信号与系统(第一章)
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《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号与系统绪论第一章
= −
1 a
δ(t)dt
证毕。
1 1 1 ∴ 2δ ( t + ) = 2δ [ ( t + 1 )] = 4δ ( t + 1 ) 2 2 2
作业 2t＋ 的波形。 1、信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。 信号f(t)的波形如图所示。画出信号f f(t)的波形如图所示
f (t )
意义：在同样起始条件 下，系统的响应与激励 输入的时刻无关。
t0
t0 +T
t
0
t0
t
波形不变，仅延时 t0
1.3 系统的描述与分类
例3：判断以下系统是否为非时变系统。
(1) r (t ) = T [e(t )] = ate(t ). (2) r (t ) = T [e(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)] = ae(t )
f (t + t 0 )
左移 1
− t0 − 2 − t0 − t0 + 1
0
f (−t + t 0 )
反转
1
0
f (t )
1
t0 − 1 t0
t0 + 2 t
－2
0 1
t
f (t − t 0 )
1 右移 t0 − 2 t0 t 0 + 1 t
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
= k1 [ ae1 ( t ) + b ] + k 2 [ ae2 ( t ) + b ] = a [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] + bk1 + bk 2
显然 T [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] ≠ k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) 故系统为非线性系统。
信号与系统1
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
1
t
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
8. 尺度变换（横坐标展缩）
f (t )
f ( 2t )
1 f ( t) 2
−1
0
1
t
−
1 2
0
快速播放
1 2
t
− 2
0
2
t
慢速播放
f（at）
a为常数
|a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍 |a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍
f(n)
(2) (1) (1)
0
12 345
n
0
1 2 3 4 数字信号
n
离散时间信号（抽样信号）
1.1信号的描述与分类
2.按信号能量特点分类：
2 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为 | f (t ) | ，在区间 (–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号f（t）的能量
E = ∫ f (t ) dt
例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
f (5 − 2t ) 2δ (t − 3)
0
3 2
5 2
3
t
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ 分析: f (t ) ⎯压缩 f (2t ) ⎯反转 f (−2t ) ⎯平移 f (5 − 2t ) 5 Q−（t − ） 5 − 2t = 2 2 5 ∴右移 2 求解过程 f (5 − 2t ) → f (−2t ) → f (2t ) → f (t ) :
电脑或终端
调制解调器
电话网
f (−t − t 0 )
1
t
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
8. 尺度变换（横坐标展缩）
f (t )
f ( 2t )
1 f ( t) 2
−1
0
1
t
−
1 2
0
快速播放
1 2
t
− 2
0
2
t
慢速播放
f（at）
a为常数
|a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍 |a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍
f(n)
(2) (1) (1)
0
12 345
n
0
1 2 3 4 数字信号
n
离散时间信号（抽样信号）
1.1信号的描述与分类
2.按信号能量特点分类：
2 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为 | f (t ) | ，在区间 (–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号f（t）的能量
E = ∫ f (t ) dt
例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
f (5 − 2t ) 2δ (t − 3)
0
3 2
5 2
3
t
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ 分析: f (t ) ⎯压缩 f (2t ) ⎯反转 f (−2t ) ⎯平移 f (5 − 2t ) 5 Q−（t − ） 5 − 2t = 2 2 5 ∴右移 2 求解过程 f (5 − 2t ) → f (−2t ) → f (2t ) → f (t ) :
电脑或终端
调制解调器
电话网
信号与系统——第一章 信号与系统概论(1)
图1－1 各类信号：
二、周期信号与非周期信号
如图1-1(c)所示，周期信号是按某一固定周期重 复出现的信号，它可表示为
f (t ) f (t nT )
其中，T为周期，任何周期信号都可表示为仅在 基本周期内取非零值的有限长信号的周期延拓， 即
f (t ) t 0, T f1 (t ) f (t ) f1 (t nT ) t 0, T 0 n
第一章 信号与系统概论
学习要点： 1. 信号与系统课程的重要性； 2. 信号的概念、分类与运算； 3. 系统的概念、分类与联接形式； 4. 系统的线性性、时不变性、因果性和稳定性的定 义与判断。
§ 1-1 引
言
信号与系统是在电工原理的基础上发展起 来的，并随着电子工程、通信工程、计算 机和信息技术的飞速发展而不断地发展与 完善。 在信号与系统学科的发展中，微分方程、 差分方程理论，傅里叶（Fourier）变换、 拉普拉斯（Laplace）变换、离散傅里叶 变换和Z变换等正交变换理论起着十分重 要的作用。 二十世纪四十年代创立的系统论、信息论 与控制论极大地推动了信号与系统学科的 发展。
能量信号和功率信号的判断方法
判断能量信号和功率信号的方法： 先计算信号能量，若为有限值则为能量信号， 同时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若 为有限值则为功率信号；若上述两者均不符合， 则信号既不是能量信号，也不是功率信号。
连续时间信号能量：E
f (t ) dt
2
1 连续时间信号功率：P lim T 2T
+ -
T
T
f (t ) dt
2
《信号与系统》第一章 北京理工大学
t ' at b
t 1 ' (t b) a
7移位
t ' t b (a 1) t t' b
若b>0，信号波形左移；b<0，信号波形右移
8 反转
t ' t (a 1, b 0)
P8 图1-11
反转的结果就是使原信号波形绕纵轴反折180度。
9 尺度变换
声音发射接收系统
1.2 信号的定义与描述 1.2.1 信号的定义
信号：载有一定信息的一种变化着的物理量。
1 信号不是信息； 2 信号是物理量，可以是力信号、电信号、声音信号、 图象信号
1.2.2 信号的描述
1 数学公式: 信号可以表示为一个或多个独立变量的函数。 •物理量值为一个独立变量的函数时，称为一维函数 x(t ) •物理量值是两个独立变量的函数，称为二维函数 f ( x, y) •物理量值是三个独立变量的函数，称为三维函数 f ( x, y, t ) 2 波形图形:
1.3 信号的分类
按照x(t)是否按照一定时间间隔重复 周期信号 周期信号和非
周期信号 ：按一定的时间间隔重复变化
周期信号的重复周期由其最小重复间隔确定，连续时 间信号以T表示，序列以整数N表示。
f (t)
f (t)
A … … －4 －2 0 2 4 6 k
－T
T 2
o
T 2 －A
T
u (t )
1, t 0
延迟冲激函数的积分等于延迟阶跃函数，即
(t t 0 ) dt
1, t t 0 0, t t 0
2） 函数等于单位阶跃函数的导数，即 (t ) du(t )
信号与系统基础-第1章
单位阶跃信号是从实际应用中抽象出来的。比如，图1-14中S 的在开t关 0 时刻闭合， 则理想情况下电阻R 上的电压uR (t) (t)
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
第1章-信号与系统(陈生潭)
1 2 3 4 5
k
图 1 3 2 离 散 信 号 的 相 加 和 相 乘
. -
1 2 3 4 5
k
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.3.2 翻转、平移和展缩
将信号 f(t)( 或 f(k)) 的自变量 t( 或 k) 换成 -t( 或 -k) ，得到另一 个信号f(-t)(或f(-k))， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意 义是将自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作 为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯， 自变量轴 不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180°， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。
能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号
离散信号f(k)的能量定义为
E f (k )
k
2
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.2 信号的基本特性
信号的基本特性包括时间特性、 频率特性、 能量特性和
信息特性。
在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的
正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。
2
4 k
t) 第 1 章f ( 信号与系统的基本概念
f (k )
－2
0
2
t
－3
0
3
k
f (t －2)
f (k －2)
0
2
4
t
－2 0
2
4
6 k
f (t ＋2)
f (k ＋2)
－4
－2
0 (a )
t
－6 －4 －2 0 (b )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信号与系统第一章信号 (1)
01
信号与系统
02
信号的描述分类与典型示例
03
信号的运算
04
阶跃信号与冲激信号
05
信号的分解
不连续点（跳变点） • [定义1]：函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连 奇异信号 续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。 • （一）单位斜变：Unit Ramp Function
0 t 0 f (t ) t t 0
f (t)
画出 f (2 – t)。
o
1 1 t
注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转 f (t +2) → f (– t +2)
左移
f (t +2) 1 -2 -1 o t
法二：①先反转 f (t) → f (– t)
f (t) 1 o 1 t
1 -1
f (- t )
连续时间信号→离散时间信号
在离散时间信号携带了连续时间所有的信息量时，两者就等价了—— 采样定理
Page 13
时 幅 度 间 连续 离散
连 续
Analog
t
t
Digital
离 散
t t
第14页
（一）指数信号 – 表现形式 f t Ke st
t
都是实数
s j
f (t) 1 o 1 t
右移t → t – 1
f (t-1) 1 o 1 2 t
左移t → t + 1
-1
f (t+1) 1 o t
Page 19
（一）移位、反褶与尺度（自变量变换） ② 反褶
信号与系统概论第一章
持续时间无限短、取值无限大、对时间积分有限。
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
信号与系统第1章-信号与系统的基本概念
1 0 1 2 t
1 0
1
t
1 0
2
一半语速信号
4 t
正常语速信号
2倍语速信号
若
a 1 ，波形在t 轴上扩展 1 a 倍。
若 a 1 ，波形在t 轴上压缩1/
a 倍。
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第一章 信号与系统的基本概念
前言
§1.1 信号的描述与分类 §1.2 连续时间信号的基本运算与变换 §1.3 系统的描述与分类 §1.4 系统分析方法
♣ 连续时间信号的基本运算主要包括
相加（减）、相乘（除）、微分、积分
♣ 信号波形变换主要指
波形的翻转、平移和展缩 通常是通过对自变量的代换实现
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
一．信号的相加减
f1(t) 1 0 1
1
f ( t )=f1 ( t )+f2 ( t )
2 1
1
f2 (t)
f1 (t ) f2 (t )
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
六．信号的时移（波形平移）
连续时间信号的时移定义为
y(t ) f (t t0 )
f (t )
f (t b)
t0为时移量
t t t0
f (t b)
-1
b1
t
(-1+b)
1 (1+b) t
(-1-b)
(1-b)
t
t0＞0时右移
t0＜0时左移
出现冲激， 其冲激强度 为该处的跳 变量
0
1 2 3
t
0 1
-2
3 (2)
t
1 0
1
t
1 0
2
一半语速信号
4 t
正常语速信号
2倍语速信号
若
a 1 ，波形在t 轴上扩展 1 a 倍。
若 a 1 ，波形在t 轴上压缩1/
a 倍。
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第一章 信号与系统的基本概念
前言
§1.1 信号的描述与分类 §1.2 连续时间信号的基本运算与变换 §1.3 系统的描述与分类 §1.4 系统分析方法
♣ 连续时间信号的基本运算主要包括
相加（减）、相乘（除）、微分、积分
♣ 信号波形变换主要指
波形的翻转、平移和展缩 通常是通过对自变量的代换实现
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
一．信号的相加减
f1(t) 1 0 1
1
f ( t )=f1 ( t )+f2 ( t )
2 1
1
f2 (t)
f1 (t ) f2 (t )
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
六．信号的时移（波形平移）
连续时间信号的时移定义为
y(t ) f (t t0 )
f (t )
f (t b)
t0为时移量
t t t0
f (t b)
-1
b1
t
(-1+b)
1 (1+b) t
(-1-b)
(1-b)
t
t0＞0时右移
t0＜0时左移
出现冲激， 其冲激强度 为该处的跳 变量
0
1 2 3
t
0 1
-2
3 (2)
t
信号系统-1
4、展缩：y(t)=f (at)，将f(*)自变量换成at，
其中：a>0
当0<a<1时:
y(t)展宽到f(t)的 1/a倍;
当a>1时： y(t)压缩f(t) 的1/a倍.
注意：
f ( 2 t 1) 折叠后是 f (2t 1) 不是 f ( 2 t ) 右移2后是
f (1 2t ) f ( 2t 2) f ( 2t 4)
4
x
)
练习：求下图波形的函数表达式。
y( x )
1.3
信号的能量和平均功率
def T T 2 T 2
一、信号的能量
W lim f (t ) dt
2
f (t ) dt
2
二、信号的平均功率
P lim{ T T
def
1
T /2
2
T / 2
f (t ) dt}
sgn( t )dt
0
[sgn(t )] 2 (t )
八、单位斜坡信号
0 r (t ) t t0 t0
tU (t )
与阶跃信号、冲激信号关系：
U (t ) dr (t ) dt
(t )
dr (t ) dt
2
2
t
U ( )d
r (t )
τ 2
τ
t t 2
A(t-t0) A(t+t0)
A (t t 0 ) 0
A (t t 0 ) 0
t t0 t t0
t t 0 t t0
(A)
(A)
t0
信号与系统 第一章_绪论(青岛大学)小白发布
（1）偶函数； ）偶函数； （2） ）
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
信号与系统第一章总结
信号与系统第一章总结1、信号的分类（1）周期信号和非周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
（2）连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。
用t 表示连续时间变量。
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值， 用n 表示。
（3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。
抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。
数字信号：时间和幅值均为离散的信号。
（4）按照信号能量特点分类：能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。
功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。
PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。
2、典型的确定性信号（1）指数信号： ， α=0 直流（常数）；α<0 指数衰减；α>0指数增长。
通常把称为指数信号的时间常数，记作τ ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。
对时间的微分和积分仍然是指数形式（2）正弦信号：，振幅K ，周期T=ωπ2 ,初相衰减正弦信号：对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号：α1θdt t f E 2)(⎰∞∞-∆=⎰-∞→=222|)(|1lim T T T dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()0sin e )(>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t()()t K t K t K t f t t stωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率j ωσ+=s rad/s的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ（4）抽样信号（重点）： 性质：1. 偶函数2. 3. 4.5. 6.（5）钟形信号（高斯函数）：3、信号的平移，反褶，展缩（1）平移：左加右减（注意符号）（2）反褶：关于y 轴对称（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：4、阶跃信号和冲激信号（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）门函数：符号函数：ttt sin )Sa(=)Sa(lim ，即1)Sa(,00===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τt E tf ()()()[]()0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t t u ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t（2）单位冲激信号：①定义：狄拉克函数 只在t=0时，函数值不为0；积分面积为1；t =0 时，为无界函数。
信号与系统燕庆眀第一章
第一章将介绍信号与系统的基础概念，包括信号的分类、系统的描述方式等。
还将概述信号与系统在各个领域的应用，以及后续章节的主要内容。
02 信号的分类与表示
连续信号与离散信号
连续信号
在时间或空间上连续变化的信号，例如声音、温度等。
离散信号
在时间或空间上取离散值的信号，例如数字信号、计算机生成的图像等。
微分方程描述
总结词
微分方程是描述动态系统输入输出关系的一种常用方法 。
详细描述
通过建立输入信号和输出信号之间的微分方程，可以描述 系统的动态行为。微分方程通常表示为y'(t) = f(t, y(t))， 其中y'(t)表示y(t)的导数，f(t, y(t))是关于时间t和输出y(t) 的函数。
差分方程描述
非线性系统
非线性系统
系统的输出信号与输入信号 不成正比，或者比例系数不 恒定。
非线性性
系统的响应与输入信号的关 系是非线性的。
状态方程描述
非线性系统通常用状态方程描 述，如x(n+1) = f(x(n), u(n), a)，y(n) = g(x(n), u(n), a)。
04 系统的输入输出描述方法
状态变量图是一种图形化描述 方式，通过图形的形式表示系 统内部状态变量之间的关系。
通过状态变量Βιβλιοθήκη ，可以直观 地了解系统内部状态变量的 动态变化过程，以及输入变
量对状态变量的影响。
状态变量图通常使用箭头表示 状态变量的变化方向，以及使 用有向线段表示状态变量之间
的传递关系。
状态方程的解法
求解状态方程是系统分析的重要步骤，通过求解状态方程可以得到系统的 动态响应。
传递函数描述
总结词
还将概述信号与系统在各个领域的应用，以及后续章节的主要内容。
02 信号的分类与表示
连续信号与离散信号
连续信号
在时间或空间上连续变化的信号，例如声音、温度等。
离散信号
在时间或空间上取离散值的信号，例如数字信号、计算机生成的图像等。
微分方程描述
总结词
微分方程是描述动态系统输入输出关系的一种常用方法 。
详细描述
通过建立输入信号和输出信号之间的微分方程，可以描述 系统的动态行为。微分方程通常表示为y'(t) = f(t, y(t))， 其中y'(t)表示y(t)的导数，f(t, y(t))是关于时间t和输出y(t) 的函数。
差分方程描述
非线性系统
非线性系统
系统的输出信号与输入信号 不成正比，或者比例系数不 恒定。
非线性性
系统的响应与输入信号的关 系是非线性的。
状态方程描述
非线性系统通常用状态方程描 述，如x(n+1) = f(x(n), u(n), a)，y(n) = g(x(n), u(n), a)。
04 系统的输入输出描述方法
状态变量图是一种图形化描述 方式，通过图形的形式表示系 统内部状态变量之间的关系。
通过状态变量Βιβλιοθήκη ，可以直观 地了解系统内部状态变量的 动态变化过程，以及输入变
量对状态变量的影响。
状态变量图通常使用箭头表示 状态变量的变化方向，以及使 用有向线段表示状态变量之间
的传递关系。
状态方程的解法
求解状态方程是系统分析的重要步骤，通过求解状态方程可以得到系统的 动态响应。
传递函数描述
总结词
信号与系统第一章
0
0
j0 n e • 欲使 是周期的,周期N>0,必有:
e j0 ( n N ) e j0n e j0 N 1 0 N m 2 .(m为整数)
即当ω0/2π=m/N成立时,即ω0/2π为有理数, 就是周期的 e j n ,否则非周期. 当m和N无公因子时,x[n]的基波周期是N 此时基波频率为2π/N=ω0/m.
1.4 典型信号及其基本特性
1.4.1 实指数信号（指数信号） 2. 离散时间实指数信号 x[n] A n , n A 和α为实数 n 习惯上不用 x[n] Ae 的形式
1.4 典型信号及其基本特性
1.4.2 复指数信号 1. 连续时间复指数信号 ( j )t st x(t ) Ae ， Aes 为复数，σ、ω0为实数 （1）σ、ω0均为0时，x(t)=A—直流信号 （2）σ≠0， ω0=0时，实指数信号 （3）σ=0， ω0 ≠ 0时，忽略常数A， x(t ) e j t —周期复指数信号 （4）σ≠0，ω0 ≠ 0时，一般复指数信号
信号基本的共同点： 是传递信息或消息的载体 信号的描述：数学函数式或图形 • 数学函数式：一个或几个独立自变量的函数 —一 维或多维信号。 本课程:单一变量—时间 • 信号的图形/波形：不能精确给出信号的函数值， 但能直观描绘出信号的变化趋势，简化问题。 波形图 标出关键值—不连续点、零点、极大/极 小值点
0.2 什么是系统
基本定义： 对输入信号（激励）作出响应的物理结构 本质： 对输入信号进行处理，并将处理后的信号作为输 出（响应） 输出另外的信号或某些需要的特性 形成： 自然形成；人为设计 例： 电路系统；互联网；人体的各种系统；计算机程序
0.3 “信号与系统”的主要 研究内容
0
j0 n e • 欲使 是周期的,周期N>0,必有:
e j0 ( n N ) e j0n e j0 N 1 0 N m 2 .(m为整数)
即当ω0/2π=m/N成立时,即ω0/2π为有理数, 就是周期的 e j n ,否则非周期. 当m和N无公因子时,x[n]的基波周期是N 此时基波频率为2π/N=ω0/m.
1.4 典型信号及其基本特性
1.4.1 实指数信号（指数信号） 2. 离散时间实指数信号 x[n] A n , n A 和α为实数 n 习惯上不用 x[n] Ae 的形式
1.4 典型信号及其基本特性
1.4.2 复指数信号 1. 连续时间复指数信号 ( j )t st x(t ) Ae ， Aes 为复数，σ、ω0为实数 （1）σ、ω0均为0时，x(t)=A—直流信号 （2）σ≠0， ω0=0时，实指数信号 （3）σ=0， ω0 ≠ 0时，忽略常数A， x(t ) e j t —周期复指数信号 （4）σ≠0，ω0 ≠ 0时，一般复指数信号
信号基本的共同点： 是传递信息或消息的载体 信号的描述：数学函数式或图形 • 数学函数式：一个或几个独立自变量的函数 —一 维或多维信号。 本课程:单一变量—时间 • 信号的图形/波形：不能精确给出信号的函数值， 但能直观描绘出信号的变化趋势，简化问题。 波形图 标出关键值—不连续点、零点、极大/极 小值点
0.2 什么是系统
基本定义： 对输入信号（激励）作出响应的物理结构 本质： 对输入信号进行处理，并将处理后的信号作为输 出（响应） 输出另外的信号或某些需要的特性 形成： 自然形成；人为设计 例： 电路系统；互联网；人体的各种系统；计算机程序
0.3 “信号与系统”的主要 研究内容
信号系统第一章信号与系统PPT课件
系统具有输入、输出、 转换、反馈等基本特 性。
系统的分类
01
根据系统的特性，可以 将系统分为线性系统和 非线性系统。
02
03
04
根据系统的动态特性， 可以将系统分为时不变 系统和时变系统。
根据系统的参数是否随时 间变化，可以将系统分为 连续系统和离散系统。
根据系统的功能和用途，可 以将系统分为控制系统、信 号处理系统、电路系统等。
控制系统中的信号处理
01
02
03
信号采集与转换
将物理量转换为电信号， 以便进行后续处理和控制。
信号处理算法
如PID控制、模糊控制等， 对采集到的信号进行计算 和分析，以实现系统的自 动控制。
信号反馈与调节
将系统的输出信号反馈给 控制器，通过调节输入信 号来控制系统的运行状态。
图像处理中的信号处理
变化规律是确定的，例如正弦波；随机 续变化的信号，例如声音的波形；数字
信号则是指信号的变化规律是不确定的， 信号则是指幅度离散变化的信号，例如
例如噪声。
计算机中的进制数。
02
系统的定义与分类
系统的基本概念
系统是由相互关联、 相互作用的若干组成 部分构成的有机整体。
系统可以用于描述自 然界、工程领域、社 会现象等各种领域中 的事物。
冲激响应与阶跃响应
冲激响应
系统对单位冲激信号的响应，反 映了系统对单位冲激信号的传递 特性。
阶跃响应
系统对单位阶跃信号的响应，反 映了系统对单位阶跃信号的传递 特性。
卷积积分与卷积和
卷积积分
描述信号与系统的相互作用，通过将 输入信号与系统的冲激响应进行卷积 积分来计算输出信号。
卷积和
将卷积积分简化为离散时间系统的卷 积和运算，用于计算离散时间系统的 输出序列。
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1.3常用典型信号
1、正弦信号
f (t) Asin(t)
（1.7）
其中，A为幅值， 为初相位， 为角频率。
其周期 T，频率 f 与角频率 的关系为
T
1 f
2
（1.8）
2、指数信号
f (t) Aet
（1.9）
其中 A为常数，为常数（实常数或复常数）。
当为实常数时
• 筛选特性 若 f (t在) t 处0 连续，其值为 f (，0)
则有
-
f
(t)
(t)dt
f，(0)类似有
-
f
(t) (t-t0)dt
f
(t0)
• (t为) 偶函数，即 (t) (t)
•
微分特性
du(t) dt
(t)
•
尺度特性
(at)
1 a
(t)
-
f
(t)
(t-t0)dt f
(t0 )
• 冲激偶函数是奇函数，即
(t)dt 0
1.5 系统的描述与分类
1.5.1 系统的描述
为了便于分析系统，需要建立系统模型。所谓
模型，是系统物理特性的数学抽象。
1、连续时间系统的描述
连续时间系统通常用微分方程来描述（代数
方程，一阶或高阶微分方程，非线性微分方程或 微分方程组）。 单输入单输出系统
主值区间。
不满足条件(1.1)或(1.2)的信号称为非周期信号。
例1.1 考察连续信号 f1(t) sin 2t co，s3t f2(t) cos2t sint
判断上述信号是否为周期信号，若为周期信号， 则其周期为多少？
解：对于信号f (t)而言， 1
sin2与t
cos的3t 周期分
如间断连点续t信=1号处在其定义域上连续取值，函数值 定不义一定连f续2(1；)=而(f2连(1续-)+函f2 (数1+)是)/2指=(函1-数1)/值2=连0 续，因 或此定连义续函f2数(1为)=1连, 续f2(信t)=号-1，(1<反t≤之2)却不一定。
（2）离散信号
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散
5、单位阶跃序列
u(n)
1
n0 （1.12）
0
n0
依据单位样值信号与单位阶跃序列的定义，有
(n) u(n)u(n，1)
u(n)
(nk)
k 0
1.4奇异信号
1、斜变函数
R(t)
t
0
t 0 t 0
（1.13）
2、单位阶跃函数
u(t)
(t)
lim
k
k
Sa(kt )
➢ 狄拉克（Dirac）定义
(t) ，0 t 0
(t)dt
1
此定义与(1.16)的定义相符合。
（1.17）
（2）单位冲激函数的性质
• 取样特性 若 f (t在) t 处t0 连续，其值为 f (，t0) 则有 f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
3、 符号函数
sgn(t )
1 1
t 0 t 0
（1.15)
符号函数可用如下双边奇指数信号
的极限来描述
et t 0
f
(t)
et
t0
sgn(t) lim f (t) 0 0
符号函数与单位阶跃信号的关系
sgn(t) 2u(t) 1
4、单位冲激函数
0
,
随f (时t)间t的增加单调增
0
,
随f (时t)间t的增加单调减
0
,
f (t为)直A流信号
当为复常数 j时
f (t) Aet Ae( j)t
利用Euler公式，得
f (t) Ae( j)t Aete jt Aet (cost jsint)
若信号f(t)为能量信号，则其也为功率信号。
工程中常用的一般能量无限信号的平均功 率是有限的。如周期信号为功率信号。
5、一维信号与多维信号
从信号数学表达式来看，信号可以表示为 一个或多个变量的函数，称为一维或多维信号。
语音信号可表示为声压随时间变化的函数， 这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素) 具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维 平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。 视频信号为三维信号，现实生活场景为四维信 号。
y
y
,
Si(
y)
有最大值
y
2
,3
,...
Si(有y)局部极值
抽样信号不是实际物理装置能产生的信 号，但在信号分析中有重要地位。
4、单位样值信号
(n)
1
n=0 （1.11）
0
n0
根据单位样值信号定义，有
(n
m)
1
n=m
0
n m
绪论
课程主要内容： 一、两个系统
连续系统和离散系统。重点讨论线性 时不变时间系统。 二、两种分析方法
时域分析方法和变域分析方法。 三、三大数学变换 1、傅里叶变换 2、拉普拉斯变换 3、Z变换
第1章 信号与系统的基本概念
1.1概述 （1）信息与信号
信息是信号的内容，信号是信息载体 （信息的表现形式）。
对信号f2(t)，按上述判断准则，其为非周期信号。
例1.2 正弦序列 f (n)sin( n为)连续周期信号 0 f (t)sin(t )
等间隔抽样后所得， 试分析该正弦序列为周期序
列的条件， 若为周期序列，其周期？
解：设抽样间隔（抽样周期）为 Ts ，
于是
f
(n)
sin(t
)
100 80 60 40 20 0
-20 -40 -60 -80 -100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
输 入 信 号 f(n)
中位数 滤波器
取{f(n+p)}在 (-q≤ p ≤ q) 2q+1个数的中间值f(m)
g(n) = f(m)
100 80 60 40 20 0
1
0
t 0 t 0
（1.14）
• R(t) tu(t)， dR(t) u(t)
dt
• 利用单位阶跃函数可方便表示单边 信号，如 Aetu(t，) Aet sin(t 等)u(t。)
• 利用单位阶跃信号可用来表示矩脉 冲函数G(t) u(t t0 ) u(t 。t1)
3、周期信号和非周期信号
连续周期信号f(t)满足：
f(t) = f(t + mT)， m = 0,±1,±2,…
(1.1)
离散周期信号f(n)满足：
f(n) = f(n + mN)，m = 0,±1,±2,…
(1.2)
满足上述关系的最小T或整数N称为该信号的周
期。[0，T]，0~（N-1）称为连续和离散周期信号的
由狄拉克函数定义(1.17)，可知
-
f
(t)
(t)d
t
0
f
(t)
(t)d
t
0
f
(t)
(t)d
t
0
0
f
(t)
(t)d
t
f
(0)
t
-
f
( ) ( -t0)d
f
(t0 )u(t
t0 )
例1.3 综合举例
sin(t ) (t)dt 2
（2）信号与系统
系信统号对是的（由产输若生入干、）相传信互输号关、加联加工又工（相和处互处理作理或用离操的不作事开）系, 物统产组 ，生合 系新而 统的成 的（， 特输具定出有功）某能信些是号特用。定其功输能入的 与整 输体 出。 信号的 变换关系来描述的。信号与系统两者间是密不 可分的。
一个简单的信号消噪(平滑)系统：
当 0时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调增。 当 0时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调减。
3、抽样信号
Sa(t)
sint t
其为偶函数，具有如下特性：
0
Sa(t)dt
/
2
Sa(t)dt
（1.10）
定义
Si(
y)
y
0
Sa(t)dt
,
Si( y) ~
（2）功率信号
对于连续信号f (t)，如果有
TlimT1
T /2
T /2
f
(t) 2dt
对于离散信号 f (n)，如果有
（1.5）
lim
N
1 N
k
N /2
N /2
f
(n) 2
（1.6）
则称f(t)和f(n)为功率信号。不满足式(1.5)
或(1.6)的信号称为功率无限信号。
-20 -40 -60 -80 -100
0
100