信号分析三大变换性质
信号与系统常用变换与知识点汇总
常用傅里叶变换对双边拉普拉斯变换与Z变换性质基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于来说，使得的傅里叶变换收敛；或者的拉普拉斯变换收敛！因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。
稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。
单边拉普拉斯变换和z变换性质卷积的性质与卷积对：1、微分性质： ， 是微分器。
推广： 。
2、积分特性：,是积分器。
3、求和特性：4、卷积的时不变：区分的筛选特性：；取样特性：；5、常用卷积对：常用公式及概念：1、欧拉公式：(a); (b); (c)2、复数的表示方法：其中：实部；虚部③其中：的模；相角3、洛必达法则若函数和满足下列条件：（1）或者 ；（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；（3），（可为实数，也可为），则有4、等比数列求和等比数列通式：等比数列求和公式：，()5、有理函数与有理数有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。
有理数：有理数是一个整数a和一个非零整数b的比。
（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
）6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。
系统的响应与未来值有关。
对于线性系统，若是因果系统则满足：时。
一个线性系统的因果性就等效与初始松弛条件。
7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。
如果一个线性时不变系统的单位冲激响应或单位脉冲响应，在或时有或，则该系统是无记忆的。
8、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。
对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足，或。
9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。
对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是绝对可积的。
信号分析三大变换性质
sa a)2
w02
e at
sin
w0t (t)
(s
w0 a)2
w02
Rs[s] a Rs[s] a
7
t
s
时域
f1 (t) f2 (t)
F1 ( j) F2 ( j)
F1 (s) F2 (s)
kf (k) zF(z) k 2 f (k) z d [z d F(z)]
dz dz
f (k)
km
zm
z
F () m1
d
f (k) F () d
与收敛域有关 收敛域以圆为界 因果：圆外复平面 反因果：园内复平面 双边：圆环状复平面
k f (i) f (k) (k) z F (z)
i
z 1
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
F (s)是 真 分 式
f (0) Lim F (z) z
f (1) Lim z 2[F (z) f (0) f (1)z 1 ] z
m1
f (m) Lim z m[F (z) f (k)z k ]
z
k 0
3
终值
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
F (s)所 有 极 点 在 左 半 平 面 ，
( f (k 1) (k) z1F (z) f (1) ( f (k 2) (k) z2F (z) f (2) z1 f (1)]
( f (k 1) (k 1) z1F (z)
(
f
(k
信号与系统的三种变换
信号与系统的三种变换
信号分为离散信号和连续信号，数字信号和模拟信号，每一种信号的处理都可以用到傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换这三种变换。
这三种变换都有各自的特点和研究范围，傅里叶变换以频率为自变量研究系统的频域特性，拉普拉斯变换以平面坐标形式的复数s为自变量研究复频域特性，Z变换以极坐标形式的复数z为自变量研究离散时间系统的复数域特性。
另外，这三种变换都有相似的性质如:线性、尺度变换、时移性、频移性、卷积定理、时域微分与积分等。
利用傅里叶变换分析信号与系统，将只局限与系统的冲击响应有傅里叶变换的情况，既满足狄利克雷条件。
但还有不满足此条件的信号可以用拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换可以简化计算，通过正变换到复频域在进行各种运算可以得到信号的响应，然后通过反变换再转换为时域里的时间函数，可以简化运算。
Z变换是对离散序列进行的一种数学变换，可以用于线性时不变差分方程的求解，从而很方便的求解离散的信号响应，在求解时起到简化作用。
信号与系统是一门很重要的基础课，将应用于很多领域如数字电路，电路设计中队信号的处理与运算等。
总之，学好信号与系统会受益匪浅，对以后的学习有很大帮助。
gamma变换表达式
gamma变换表达式摘要：1.引言2.gamma变换的定义3.gamma变换的性质4.gamma变换在信号处理中的应用5.总结正文：gamma变换是一种在信号处理、图像处理等领域广泛应用的数学变换。
它可以将一个信号从时域转换到频域，并且具有很多优秀的性质。
在本文中，我们将详细介绍gamma变换的定义、性质以及在信号处理中的应用。
首先，我们来定义gamma变换。
gamma变换是一种非线性变换，它将一个信号x(t)转换为一个频域表示y(s)。
其中，t表示时域变量，s表示频域变量。
gamma变换的表达式如下：Y(s) = x(t) * |s|^(-α) * e^(-βt)其中，α和β是gamma变换的两个参数，决定了变换的性质。
当α = 0时，gamma变换退化为傅里叶变换；当α = 1时，gamma变换退化为曼彻斯特变换。
gamma变换具有很多优秀的性质。
首先，它具有良好的时域和频域的局部特性。
这意味着，当我们对一个信号进行gamma变换时，变换后的频域表示只与信号的某个时间段的时域表示有关，而与其他时间段无关。
这使得gamma变换在处理信号的局部特性时非常有效。
其次，gamma变换具有良好的稳定性。
这意味着，当我们对一个信号进行gamma变换时，变换后的频域表示不会因为信号的幅度变化而产生明显的失真。
这使得gamma变换在处理信号的幅度变化时非常有效。
最后，gamma变换在信号处理中有广泛的应用。
例如，在图像处理中，gamma变换可以用来实现图像的锐化、边缘检测等操作。
在音频处理中，gamma变换可以用来实现音频的压缩、降噪等操作。
总之，gamma变换是一种非常有用的数学变换，它具有定义简单、性质优秀、应用广泛等优点。
信号与系统之三大变换
信号与系统之三大变换【摘要】傅氏变换、拉氏变换、Z 变换构成了解决信号响应的三大重要工具。
他们之间各有各自的优势。
傅氏变换比较清晰的反应了信号的频域特性，拉氏变换则计算简单并且可以巧妙的利用系统函数零点、极点分布特点直观的反应出系统的稳定性、函数结果等特性，而在解决离散系统的信号方程时，Z 变换有明显的优点，它能够将差分方程转化为简单的代数方程，使得求解过程得以简化。
同时，他们之间又相互联系，在合适的条件下可以相互的转换。
当系统函数的拉氏变换在虚轴上以及右半平面无极点时，可以用jw 代替s 直接得到相应的傅氏变换。
拉氏变换与Z 变换是一个直角坐标系与极坐标系之间转换的关系，通过一定的规则可以相互的转换。
Z 变换在单位圆上，可以与傅氏变换相互的转换，直接用jw e 代替Z 即可。
三大变换的这种相互联系又相有优势的特点给我们解决问题带来了很大的方便，我们既可以用多种变化相互配合解决同一问题，也可以利用多种变换独立的解决同一个问题，然后相互比较，得到最佳解决方案。
关键词：傅氏变换 拉氏变换 Z 变换 信号与系统傅氏变换定义：傅里叶变换是将将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，可以解决连续信号问题也可以用于解决离散信号问题。
定义公式：()()j w t F w f t e d t+∞--∞=⎰ 1()()2j w t f t F w e d wπ+∞-∞=⎰ 应用条件：|()|f t dt +∞-∞<∞⎰【注】：对一些不满足绝对可积条件的函数式，可以通过加上指数衰减因子或进行函数拆分，可以转化为绝对可积函数。
特点：实现了时域到频域的变换，清晰的表示了函数的频谱特性。
拉氏变换定义公式：0 ()()st F s f t e dt +∞-=⎰1f ()()2j st j t F s e ds J σσπ+∞-∞=⎰ 应用条件：由于拉氏变换引入了指数衰减因子，所以它应用的条件很广，只要找到满足lim ()0t t f t e σ-→∞=成立的σ即可。
信号与系统三大变换PPT课件
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换可以将时域信 号转换为复频域,能够分析 系统的动态特性,是分析线 性时不变系统的重要工具。
Z变换
Z变换可以将离散时间信号 转换为复频域,广泛应用于 数字信号处理、数字滤波器 设计等领域。
信号与系统分析的一般流程
信号建模
1
根据实际问题,建立合适的数学模型
系统分析 2
对系统的输入输出关系进行分析
信号与系统分析实例
频域分析
运用傅里叶变换将时域信号转换到频域,分析信号的频谱特性,如频带、主频、谐波等。
时域分析
利用时域函数描述信号的波形、幅值、时间特性,如上升时间、延迟时间、衰减特性等。
系统建模
建立信号传输系统的数学模型,运用拉普拉斯变换或Z变换分析系统的响应特性。
滤波设计
利用频域分析结果设计合适的滤波器,如低通、高通、带通滤波器,优化系统性能。
系统
系统指由相互关联的元素组成的 整体,对输入信号进行处理并产 生输出信号的装置或过程。
输入输出
系统接受外界信号作为输入,经 过一系列的处理过程后产生输出 信号。输入输出是系统的基本特 性。
为什么要学习信号与系统
理解现代技术的 基础
信号与系统是现代技 术的基础之一,涉及 电子、通信、控制、 信息处理等诸多领域 。学习这门课程可以 帮助我们深入理解这 些技术的工作原理变换F(s)的收敛性 由实部大于某个门限值的s 决定。即当Re(s) > σ₀时, 拉普拉斯变换收敛。
拉普拉斯变换的性质
线性性
拉普拉斯变换满足线 性性质,即对任意常 数a和b以及信号x(t) 和y(t),有 L{ax(t)+by(t)}=aL{ x(t)}+bL{y(t)}。这 使得拉普拉斯变换在 信号分析中有很强的 适用性。
第1章--信号与系统概述
相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以 相等也可不等。通常取等间隔T，
离散信号可表示为f(kT)，简写为
f(k)，这种等间隔的离散信号也常
称为序列。其中k称为序号。
26
上述离散信号可简画为 用表达式可写为
或写为 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}
↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”27
在我们选用的教材中采用先连续后离散，先时域后 变换域的结构展开教学
课程特点
应用数学知识较多，用数学工具分析物理概 念，常用数学工具： 微分、积分（定积分、无穷积分、变上限 积分） 线性代数 微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换
学习方法
•注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计 算； •注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理 意义及其产生的后果； •同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的 解法，比较各方法之优劣； •在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课 程的基本概念。
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
28
2π 角频率 ω= （弧度/秒）或（rad/s），
T
2π 频率 f = （赫兹）或（Hz）。
T
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
图1-5 连续周期信号
29
离散的周期信号f[k]=f[k+N]，N为周期。
系统分析：研究在给定系统的条件下，系统对于输 入激励信号所产生的输出响应
系统综合：按某种需要先提出对于给定激励的响应 ，而后根据此要求设计（综合）系统
分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研 究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础
《信号与系统》中复频域法分析求解电路响应探讨
电 阻 Ｒ
＋
电容 Ｃ
仁
“ ∞ 一
（ ５ ）
０ — １
眺
卜— — 。
一
—
。
１
（ ０ 一 ）
∞
一
ｉ ｉ ｓ Ｃ
∞ 一
电感 Ｌ
ｌ ∞ Ｌ
●——＾ ｒ Ｖ、 ＿ — —— — — —
信号与系统是 电子信息工程 、 通信技术 等专业重要 的基础课 ， 笔者近年来在辅导学生参加 自学考试时发现复频域法分析求解 电路题在 自考时多次 出现 ， 但是学生得分率不高 ， 反映这种题型难 ， 综合 性强 ， 有时看到题 目就想放弃 。现将复频域法分析求解电
路题举例说 明， 梳理解题思路 、 分析解题时 的注意事项 ， 并将其应用于教学 中 ， 提高学生的通过率 。
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｅ ｐ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ —ｆ ｒｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｒ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ．Ｗ ａ ｙ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｉ ｎ ｋ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ｌ ａ ｙ ｚ ｅ ｄ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ —ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｉ ｎ Ｓ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ； ｆ ｕ ｌ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ； ｚ ｅ ｒ ｏ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
信号三大变换公式
信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。
下面将详细介绍这三大变换公式。
一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。
它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。
此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。
二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。
它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。
拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。
拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。
三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。
它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。
Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。
Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。
总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。
它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。
信号与系统复习总结
左边序列 ：
信号的三大变换
五
（三）z变换
3、典型序列的z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
线性
ROC为公共部分
位移性
（1）单边Z变换
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
（2）双边Z变换
位移性
z域微分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
尺度变换特性
时域压缩——频域展宽
时移特性
频移特性
为常数
微分特性
信号的三大变换
积分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
频域微分定理
时域卷积定理
频域卷积定理
信号的三大变换
五
（二）拉普拉斯变换
1、单边定义式
大连轻工业学院信息学院
信号与系统
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复习总结
演讲人姓名
信 号 信号与系统 系 统
信号的基本运算
信号
典型信号
信号的定义及分类
信号的三大变换
章节一
信号的特性
CHAPTER ONE
信号的定义及分类
一
1、信号的定义：随时间变化的物理量。
2、信号的分类：
确定性信号
同时域法
等效激励源法
等效激励源法
电感L：
电容C：
系统稳定性的判别
3、s域分析法
连续时间系统
（一）
信号与系统郑君里复习要点.pdf
若Hale Waihona Puke f (t) → yf(t) ， 则
f ’(t) → y ’ f (t)
②积分特性：
若
f (t) → yf(t)
t
t
， 则 f (x) d x yf (x) d x
4.5 因果系统与非因果系统 5、 系 统 的框图描述 第二章 连续系统的时域分析
1、LTI 连续系统的响应 1.1 微分方程的经典解
信号与系统复习
书 中 最 重要的三大变 换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、 信 号 的分类 ① 连 续 信号和离散信 号 ② 周 期 信号和非周期 信号 连续周期信号 f(t)满足
f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号 f(k)满足
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
当特征根λ为 r 重根时，齐次解 yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 1,2 e j 时，齐次解 yn(k)形式为：
k C cos(k) Dsin(k)
1.2.2 特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1） 。 ①所有特征根均不等于 1 时;
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
(t
2)2
'(t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
(n)
(at)
|
1 a
|
1 an
(n)
(t)
(at) 1 (t) |a|
信号与系统-必背要点
二、必背 1.时域抽样定理：已知信号有限带宽f m （奈奎斯特采用频率），采样信号频率满足f s ≥f m 时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。
2.欧拉公式及其变形：{e jω=cosω+jsinωe −jω=cosω−jsinω⟹{cosω=e jω+e −jω2sinω=e jω−e −jω23.傅里叶级数：f (t )=a 02+∑a n cos (nωt )+b n sin(nωt)∞n=1 其中：a n =2T ∫f(t)cos (nωt )dt T2−T 2,n ≥0，b n =2T∫f(t)sin (nωt)dt T2−T 2,n ≥1f (t )δ(t −t 0)=f(t −t 0)δ(t −t 0) f (t )δ′(t )=f (0)δ′(t )−f′(0)δ(t ) ∫δ(t )+∞−∞dt =1∫δ′(t )+∞−∞dt =0 ∫δ(t )t −∞dt =ε(t)∫δ′(t )t −∞dt =δ(t )3.自相关函数：∫f(t)f(t −τ)+∞−∞dt4.卷积:∫f 1(τ)f 2(t −τ)+∞−∞dτ注：∫ε(t −τ)dτ=∫dτt0+∞−∞5.能量谱E =lim T→∞∫|f(t)|2dt T−T ；若f(t)时是实信号，则：E =lim T→∞∫f(t)2dt T−T6.功率谱 P =lim T→∞12T ∫|f (t )|2dt T−T ；若f(t)时是实信号，则：P =limT→∞12T ∫f (t )2dt T−T三、技巧 1.H (S )=Y(S)F(S)，当输入为σ(t )时，F (S )=1，则H (S )=Y(S)L↔ℎ(t)，同时，因g ′(t )=ℎ(t)，故G (S )=H(S)SL ↔g(t)。
2.微分方程/差分方程变换S/Z 域后，把初值f(0−)/ f(−1)，代入方程；若令输入为0，可得Y x (s)=Y zi (s)或Y x (z)=Y zi (z)；若将输入变换S/Z 域代入，可得Y f (s)=Y zs (s)或Y f (z)=Y zs (z)； 两部分求和可以得到H(s)或H(z)。
信号与系统中的数学
信号与系统中的数学摘要：信号与系统是通信工程的一门基础课程，主要研究确定信号与系统的线性非时变系统。
在这门课程中数学的应用几乎占据了整个课程的体系。
傅里叶变换、Laplace 变换、Z变换是分析与研究确定信号的基础；卷积运算时研究系统必不可少的工具。
当然在信号与系统中也少不了微积分与复变函数的身影。
关键词：信号与系统数学频域分析要谈信号与系统中的数学，首先来了解一下信号与系统这门课程的产生背景吧。
信号与系统这门课程的发展经历了一个漫长的过程，很久以来，人们寻求各种方法以实现信号的传输。
在我国的古代就有利用烽火传送边疆警报，这是最原始的光通信系统。
除此之外还出现了击鼓鸣金、信鸽、旗语、驿站等传送消息的方法。
但是这些方法无论在距离、速度或可靠性与有效性方面都存在一定的缺陷。
这种缺点从19世纪开始慢慢发生了变化。
在这个时候人们开始研究如何利用电信号传送信息。
1844年5月24日，莫尔斯（Morse）在国会大厦联邦最高法院会议厅进行了“用莫尔斯电码”发出了人类历史上的第一份电报，从而实现了长途电报通信。
1876年贝尔（A.G. Bell）发明了电话，直接将语音转变为电信号进行传输。
19世纪末，人们又致力于研究用电磁波传送无线电信号，在这个过程中赫兹、波波夫、马可尼等人分别作出了杰出的贡献。
而如今，无线电信号的传输不仅能够飞跃高山海洋，而且可以遍及全球并通向宇宙，现代通信技术的发展已完全超出许多人的想象。
信号与系统这门课程正是在通信技术与信息传输方式不断的发展过程中形成的，它通过数学理论的分析来研究信号的传输、信号的交换以及信号的处理，正是基于这样的研究基础之上才有了今天的信息传递技术的迅猛发展。
下图是信号与系统理论应用的一些实例。
数学是以数和形表现事物联系的科学，而且它与哲学、自然科学、社会科学等有着紧密的联系。
曾看到过伽利略的一句名言：“数学是上帝描写宇宙的文字。
”也曾听人说过“数学的学习程度决定着一个人学术人生的高度。
OBE-CDIO教育理念在《信号与系统》课程教学中的探索与实践
OBE-CDIO教育理念在《信号与系统》课程教学中的探索与实践作者：季策来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》 2018年第2期一、引言OBE（Outcome Based Education），即成果导向教育，是把教育系统中的一切都集中围绕着学生在毕业时应取得的成果去组织、实施和评价的一种教育模式。
这里所说的成果，是学生通过教育过程最后所取得的学习成果，它不仅仅是学生获得的书本知识，更重要的是对学生能力和素质的培养，包括对知识整体结构的把握和理解，多角度解决开放性问题的能力，通过完成较为复杂的任务，获得创造性思维的能力，分析和综合信息的能力以及不断学习和适应发展的能力［1］。
在OBE模式的教育系统中，首先根据国家、社会及教育发展的需要，相关行业、产业的发展及职场需求确定学生毕业时应达到的能力及水平，即培养目标；其次以培养目标为导向，定义明确的毕业要求（即能力培养指标）；为了支撑毕业要求的达成，需要设计每门课的课程目标，所有的能力培养指标被分配到具体的课程中；最后以课程目标为导向，实现课程设计的过程，包括教学计划、教学大纲、评价模式等，以保证课程达成预先制定的指标点；评级体系是在一定的评价目标的引导下，由评价主体运用合理的评价方法，对评价客体进行的评价，旨在改进教学，提高教学质量［2］。
总之，遵循反向设计原则的OBE教育系统的构成，如图1所示。
CDIO（Conceive，Design，Implement，Operate）工程教育模式，本质上是一种特殊的OBE，CDIO工程教育模式在产生和发展的过程中受到了以学习成果为导向的OBE思想的影响，该模式不仅继承和发展了欧美20 多年来工程教育改革的理念，更重要的是系统地提出了具有可操作性的能力培养、过程实施以及检验测评的12 条标准［3］。
CDIO 培养大纲将工程毕业生的能力分为工程基础知识、个人能力、人际团队能力和工程系统能力四个层面，大纲要求以综合培养方式使学生在这四个层面达到预定目标［4］。
《信号与系统》复习要点
2012级《信号与系统》复习提要典型连续信号（exp（at），sgn(t)，sinwt，coswt，Sa(t)，G(t)），奇异信号u(t)，δ(t)的二种定义，以上信号对应的离散序列，周期信号及周期序列。
对应的频谱表达。
信号的图示（坐标3要素）。
欧拉公式。
三大变换对象和性质：FT，LT，(双边LT, ROC)，ZT (ROC)（双边），DTFT。
同域变换（Hilbert变换）即信号通过1/πt的系统或称-90度移相网络。
连续卷积定义和性质，离散卷积定义。
时域卷积定理，频域卷积定理。
频谱（幅度谱、相位谱），实部虚部，幅度相角，奇偶性，直流分量的去除，（密度谱），功率谱。
幅度的dB表示。
信号频带宽度与时域波形特征。
信号的周期化表达式，信号的截取，信号的离散化表达式，连续信号的重建。
系统的频率响应及参数定义，不失真信号传输条件。
信号的调制解调。
香农采样定理及其相关俗语，信号周期性与离散性在时域和频域的表现，表征参数。
频谱混叠现象，采样信号的恢复和重建。
微分方程，差分方程，状态方程（输出方程）。
系统方框图。
系统起始状态，初始条件，各种响应：连续系统零状态（离散系统的零状态），零输入，稳态，瞬态。
自由项。
单位冲激响应与单位样值响应。
特征根，重根，共轭根。
多项式根与系数关系。
实系数与共轭根关系。
系统因果性，稳定性（两种充要条件判断），收敛性，临界稳定。
传递函数，信号流图，零点，极点，零极点图形。
连续的部分分式分解求逆变换，极点上的留数。
离散的部分分式逆变换。
真假分式，长除法。
信号的Matlab实验的主要结论。
以下是细化的内容：1．连续信号、离散信号的各自特征是什么？2．连续时间信号的t＝0点和t＝∞处，它在现实中表示什么实际情况？3．模拟信号、采样信号、数字信号的确切定义、联系和区别是什么？4．用理想冲激和实际窄脉冲对连续信号进行采样，这两种方法采样点的值如何确定？而在恢复原信号时，两个采样点间的信号的值是如何得出的？5．采样信号经过幅度量化而成为数字信号，量化过程所带来的误差（4舍5入）与量化阶数（位数）的关系如何？6．对周期信号、非周期信号、两个周期信号之和并成为非周期信号的三种情况各举一例，并画波形图说明。
信号处理中常用的数学变换
局部性
HHT能够揭示信号的局部特征，对信号的细节变 化敏感。
物理意义明确
IMF分量与物理现象有明确的对应关系，有助于 理解信号的内在机制。
希尔伯特-黄变换的应用
机械故障诊断
在机械故障诊断中，HHT可以用于提取故障信号的特征，如齿 轮箱的故障检测。
地震信号处理
在地震学中，HHT用于分析地震信号，提取地震事件的参数， 如地震位置和震级。
灵活性
可以选择不同的小波基函数， 以满足不同信号处理的需求。
时频局部化
能够在时间和频率上聚焦到信 号的任意细节。
小波变换的应用
信号降噪
通过小波变换去除信号中的噪 声成分。
特征提取
利用小波变换提取信号中的特 定特征，如边缘、突变点等。
图像压缩
通过小波变换对图像进行压缩 ，减少存储和传输的数据量。
故障诊断
04
HHT得到的IMF分量具有明确的物理意义，而傅里叶变换和小波变换 得到的结果可能与实际物理现象不太直接相关。
THANK YOU
感谢聆听
信号处理中常用的数学变换
目
CONT • Z变换 • 小波变换 • 希尔伯特-黄变换（HHT）
01
傅里叶变换
定义与性质
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法，通过将 信号表示为不同频率的正弦波的线性组合，可以揭示信号的频率 成分。
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、对称性和周期性等性 质，这些性质在信号处理中具有广泛的应用。
拉普拉斯变换适用于分析具有收敛性的函 数，而傅里叶变换适用于分析周期性的函 数；拉普拉斯变换的收敛条件比傅里叶变 换更宽松，能够处理更广泛的一类函数。
03
Z变换
定义与性质
三大变换的通俗理解帖子Microsoft Word 文档
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
信号三大变换公式
0 0
√
(t t0 )
cos 0t
sin 0t
√
f (t)
1, 0,
t t
j d () 1
d
2
2 j
e jt0
[
(
0
)
(
0
)]
j [ ( 0 ) ( 0 )]
Sa( ) 2
) z 1
z 2
(a a 1 ) z 1 ，
(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )
a z 1a
1 z 2 ，
(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )
a z 1a
重要 √ √ √
√
√ √
3
2
a j
(a
j )2
2 0
0
(a
j )2
2 0
1 (a j)2
1 (a j)k
2
(
k
2
)
T k
T
e( )2 2
[Sa ( 0 ) Sa ( 0 ) ]
2
2
2
2 Fk ( k0 ) k
f (t) p(t)
f (t) 是实函数
fo (t) Odf (t) fe (t) Evf (t)
d d
F
( )
√
F ( )d
1 F () * P() √ 2
j ImF () ReF ( )
希尔伯 特变换
f (t) f (t)u(t)
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修正：t dg(t) dt F ( j)[ () 1 ]
dt
j
2g() ()
dg(t) F ( j) dt
频域 积分
f (0) (t) 1 f (t) F ( j)d F (1) ( j)
jt
f (t) sF (s) f (0 ) f (t) s2 F(s) sf (0 ) f (0 )
4
常见信号的单边拉氏变换
( t ) 1 (t) s (n) (t) s n
(t) 1
s
et (t) 1 s
tet (t) 1 (s )2
t (t) 1
s2
cos0t(t)
sin0t (t)
s
s2002
s2 02
f (1) Lim z 2[F (z) f (0) f (1)z 1 ] z
m1
f (m) Lim z m[F (z) f (k)z k ]
z
k 0
3
终值
f () lim f (t) lim sF (s)
t
半 平 面 ，
( f (k 1) (k) z1F (z) f (1) ( f (k 2) (k) z2F (z) f (2) z1 f (1)]
( f (k 1) (k 1) z1F (z)
(
f
(k
m) (k
m)
zmF(z)
k1r e p1t ] (t)
(k2e p2t
kne pnt ) (t)
6
3）共轭极点（用配方和待定系数法确定参数，再用正余弦变换形式）
F (s)
ms n s2 as
b
p(s (s
a1) q a1 )2 b12
e at
cos w0t (t)
(s
a1F1 (s) a2 F2 (s)
2f ()
1 F( j ) aa
1 F(s) aa
F( j) F ( j)e jt0
F (s) f (t t0 ) (t t0 ) F (s)est0
F[ j( 0 )]
es0t f (t) F (s s0 )
如 原 点 处 有 极 点 ， 只 能是
一阶极点。
f () Lim(z 1)F (z) z 1
F (z)所 有 极 点 在 单 位 园 内 ，如 单 位 园 上 有 极 点 ， 只 能 是 一 阶 极 点。
存在
充分条件： 双边信号的拉氏变换可能不 双边信号的 z 变换可能不存在（无收敛
条件
信号绝对可积 存在（无收敛域）
域）
帕斯 周期信号平均功率
瓦尔
P 1 T
T 0
fT 2 (t) d t
Fn 2
n
F02
2 Fn 2
n1
A0 2
1 2
n1
An2
定理 非周期信号能量
W
2
f (t) dt
1
2
F( j) d
2
F(s)
K11 (s p1)r
(s
K12 p1 )r1
K1( r 1) (s p1)2
K1r s p1
K2 s p2
Kn s pn
K11 [(s p1)r F(s)] s p1 不求导
K12
[d ds
(s
p1 )r F (s)] s p1
与收敛域有关 收敛域以圆为界 因果：圆外复平面 反因果：园内复平面 双边：圆环状复平面
k f (i) f (k) (k) z F (z)
i
z 1
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
F (s)是 真 分 式
f (0) Lim F (z) z
单边 Z 变换（ z a
a1F1 (z) a2 F2 (z)
ak f (k) F( z ) a
(1)k f (k) F (z)
f (k) F (z 1 )
( f (k 1) (k) z[F(z) f (0)] ( f (k 2) (k) z2[F (z) f (0) z1 f (1)]
性质 线性 对称 尺度 变换 折叠 时移 或 移序
f () F() a1 f (t) a2 f 2 (t)
F1( jt ) f (at)
f (t) f (t t0 )
频移
f (t)e j0t
三大变换性质对照表
傅里叶变换
单边拉氏变换（ Re[ s] 0 ）
a1F1 ( j) a2 F2 ( j)
求一次导
K1i
1 di1
(i
1)!
ds
i 1
(s
p1 )r
F (s)
s p1
求 i-1 次导
k1i n
t ne p1t (t)
(s
k1i p1)n1
f (t)
[ k11 t e r1 p1t (r 1)!
k12 t e r2 p1t (r 2)!
k
z
F1(z) F2 (z)
2
卷积 频域 卷积 唯一 性
f1 (t) f 2 (t)
时域 求和 初值
1 2
F1( j) F2 ( j)
1 2 j
F1 (s)
F2 (s)
唯一
与收敛域有关 收敛域以平行于虚轴直线为界 因果：收敛轴右边复平面 反因果：收敛轴左边复平面 双边：带状复平面 单边拉氏变换唯一
sa a)2
w02
e at
sin
w0t (t)
(s
w0 a)2
w02
Rs[s] a Rs[s] a
7
t
s
时域
f1 (t) f2 (t)
F1 ( j) F2 ( j)
F1 (s) F2 (s)
kf (k) zF(z) k 2 f (k) z d [z d F(z)]
dz dz
f (k)
km
zm
z
F () m1
d
f (k) F () d
1
时域 微分
f (t) f (n) (t)
jF( j) ( j)(n) F ( j)
频域 微分
jtf (t)
( jt )(n) f (t)
d F( j) d
d (n) d (n)
F ( j)
时域 积分
f (1) (t) t f (x)dx
F ( j)[ () 1 ] j
F(s) K1 K2 Kn
s p1 s p2
s pn
f (t) K1e p1t K 2e p2t K n e pnt
2.重极点 p1 为 r 重极点，p2…pN 为单极点
Ki F(s)(s pi ) spi i 1、2、3、 n
t n (t ) n!
k
t n e s1t (t )
s n1
k
n!
(s s1 ) n1
(t nT )
1
n0
1 e sT
fT (t) f0 (t) T (t)
n0
f0
(t
nT
)
F0 (s) 1 e sT
5
拉氏反变换公式：
1.单极点
n1
s n F (s)
s n1m f (m) (0 )
m0
tf (t) F(s)
(t)n f (t) F (n) (s)
1 s
F(s)
1 s
f
(1) (0 )
1 F (s) n
sn
m1
1 s nm1
f (m) (0 )
f (t)
F ( )d