

原因在于：计算样本比例的标准误时，不需要 用样本比例作为总体比例的点估计。
二项分布的统计推断
【例】一项新治疗手段在10次试验中有9次成 功，试对总体比例进行区间估计(α=0.05)。 【解1】基于直接区间估计方法的结果为：
0.90 1.96 (0.90)(0.10) /10 (0.714,1.086) 【解2】运用检验统计量构造区间： 对于给定的p和n，使检验统计量值 z 1.96 的 0是下面方程的解.
P(Y y) C (1 )
y n y
y n
n y
n! 其中，C ，y 0,1, 2, y !(n y )!
n
二项分布


二项分布的期望和方差分别为： E (Y ) n D(Y ) n (1 ) 当n=1时，二项分布简化为：
P(Y y) (1 )

似然比检验统计量：
2ln(l0 / l1 ) 2ln(0.00977 / 0.3874) 7.36
几种方法的比较

9 1 l [10!/ 9!1!](0.5) (0.5) 0.00977 其中， 0
l1 [10!/ 9!1!](0.9) (0.1) 0.3874
P (n1 , n2 , 其中， nj n n! n2 nc ) 1n1 2 n1 !n2 ! nc !
cn
c
多项分布


显然，当c=2时多项分布简化为二项分布。 通常不需要使用以上多项分布概率公式， 只需掌握基于多项分布律的统计量即可。 大部分针对属性数据的方法都假设：

泊松分布

描述指定时间内，或面积、体积内某一事件出 现的个数的分布，其概率为：
P( X x)
x e
x!
，其中为出现的平均次数
二项分布的统计推断


实际中，二项分布和多项分布的参数值未 知，需要通过样本数据估计总体参数。 在统计学原理中，可以根据样本比例的抽 样分布，用样本比例估计总体比例的区间， 或用样本比例的差估计总体比例差。